函数极限的定义
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函数的极限函数的连续性
lim[ f ( x) g ( x)] A B
x xo
lim[ f ( x)] [ lim f ( x)]
n x xo
n
这些法则对于的情况仍然适用
函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在 点x=x0处有定义， xlim f(x)存在，且 x lim f(x)=f(x )，那么函数f(x)在点x=x
例2求下列函数的极限：
3x 1 lim x ( x 1) 3
2
x 1 lim 2 x2 x x 2
2
x 1 lim 2 x 1 2 x x 1
2
x2 3 1 lim ( 2 ) x 1 x 1 x 1
（1）讨论函数
1 ( x 0), f（ x ） = ( x 0), 在点x 0处的连续性 ; 0 1 ( x 0) x （2）讨论函数f（x）= 在区间 x3
lim f ( x) a lim f ( x) lim f ( x) a
x x0 x x0
f ( x ) a 其中 xlim 表示当 x 从左侧 x0 趋近于x0时的左极限， lim f ( x) a 表示当x从右侧趋近 x x0 于x0时的右极限
对于函数极限有如下的运算法则： 如果， lim f ( x) A, lim g ( x)
极限问题的基本类型： 分式型，主要看分子和分母的首项系 数； 0 指数型( 0 和 型），通过变形使得 各式有极限； 根式型(∞─∞型)，通过有理化变形使 得各式有极限；
例1 求下列极限
4 1 lim ( x2 4 x 2 ) x2
x lim x0 | x |
cos x . lim x π cos sin x x 2 2 2
函数极限相关知识点总结
函数极限相关知识点总结一、函数极限的定义1. 函数极限的定义在数学中，函数极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。
具体来说，对于给定的函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某个确定的数L，那么我们就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim_{x→a}f(x) = L。
换句话说，当x在逼近a时，f(x)的取值会趋于L。
这一定义可以用数学符号严格表述为：对于任意正数ε，存在一个正数δ，使得当0＜ |x-a| ＜δ时，都有 |f(x)-L| ＜ε成立。
2. 函数极限的右极限和左极限如果函数f(x)在点a的左侧和右侧分别有极限，则称这两个极限为函数f(x)在点a处的左极限和右极限。
左极限记作lim_{x→a^-}f(x)，右极限记作lim_{x→a^+}f(x)。
当左极限、右极限和函数值在点a处都存在且相等时，我们称函数f(x)在点a处存在极限，且极限为此值。
3. 函数极限的无穷极限当自变量x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷极限。
具体来说，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＞M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = ∞。
类似地，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＜M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = -∞。
4. 函数极限的存在性函数极限在很多情况下是存在的，但也有一些特殊的函数，它们在某些点处的极限并不一定存在。
比如，当函数在某一点的左右极限不相等时，该点处的极限可能不存在；当函数在某一点的极限为无穷大时，该点处的极限也可能不存在。
因此，在研究函数极限时，我们需要考虑函数在极限点处的性质，以确定函数极限是否存在。
二、函数极限的求解方法1. 用极限的定义求解函数极限函数极限的定义是要求对任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立。
高三数学函数的极限
【作业】教材闯关训练。
/ 鞍山交通违章查询
王爷两各人闲呆在亭子里の道理！好别容易挨到回咯驻地，婉然按照惯例，向二十三小格道别：“启禀爷，您假设没什么别の事情，妾身就此别过。”“慢着，先别那么着急回 去。”“您有啥啊吩咐吗？”“爷没啥啊吩咐，爷好久没什么去过您の房里咯，今天爷の心情好，去您那里坐坐。”听到二十三小格那各回复，婉然完全是如坠五里云雾！自从她 有咯身孕之后，他再也没什么在她の房里出现过，今天居然说要去她那里坐坐，婉然别晓得他の葫芦里卖の是啥啊药。壹进咯房里，婉然の贴身丫环云儿刚要去给他上茶，被他立 即制止住咯：“您退下去，没什么吩咐别得进来！”等云儿退下去，关好房门后，二十三小格死死地盯着婉然，看咯许久许久，都没什么开口。婉然晓得，他那是因为今天松露亭 の事情，但是让婉然惊讶の是，为啥啊别是她被带到他の房里去兴师问罪，而是他来到她の房里壹言别发？婉然早就是生别如死地活着，为咯年家の老老小小，为咯王爷の宏图大 业，苟且偷生般地活着。所以连死都别怕の她，根本别可能害怕二十三小格の任何发难，所以尽管他壹直阴沉着脸壹言别发，婉然の心中没什么壹丝壹毫の慌乱和别安，相反却是 静观其变。终于，二十三小格开口说道：“您，把衣服脱咯！”“爷，您……那是要做啥啊？”婉然没什么料到竟然是那各结果。原来他是要验伤！他以为射中の是她，而别是王 爷！虽然婉然の身上壹丁点儿の伤痕都没什么，她没什么壹丁点儿可以担惊害怕の事情，但是以那种屈辱の，毫无尊严の方式证明自己，即使是连死都别怕の婉然，仍是无法接受 那各现实，禁别住脱口而出，反问二十三小格那是要干啥啊，以此表达咯她の强烈别满。第壹卷 第577章 求死二十三小格将婉然の那番过激の反应，想当然地认定是她做贼心虚 の表现。果然，果然是婉然中咯箭伤！壹想到他们那对狗男女卿卿我我の景象，特别是壹惯逆来顺受の婉然竟然胆敢公然违抗他の命令，还别是有王爷在她の背后撑腰？二十三小 格登时火早冒三丈：“爷叫您脱衣服，您就给爷脱咯，问那么多为啥啊干啥啊？假设您老老实实地照着爷の吩咐做好咯，爷只当您是壹时迷咯心窍，被四哥强掠过去，是迫别得已， 爷会放您壹条生路。可是，假设您还是那么别知悔改、执迷别悟，妄图蒙混过关，爷也会给您壹条生路，但是爷同时会让您生别如死，您应该相信爷是说到做到の人。”婉然当然 相信他是说到做到の人，可是，她早就没什么啥啊脸面活在那各世上，王爷被她牵累得受咯伤，水清被她牵累得永远也别能得到王爷の心，她还活着干啥啊！她活着，就是三各人 受痛苦，受折磨，假设她の死，能让成全咯王爷和水清两各人の幸福美满生活，她当然愿意做出那各牺牲。看到王爷和水清那两各她最爱の人能够过上好日子，她の死是多么の值 得！她别是壹各人，她还有年家那壹大家子人。假设她自裁，如此有辱门风の事情，皇家哪里能放得过？别要说二十三小格，就是宗人府也要追究年家人の罪责。但是假设现在， 是她激怒咯二十三小格の怒火，由他自己下手结束咯她の生命，年家就别会因为她の死而承担任何罪责。那各千载难逢の结束生命の机会，婉然当然别愿意放弃，她要竭尽全力去 成就那番舍生取义。于是面对二十三小格の威逼与恐吓，婉然没什么表现出壹丝の担惊受怕或是无奈就范，而是继续面无表情地负隅顽抗。正是那各冷漠の顽抗，将二十三小格彻 底地激怒咯。眼见着他の威胁壹丁点儿效果也没什么，婉然仍然壹动别动地侧立壹旁，被气疯の二十三小格想也没想地壹把抓过婉然の衣领，只稍壹用力，月白色の云锦锻外衣眨 眼就飞向咯墙角。里面是同样素净の中衣，同样只稍壹用力，就脱离咯婉然の身体，飞向咯另外壹各墙角。再里面是亵衣亵裤。婉然依然没什么壹丝壹毫の惊恐别安，依然波澜别 惊、别吭壹声是任由他将她の衣裳壹件件地剥除。到咯最后壹步，婉然仍然是貌似无动于衷，却又是强烈地反抗着他の权威，挑战着他の神经。二十三小格别是沉得住气の人，给 咯她
函数的极限
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函数的极限 考虑在自变量的某个趋向下（如 x无限接近于
x0）， 相应的函数值 f (x) 能否与一个确定的常
数 A 无限接近。
4
极 限
y
y = f (x)
f (x) → A
A
o
x0
x
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x → x0
1．自变量趋于有限值时函数的极限 ． 函数f(x)的值无限接近于 的值无限接近于 如果当x无限接近于x0 , 函数 常数A, 为极限. 常数 , 则称当x趋于x0 时, f(x)以A为极限.
y
给定
A+ ε
A
，存在
A−ε
o
9
εห้องสมุดไป่ตู้
x0 −δ δ
y
x0
x0 + δ
x
变小， 也变小
A+ε
A −ε
A
ε
x0 −δ δ x0 x0 + δ
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o
x
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单侧极限： 若当x→x0− 时,f(x)无限接近于常数A，则常数A叫做函数 f(x)当 x→x0 时的左极限,记为：
x → x0
10
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定义: 定义 lim xn = a ⇔
n→∞
当 n > N 时, 总有 自变量取正整数的函数称为数列
7
当 n > N 时, 总有
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时函数极限的分析定义（ε-δ语言） ，总 ，当 时，有
成立，则称常数
8
为函数
当
时的极限
记作 且
函数的极限 考虑在自变量的某个趋向下（如 x无限接近于
x0）， 相应的函数值 f (x) 能否与一个确定的常
数 A 无限接近。
4
极 限
y
y = f (x)
f (x) → A
A
o
x0
x
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x → x0
1．自变量趋于有限值时函数的极限 ． 函数f(x)的值无限接近于 的值无限接近于 如果当x无限接近于x0 , 函数 常数A, 为极限. 常数 , 则称当x趋于x0 时, f(x)以A为极限.
y
给定
A+ ε
A
，存在
A−ε
o
9
εห้องสมุดไป่ตู้
x0 −δ δ
y
x0
x0 + δ
x
变小， 也变小
A+ε
A −ε
A
ε
x0 −δ δ x0 x0 + δ
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o
x
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单侧极限： 若当x→x0− 时,f(x)无限接近于常数A，则常数A叫做函数 f(x)当 x→x0 时的左极限,记为：
x → x0
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定义: 定义 lim xn = a ⇔
n→∞
当 n > N 时, 总有 自变量取正整数的函数称为数列
7
当 n > N 时, 总有
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时函数极限的分析定义（ε-δ语言） ，总 ，当 时，有
成立，则称常数
8
为函数
当
时的极限
记作 且
极限的定义与计算方法
极限的定义与计算方法极限是微积分学中的重要概念，用于描述函数在某一点或者无穷远处的行为。
它在物理学、工程学以及其他应用领域中有着广泛的应用。
本文将介绍极限的定义以及计算方法，并对其在实际问题中的应用进行讨论。
一、极限的定义在微积分学中，极限是用来描述函数在某一点或者无穷远处的趋势的数学概念。
通常用符号lim表示。
给定函数f(x)，当自变量x无限接近某一点a时，如果函数f(x)的取值趋近于一个固定的值L，那么就说函数f(x)在x趋近a的过程中有极限，即lim(x→a) f(x) = L。
二、函数极限的计算方法要计算函数的极限，可以使用以下主要的方法：1. 代入法：针对简单的函数，我们可以直接将x的值代入函数，然后计算函数的取值。
例如，要计算lim(x→2) (3x^2 + 2x -1)，我们可以将x替换为2，然后计算出函数的值。
2. 分式的化简：当函数为分式形式时，可以通过化简的方法得到更简单的表达式，然后再进行计算。
例如，要计算lim(x→1) (x^2-1)/(x-1)，我们可以对分子进行因式分解，然后化简分式，最后再代入x=1进行计算。
3. 极限的性质：极限有一些常用的性质，例如四则运算、乘法法则、除法法则等。
根据这些性质，我们可以将复杂的函数转化为简单的函数，然后再进行计算。
例如，要计算lim(x→0) 2x^3 + 3x^2 - 4x，我们可以将函数拆分为lim(x→0) 2x^3 + lim(x→0) 3x^2 - lim(x→0) 4x，然后分别计算每个部分的极限。
4. 单侧极限：当函数在某点处的左极限和右极限不相等时，我们可以使用单侧极限来描述该点的极限。
左极限表示x从左侧趋近于该点时的极限，右极限表示x从右侧趋近于该点时的极限。
三、极限在实际问题中的应用极限的概念不仅仅是数学中的一个抽象概念，它也具有实际应用价值。
以下是几个极限在实际问题中的应用案例：1. 建模和预测：在物理学或者经济学等领域中，研究人员常常需要建立数学模型来描述各种现象和趋势。
函数的极限
ln (1+x )
������→0
lim
ln
ln (1+x) x
ex − 1
= lim =−
ln (1 +
ln 1+x −x x
)
������→0
x
−1 ln 1 + x − x 1+x lim = lim = lim 1+x ������→0 ������→0 ������→0 2x x2 2x
1
= lim x 2 ex − 1 − x
x →+∞
= lim x 2
x →+∞
1 1 1 2 + + o(x ) − x = x 2! x 2 2 (2011，数一，10 分)
4、 lim������→0 ( 【解析】
ln (1+x) x
)e x −1
1
ln ln (1 + x) x1 x lim( )e −1 = lim e e x −1 ������→0 ������→0 x
+
sinx =1 x
x
6、 lim������→0 【解析】
������→0
sinx −sin sinx sinx x4
(2008，数一，9 分)
lim
sinx − sin sinx sinx sinx − sin sinx x cosx − cos sinx cosx = lim = lim ������→0 ������→0 x4 x4 3x 2 sin2 x 1 1 1 − cos (sin x ) 1 2 = lim = lim = 3 ������→0 x2 3 ������→0 x 2 6
函数极限的知识点总结
函数极限的知识点总结一、函数极限的定义在介绍函数极限的定义之前，我们先来了解一下“极限”的概念。
在数学中，极限是指当自变量趋于某一特定的值时，函数的取值趋于的值。
如果函数f(x)在x趋于a的过程中，它的取值趋于一个确定的常数L，那么我们就称L是函数f(x)在点x=a处的极限，记作lim （x→a）f(x)=L。
这个定义可以用符号来表示为：对于任意的ε>0，存在一个δ>0，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么我们就称lim（x→a）f(x)=L。
根据极限的定义，我们可以得到一些结论：1. 如果一个函数在点x=a处的极限存在，那么它只有一个极限值。
2. 如果一个函数在点x=a处的极限不存在，那么它没有极限值。
3. 如果一个函数在点x=a处的极限存在且等于L，那么在点x=a的邻域内，函数的取值都趋于L。
函数极限的定义为我们提供了计算函数在某一点处的极限的依据，下面我们将介绍一些常见的计算方法。
二、函数极限的计算方法1. 代入法代入法是最直接的计算函数极限的方法，当函数的极限存在时，我们可以直接将自变量的值代入函数中计算即可。
例如，计算lim（x→2）（3x+1），我们只需要将x=2代入函数中得到lim（x→2）（3x+1）=3*2+1=7。
2. 分式的极限对于分式函数的极限计算，我们通常采用有理化或者分子分母同除等方法，将分式转化为更简单的形式进行计算。
例如，计算lim（x→1）（x^2-1）/（x+1），我们可以将分式有理化为（x-1）（x+1）/（x+1），然后可以进行约分化简得到lim（x→1）（x-1）=0。
3. 夹逼定理夹逼定理也是一种常见的计算函数极限的方法，它适用于一些复杂函数的极限计算。
夹逼定理的原理是，如果函数f(x)在x=a的邻域内被另外两个函数g(x)和h(x)夹在中间，并且lim（x→a）g(x)=lim（x→a）h(x)=L，那么函数f(x)在x=a处的极限也存在且等于L。
函数的极限函数的连续性
记作 lim f(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a x
函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在
点x=x0处有定义，
lim
x x0
f(x)存在，且
lim
x x0
f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0
处连续
函数f(x)在(a，b)内连续的定义： 如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一 点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b) 内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续 函数
.
；淘小铺 淘小铺是什么
Байду номын сангаас
函数f(x)在［a，b］上连续的定义：
如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端
点x=a处有 xlimaf(x)=f(a)，在右端点x=b
处有
lim
xb
f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区
间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，
b］上的连续函数
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1、函数极限的定义: (1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋 向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a x
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在
点x=x0处有定义，
lim
x x0
f(x)存在，且
lim
x x0
f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0
处连续
函数f(x)在(a，b)内连续的定义： 如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一 点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b) 内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续 函数
.
；淘小铺 淘小铺是什么
Байду номын сангаас
函数f(x)在［a，b］上连续的定义：
如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端
点x=a处有 xlimaf(x)=f(a)，在右端点x=b
处有
lim
xb
f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区
间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，
b］上的连续函数
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1、函数极限的定义: (1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋 向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a x
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
函数极限的定义24种
函数极限的定义24种函数极限是指计算函数值时，这个函数接近某个值的情况。
它的定义有24种，如下：1. 左极限：当x趋近于a时，f(x)趋近于L。
2. 右极限：当x趋近于a时，f(x)趋近于M。
3. 对称的极限：当x趋近于a时，f(x)趋近于N。
4. 在点a上的极限：如果存在L使得对于任意δ>0，当0 < |x- a | < δ时，f(x)都 > L，那么，f在点a处的极限就是L。
5. 在点a上的右极限：如果存在M使得对于任意δ>0，当0 < |x- a | < δ 当x→a右时，f(x)都 < M，那么，f在点a处的右极限就是M。
6. 在点a上的对称极限：如果存在N使得对于任意δ>0，当0< |x-a | <δ时，当x→a时，f(x) → N，那么，f在点a处的对称极限就是N。
7. 内极限：当x在a处时，f(x)趋近于L，此时，f(x)的极限就是L。
8. 内右极限：当x在a处时，f(x)趋近于M，此时，f(x)的极限就是M。
9. 内对称极限：当x在a处时，f(x)趋近于N，此时，f(x)的极限就是N。
10. 外极限：当x在a处时，f(x)趋近于L，此时，f(x)的极限就是L。
11. 外右极限：当x在a处时，f(x)趋近于M，此时，f(x)的极限就是M。
12. 外对称极限：当x在a处时，f(x)趋近于N，此时，f(x)的极限就是N。
13. 下无穷极限：当x→-∞ 时，f(x)趋近于L。
14. 上无穷极限：当x→+∞ 时，f(x)趋近于M。
15. 无穷极限：当x→ ± ∞时，f(x)趋近于N。
16. 上渐近极限：当x趋近于a时，f(x)逐渐趋近于L。
17. 下渐近极限：当x取越大值时，f(x) 逐渐趋近于M。
18. 上唯一极限：当x趋近于a时，f(x)只能趋近于唯一的L。
19. 下唯一极限：当x趋近于a时，f(x)只能趋近于唯一的M。
1-3函数极限的定义
a
3
.
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微积分
第一章 极限与连续
练 习 题 一、填空题:
1、当 x 2 时， y x
2
4，问当 取 ___ 时， y 4 0 . 001 .
1，问当 z 取 ______
只要 0 x 2 ，必有
2、当 x 时， y 时，只要 x x
2 2
定理：
x x0
lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0 x x0
返回
微积分
第一章 极限与连续
求下列函数极限： 例3、
(1 ) f ( x ) x
(2) f ( x ) [ x ]
lim f ( x )
x 0
x1
1 3
x z ，必有
y 1 0 . 01 .
二、用函数极限的定义
证明：
1、 lim 1
x
2
1 4x
2
2x 1 sin x x
2
2、 lim
x
0
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微积分
第一章 极限与连续
练习题答案：
一、1、0.0002； 2、 .
397
作业：
41页：2(2)(4)，4
lim C C ,
lim sin x 0
x 0
返回
微积分
f ( x )无 限 接 近 于 A ,
第一章 极限与连续
即 0 ( 无 论 多 么 小 ), 有 f ( x ) A ,
即 0, 能 找 到 0, 当 0 x x0 时 , 有 f (x) A
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x
②若 0，X 0，当 x X 时，使得 f (x) A ,
则 A 称为函数 f x在x 时的极限，记为 lim f (x) A或f (x) Ax .
x
③若 0，X 0，当 x X 时，使得 f (x) A ,
xx0
x x0
x x0
lim f (x) lim f (x).
xx0
xx0
例6
说明极限
1 lim x0 1 e1/ x
不存在.
解因
1
lim
0,
x0 1 e1/ x
1
lim
1,
x0 1 e1/ x
所以极限
1 lim x0 1 e1/ x
不存在.
是当 x 在该点两侧趋近于x0时，函数有一个确定的变化
趋势. 但某种情况下，函数在两侧的趋势是不同的，
这就需要分别加以讨论.
y
考虑函数:
x 1
f
(
x)
0
x 1
x0 x 0, x0
y x1
1
O
x
y x 1 1
该函数在点 x 0 两侧的变化趋势是不同的:
证因
f (x) A x2 1 x2 1
2
2,
x2 1 x2 1 x
所以, 0 , 取 X 2 ，当 x X时 ，使得
f (x) A x2 1 x2 1 ,
所以
lim x2 1 x2 1 0.
x
例10 证明 lim x 1 1 . x 2x 1 2
2 2x 1 2 x
所以
lim x 1 1 .
x 2x 1 2
三、极限的性质
定理1 (局部有界性)如果极限 lim f (x)存在 ， xx0 那么在 x0的某个空心邻域内，函数 f x 有界.
证 设 lim f (x) A ，由定义，对 1, 存在 0,
f (x) A M x x0 ,
此即说明 lim f (x) A. x x0
例1 证明下列极限
⑴ lim(2x 1) 5; x2
⑵ limsin x 0. x0
证 ⑴因 f (x) A 2x 15 2x 4 2 x 2
所以, 0 , 取 ，当 0 x 2 时，可使
则 A 称为函数 f x在x 时的极限，记为 lim f (x) A或f (x) Ax .
x
例7 证明 lim 1 0.
x x
证 因 f (x) A 1 0 1
x
x
所以, 0 , 取 X 1 ，当 x X时 ，使得
O x0 x0 x0
x
注1：函数 f x在点 x0 处的极限与函数在这一点是否有 定义、或 f x0 为多少毫无关系，它所反映的是 f x在
该点附近的变化趋势.
例 函数
x2 1
f (x)
x 1
x 1.
0
x 1
则有 lim f x 2, x1
为
lim f (x) A.
或
x x0
f (x) A x x0 .
函数极限 lim f (x) A的几何意义 xx0
对于任意 0，总存在正数 ， 对满足 0 x x0 的一切 x， 都有 f (x) A .
y
A
A
A
y f (x)
尽管函数在点 x 1处没有定义，
但当 x无限趋近于1而不等于1时，相应 y无限趋近于2.
定义 设函数 f x 在点x0的某个空心邻域中有定义，
如果存在常数 A，使得对于任意给定的正数，总存在
正数 ， 对于满足0 x x0 的一切 x，都有
f (x) A ,
那么常数 A就称作函数 f x 当x x0 时的极限，记
f (x) A 1 ,
x
所以
lim 1 0. x x
例8 证明 lim arctan x .
x
2
证 因 f (x) A arctan x arctan x
22
只要
2
arctan
x
，即
x
tan
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
所以,
3A 2
2
A
f x A A 0.
2
A 2
O x0 x0 x0
x
定理2’
(保号性)如果
lim
n
xn
a
0，则存在正整数
N
当 n N 时，有：xn 0.
推论 在 x0的某个空心领域中，有 f x 0, 且
lim f (x) A,
第三节 函数极限的定义
一、函数在有限点处的极限
在上节中，我们讨论了数列的极限. 而我们又知道数 列是一种特殊的函数——定义在正整数集上的函数. 那 么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全 面引入函数极限的定义.
引例 设函数
f (x) x2 1 x 1, x 1. x 1
f ( x0 )
例如：lim 1 , lim 1 ,
x x0
x x0
1
1
lim ex 0, lim ex ,
x0
x0
容易证明：
定理 极限 lim f (x) 存在的充分必要条件是 f (x) 在点 xx0
x0 处的左右极限存在并且相等. 即
lim f (x)存在 lim f (x), lim f (x) 均存在，且
f (x) A sin x 0 ,
因而
limsin x 0.
x0
例2 证明 lim 1 4x2 2. x1 2x 1
2
证 因 f (x) A 1 4x2 2 (2x 1)2 2 x 1 ,
2x 1
2x 1
2
所以, 0 , 取 ，当 0 x ( 1) ，可使
定理2 (极限的保号性)如果 lim f (x) A 0，则存在点 xx0
x0的某个空心邻域内，使得在该邻域中有：f x 0.
证 设 lim f (x) A ，由定义，对 A , 存在 0,
oxx0
当x U (x0, ) 时，有
y
2
y f x
f (x) A A
例4 证明 lim x2 2 3 . x1 x 1 2
证因
f (x) A x2 2 3 2x2 3x 1 2x 1 x 1 ,
x 1 2 2 x 1 2(x 1)
取 x 1 1, 即 0 x 2, 所以
2x 1 1 3 1,
当 x 在 0 的右侧趋近于 0 时，f x 1;
当 x 在 0 的左侧趋近于 0 时，f x 1.
这就导出左右极限的概念.
y
y x1
1
O
x
y x 1 1
左极限定义：若 0, 0,当 x x0 0时，
使得 f (x) A ,
xx0
o
当 0 x x0 ，即 x U (x0, ), 有
f (x) A 1,
f (x) f (x) A A
f (x) A A 1 A ,
即： f x 在x0的某个空心邻域内有界.
定理1
(有界性)如果极限
lim
n
xn
存在
，那么存在
M
0,
使得对所有的n，有 xn M.
证
设
lim
n
xn
a
，由定义，对
1,
存在 N 0,
当 n N时，有 xn a 1, 从而
xn xn a a 1 a ,
取 M max x1 , x2 ,L , xN ,1 a ，则对所有的 n，有
xn M.
2
2
f (x) A 1 4x2 2 2 x 1 ,
2x 1
2
所以
1 4x2
lim
2.
x1 2x 1
2
例3 证明 lim x2 4. x2
证 因 f (x) A x2 4 x 2 x 2 ,
为能解出不等式 M x 2 ，要对 x进行适当的控制，
那么 A称作 f x 在 x0处的左极限，记为
lim
x x0
f (x) 或
f ( x0 )
右极限定义：若 0, 0,当 0 x x0 时，
使得 f (x) A ,
那么 A称作 f x 在 x0处的右极限，记为
lim
x x0
f (x) 或
二、函数在无穷远处的极限
定义 设函数 f x 在 x M 时有定义， A为常数.
①若 0，X 0，当 x X 时，使得 f (x) A ,
则 A 称为函数 f x在 x 时的极限，记为 lim f (x) A 或 f (x) Ax .
为此限定 x的变化范围为1 x 3 ，此时有 x 2 5,
所以, 0 , 取 min{1, }，当 0 x 2 时 ，
5
可使 f (x) A x2 4 x 2 x 2 5 x 2 ,
所以
lim x2 4.
②若 0，X 0，当 x X 时，使得 f (x) A ,
则 A 称为函数 f x在x 时的极限，记为 lim f (x) A或f (x) Ax .
x
③若 0，X 0，当 x X 时，使得 f (x) A ,
xx0
x x0
x x0
lim f (x) lim f (x).
xx0
xx0
例6
说明极限
1 lim x0 1 e1/ x
不存在.
解因
1
lim
0,
x0 1 e1/ x
1
lim
1,
x0 1 e1/ x
所以极限
1 lim x0 1 e1/ x
不存在.
是当 x 在该点两侧趋近于x0时，函数有一个确定的变化
趋势. 但某种情况下，函数在两侧的趋势是不同的，
这就需要分别加以讨论.
y
考虑函数:
x 1
f
(
x)
0
x 1
x0 x 0, x0
y x1
1
O
x
y x 1 1
该函数在点 x 0 两侧的变化趋势是不同的:
证因
f (x) A x2 1 x2 1
2
2,
x2 1 x2 1 x
所以, 0 , 取 X 2 ，当 x X时 ，使得
f (x) A x2 1 x2 1 ,
所以
lim x2 1 x2 1 0.
x
例10 证明 lim x 1 1 . x 2x 1 2
2 2x 1 2 x
所以
lim x 1 1 .
x 2x 1 2
三、极限的性质
定理1 (局部有界性)如果极限 lim f (x)存在 ， xx0 那么在 x0的某个空心邻域内，函数 f x 有界.
证 设 lim f (x) A ，由定义，对 1, 存在 0,
f (x) A M x x0 ,
此即说明 lim f (x) A. x x0
例1 证明下列极限
⑴ lim(2x 1) 5; x2
⑵ limsin x 0. x0
证 ⑴因 f (x) A 2x 15 2x 4 2 x 2
所以, 0 , 取 ，当 0 x 2 时，可使
则 A 称为函数 f x在x 时的极限，记为 lim f (x) A或f (x) Ax .
x
例7 证明 lim 1 0.
x x
证 因 f (x) A 1 0 1
x
x
所以, 0 , 取 X 1 ，当 x X时 ，使得
O x0 x0 x0
x
注1：函数 f x在点 x0 处的极限与函数在这一点是否有 定义、或 f x0 为多少毫无关系，它所反映的是 f x在
该点附近的变化趋势.
例 函数
x2 1
f (x)
x 1
x 1.
0
x 1
则有 lim f x 2, x1
为
lim f (x) A.
或
x x0
f (x) A x x0 .
函数极限 lim f (x) A的几何意义 xx0
对于任意 0，总存在正数 ， 对满足 0 x x0 的一切 x， 都有 f (x) A .
y
A
A
A
y f (x)
尽管函数在点 x 1处没有定义，
但当 x无限趋近于1而不等于1时，相应 y无限趋近于2.
定义 设函数 f x 在点x0的某个空心邻域中有定义，
如果存在常数 A，使得对于任意给定的正数，总存在
正数 ， 对于满足0 x x0 的一切 x，都有
f (x) A ,
那么常数 A就称作函数 f x 当x x0 时的极限，记
f (x) A 1 ,
x
所以
lim 1 0. x x
例8 证明 lim arctan x .
x
2
证 因 f (x) A arctan x arctan x
22
只要
2
arctan
x
，即
x
tan
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
所以,
3A 2
2
A
f x A A 0.
2
A 2
O x0 x0 x0
x
定理2’
(保号性)如果
lim
n
xn
a
0，则存在正整数
N
当 n N 时，有：xn 0.
推论 在 x0的某个空心领域中，有 f x 0, 且
lim f (x) A,
第三节 函数极限的定义
一、函数在有限点处的极限
在上节中，我们讨论了数列的极限. 而我们又知道数 列是一种特殊的函数——定义在正整数集上的函数. 那 么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全 面引入函数极限的定义.
引例 设函数
f (x) x2 1 x 1, x 1. x 1
f ( x0 )
例如：lim 1 , lim 1 ,
x x0
x x0
1
1
lim ex 0, lim ex ,
x0
x0
容易证明：
定理 极限 lim f (x) 存在的充分必要条件是 f (x) 在点 xx0
x0 处的左右极限存在并且相等. 即
lim f (x)存在 lim f (x), lim f (x) 均存在，且
f (x) A sin x 0 ,
因而
limsin x 0.
x0
例2 证明 lim 1 4x2 2. x1 2x 1
2
证 因 f (x) A 1 4x2 2 (2x 1)2 2 x 1 ,
2x 1
2x 1
2
所以, 0 , 取 ，当 0 x ( 1) ，可使
定理2 (极限的保号性)如果 lim f (x) A 0，则存在点 xx0
x0的某个空心邻域内，使得在该邻域中有：f x 0.
证 设 lim f (x) A ，由定义，对 A , 存在 0,
oxx0
当x U (x0, ) 时，有
y
2
y f x
f (x) A A
例4 证明 lim x2 2 3 . x1 x 1 2
证因
f (x) A x2 2 3 2x2 3x 1 2x 1 x 1 ,
x 1 2 2 x 1 2(x 1)
取 x 1 1, 即 0 x 2, 所以
2x 1 1 3 1,
当 x 在 0 的右侧趋近于 0 时，f x 1;
当 x 在 0 的左侧趋近于 0 时，f x 1.
这就导出左右极限的概念.
y
y x1
1
O
x
y x 1 1
左极限定义：若 0, 0,当 x x0 0时，
使得 f (x) A ,
xx0
o
当 0 x x0 ，即 x U (x0, ), 有
f (x) A 1,
f (x) f (x) A A
f (x) A A 1 A ,
即： f x 在x0的某个空心邻域内有界.
定理1
(有界性)如果极限
lim
n
xn
存在
，那么存在
M
0,
使得对所有的n，有 xn M.
证
设
lim
n
xn
a
，由定义，对
1,
存在 N 0,
当 n N时，有 xn a 1, 从而
xn xn a a 1 a ,
取 M max x1 , x2 ,L , xN ,1 a ，则对所有的 n，有
xn M.
2
2
f (x) A 1 4x2 2 2 x 1 ,
2x 1
2
所以
1 4x2
lim
2.
x1 2x 1
2
例3 证明 lim x2 4. x2
证 因 f (x) A x2 4 x 2 x 2 ,
为能解出不等式 M x 2 ，要对 x进行适当的控制，
那么 A称作 f x 在 x0处的左极限，记为
lim
x x0
f (x) 或
f ( x0 )
右极限定义：若 0, 0,当 0 x x0 时，
使得 f (x) A ,
那么 A称作 f x 在 x0处的右极限，记为
lim
x x0
f (x) 或
二、函数在无穷远处的极限
定义 设函数 f x 在 x M 时有定义， A为常数.
①若 0，X 0，当 x X 时，使得 f (x) A ,
则 A 称为函数 f x在 x 时的极限，记为 lim f (x) A 或 f (x) Ax .
为此限定 x的变化范围为1 x 3 ，此时有 x 2 5,
所以, 0 , 取 min{1, }，当 0 x 2 时 ，
5
可使 f (x) A x2 4 x 2 x 2 5 x 2 ,
所以
lim x2 4.