最新中考数学试卷及答案

中考数学试卷真题(含答案)一、选择题1. 已知 $ a+b=5 $，$ ab=4 $，则 $ a^2+b^2 $ 的值为（）A. 17B. 21C. 25D. 29答案：A解析：由 $ a+b=5 $ 和 $ ab=4 $，我们可以使用恒等式$ a^2+b^2=(a+b)^22ab $ 来计算 $ a^2+b^2 $ 的值。

将 $ a+b $ 和$ ab $ 的值代入，得到 $ a^2+b^2=5^22\times4=17 $。

2. 下列函数中，是二次函数的是（）A. $ y=x^2+3x+2 $B. $ y=x^3+2x^2+x $C. $ y=2x+1 $D. $ y=\sqrt{x} $答案：A解析：二次函数的一般形式为 $ y=ax^2+bx+c $（其中 $ a\neq0 $）。

选项 A 的形式符合这个定义，因此它是二次函数。

3. 下列几何图形中，不是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 圆C. 等腰三角形D. 抛物线答案：D解析：轴对称图形是指存在一条轴，使得图形关于这条轴对称。

正方形、圆和等腰三角形都是轴对称图形，而抛物线不是。

4. 下列不等式中，正确的是（）A. $ 3x+2>5x1 $B. $ 2x+3<5x+4 $C. $ 3x2>5x+1 $D. $ 4x+1<2x+5 $答案：D解析：我们可以通过移项和化简来检验每个不等式。

选项 D 可以化简为 $ 2x<4 $，即 $ x<2 $，这是一个正确的不等式。

5. 已知等差数列 $ \{a_n\} $ 的首项 $ a_1=2 $，公差 $ d=3 $，则第 5 项 $ a_5 $ 的值为（）A. 11B. 14C. 17D. 20答案：B解析：等差数列的第 $ n $ 项可以表示为 $ a_n=a_1+(n1)d $。

将 $ a_1=2 $ 和 $ d=3 $ 代入，得到 $ a_5=2+(51)\times3=14 $。

北京市中考数学试卷及答案（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）2021年北京市高级中等学校招生考试数学试卷 解析满分120分，考试时间120分钟一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的。

1. 在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2021-2021）》中，北京市提出了总计约3 960亿元的投资计划。

将3 960用科学计数法表示应为 A. 39.6×102 B. 3.96×103 C. 3.96×104 D. 3.96×104 答案：B解析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3 960＝3.96×103 2. 43-的倒数是 A. 34 B. 43 C. 43- D. 34-答案：D解析：(0)a a ≠的倒数为1a ，所以，43-的倒数是34- 3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为 A.51 B. 52 C. 53 D. 54答案：C解析：大于2的有3、4、5，共3个，故所求概率为534. 如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于A. 40°B. 50°C. 70°D. 80° 答案：C解析：∠1＝∠2＝12（180°－40°）＝70°，由两直线平行，内错相等，得 ∠4＝70°。

5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。

若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于A. 60mB. 40mC. 30mD. 20m答案：B解析：由△EAB∽△EDC，得：CE CDBE AB=，即102020AB=，解得：AB＝406. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是答案：A解析：B既是轴对称图形，又是中心对称图形；C只是轴对称图形；D既不是轴对称图形也不是中心对称图形，只有A符合。

重庆市2023年初中学业水平暨高中招生考试数学试题(A 卷)一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框黑。

1.8的相反数是()A.-8B.8C.18D.-182.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是()A.B. C.D.3.反比例函数y =-4x的图象一定经过的点是()A.1，4B.-1，-4C.-2，2D.2，24.若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是()A.1:2B.1:4C.1:8D.1:165.如图，AB ∥CD ,AD ⊥AC ，若∠1=55°，则∠2的度数为()A.35°B.45°C.50°D.55°6.估计28+10 的值应在()A.7和8之间B.8和9之间C.9和10之间D.10和11之间7.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，⋯⋯，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是()A.39B.44C.49D.548.如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC。

若∠A=30°，AB=23，BC=3，则OC的长度是()A.3B.23C.13D.69.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF=45°。

若∠BAE=α，则∠FEC一定等于()A.2αB.90°-2αC.45°-αD.90°-α10.在多项式x-y-z-m-n(其中x>y>z>m>n)中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”。

2023年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（）A．a B．b C．c D．d2．（3分）长春龙嘉国际机场T3A航站楼设计创意为“鹤舞长春”．如图所示．航站楼的造型如仙鹤飞翔，蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景．本期工程是按照满足2030年旅客吞吐量38000000人次目标设计的，其中38000000这个数用科学记数法表示为（）A．0.38×108B．38×106C．3.8×108D．3.8×107 3．（3分）下列运算正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．a2•a＝a3C．（a2）3＝a5D．a6÷a2＝a3 4．（3分）如图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（）A．面①B．面②C．面⑤D．面⑥5．（3分）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例D．两点之间线段最短6．（3分）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即AC＝32米），则彩旗绳AB的长度为（）A．32sin25°米B．32cos25°米C．米D．米7．（3分）如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（）A．AD＝AE B．AD＝DF C．DF＝EF D．AF⊥DE 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与y轴相切、⊙B与x轴相切时，连接AB，，则k的值为（）A．3B．3C．4D．6二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）分解因式：m2﹣1＝．10．（3分）若关于x的方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是．11．（3分）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为公里．（用含x的代数式表示）12．（3分）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为．13．（3分）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF，则∠AFB'的大小为度．14．（3分）2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面米．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a），其中．16．（6分）班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则如下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后放回，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．17．（6分）随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件？18．（7分）将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放，点A、E，B、D依次在同一条直线上，连接AF、CD．（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；（2）已知BC＝6cm，当四边形AFDC是菱形时，AD的长为cm．19．（7分）近年来，肥胖已经成为影响人们身体健康的重要因素，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体程度以及是否康其计算公式是BMI＝，例如：某人身高1.60m，体重60kg，则他的，中国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖：BMI≥28为肥胖．某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的BMI值并绘制了两幅不完整的统计图．根据以上信息回答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）请估计该公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数；（3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高1.70m，BMI值为27，他想通过健身减重使自己的BMI值达到正常，则他的体重至少需要减掉kg．（结果精确到1kg）20．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，点C在格点上．（1）在图①中，△ABC的面积为；（2）在图②中，△ABC的面积为5；（3）在图③中，△ABC是面积为的钝角三角形．21．（8分）甲、乙两人相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车直达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示：（1）当15≤x≤40时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．22．（9分）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若，则的值为．23．（10分）如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在边BC上，且BE＝2，动点P从点E出发，沿折线EB﹣BA﹣AD以每秒1个单位长度的速度运动．作∠PEQ＝90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P 的运动时间为t秒．（t＞0）（1）当点P和点B重合时，线段PQ的长为；（2）当点Q和点D重合时，求tan∠PQE；（3）当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由；（4）作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．24．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+2（b是常数）经过点（2，2）．点A的坐标为（m，0），点B在该抛物线上，横坐标为1﹣m．其中m＜0．（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；（2）当点B在x轴上时，求点A的坐标；（3）该抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P，B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2﹣m时，求m的值；（4）当点B在x轴上方时，过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC、BO．若四边形AOBC 的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC的顶点），设这两个交点分别为点E、点F，线段BO的中点为D．当以点C、E、O、D（或以点C、F、O、D）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半时，直接写出所有满足条件的m的值．2023年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．【分析】根据数轴上表示某个数的点与原点的距离的大小确定结论．【解答】解：由图可知：实数b在数轴上的对应点到原点O的距离，所以在这四个数中，绝对值最小的数是b．故选：B．【点评】本题考查了绝对值的定义、实数大小比较问题，熟练掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：38000000＝3.8×107．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．【解答】解：A．a3﹣a2，无法合并，故此选项不合题意；B．a2•a＝a3，故此选项符合题意；C．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；D．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．【分析】由多面体的表面展开图，即可得到答案．【解答】解：多面体的底面是面③，则多面体的上面是⑤．故选：C．【点评】本题考查几何体的表面展开图，关键是由长方体的表面展开图找到相对面．5．【分析】根据点O为AA'、BB'的中点得出OA＝OA'，OB＝OB'，根据对顶角相等得到∠AOB＝∠A'OB'，从而证得△AOB和△A'OB'全等，于是有AB＝A'B'，问题得证．【解答】解：∵点O为AA'、BB'的中点，∴OA＝OA'，OB＝OB'，由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'，在△AOB和△A'OB'中，，∴△AOB≌△A'OB'（SAS），∴AB＝A'B'，即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，故选：A．【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．6．【分析】根据直角三角形的边角关系进行解答即可．【解答】解：如图，由题意得，AC＝32m，∠A＝25°，在Rt△ABC中，∵cos A＝，∴AB＝＝（m），故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．7．【分析】利用基本作图得到AF平分∠MAN，则根据角平分线的画法可对选项进行一一判断．【解答】解：角平分线的作法如下：①以点A为圆心，AD长为半径作弧，分别交AM、AN于点D、E；②分别以点D、E为圆心，DF长为半径作弧，两弧在∠MAN内相交于点F；③作射线AF，AF即为∠MAN的平分线．根据角平分线的作法可知，AD＝AE，DF＝EF，根据等腰三角形的三线合一可知AF⊥DE，故选：B．【点评】本题考查了用直尺和圆规作角平分线的方法，掌握画法是解题的关键．8．【分析】依据题意，可得A（1，k），B（k，1），再由AB＝3，从而2（k﹣1）2＝18，进而得解．【解答】解：由题意，得A（1，k），B（k，1）．∵AB＝3，∴有两点距离公式可得：2（k﹣1）2＝18．∴（k﹣1）2＝9．∴k＝﹣2或4．又k＞0，∴k＝4．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，解题时需要熟练掌握并理解．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．【分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：m2﹣1＝（m+1）（m﹣1）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．10．【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，Δ＝b2﹣4ac＞0求解即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＞0，解得：c＜1．故答案为：c＜1．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与Δ＝b2﹣4ac 的关系是解题关键．熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．11．【分析】根据题意可知：总路程﹣已跑的路程＝离终点的路程，然后列出相应的代数式即可．【解答】解：由题意可得，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为（7.5﹣10x）公里，故答案为：（7.5﹣10x）．【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式即可．12．【分析】根据题意求出OA：OA′＝1：3，根据相似三角形的性质求出AC：A′C′，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝1：3，∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：3，故答案为：1：3．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键．13．【分析】由多边形的内角和及轴对称的性质和三角形内角和可得出结论．【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B＝∠BAE＝108°，由图形的折叠可知，∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝54°，∠BAF＝∠FAB'＝∠BAM＝27°，∠AFB'＝∠AFB＝180°﹣∠B﹣∠BAF＝180°﹣108°﹣27°＝45°．故答案为：45．【点评】本题考查了多边形的内角和，三角形的内角和定理，图形的折叠的性质，掌握这些知识点是解题的关键．14．【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令x ＝0求平移后的抛物线与y轴的交点即可．【解答】解：由题意可知：A（﹣40，4）、B（40，4）．H（0，20），设抛物线解析式为：y＝ax2+20，将A（﹣40，4）代入解析式y＝ax2+20，解得：a＝﹣，∴y＝﹣+20，消防车同时后退10米，即抛物线y＝﹣+20向左平移后的抛物线解析式为：y＝﹣+20，令x＝0，解得：y＝19，故答案为：19．【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图象的平移及坐标轴的交点，解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．【分析】分别运用完全平方公式和乘法分配律将两个括号展开，再进行合并同类项计算即可．【解答】解：原式＝a2+2a+1+a﹣a2＝（a2﹣a2）+（2a+a）+1＝3a+1．当a＝时，3a+1＝3×+1＝+1．【点评】整式的混合运算是初中数学最基本的知识点，考查学生最基本的运算能力，一定要熟练掌握，确保计算结果正确无误．16．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次中的彩蛋颜色不同的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次中的彩蛋颜色不同的结果有4种，∴某同学获一等奖的概率为．【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．【分析】设原计划平均每天制作x个摆件，根据“结果提前5天完成任务”列分式方程，求解即可．【解答】解：设原计划平均每天制作x个摆件，根据题意，得，解得x＝200，经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意，答：原计划平均每天制作200个摆件．【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并能根据题意建立方程是解题的关键．18．【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AC＝DF，∠CAB＝∠FDE，根据平行线的判定定理得到AC∥DF，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形AFDC是平行四边形；（2）连接CF交AD于O，根据直角三角形的性质得到AC＝BC＝6（cm），根据菱形的性质得到CF⊥AD，AD＝2AO，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵△ACB≌△DFE，∴AC＝DF，∠CAB＝∠FDE，∴AC∥DF，∴四边形AFDC是平行四边形；（2）解：连接CF交AD于O，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6cm，∴AC＝BC＝6（cm），∵四边形AFDC是菱形，∴CF⊥AD，AD＝2AO，∴∠AOC＝90°，∴AO＝AC＝＝9（cm），∴AD＝2AO＝18cm，故答案为：18．【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．19．【分析】（1）利用正常人数7除以35%即可得总人数，减去其它人数和即可得答案；（2）用200×偏胖和肥胖和的百分比即可得答案；（3）利用身体质量指数公式算出小张实际体重，再用小张身高算出正常体重的最大值，最后用小张实际体重减去小张正常体重的最大值即可得答．【解答】解：（1）7÷35%＝20（人），偏胖人数：20﹣2﹣7﹣3＝8（人），条形图如下：（2）200×＝110（人），答：公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数110人；（3）小张实际体重：27×（1.70）2＝78.03（kg），小张正常体重的最大值：24×（1.70）2＝69.36（kg），∴他的体重至少需要减掉：78.03﹣69.36≈9（kg），故答案为：9．【点评】本题考查条形统计图，扇形图，能结合俩图找到正常体重的人数和百分比是解题关键．20．【分析】（1）先根据三角形的面积求出AB边上的高，再作图；（2）根据网格线的特点及三角形的面积公式作图；（3）根据网格线的特点及三角形的面积公式作图．【解答】解：如图：（1）如图①：△ABC即为所求；（2）如图②：△ABC即为所求；（3）如图③：△ABC即为所求．【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及三角形的面积公式是解题的关键．21．【分析】（1）设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，再利用待定系数法来求解即可；（2）求出甲的函数解析式和乙的解析式，甲的函数解析式和乙的解析式组成方程组解答即可．【解答】解：（1）设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，∵直线过（15，0）和（40，300），∴，解得，∴乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为y＝12x﹣180；（2）设甲的函数解析式为：y＝mx+n，将（25，160）和（60，300）代入得：，解得，∴y＝4x+60；∵乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度，∴，解得，∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米．【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，图象的交点坐标的求法是解题关键．22．【分析】【感知】根据圆周角定理即可得出答案；【探究】先构造出△PBC≌△EBA（SAS），得出PB＝EB，进而得出△PBE是等边三角形，即可得出结论；【应用】先构造出△PBC≌△EBA（SAS），进而判断出∠PBG＝90°，进而得出△PBG 是等腰直角三角形，即可得出结论；【解答】【感知】解：∵∠AOB＝90°，∴∠APB＝∠AOB＝45°（在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半），故答案为：45；【探究】证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS），∴PB＝EB，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠APB＝60°，∴△PBE为等边三角形，∴PB＝PE＝AE+AP＝PC+AP；【应用】解：如图③，延长PA至点G，使AG＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAG＝180°，∴∠BCP＝∠BAG，∵BA＝BC，∴△PBC≌△GBA（SAS），∴PB＝GB，∠PBC＝∠GBA，∵∠ABC＝90°，∴∠PBG＝∠GBA+∠ABP＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝90°，∴PG＝BP，∵PG＝PA+AG＝PA+PC，∴PC＝PG﹣PA＝×2PA﹣PA＝3PA，∴＝＝，故答案为：【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．23．【分析】（1）证明四边形ABEQ是矩形，进而在Rt△QBE中，勾股定理即可求解．（2）证明△PBE∽△ECD，得出．（3）过点P作PH⊥BC于点H，证明△PHE≌△ECQ得出PE＝QE，即可得出结论．（4）分三种情况讨论，①如图所示，当点P在BE上时，②当P点在AB上时，当F，A重合时符合题意，此时如图，③当点P在AD上，当F，D重合时，此时Q与点C重合，则PFQE是正方形，即可求解．【解答】解：如图所示，连接BQ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAQ＝∠ABE＝90°，∵∠PEQ＝90°，∴四边形ABEQ是矩形，当点P和点B重合时，∴QE＝AB＝3，BE＝2，在Rt△QBE中，，故答案为：．（2）如图所示，∵∠PEQ＝90°，∠PBE＝∠ECD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∴△PBE∽△ECD，∴，∵BE＝2，CD＝AB＝3，∴．（3）如图所示，过点P作PH⊥BC于点H，∵∠PEQ＝90°，∠PHE＝∠ECQ＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，则四边形ABHP是矩形，∴PH＝AB＝3，又∵EC＝BC﹣BE＝5﹣2＝3，∴PH＝EC，∴△PHE≌ECQ（AAS），∴PE＝QE，∴△PQE是等腰直角三角形；（4）①如图所示，当点P在BE上时，∵QE＝QF＝3，AQ＝BE＝2，在Rt△AQF中，，则，∵PE＝t，∴BP＝2﹣t，PF＝PE＝t，在Rt△PBF中，PF2＝PB2+FB2，∴，解得：，当时，点F在矩形内部，∴0＜t≤符合题意．②当P点在AB上时，当F，A重合时符合题意，此时如图，π则PB＝t﹣BE＝t﹣2，PE＝AP＝AB﹣PB＝3﹣（t﹣2）＝5﹣t，在Rt△PBE中，PE2＝PB2+BE2，∴（5﹣t）2＝（t﹣2）2+22，解得t＝．③当点P在AD上，当F，D重合时，此时点Q与点C重合，则PFQE是正方形，此时t＝2+3+2＝7．综上所述，0＜t≤或t＝或t＝7．【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．24．【分析】（1）将点（2，2）代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解；（2）当y＝0时，﹣x2+2x+2＝0，求得抛物线与x轴的交点坐标，根据抛物线上的点B 在x轴上时，横坐标为1﹣m，其中m＜0，得出，即可求解；（3）证明点B一定在对称轴右侧，分情况讨论：①如图所示，当，即﹣时，②当，即时分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为2﹣m，建立方程，解方程即可求解；（4）根据B在x轴的上方，得出﹣＜m＜0，根据题意分三种情况讨论：①当E是AC的中点时，②当F为AO的中点时，③，根据题意分别得出方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）将点（2，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+2中，得2＝﹣4+2b+2，解得：b＝2，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3）．（2）由y＝﹣x2+2x+2，当y＝0时，﹣x2+2x+2＝0，解得：，，∵抛物线上的点B在x轴上时，横坐标为1﹣m．其中m＜0．∴1﹣m＞1，∴，解得：，∵点A的坐标为（m，0），∴．（3）令﹣x2+2x+2＝0，得x1＝1﹣，x2＝1+，∴P（1﹣，0），∵m＜0，∴1﹣m＞1，∴点B一定在对称轴右侧，∴B（1﹣m，﹣m2+3）．①如图所示，当，即﹣时，根据题意，3＝2﹣m，解得m＝﹣1；②当，即时，依题意，3﹣（﹣m2+3）＝2﹣m，解得：m＝﹣2或m＝1（舍去）．综上所述，m＝﹣1或m＝﹣2．（4）如图所示，∵B在x轴的上方，∴且m＜0，∴﹣＜m＜0，∵以点C、E、O、D为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半，线段BO的中点为D，＝S△COD，∴S△BCD＝S△AOC+S△BOC，S△BOC＝S△BCD+S△COD，∵S四边形AOBC①当E是AC的中点，如图，则S四边形AOBC∴，代入y＝﹣x2+2x+2，即，解得（舍去）或；②同理当F为AO的中点时，如图所示，S△ACF＝S△CFO，S△BCD＝S△COD，则点C、F、O、D为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，∴，解得；③如图所示，＝S，设S△BOC则，∵以点C、E、O、D为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半，线段BO的中点为D，∴，即，∴，∴CF＝AO，∴F（﹣m，﹣m2+3），∵B，F关于x＝1对称，∴，解得：．综上所述，或或．【点评】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键。

宜宾市2023年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试数学（考试时间：120分钟，全卷满分：150分）注意事项：1．答题时，务必将自己的姓名、座位号，准考证号填写在答题卡指定的位置并将答题卡背面座位号对应标号涂黑．2．答选择题时，务必使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效．一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．1. 2的相反数是（ ）A. 2B. －2C.12D. 12-2. 下列计算正确的是（ ）A. 422a a -= B. 235ab ba ab +=C. 23a a a += D. 22532x y xy xy-=3. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.4. 为积极践行节能减排发展理念，宜宾大力推进“电动宜宾”工程，2022年城区已建成充电基础设施接口超过8500个．将8500用科学记数法表示为（ ）A. 40.8510⨯ B. 28510⨯ C. 38.510⨯ D. 48.510⨯5. 如图， AB CD ∥，且40A ∠=︒，24D ∠=︒，则E ∠等于（ ）的A. 40︒B. 32︒C. 24︒D. 16︒6. “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有x 只，兔有y 只，则所列方程组正确的是（ ）A. 354294x y x y +=⎧⎨+=⎩ B. 352494x y x y +=⎧⎨+=⎩ C. 944235x y x y +=⎧⎨+=⎩ D. 942435x y x y +=⎧⎨+=⎩7. 如图，已知点A B C 、、在O 上，C 为 AB 的中点．若35BAC ∠=︒，则AOB ∠等于（ ）A. 140︒B. 120︒C. 110︒D. 70︒8. 分式方程2233x x x -=--的解为（ ）A 2B. 3C. 4D. 59. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度“会圆术”．如图， AB 是以点O 为圆心、OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MNAB ⊥．“会圆术”给出 AB 的弧长l 的近似值计算公式：2MN l AB OA=+．当4OA =，60AOB ∠=︒时，则l 的值为（ ）A. 11-B. 11-C. 8-D. 8-10. 如图，边长为6的正方形ABCD 中，M 为对角线BD 上的一点，连接AM 并延长交CD 于点P ．若PM PC =，则AM的长为（ ）.的A. )31-B. ()32-C. )61D. ()6211. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在y ，x 轴上，BC x ⊥轴．点M 、N 分别在线段BC 、AC 上，BM CM =，2NC AN =，反比例函数()0k y x x=>的图象经过M 、N 两点，P 为x 正半轴上一点，且:1:4OP BP =，APN 的面积为3，则k 的值为（ ）A.454B.458C.14425D.722512. 如图，ABC 和ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，把ADE 以A 为中心顺时针旋转，点M 为射线BD 、CE的交点．若AB =，1AD =．以下结论：①BD CE =；②BD CE ⊥；③当点E 在BA的延长线上时，MC =；④在旋转过程中，当线段MB 最短时，MBC 面积为12．其中正确结论有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．的13. 在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是___________．14. 分解因式：x 3﹣6x 2+9x =___．15. 若关于x 的方程()22140x m x m -+++=两根的倒数和为1，则m 的值为___________．16. 若关于x 的不等式组2151922x x a x x +>+⎧⎪⎨+≥-⎪⎩①②所有整数解的和为14，则整数a 的值为___________．17. 如图，M 是正方形ABCD 边CD 的中点，P 是正方形内一点，连接BP ，线段BP 以B 为中心逆时针旋转90︒得到线段BQ ，连接MQ ．若4AB =，1MP =，则MQ 的最小值为___________．18. 如图，抛物线2y ax bx c =++经过点()30A -,，顶点为()1,M m -，且抛物线与y 轴的交点B 在()02-，和()03-，之间（不含端点），则下列结论：①当31x -≤≤时，1y ≤；②当ABMa =③当ABM 为直角三角形时，在AOB 内存在唯一点P ，使得PA PO PB ++的值最小，最小值的平方为18+．其中正确的结论是___________．（填写所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19.计算（1）计算：012tan 4512⎛⎫︒-- ⎪⎝⎭．（2）化简：211224x x x x ⎛⎫-÷⎪-+-⎝⎭．20. 已知：如图，AB DE ∥，AB DE =，AF DC =．求证：B E ∠=∠．21. 某校举办“我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解该校九年级学生周末在家的劳动情况，随机调查了九年级1班的所有学生在家劳动时间（单位：小时），并进行了统计和整理绘制如图所示的不完整统计图．根据图表信息回答以下问题：类别劳动时间xA 01x ≤<B 12x ≤<C 23x ≤<D 34x ≤<E4x≤（1）九年级1班的学生共有___________人，补全条形统计图；（2）若九年级学生共有800人，请估计周末在家劳动时间在3小时及以上学生人数；（3）已知E 类学生中恰好有2名女生3名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用列表或画树状图的方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．22. 渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如图1），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离CD ，如图2．在桥面上点A的处，测得A 到左桥墩D 的距离200AD =米，左桥墩所在塔顶B 的仰角45BAD ∠=︒，左桥墩底C 的俯角15CAD ∠=︒，求CD 的长度．（结果精确到1 1.41≈ 1.73≈）23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角三角形ABC 的直角顶点()30C ，，顶点A 、()6B m ，恰好落在反比例函数ky x=第一象限的图象上．（1）分别求反比例函数的表达式和直线AB 所对应的一次函数的表达式；（2）在x 轴上是否存在一点P ，使ABP 周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．24. 如图，以AB 为直径的O 上有两点E 、F ， BEEF =，过点E 作直线CD AF ⊥交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C ，过C 作CM 平分ACD ∠交AE 于点M ，交BE 于点N ．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）求证：EM EN =；（3）如果N 是CM 的中点，且AB =，求EN 的长．25. 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()4,0A -、()2,0B ，且经过点()2,6C -．（1）求抛物线的表达式；（2）在x 轴上方的抛物线上任取一点N ，射线AN 、BN 分别与抛物线的对称轴交于点P 、Q ，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，求APQ '△的面积；（3）点M 是y 轴上一动点，当AMC ∠最大时，求M 的坐标．宜宾市2023年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试数学（考试时间：120分钟，全卷满分：150分）注意事项：1．答题时，务必将自己的姓名、座位号，准考证号填写在答题卡指定的位置并将答题卡背面座位号对应标号涂黑．2．答选择题时，务必使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效．一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．1. 2的相反数是（ ）A. 2 B. －2C.12D. 12-【答案】B 【解析】【详解】2的相反数是-2.故选：B.2. 下列计算正确的是（ ）A. 422a a -= B. 235ab ba ab +=C. 23a a a += D. 22532x y xy xy-=【答案】B 【解析】【分析】根据整式的加减计算即可．【详解】A 、422a a a -=，不符合题意；B 、23235ab ba ab ab ab +=+=，符合题意；C 、2,a a 不是同类项，无法计算，不符合题意；D 、225,3x y xy -，不同类项，无法计算，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握同类项的判定与合并是解题的关键．3. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A 、是轴对称图形但不是中心对称图形，故A 选项不符合题意；B 、是中心对称图形但不是轴对称图形，故B 选项不合题意；C 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C 选项不合题意；D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D 选项符合题意．故选D ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.4. 为积极践行节能减排的发展理念，宜宾大力推进“电动宜宾”工程，2022年城区已建成充电基础设施接口超过8500个．将8500用科学记数法表示为（ ）A. 40.8510⨯ B. 28510⨯ C. 38.510⨯ D.48.510⨯【答案】C 【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数，比位数少1位，按要求表示即可．是【详解】解：根据科学记数法要求，8500共有4位数，从而用科学记数法表示为38.510⨯，故选：C ．【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定a 与n 的值是解决问题的关键．5. 如图， AB CD ∥，且40A ∠=︒，24D ∠=︒，则E ∠等于（ ）A. 40︒B. 32︒C. 24︒D. 16︒【答案】D 【解析】【分析】可求40ACD ∠=︒，再由ACD D E ∠=∠+∠，即可求解．【详解】解：AB CD ∥ ，40ACD A ∴∠=∠=︒，ACD D E ∠=∠+∠ ，2440E ∴︒+∠=︒，16E ∴∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．6. “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有x 只，兔有y 只，则所列方程组正确的是（ ）A. 354294x y x y +=⎧⎨+=⎩ B. 352494x y x y +=⎧⎨+=⎩ C. 944235x y x y +=⎧⎨+=⎩ D.942435x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由设鸡有x 只，兔有y 只，则由等量关系有35个头和有94条腿列出方程组即可得到答案．【详解】解：设鸡有x 只，兔有y 只，则由题意可得352494x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选：B ．【点睛】本题考查列二元一次方程组解决古代数学问题，读懂题意，找准等量关系列方程组是解决问题的关键．7. 如图，已知点A B C 、、在O 上，C 为 AB 的中点．若35BAC ∠=︒，则AOB ∠等于（ ）A. 140︒B. 120︒C. 110︒D. 70︒【答案】A【解析】【分析】连接OC ，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案．【详解】解：连接OC ，如图所示：点A B C 、、在O 上，C 为 AB 的中点，BC AC ∴=，12BOC AOC AOB ∴∠=∠=∠， 35BAC ∠=︒，根据圆周角定理可知270BOC BAC ∠=∠=︒，2140AOB BOC ∴∠=∠=︒，故选：A ．【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．8. 分式方程2233x x x -=--的解为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】根据分式方程的解法直接求解即可得到答案．【详解】解：2233x x x -=--，方程两边同时乘以()3x -得到22x -=，4x ∴=，检验：当4x =时，34310x -=-=≠，4x ∴=是原分式方程的解，故选：C ．【点睛】本题考查分式方程的解法，对于分式方程求解验根是解决问题的关键步骤．9. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图， AB 是以点O 为圆心、OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MN AB ⊥．“会圆术”给出 AB 的弧长l 的近似值计算公式：2MN l AB OA=+．当4OA =，60AOB ∠=︒时，则l 的值为（ ）A. 11-B. 11-C. 8-D.8-【答案】B【解析】【分析】连接ON ,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可．【详解】连接ON ，根据题意， AB 是以点O 为圆心、OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MN AB ⊥，得ON AB ⊥，∴点M ，N ，O 三点共线，∵4OA =，60AOB ∠=︒，∴OAB 是等边三角形，∴4,60sin 60OA AB OAN ON OA ==∠=︒=︒=，，∴4,60sin 60OA AB OAN ON OA ==∠=︒=︒=，∴()2244114MN l AB OA -=+=+=-故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键．10. 如图，边长为6的正方形ABCD 中，M 为对角线BD 上的一点，连接AM 并延长交CD 于点P ．若PM PC =，则AM 的长为（ ）A. )31-B. ()32-C. )61D. ()62-【答案】C【解析】【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出ADM CDM ≅ ，根据全等三角形的性质可得DAM DCM ∠=∠，再根据等腰三角形的性质可得CMP DCM ∠=∠，从而可得30DAM ∠=︒，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求解即可得．【详解】解： 四边形ABCD是边长为6的正方形，6,90,45AD CD ADC ADM CDM ∴==∠=︒∠=∠=︒，在ADM △和CDM V 中，45DM DM ADM CDM AD CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()SAS ADM CDM ∴≅ ，DAM DCM ∴∠=∠，PM PC = ，CMP DCM ∴∠=∠，22APD CMP DCM DCM DAM ∴∠=∠+∠=∠=∠，又18090APD DAM ADC ∠+∠=︒-∠=︒ ，30DAM ∴∠=︒，设PD x =，则22AP PD x ==，6PM PC CD PD x ==-=-，6AD ∴===，解得x =，66PM x ∴=-=-2AP x ==，()661AM AP PM ∴=-=-=，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在y ，x 轴上，BC x ⊥轴．点M 、N 分别在线段BC 、AC 上，BM CM =，2NC AN =，反比例函数()0k y x x =>的图象经过M 、N 两点，P 为x 正半轴上一点，且:1:4OP BP =，APN 的面积为3，则k 的值为（ ）A. 454 B. 458 C. 14425 D. 7225【答案】B【解析】【分析】过点N 作NQ x ⊥轴于点Q ，设点A 的坐标为()()0,0A a a >，点M 的坐标为()()5,0,0M b c b c >>，点N 的坐标为()(),0,0N m n m n >>，则()5,2C b c ，OA a =，5OB b =，先求出点N 的坐标为522,33b a c N +⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据3APN AOP NPQ OANQ S S S S =--= 梯形可得29ab bc +=，然后将点,M N 的坐标代入反比例函数的解析式可得27a c =，从而可得bc 的值，由此即可得．【详解】解：如图，过点N 作NQ x ⊥轴于点Q ，设点A 的坐标为()()0,0A a a >，点M 的坐标为()()5,0,0M b c b c >>，点N 的坐标为()(),0,0N m n m n >>，则()5,2C b c ，OA a =，5OB b =，:1:4OP BP = ，,4OP b BP b ∴==，2NC AN = ，()()5202223b m m n c a c ⎧-=-⎪∴⎨-=-⎪⎩，解得53223b m a c n ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，522,33b a c N +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，522,33b ac OQ NQ +∴==，23b PQ OQ OP ∴=-=，APN 的面积为3，3AOP NPQ OANQ S S S ∴--= 梯形，即15221122232332233a c b a c b a ab ++⎛⎫⨯+--⨯⋅= ⎪⎝⎭，整理得：29ab bc +=，将点()5225,,,33b a c M b c N +⎛⎫ ⎪⎝⎭代入k y x =得：522533b a c k bc +==⋅，整理得：27a c =，将27a c =代入29ab bc +=得：79bc bc +=，解得98bc =，则4558k bc ==，故选：B ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数的性质，正确求出点N 的坐标是解题关键．12. 如图，ABC 和ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，把ADE 以A 为中心顺时针旋转，点M 为射线BD 、CE 的交点．若AB =，1AD =．以下结论：①BD CE =；②BD CE ⊥；③当点E 在BA 的延长线上时，MC =；④在旋转过程中，当线段MB 最短时，MBC 的面积为12．其中正确结论有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】证明BAD CAE ≌即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明DCM ECA ∠∠∽=A 为圆心，AD 为半径画圆，当CE 在A 的下方与A 相切时，MB 的值最小，可得四边形AEMD 是正方形，在Rt MBC 中MC =1=+，然后根据三角形的面积公式即可判断④．【详解】解：∵ABC 和ADE 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，∴,,90BA CA DA EA BAC DAE ==∠=∠=︒，∴BAD CAE ∠=∠，∴BAD CAE ≌，∴ABD ACE ∠=∠，BD CE =，故①正确；设ABD ACE α∠=∠=，∴45DBC α∠=︒-,∴454590EMB DBC BCM DBC BCA ACE αα∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒-+︒+=︒，∴BD CE ⊥，故②正确；当点E 在BA 的延长线上时，如图所示∵DCM ECA ∠=∠，90DMC EAC ∠=∠=︒，∴DCM ECA∠∠∽∴MC CD AC EC=∵AB =，1AD =．∴1CD AC AD =-=-，2CE ===∴MC =，故③正确；④如图所示，以A 为圆心，AD 为半径画圆，∵90BMC ∠=︒，∴当CE 在A 的下方与A 相切时，MB 的值最小， 90ADM DAE AEM ∠=∠=∠=︒∴四边形AEMD 是矩形，又AE AD =，∴四边形AEMD 是正方形，∴1MD AE ==，∵BD EC ===，∴1MB BD MD =-=，在Rt MBC中，MC =∴PB取得最小值时，MC =1==+∴)11111222BMC S MB MC =⨯=-= 故④正确，故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．13. 在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是___________．【答案】79【解析】【分析】根据有序数组中间的一个数据或中间两个数据的平均数是中位数计算即可．【详解】将这组数据从小到大排列为：77，77，79，79，80，80，80，中间数据是79，故中位数是79．故答案为：79．【点睛】本题考查了中位数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．14. 分解因式：x 3﹣6x 2+9x =___．【答案】x （x ﹣3）2【解析】详解】解：x 3﹣6x 2+9x=x （x 2﹣6x +9）=x （x ﹣3）2故答案为：x （x ﹣3）2【15. 若关于x 的方程()22140x m x m -+++=两根的倒数和为1，则m 的值为___________．【答案】2【解析】【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：设方程的两个根分别为a ，b ，由题意得：()+2+1a b m =，4ab m =+，∴()2+111+++4m a b a b ab m ==，∴()2+11+4m m =，解得：2m =，经检验：2m =是分式方程的解，检验：()()()()22Δ2144421424120m m =-+-+=⨯+-⨯+=>⎡⎤⎣⎦，∴2m =符合题意，∴2m =．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．16. 若关于x 的不等式组2151922x x a x x +>+⎧⎪⎨+≥-⎪⎩①②所有整数解的和为14，则整数a 的值为___________．【答案】2或1-【解析】【分析】根据题意可求不等式组的解集为15a x -<≤，再分情况判断出a 的取值范围，即可求解．【详解】解：由①得：1x a >-，由②得：5x ≤，∴不等式组的解集为：15a x -<≤，所有整数解的和为14，①整数解为：2、3、4、5，112a ∴≤-<，解得：23a ≤<，a 为整数，2a ∴=．②整数解为：1-，0，1，2、3、4、5，211a ∴-≤-<-，解得：10a-≤<，a 为整数，1a ∴=-．综上，整数a 的值为2或1-故答案为：2或1-．【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键．17. 如图，M 是正方形ABCD 边CD 的中点，P 是正方形内一点，连接BP ，线段BP 以B 为中心逆时针旋转90︒得到线段BQ ，连接MQ ．若4AB =，1MP =，则MQ 的最小值为___________．【答案】1【解析】【分析】连接BM ，将BM 以B 中心，逆时针旋转90︒，M 点的对应点为E ，由 P 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的半圆，可得：Q 的运动轨迹是以E 为圆心，1为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当M 、Q 、E 三点共线时，MQ 的值最小，可求ME ==，从而可求解．【详解】解，如图，连接BM ，将BM 以B 中心，逆时针旋转90︒，M 点的对应点为E ，P 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的半圆，∴Q 的运动轨迹是以E 为圆心，1为半径的半圆，如图，当M 、Q 、E 三点共线时，MQ 的值最小，四边形ABCD 是正方形，4CD AB BC ∴===，90C ∠=︒，M 是CM 中点，2CM ∴=，BM ∴===，由旋转得：BM BE =，ME ∴==，MQ ME EQ ∴=-1=-，∴MQ值最小为1．故答案：1．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．18. 如图，抛物线2y ax bx c =++经过点()30A -,，顶点为()1,M m -，且抛物线与y 轴的交点B 在()02-，和()03-，之间（不含端点），则下列结论：①当31x -≤≤时，1y ≤；②当ABMa =③当ABM 为直角三角形时，在AOB 内存在唯一点P ，使得PA PO PB ++的值最小，最小值的平方为18+．其中正确的结论是___________．（填写所有正确结论的序号）的的【答案】②③【解析】【分析】根据条件可求抛物线与x 轴的另一交点坐标，结合图象即可判断①；设抛物线为()()13y a x x =-+，即可求出点M 的坐标，根据割补法求面积，判断②；分三种情况讨论，然后以点O 为旋转中心，将AOB 顺时针旋转60︒至'AOA ，连接'AA ，'PP ，'A B ，得到'''+PA PO PB P A PP PB A B ++=+≥，判断③．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++经过点()30A -,，顶点为()1,M m -，∴对称轴=1x -，∴抛物线与x 轴的另一交点坐标为()1,0，由图象可得：当31x -≤≤时，0y ≤；∴①错，不符合题意；∵抛物线与x 轴的另一交点坐标为()1,0，∴设抛物线为()()13y a x x =-+，当=1x -时，4y a =-，当=0x 时，3y a =-，∴()1,4M a --，()0,3B a -，如图所示，过点M 作平行于y 轴的直线l ，过点A 作AE l ⊥，过点B 作BN l ⊥，∴12ABM AMF BMF S S S MF AO =+=⨯⨯V V V ，设直线AB 的解析式为''y k x b =+，把()0,3B a -，()30A -,代入得：3+03k b b a '''-=⎧⎨=-⎩，解得：3k ab a =-⎧⎨=-''⎩，∴直线AB 的解析式为3y ax a =--，当=1x -是，2y a =-，∴()1,2F a --，∴2MF a =，∴1232a ⨯⨯，解得：a =∵点B 是抛物线与y 轴的交点，∴当0x =时，3y a =-，∴()0,3B a -，∵ABM 为直角三角形，当90AMB ∠=︒时，∴222AM BM AB +=，∵AM =，BM =，AB =∴222416199a a a +++=+，整理得：284a =，解得：a =（舍）∴0,B ⎛ ⎝，当90ABM ∠=︒时，∴222AB BM AM +=，∴222416991a a a +=+++，整理得：266a =解得：1a =或1-（舍）∴()0,3B -，当90MAB ∠=︒时，∴222AB AM BM +=，∴222416199a a a +++=+，无解；以点O 为旋转中心，将AOB 顺时针旋转60︒至'AOA ，连接'AA ，'PP ，'A B ，如图所示，则'AOA ，'POP 为等边三角形，∴'OP PP =，'AP AP =，∴+PA PO PB P A PP PB A B ''''++=+≥，∵'AOA 为等边三角形，()30A -,∴'32A x -=，'3tan 602A y ⨯︒=，∴'32A -æççççè，当0,B ⎛ ⎝时，∵22'235424A B æöç÷=+=+ç÷ç÷èø， 当()0,3B -时，22'233182A B öæö÷ç÷÷=+=+ç÷÷ç÷÷èøø，∴PA PO PB ++的值最小，最小值的平方为18+，故③正确；故答案为：②③．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，综合性较强，难度较大，扎实的知识基础是关键．三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19. 计算（1）计算：012tan 4512⎛⎫︒-- ⎪⎝⎭．（2）化简：211224x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭．【答案】（1） （2）4x【解析】【分析】（1）根据特殊角的锐角三角函数、零指数幂、绝对值化简计算即可；（2）根据分式化简运算规则计算即可．【小问1详解】解：原式211⨯⨯=【小问2详解】解：原式()()()()2+2242+22+2x x x x x x x x⎛⎫--=-⨯ ⎪ ⎪--⎝⎭22444x x x -=⨯-4x=【点睛】本题考查了实数的混合运算与分式化简以及特殊角三角函数，熟记运算法则是关键．20. 已知：如图，AB DE ∥，AB DE =，AF DC =．求证：B E ∠=∠．【答案】见解析【解析】【分析】根据平行线的性质得出A D ∠=∠，然后证明AC DF =，证明()SAS ABC DEF ≌△△，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：∵AB DE ∥，∴A D ∠=∠，∵AF DC =，∴AF CF DC CF+=+即AC DF =在ABC 与DEF 中AC DF A D AB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABC DEF ≌△△，∴B E ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．21. 某校举办“我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解该校九年级学生周末在家的劳动情况，随机调查了九年级1班的所有学生在家劳动时间（单位：小时），并进行了统计和整理绘制如图所示的不完整统计图．根据图表信息回答以下问题：类别劳动时间xA 01x ≤<B 12x ≤<C 23x ≤<D 34x ≤<E4x≤（1）九年级1班学生共有___________人，补全条形统计图；（2）若九年级学生共有800人，请估计周末在家劳动时间在3小时及以上的学生人数；（3）已知E 类学生中恰好有2名女生3名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用列表或画树状图的方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．【答案】（1）50，条形统计图见解析 （2）208人的（3）35【解析】【分析】（1）利用C 类人数除以对应的百分比即可得到九年级1班的总人数，再分别求出B 和D 的人数，补全统计图即可；（2）用九年级学生总人数乘以九年级1班周末在家劳动时间在3小时及以上的学生占的比值即可得到答案；（3）根据题意列出表格，利用满足要求的情况数除以总的情况数即可得到答案．【小问1详解】解：由题意得到，1530%50÷=（人），故答案为：50类别B 的人数为5028%14⨯=（人），类别D 的人数为508141558----=（人），补全条形统计图如下：【小问2详解】由题意得，8580020850+⨯=（人），即估计周末在家劳动时间在3小时及以上的学生人数为208人；【小问3详解】列表如下：女1女2男1男2男3女1女1，女2女1，男1女1，男2女1，男3女2女2，女1女2，男1女2，男2女2，男3男1男1，女1男1，女2男1，男2男1，男3男2男2，女1男2，女2男2，男1男2，男3男3男3，女1男3，女2男3，男1男3，男2由表格可知，共有20种等可能的情况，其中一男一女共有12种，∴所抽的两名学生恰好是一男一女的概率是123205=．【点睛】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、用树状图或列表法求概率、样本估计总体等知识，熟练掌握用树状图或列表法求概率、样本估计总体是解题的关键．22. 渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如图1），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离CD ，如图2．在桥面上点A 处，测得A 到左桥墩D 的距离200AD =米，左桥墩所在塔顶B 的仰角45BAD ∠=︒，左桥墩底C 的俯角15CAD ∠=︒，求CD 的长度．（结果精确到1 1.41≈ 1.73≈）【答案】CD 的长度54米【解析】【分析】AD 上截取AE ，使得AE EC =，设CD x =，在Rt ECD △中，ED =，2EC x =，则)2AD AE ED x =+=+，进而即可求解．【详解】解：如图所示，AD 上截取AE ，使得AE EC =，∴EAC ECA =∠∠，∵15CAD ∠=︒∴230CED EAC ∠=∠=︒，设CD x =，在Rt ECD △中，ED =，2EC x =∴)2AD AE ED x=+=又200AD =∴)2002x=∴(()20022002 1.7354x ==-≈⨯-=即54CD =米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角三角形ABC 的直角顶点()30C ，，顶点A 、()6B m ，恰好落在反比例函数ky x=第一象限的图象上．（1）分别求反比例函数的表达式和直线AB 所对应的一次函数的表达式；（2）在x 轴上是否存在一点P ，使ABP 周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6y x =，142y x =-+（2）在x 轴上存在一点()5,0P ，使ABP 周长的值最小,最小值是+【解析】【分析】（1）过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，证明()AAS ACE CBD ≌，则3,CD AE BD EC m ====，由3OE m =-得到点A 的坐标是()3,3m -，由A 、()6B m ，恰好落在反比例函数ky x=第一象限的图象上得到()336m m -=，解得1m =，得到点A 的坐标是()2,3，点B 的坐标是()6,1，进一步用待定系数法即可得到答案；（2）延长AE 至点A '，使得EA AE '=，连接A B '交x 轴于点P ，连接AP ，利用轴对称的性质得到AP A P '=，()2,3A '-，则AP PB A B '+=，由AB =AB 是定值，此时ABP 的周长为AP PB AB AB A B '++=+最小，利用待定系数法求出直线A B '的解析式，求出点P 的坐标，再求出周长最小值即可．【小问1详解】解：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，则90AEC CDB ∠=∠=︒，∵点()30C ，，()6B m ，，∴3,6,OC OD ==BD m =，∴3CD OD OC =-=，∵ABC 是等腰直角三角形，∴90,ACB AC BC ∠=︒=，∵90ACE BCD CBD BCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACE CBD ∠=∠，∴()AAS ACE CBD ≌，∴3,CD AE BD EC m ====，∴3OE OC EC m =-=-，∴点A 的坐标是()3,3m -，∵A 、()6B m ，恰好落在反比例函数ky x=第一象限的图象上．∴()336m m -=，解得1m =，∴点A 的坐标是()2,3，点B 的坐标是()6,1，∴66k m ==，∴反比例函数的解析式是6y x=，设直线AB 所对应的一次函数的表达式为y px q =+，把点A 和点B 的坐标代入得，2361p q p q +=⎧⎨+=⎩，解得124p q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线AB 所对应的一次函数的表达式为142y x =-+，【小问2详解】延长AE 至点A '，使得EA AE '=，连接A B '交x 轴于点P ，连接AP，∴点A 与点A '关于x 轴对称，∴AP A P '=，()2,3A '-，∵AP PB A P PB A B ''+=+=，∴AP PB +的最小值是A B '的长度，∵AB ==AB 是定值，∴此时ABP 的周长为AP PB AB AB A B '++=+最小，设直线A B '的解析式是y nx t =+，则2361n t n t +=-⎧⎨+=⎩，解得15n t =⎧⎨=-⎩，∴直线A B '的解析式是5y x =-，当0y =时，05x =-，解得5x =，即点P 的坐标是()5,0，此时AP PB AB AB A B '++=+==+，综上可知，在x 轴上存在一点()5,0P ，使ABP 周长的值最小，最小值是+【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．24. 如图，以AB 为直径的O 上有两点E 、F ， BEEF =，过点E 作直线CD AF ⊥交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C ，过C 作CM 平分ACD ∠交AE 于点M ，交BE 于点N ．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）求证：EM EN =；（3）如果N 是CM 的中点，且AB =，求EN 的长．【答案】（1）见解析（2）见解析 （3）6【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出12∠=∠，根据OA OE =，得出13∠=∠，则23∠∠=可得OE AF ∥，根据已知CD AF ⊥，得出OE CD ⊥，即可得证；（2）根据角平分线的定义得出1562DCA ∠=∠=∠，又1122DAC ∠=∠=∠，根据三角形内角和定理得出EMC =∠45︒，由AB 是O 的直径，即可得证；（3）取EC 的中点P ，连接PN ，证明BEC OAE ∠=∠，由N 是MC 的中点，P 是EC 的中点，得出11,22PN EM PN EM EN ==∥，进而得出1tan 2PN PEN EN ∠==，设BE b =，则2AE b =，勾股定理得出18AE =，9EB =,证明ECB ACE ∽得出2AE CE EB CB==，根据角平分线的性质得出2EN EC BN BC ==，即可求解．【小问1详解】证明：如图所示，∵ BEEF =，∴12∠=∠，∵OA OE=∴13∠=∠，。

上海市2023年中考数学试卷一、单选题1．下列运算正确的是（）A．B．C．D．2．在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（）A．B．C．D．3．下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（）A．B．C．D．4．如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（）A．小车的车流量与公车的车流量稳定；B．小车的车流量的平均数较大；C．小车与公车车流量在同一时间段达到最小值；D．小车与公车车流量的变化趋势相同．5．在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（）A．B．C．D．6．已知在梯形中，连接，且，设．下列两个说法：①；②则下列说法正确的是（）A．①正确②错误B．①错误②正确C．①②均正确D．①②均错误二、填空题7．分解因式：．8．化简：的结果为．9．已知关于的方程，则10．函数的定义域为．11．已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是．12．在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为．13．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为．14．一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是．15．如图，在中，点D，E在边，上，，连结，设向量，，那么用，表示．16．垃圾分类（Refuse sorting），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为．17．如图，在中，，将绕着点A旋转，旋转后的点B落在上，点B的对应点为D，连接是的角平分线，则．18．在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是．三、解答题19．计算：20．解不等式组21．如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且．（1）求的半径；（2）求的正切值．22．“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完．（1）他实际花了多少钱购买会员卡？（2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？23．如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，（1）求证：（2）若，求证：24．在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B．（1）求点A，B的坐标；（2）求b，c的值；（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．25．如图（1）所示，已知在中，，在边上，点边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．（1）如果，求证：四边形为平行四边形；（2）如图（2）所示，联结，如果，求边的长；（3）联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值．答案1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】8．【答案】29．【答案】1810．【答案】11．【答案】12．【答案】13．【答案】1814．【答案】（答案不唯一）15．【答案】16．【答案】1500吨17．【答案】18．【答案】19．【答案】解：原式．20．【答案】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，则不等式组的解集为．21．【答案】（1）解：如图，延长，交于点，连接，由圆周角定理得：，弦的长为8，且，，解得，的半径为．（2）解：如图，过点作于点，的半径为5，，，，，，即，解得，，，则的正切值为．22．【答案】（1）解：由题意知，（元），答：实际花了900元购买会员卡；（2）解：由题意知，，整理得，∴y关于x的函数解析式为；（3）解：当，则，∵，∴优惠后油的单价比原价便宜元．23．【答案】（1）证明：，，在和中，，，．（2）证明：，，，即，在和中，，，，由（1）已证：，，．24．【答案】（1）解：∵直线与x轴交于点A，y轴交于点B，当时，代入得：，故，当时，代入得：，故，（2）解：设，则可设抛物线的解析式为：，∵抛物线M经过点B，将代入得：，∵，即，∴将代入，整理得：，故，；（3）解：如图：∵轴，点P在x轴上，∴设，，∵点C，B分别平移至点P，D，∴点，点向下平移的距离相同，∴，解得：，由（2）知，∴，∴抛物线N的函数解析式为：，将代入可得：，∴抛物线N的函数解析式为：或．25．【答案】（1）证明：∵∴∵∴，∴∵是的中点，，∴是的中位线，∴，即，∴四边形是平行四边形；（2）解：∵，点边中点，设，，则由（1）可得∴，∴，又∵∴，∴即，∵，在中，，∴，∴解得：或（舍去）∴；（3）解：①当时，点与点重合，舍去；②当时，如图所示，延长交于点P，∵点是的中点，，∴，设，∵∴，∴，设，∵∴，∴，∴，∴，连接交于点，∵，∴∴，∴，在与中，，，∴，又，∴，∴，∴，∴，，∴．。

2023年杭州市中考数学试卷(附答案详解)
第一部分：选择题
1. 题目1内容
A. 选项A
B. 选项B
C. 选项C
D. 选项D
正确答案：B
解析：在题目中可以得出选项B是正确答案的依据。

2. 题目2内容
A. 选项A
B. 选项B
C. 选项C
D. 选项D
正确答案：C
解析：根据题目给出的信息，可以得出选项C是符合条件的答案。

第二部分：填空题
3. 题目3内容：__________等于10。

答案：5
解析：通过填入5可以使等式成立。

4. 题目4内容：正方形的边长是__________米。

答案：8
解析：根据正方形的性质，边长相等。

第三部分：解答题
5. 题目5内容：请用运算法则计算下列算式。

1 +
2 ×
3 - 4
答案：3
解析：根据运算法则，先进行乘法，然后再进行加法和减法运算。

6. 题目6内容：请利用平行线的性质解决以下问题。

平行线AB和CD之间的夹角是多少度？
答案：60度
解析：根据平行线之间的夹角性质，夹角的度数为60度。

以上是2023年杭州市中考数学试卷的部分内容和答案详解。

如需了解更多题目及答案，请仔细阅读试卷附带的题目解析部分。

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2023年四川省广元市中考数学真题试卷一、选择题（每小题给出的四个选项中,只有一个符合题意.每小题3分,共30分） 1. 12-的相反数是（ ） A. 2- B. 2 C. 12- D. 122. 下列计算正确的是( )A. 22ab a b -=B. 236a a a ⋅=C. 233a b a a ÷=D. 222()()4a a a +-=-3. 某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成,其俯视图如图所示,图中数字表示该位置上的小立方块个数,则这个几何体的左视图是（ ）A. B. C. D. 4. 某中学开展“读书节活动”,该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间,统计如表：下列说法错误的是（ ）A. 众数是1B. 平均数是4.8C. 样本容量是10D. 中位数是5 5. 关于x 的一元二次方程232302x x -+=根的情况,下列说法中正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定 6. 如图,AB 是O 的直径,点C ,D 在O 上,连接CD OD AC ，，,若124BOD ∠=︒,则ACD ∠的度数是（ ）A. 56︒B. 33︒C. 28︒D. 23︒7. 如图,半径为5的扇形AOB 中,90AOB ∠=︒,C 是AB 上一点,CD OA ⊥,CE OB ⊥,垂足分别为D ,E ,若CD CE =,则图中阴影部分面积为( )A. 2516πB. 258πC. 256πD. 254π 8. 向高为10的容器（形状如图）中注水,注满为止,则水深h 与注水量v 的函数关系的大致图象是（ ）A. B. C . D . 9. 近年来,我市大力发展交通,建成多条快速通道,小张开车从家到单位有两条路线可选择,路线a 为全程10千米的普通道路,路线b 包含快速通道,全程7千米,走路线b 比路线a 平均速度提高40%,时间节省10分钟,求走路线a 和路线b 的平均速度分别是多少？设走路线a 的平均速度为x 千米/小时,依题意,可列方程为（ ） A. ()10710140%60x x -=+ B. ()10710140%x x -=+ C. ()71010140%60x x -=+ D. ()71010140%x x-=+10. 已知抛物线2y ax bx c =++（a ,b ,c 是常数且a<0）过()1,0-和()0m ,两点,且34m <<,下列四个结论：0abc >①;30a c +>②;③若抛物线过点()1,4,则213a -<<-;④关于x 的方程()()13a x x m +-=有实数根,则其中正确的结论有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上．每小题4分,共24分）11.有意义,则实数x 的取值范围是______ 12. 广元市聚焦“1345”发展战略和“十四五”规划,牢牢牵住重点项目建设“牛鼻子”,《2023年广元市重点项目名单》共编列项目300个,其中生态环保项目10个,计划总投资约45亿元,将45亿这个数据用科学记数法表示为 ____________．13. 如图,a b ∥,直线l 与直线a ,b 分别交于B ,A 两点,分别以点A ,B 为圆心,大于12AB 的长为半径画弧,两弧相交于点E ,F ,作直线EF ,分别交直线a ,b 于点C ,D ,连接AC ,若34CDA ∠=︒,则CAB ∠的度数为 _____．14. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中,用如图的三角形解释二项和的乘方规律,因此我们称这个三角形为“杨辉三角”,根据规律第八行从左到右第三个数为 _____．15. 如图,在平面直角坐标系中,已知点()1,0A ,点()0,3B -,点C 在x 轴上,且点C 在点A 右方,连接AB ,BC ,若1tan 3ABC ∠=,则点C 的坐标为 _____．16. 如图,45ACB ∠=︒,半径为2的O 与角的两边相切,点P 是⊙O 上任意一点,过点P 向角的两边作垂线,垂足分别为E ,F ,设t PE =,则t 的取值范围是 _____．三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程,共96分）17. ()10220231++--．18. 先化简,再求值：222222322x y x x yy x x y xy ⎛⎫++÷ ⎪---⎝⎭,其中1x =,y = 19. 如图,将边长为4的等边三角形纸片沿边BC 上的高AD 剪成两个三角形,用这两个三角形拼成一个平行四边形．（1）画出这个平行四边形（画出一种情况即可）;（2）根据（1）中所画平行四边形求出两条对角线长．20. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作,某校开展以“文化、科技、体育、艺术、劳动”为主题的活动,其中体育活动有“一分钟跳绳”比赛项目,为了解学生“一分钟跳绳”的能力,体育老师随机抽取部分学生进行测试并将测试成绩作为样本,绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组,每小组含最小值,不含最大值）和扇形统计图,请根据统计图中提供的信息解答下列问题：（1）求第四小组的频数,并补全频数分布直方图;（2）若“一分钟跳绳”不低于160次的成绩为优秀,本校学生共有1260人,请估计该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数;（3）若“一分钟跳绳”不低于180次的成绩为满分,经测试某班恰有3名男生1名女生成绩为满分,现要从这4人中随机抽取2人去参加学校组织的“一分钟跳绳”比赛,请用画树状图或列表的方法,求所选2人都是男生的概率．21. “一缕清风银叶转”,某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上,风叶转动,风能就能转换成电能,造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组,为测量风叶的长度进行了实地测量．如图,三片风叶两两所成的角为120︒,当其中一片风叶OB 与塔干OD 叠合时,在与塔底D 水平距离为60米的E 处,测得塔顶部O 的仰角45OED ∠=︒,风叶OA 的视角30OEA ∠=︒．（1）已知α,β两角和的余弦公式为： ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-,请利用公式计算cos75︒; （2）求风叶OA 的长度．22. 某移动公司推出A ,B 两种电话计费方式．（1）设一个月内用移动电话主叫时间为t min,根据上表,分别写出在不同时间范围内,方式A ,方式B 的计费金额关于t 的函数解析式;（2）若你预计每月主叫时间为350min,你将选择A ,B 哪种计费方式,并说明理由;（3）请你根据月主叫时间t 的不同范围,直接写出最省钱的计费方式．23. 如图,已知一次函数6y kx =+的图象与反比例函数()0m y m x=>的图象交于()34A ，,B 两点,与x 轴交于点C ,将直线AB 沿y 轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D ,E ．（1）求k ,m 的值及C 点坐标;（2）连接AD ,CD ,求ACD 的面积．24. 如图,AB 为O 的直径,C 为O 上一点,连接AC BC ，,过点C 作O 的切线交AB 延长线于点D ,OF BC ⊥于点E ,交CD 于点F ．（1）求证：BCD BOE ∠=∠;（2）若3sin 5CAB ∠=,10AB =,求BD 的长． 25. 如图1,已知线段AB ,AC ,线段AC 绕点A 在直线AB 上方旋转,连接BC ,以BC 为边在BC 上方作Rt BDC ,且30DBC ∠=︒．（1）若=90BDC ∠︒,以AB 为边在AB 上方作Rt BAE △,且90AEB ∠=︒,30EBA ∠=︒,连接DE ,用等式表示线段AC 与DE 的数量关系是 ;（2）如图2,在(1)的条件下,若DE AB ⊥,4AB =,2AC =,求BC 的长;（3）如图3,若90BCD ∠=︒,4AB =,2AC =,当AD 的值最大时,求此时tan CBA ∠的值．26. 如图1,在平面直角坐标系中,已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点()2,0A -,()4,0B ,与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式;（2）已知E 为抛物线上一点,F 为抛物线对称轴l 上一点,以B ,E ,F 为顶点的三角形是等腰直角三角形,且90BFE ∠=︒,求出点F 的坐标;（3）如图2,P 为第一象限内抛物线上一点,连接AP 交y 轴于点M ,连接BP 并延长交y 轴于点N ,在点P 运动过程中,12OM ON +是否为定值？若是,求出这个定值;若不是,请说明理由．2023年四川省广元市中考数学真题试卷答案一、选择题.1. D2. D3. D4. A5. C6. C7. B8. D9. A10. B解：已知抛物线过()1,0-和()0m ,两点,则对称轴为直线()1122m m x +--==. ⊙34m <<,所以13122m -<<,即3122b a <-<,a<0,则0b >. 当=1x -时,()()2110y a b c a b c =-+-+=-+=,则0c >,所以0abc <,故结论⊙错误; 因为12b a->,所以2a b >-,32a c a a c a b c +=++>-+,即30a c +>,故结论⊙正确; 抛物线过()1,0-和()1,4两点,代入可得0a b c -+=和4a b c ++=,两式相减解得2b =,由3122b a <-<可得23122a <-<,解得213a -<<-,故结论⊙正确; 对称轴为直线12m x -=,a<0,开口向下. ⊙()()()222221111112222m m m m y a x x m a x m x m a x am a a x a ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-=+--=+--=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ⊙所以y 有最大值为212m a +⎛⎫- ⎪⎝⎭. ⊙2132m a +⎛⎫-> ⎪⎝⎭不一定成立.⊙关于x 的方程()()13a x x m +-=有实数根无法确定,故结论⊙错误．故选：B二、填空题.11. 3x >12. 94.510⨯13. 56︒14. 21 15. 904⎛⎫ ⎪⎝⎭，16. 4t ≤解：设O 与ACB ∠两边的切点分别为D,G ,连接OG OD 、,延长DO 交CB 于点H .由90OGC ODC OGH ∠=∠=∠=︒.⊙45ACB ∠=︒.⊙45OHC ∠=︒. ⊙222OH OG ==.⊙222CD DH ==+.如图,延长EP 交CB 于点Q .同理PQ =.⊙t PE =.⊙t PE PQ EQ =+=.当EQ 与O 相切时,EQ 有最大或最小值.连接OP .⊙D,E 都是切点.⊙90ODE DEP OPE ∠=∠=∠=︒. ⊙四边形ODEP 是矩形.⊙OD OP =.⊙四边形ODEP 是正方形.⊙t 的最大值为4EQ CE CD DE ==+=; 如图.同理,t 的最小值为EQ CE CD DE ==-=综上,t 的取值范围是4t ≤≤．故答案为：4t ≤≤．三、解答题.17. 418. 2xy19. （1）见解析 （2）4或2,【小问1详解】解：如图⊙或⊙或⊙..【小问2详解】解：⊙等边ABC 边4AB AC BC ===.⊙2BD DC ==.⊙AD ==如图⊙所示：可得四边形ACBD 是矩形,则其对角线长为4AB CD ==;如图⊙所示：AD =连接BC ,过点C 作CE BD ⊥于点E ,则可得四边形ACED 是矩形.⊙==EC AD 24BE BD ==.则BC == 如图⊙所示：2BD =.连接AC ,过点A 作AE BC ⊥交CB 延长线于点E ,可得四边形AEBD 是矩形. 由题意可得：2AE BD ==,28EC BC ==.故AC ==20. （1）第四小组的频数为10,补全图形见解析（2）该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数为294人（3）所选2人都是男生的概率为12．【小问1详解】解：样本容量是1220%60÷=（人）.第四组的人数是：606121810410-----=（人）. 补全统计图如图： ;【小问2详解】解：该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数为104126029460+⨯=（人）; 【小问3详解】解：画树状图：共有12种等可能的结果数,其中抽到的2人都是男生的结果数为6.所以抽到的2人都是男生的概率为61122=． 21. （1（2）风叶OA的长度为()60米【小问1详解】解：由题意可得：()cos75cos 4530︒=︒+︒.⊙()1cos 4530cos 45cos30sin 45sin302︒+︒=︒︒-︒︒==; 【小问2详解】解：过点A 作AF DE ⊥,连接AC ,OG AC ⊥,如图所示.由题意得：60DE =米,45OED ∠=︒.⊙cos 45DE OE ===∠︒,45DOE ∠=︒. ⊙三片风叶两两所成的角为120︒.⊙120DOA ∠=︒.⊙1204575AOE ∠=︒-︒=︒.又⊙30OEA ∠=︒.⊙180753075OAE ∠=︒-︒-︒=︒.⊙OAE AOE ∠=∠.⊙OE AE ==.⊙30OEA ∠=︒,45OED ∠=︒.⊙75AED ∠=︒.由（1）得：cos 75︒=⊙cos7530EF AE =⨯︒=米.⊙()603090DF DE EF =-=-=-.⊙AF DE ⊥,OG AC ⊥,OD DE ⊥.⊙四边形DFAG 是矩形.⊙90AG DF ==-.⊙三片风叶两两所成的角为120︒,且三片风叶长度相等.⊙30OAG ∠=︒.⊙()60cos30AG OA ===︒米. ⊙风叶OA的长度为()60米．22. （1）见解析;（2）选方式B 计费,理由见解析;（3）见解析．【小问1详解】解：根据题意,设两种计费金额分别为1y ,2y当200t ≤时,方式A 的计费金额为78元,方式B 的计费金额为108元; 500,t 200＜≤方式A 的计费金额178(200)0.250.2528y t t =+-⨯=+,方式B 的计费金额为108元; 当500t ＞时,方式A 的计费金额为10.2528y t =+,方式B 的计费金额为2108(500)0.190.1913y t t =+-⨯=+ 总结如下表：【小问2详解】解：当350t =时,10.2535028115.5y =⨯+=2108y =12y y ＞,故选方式B 计费．【小问3详解】解：令1108y ≤,有0.2528108t +≤解得320t ≤⊙当320t ＜时,方式A 更省钱;当320t =时,方式A 和B 金额一样;当320t ＞时,方式B 更省钱．23. （1）23k =-;12m =;()9,0C （2）9ACD S =△【小问1详解】解：把点()34A ，代入6y kx =+和()0m y m x=>得： 364k +=,43m =. 解得：23k =-,12m =. ⊙AB 的解析式为263y x =-+,反比例函数解析式为12y x=. 把0y =代入263y x =-+得：2063x =-+. 解得：9x =.⊙点C 的坐标为()9,0;【小问2详解】解：延长DA 交x 轴于点F ,如图所示：将直线AB 沿y 轴向上平移3个单位长度后解析式为：2263933y x x =-++=-+. 联立29312y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 解得：11328x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩,22121x y =⎧⎨=⎩. ⊙点382,D ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设直线AD 的解析式为11y k x b =+,把382,D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()34A ，代入得： 111138234k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩. 解得：118312k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.⊙直线AD 的解析式为8123y x =-+. 把0y =代入8123y x =-+得80123x =-+. 解得：92x =.⊙点F 的坐标为902,⎛⎫ ⎪⎝⎭. ⊙99922CF =-=. ⊙ACD CDF CAF S S S =-1919842222=⨯⨯-⨯⨯ 9=．24. （1）见解析 （2）BD 的长为907． 【小问1详解】证明：连接OC .⊙AB 为O 的直径.⊙90ACO OCB ACB ∠+∠=∠=︒.⊙OC OA =.⊙OCA OAC ∠=∠.⊙90OAC OCB ∠+∠=︒.⊙CD 是O 的切线.⊙90BCD OCB OCD ∠+∠=∠=︒.⊙BCD OAC ∠=∠.⊙OF BC ⊥.⊙90OFB ACB ∠=∠=︒.⊙OE AC ∥.⊙BOE OAC ∠=∠.⊙BCD BOE ∠=∠;【小问2详解】解：⊙AB 为O 的直径.⊙90ACB ∠=︒. ⊙3sin 5CAB ∠=,10AB =. ⊙3sin 5BC CAB AB ∠==. ⊙6BC =,8AC ==.设BD x =,则10AD x =+.由（1）得BCD CAD ∠=∠.又D D ∠=∠.⊙BCD CAD ∽△△. ⊙BC CD BD AC AD CD ==,即6810CD x x CD==+. 整理得()91016x x +=. 解得907x =. ⊙BD 的长为907． 25. （1）AC =; （2）BC = ; （3）5 【小问1详解】解：在Rt BDC 中,30DBC ∠=︒,Rt BAE △,且90AEB ∠=︒,30EBA ∠=︒. ⊙ABE CBD △∽△,DBE EBC ABC EBC ∠+∠=∠+∠,cos BE AB ABE AB =⨯∠= ⊙AB BE BC BD=,DBE CBA ∠=∠ ⊙ABC EBD ∽△△⊙32AC AB DE BE ===⊙AC =.故答案为：AC =． 【小问2详解】⊙Rt BAE △,且90AEB ∠=︒,30EBA ∠=︒,4AB =⊙1sin 22AE AB EBA AB =⋅∠==,60=︒∠BAE . 延长DE 交AB 于点F ,如图所示.⊙DE AB ⊥.⊙90BFD DFA ∠=∠=︒.⊙在Rt AEF 中,sin 2EF AE BAE =⨯∠==112AF AE ==. ⊙413BF AB AF =-=-=.由（1）可得AC =.⊙2DE AC ==.⊙DF DE EF =+=在Rt BFD 中,BD ===. ⊙ABC EBD ∽△△.⊙BC AC BD DE ==.⊙3BC ==⊙BC =;【小问3详解】解：如图所示,以AB 为边在AB 上方作Rt BAE △,且90EAB ∠=︒,30EBA ∠=︒,连接BE ,EA ,,ED EC .同（1）可得BDE BCA ∽则233DE BDAC BC==.⊙2AC=,则433DE=.在Rt AEB中,4AB=,343tan433AE AB EBA=⨯∠=⨯=.⊙D在以E为圆心,433为半径的圆上运动.⊙当点,,A E D三点共线时,AD的值最大,此时如图所示,则833AD AE DE=+=.在Rt△ABD中,3BD===⊙cos7ADBDABD∠===,sin7ABBDABD∠===.⊙ABC EBD∽△△.⊙BDE BCA∠=∠.过点A作AF BC⊥,于点F.⊙cos277CF AC ACB=⨯∠=⨯=,sin7AF AC ACB=⨯∠=.⊙30DBC∠=︒.⊙223BC BD===.⊙BF BC CF=-==.Rt AFB 中,tan 5AF CBA FB ∠===． 26. （1）2142y x x =-++ ;（2）()1,1F 或()1,5F -或()1,3F - ; （3）162OM ON +=,理由见解析 【小问1详解】解：将点()2,0A -,()4,0B ,代入24y ax bx =++ 得424016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得：121a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.⊙抛物线解析式为2142y x x =-++; 【小问2详解】⊙点()2,0A -,()4,0B .⊙抛物线的对称轴为直线l ：2412x -+==. 如图所示,设l 与x 交于点G ,过点E 作ED l ⊥于点D⊙以B ,E ,F 为顶点的三角形是等腰直角三角形,且90BFE ∠=︒. ⊙EF BF =.⊙90DFE BFG GBF ∠=︒-∠=∠.⊙DFE GBF ≌.⊙,GF DE GB FD ==.设()F 1,m ,则DE m =,3DG DF FG GB FG m =+=+=+⊙()1,3E m m ++.⊙E 点在抛物线2142y x x =-++上 ⊙()()2131142m m m +=-++++ 解得：3m =-（舍去）或1m =,⊙()1,1F .如图所示,设l 与x 交于点G ,过点E 作ED l ⊥于点D⊙以B ,E ,F 为顶点的三角形是等腰直角三角形,且90BFE ∠=︒. ⊙EF BF =.⊙90DFE BFG GBF ∠=︒-∠=∠.⊙DFE GBF ≌.⊙,GF DE GB FD ==.设()F 1,m ,则DE m =,3DG DF FG GB FG m =+=+=- ⊙()1,3E m m --.⊙E 点在抛物线2142y x x =-++上 ⊙()()2131142m m m -=--+-+ 解得：3m =（舍去）或5m =-.⊙()1,5F -.当E 点与A 点重合时,如图所示.⊙6AB =,ABF △是等腰直角三角形,且90BFE ∠=︒. ⊙2GF AB 1==3 此时()0,3F -.综上所述,()1,1F 或()1,5F -或()1,3F -;【小问3详解】设(),P s t ,直线AP 的解析式为y dx f =+,BP 的解析式为y gx h =+. ⊙点()2,0A -,()4,0B ,(),P s t . ⊙20d f sd f t -+=⎧⎨+=⎩,40g h sg h t+=⎧⎨+=⎩ 解得：222t d s t f s ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,444t g s t h s ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩ ⊙直线AP 的解析式为222t t y x s s =+++,BP 的解析式为444t y x t s s -=+-. 对于222t t y x s s =+++,当0x =时,22t y s =+,即20,2t M s ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 对于444t y x t s s -=+-,当0x =时,44t y s =-,即40,4t N s ⎛⎫ ⎪-⎝⎭. ⊙(),P s t 在抛物线上,则()()2114=4222t s s s s =-++--+ ⊙2121412222428t t t OM ON s s s s +=+⨯=+--++ ()()()()642642s s s s --+==--+ ⊙12OM ON +为定值6．。

2023年重庆市中考试卷（A卷）数学注意事项:1.本试卷共6页，满分为120分。

考试时间为120分钟。

2.答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置。

请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

3.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，修改时用橡皮擦干净，再选涂其他各案。

4.答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米的黑色字迹签字笔描清楚。

要求字体工整，笔迹清晰。

严格按题号所示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效：在试卷、草稿纸上答题无效。

5.保持答题卡清洁、完整，严禁折叠、损坏。

严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．（4分）8的相反数是（）A．﹣8B．8C．D．2．（4分）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（）A．B．C．D．y4-=的图象一定经过的点是（）3．（4分）反比例函数xA．（1，4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣2，2）D．（2，2）4．（4分）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：166.（4分）如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35°B．45°C．50°D．55°6．（4分）估计（+）的值应在（）A ．7和8之间B ．8和9之间C ．9和10之间D ．10和11之间7．（4分）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．547.（4分）如图，AC 是⊙O 的切线，B 为切点，连接OA ，OC ．若∠A ＝30°，AB ＝2，BC ＝3，则OC 的长度是（）A ．3B ．C ．D ．68.（4分）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，连接AE ，AF ，EF ，∠EAF ＝45°．若∠BAE ＝α，则∠FEC 一定等于（）A ．2αB ．90°﹣2αC ．45°﹣αD ．90°﹣α10．（4分）在多项式x ﹣y ﹣z ﹣m ﹣n （其中x ＞y ＞z ＞m ＞n ）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x ﹣y ﹣|z ﹣m |﹣n ＝x ﹣y ﹣z +m ﹣n ，|x ﹣y |﹣z ﹣|m ﹣n |＝x ﹣y ﹣z ﹣m +n ，…．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．（4分）计算：=+-0132．12．（4分）如图，正五边形ABCDE 中，连接AC ，那么∠BAC 的度数为．13．（4分）一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是．14．（4分）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为．16．（4分）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）17．（4分）若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程+＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．18．（4分）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足﹣＝，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41﹣12＝29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53﹣32＝21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（8分）计算：（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）；（2）÷（x﹣）．20．（10分）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为点O．求证：OE＝OF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝．∵EF垂直平分AC，∴．又∠EOC＝，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴OE＝OF．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线．21．（10分）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70，中等70≤x＜80，优等x≥80），下面给出了部分信息：A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，71，72，72，73．两款智能玩具飞机运行最长时间统计表类别A B平均数7070中位数71b众数a67方差30.426.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a＝，b＝，m＝；（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？22．（10分）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？23．（10分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．24．（10分）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A﹣D﹣C﹣B；②A﹣E﹣B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E 在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．（参考数据：≈1.41，≈1.73）（1）求AD的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22++=bx ax y 过点（1，3），且交x 轴于点A （﹣1，0），B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求△PDE 周长的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）中△PDE 周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB 方向平移个单位长度，点M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N ，使得以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．26．（10分）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，点D 为线段AB 上一动点，连接CD ．（1）如图1，若AC ＝9，BD ＝，求线段AD 的长；（2）如图2，以CD 为边在CD 上方作等边△CDE ，点F 是DE 的中点，连接BF 并延长，交CD 的延长线于点G ．若∠G ＝∠BCE ，求证：GF ＝BF +BE ；（3）在CD 取得最小值的条件下，以CD 为边在CD 右侧作等边△CDE ．点M 为CD 所在直线上一点，将△BEM 沿BM 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BNM ．连接AN ，点P 为AN 的中点，连接CP ，当CP 取最大值时，连接BP ，将△BCP 沿BC 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BCQ ，请直接写出此时的值．2023年重庆市中考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．（4分）8的相反数是（）A．﹣8B．8C．D．【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．【解答】解：8的相反数是﹣8．故选：A．【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．2．（4分）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．3．（4分）反比例函数y＝﹣的图象一定经过的点是（）A．（1，4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣2，2）D．（2，2）【分析】根据k＝xy对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣，∴k＝﹣4，A、∵1×4＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；B、∵﹣1×（﹣4）＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；C、∵﹣2×2＝﹣4，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意；D、∵2×2＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k＝xy为定值是解答此题的关键．4．（4分）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，求解即可．【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，∴这两个三角形对应边的比为1：4，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．5．（4分）如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35°B．45°C．50°D．55°【分析】根据平行线的性质，可以求得∠BAC+∠1＝180°，然后根据∠1的度数和AD ⊥AC，即可得到∠2的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠1＝180°，∵∠1＝55°，∴∠BAC＝125°，∵AD⊥AC，∴∠CAD＝90°，∴∠2＝∠BAC﹣∠CAD＝35°，故选：A．【点评】本题考查平行线的性质、垂线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．（4分）估计（+）的值应在（）A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间【分析】化简题干中的式子得到4+2，计算出2＜＜2.5．利用不等式的性质，得出式子的值所在的范围．【解答】解：原式＝4+2．∵2.52＝6.25，∴2＜＜2.5，∴4＜2＜5，∴8＜4+2＜9．故选：B．【点评】本题以计算选择为背景考查了无理数的估算，考核了学生对无理数范围确定及不等式的性质的掌握，解题关键是化简式子并确定无理数的范围利用不等式的性质解决问题．解题时应注意合理缩小无理数的范围得到最准确的答案．7．（4分）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A．39B．44C．49D．54【分析】根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题．【解答】解：由图可得，图案①有：4+5＝9根小木棒，图案②有：4+5×2＝14根小木棒，图案③有：4+5×3＝19根小木棒，…，∴第n个图案有：（4+5n）根小木棒，∴第⑧个图案有：4+5×8＝44根小木棒，故选：B．【点评】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9.（4分）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，则OC的长度是（）A．3B．C．D．6【分析】根据切线的性质得到OB⊥AC，求得∠ABO＝∠CBO＝90°，得到OB＝AB ＝2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接OB，∵AC是⊙O的切线，∴OB⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝90°，∵∠A＝30°，AB＝2，∴OB＝AB＝2，∵BC＝3，∴OC＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．10.（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（）A．2αB．90°﹣2αC．45°﹣αD．90°﹣α【分析】根据正方形的性质可得AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，将△ADF 绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，易证△GAE≌△FAE（SAS），根据全等三角形的性质可得∠AEF＝∠AEG，进一步根据∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB求解即可．【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，如图所示：则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠GAE＝∠FAE＝45°，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴∠AEF＝∠AEG，∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝90°﹣α，∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α，∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB＝180°﹣2×（90°﹣α）＝2α，故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．10．（4分）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．【解答】解：|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，需出现﹣x，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x的符号为负号，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n；x﹣|y ﹣z|﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；x﹣y﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y ﹣z﹣m+n．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是|x﹣y|﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m ﹣n；|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n；x﹣|y﹣z|﹣|m﹣n|＝x﹣y+z﹣m+n．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C．【点评】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．（4分）计算：2﹣1+30＝．【分析】根据负整数指数幂和零指数幂计算即可．【解答】解：2﹣1+30＝+1＝，故答案为：．【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握这些知识是解题的关键．11.（4分）如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数为36°．【分析】利用多边形内角和公式及正多边形性质易得∠B的度数，AB＝BC，再根据等边对等角，利用三角形内角和定理即可求得答案．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC，∠B＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠BAC＝∠BCA＝＝＝36°，故答案为：36°．【点评】本题主要考查多边形内角和及正多边形性质，利用其求得∠B的度数是解题的关键．13．（4分）一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种，∴两次都摸到红球的概率是，故答案为：．【点评】此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．（4分）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为1501（1+x）2＝1815．【分析】根据今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，列一元二次方程即可．【解答】解：根据题意，得1501（1+x）2＝1815，故答案为：1501（1+x）2＝1815．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为3．【分析】先证明△ABE≌△CAF（AAS），根据全等三角形的性质可得AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，进一步可得EF的长．【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠FAC＝∠ABE，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AF＝BE，AE＝CF，∵BE＝4，CF＝1，∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．17．（4分）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为π﹣12．（结果保留π）【分析】连接BD，根据圆周角定理证得BD是⊙O的直径，利用勾股定理求得直径，然后利用圆的面积减去矩形的面积即可求得阴影部分的面积．【解答】解：连接BD，∵∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝＝＝5，∴S＝S⊙O﹣S矩形ABCD＝﹣3×4＝π﹣12．阴影故答案为：π﹣12．【点评】本题考查了圆的面积和矩形的面积，解题的关键是明确阴影部分的面积是圆的面积减去矩形的面积，属于中考常考题型．17．（4分）若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程+＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是4．【分析】先解不等式组，根据至少有2个整数解求出a的取值范围，再解分式方程，根据解是非负整数，可求出满足条件的a的值，进一步求解即可．【解答】解：解不等式组，得，∵至少有2个整数解，∴≤4，∴a≤6，解分式方程+＝2，得y＝，∵y的值是非负整数，a≤6，∴当a＝5时，y＝2，当a＝3时，y＝1，当a＝1时，y＝0，∵y＝2是分式方程的增根，∴a＝5（舍去），∴满足条件的a的值有3和1，∵3+1＝4，∴所有满足条件的整数a的值之和是4．故答案为：4．【点评】本题考查了分式方程与一元一次不等式组的综合，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的解法是解题的关键．18．（4分）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足﹣＝，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41﹣12＝29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53﹣32＝21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为4312；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是8165．【分析】根据递减数的概念列方程求a的值，根据递减数的概念先求得10a﹣9b﹣11c＝d，然后根据题意列出两个三位数字之和，结合能被9整除的数的特征分析满足条件的最大值．【解答】解：由题意可得10a+3﹣31＝12，解得a＝4，∴这个数为4312，由题意可得，10a+b﹣（10b+c）＝10c+d，整理，可得10a﹣9b﹣11c＝d，一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和为：100a+10b+c+100b+10c+d＝100a+10b+c+100b+10c+10a﹣9b﹣11c＝110a+101b＝99（a+b）+11a+2b，又∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，∴是整数，且a≠b≠c≠d，1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，0≤d≤9，a＝9时，原四位数可得最大值，此时b只能取0，不符合题意，舍去，当a＝8时，b＝1，此时71﹣11c＝d，c取9或8或7时，均不符合题意，当c取6时，d＝5，∴满足条件的数的最大值是8165，故答案为：4312；8165．【点评】本题考查新定义运算，理解新定义概念，正确推理计算是解题关键．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（8分）计算：（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）；（2）÷（x﹣）．【分析】（1）先由单项式乘以多项式，平方差公式进行化简，然后合并同类项即可；（2）先将括号内的进行合并，除法变成乘法，再约分化简即可．【解答】解：（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）＝2a﹣a2+a2﹣1＝2a﹣1．（2）÷（x﹣）＝＝＝．【点评】此题主要是考查了分式的混合运算，整式的混合运算，能够熟练运用平方差公式，完全平方公式是解答此题的关键．20．（10分）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为点O．求证：OE＝OF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝∠FAO．∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．又∠EOC＝∠FOA，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴OE＝OF．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线被平分．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝∠FAO．∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．又∠EOC＝∠FOA，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴OE＝OF；过平行四边形对角线中点的直线被平分，故答案为：∠FAO；OA＝OC；∠FOA；被平分．【点评】此题考查命题与定理，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．21．（10分）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70，中等70≤x＜80，优等x≥80），下面给出了部分信息：A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，71，72，72，73．两款智能玩具飞机运行最长时间统计表类别A B平均数7070中位数71b众数a67方差30.426.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a＝72，b＝70.5，m＝10；（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？【分析】（1）根据众数的定义可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，用“1”减去其他两组所占百分百可得m的值；（2）可比较中位数，众数与方差得出结论；（3）利用样本估计总体可求解．【解答】解：（1）A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间中，72出现的次数最多，故众数a＝72，把B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间从小到大排列，排在中间的两个数是70和71，故中位数b＝＝70.5，m%＝1﹣50%﹣40%＝10%，即m＝10．故答案为：70，70.5，10；（2）A款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但A款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均高于B款智能玩具飞机，所以A款智能玩具飞机运行性能更好；（答案不唯一）；（3）200×+120×（1﹣40%）＝120+72＝192（架），答：估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．【点评】本题考查扇形统计图，频数分布表，中位数，众数，方差以及用样本估计总体，解题关键是从统计图表中获取有用信息是解题的关键．22．（10分）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次。

2023年烟台市初中学业水平考试数学试题一、选择题1. 23-的倒数是（ ）A23B.23-C.32D.32-2.是同类二次根式的是（ ）A.B.C.D.3. 下列四种图案中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.4. 下列计算正确的是（ ）A 2242a a a += B. ()32626a a = C. 235a a a ⋅= D. 824a a a ÷=5. 不等式组321,23m m -≥⎧⎨->⎩解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）A. B. C.D.6. 如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（ ）A. B. C. D.7. 长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（ ）..的A. 甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数B. 甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数C. 甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差D. 甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差8. 如图，在正方形中，阴影部分是以正方形顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为1P ，停在空白部分的概率为2P ，则1P 与2P 的大小关系为（ ）A. 12P P <B. 12P P =C. 12P P > D. 无法判断9. 如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭，与x 轴的一个交点位于0合和1之间，则以下结论：①0abc >；②20b c +>；③若图象经过点()()123,,3,y y -，则12y y >；④若关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=无实数根，则3m <．其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4的10. 如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（ ）A. ()31.34B. ()31,34-C. ()32,35D. ()32,0二、填空题11. “北斗系统”是我国自主建设运行全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为________．12. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知1102∠=︒，则2∠的度数为_____．13. 如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A ，B ，C ，D ，连接AB ，则BAD ∠的度数为_______．的14. 如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：①按键的结果为4；②按键的结果为8；③按键的结果为0.5；④按键的结果为25．以上说法正确的序号是___________．15. 如图，在直角坐标系中，A 与x 轴相切于点,B CB 为A 的直径，点C 在函数(0,0)ky k x x=>>的图象上，D 为y 轴上一点，ACD 的面积为6，则k 的值为________．16. 如图1，在ABC 中，动点P 从点A 出发沿折线AB BC CA →→匀速运动至点A 后停止．设点P 的运动路程为x ，线段AP 的长度为y ，图2是y 与x 的函数关系的大致图象，其中点F 为曲线DE 的最低点，则ABC 的高CG 的长为_______．三、解答题17. 先化简，再求值：2695222a aaa a-+⎛⎫÷++⎪--⎝⎭，其中a是使不等式112a-≤成立的正整数．18. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有_________人；（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．19. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30︒的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45︒，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18︒，求该风力发电机塔杆PD的高度．（参考数据：sin180.309≈︒，cos180.951≈︒，tan180.325≈︒）20. 【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD 进行如下操作：①分别以点,B C为圆心，以大于12BC 的长度为半径作弧，两弧相交于点E ，F ，作直线EF 交BC 于点O ，连接AO ；②将ABO 沿AO 翻折，点B 的对应点落在点P 处，作射线AP 交CD 于点Q ．【问题提出】在矩形ABCD 中，53AD AB ==，，求线段CQ 的长．【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接OQ ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ 的长；方案二：将ABO 绕点O 旋转180︒至RCO △处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ 的长．请你任选其中一种方案求线段CQ 的长．21. 中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的34，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．（1）求两种图书的单价分别为多少元？（2）为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？22. 如图，在菱形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点,E O 经过,A D 两点，交对角线AC 于点F ，连接OF 交AD 于点G ，且AG GD =．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）已知O 的半径与菱形的边长之比为5:8，求tan ADB ∠的值．23. 如图，点C 为线段AB 上一点，分别以,AC BC 为等腰三角形的底边，在AB 的同侧作等腰ACD 和等腰BCE ，且A CBE ∠=∠．在线段EC 上取一点F ，使EF AD =，连接,BF DE ．（1）如图1，求证：DE BF =；（2）如图2，若2AD BF =，的延长线恰好经过DE 的中点G ，求BE 的长．24. 如图，抛物线25y ax bx =++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点,4C AB =．抛物线的对称轴3x =与经过点A 的直线1y kx =-交于点D ，与x 轴交于点E ．（1）求直线AD 及抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否存在点M ，使得ADM △是以AD 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以点B 为圆心，画半径为2的圆，点P 为B 上一个动点，请求出12PC PA 的最小值．2023年烟台市初中学业水平考试数学试题一、选择题1.23-的倒数是（）A. 23B.23- C.32D.32-【答案】D【解析】【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．【详解】解：∵23132⎛⎫⎛⎫-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴23-的倒数是32-，故选：D．【点睛】本题考查倒数的定义，掌握互为倒数的两个数积为1，是解题的关键．2.是同类二次根式的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．【详解】解：A2=不是同类二次根式，不符合题意；B不是同类二次根式，不符合题意；C=是同类二次根式，符合题意；D=，与不是同类二次根式，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3. 下列四种图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据中心对称图形的定义，逐个进行判断即可，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【详解】解：根据题意可得：是中心对称图形的只有B ，故选：B ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．4. 下列计算正确的是（ ）A. 2242a a a += B. ()32626a a = C. 235a a a ⋅= D. 824a a a ÷=【答案】C 【解析】【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法的运算法则逐项排查即可解答．【详解】解：A .2222a a a +=，故该选项不正确，不符合题意；B .()32628a a =，故该选项不正确，不符合题意；C .235a a a ⋅=，故该选项正确，符合题意；D .826a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法等知识，掌握运算法则是解题的关键．5. 不等式组321,23m m -≥⎧⎨->⎩的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）A. B.C.D.【答案】A【解析】【分析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【详解】解：32123m m -≥⎧⎨->⎩①②解不等式①得：m 1≥ 解不等式②得：1m <-将不等式的解集表示在数轴上，如图所示，故选：A ．【点睛】本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键．6. 如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据俯视图的定义，即可进行解答．【详解】解：根据题意可得：从该几何体正上方看，棱AE 的投影为点E ，棱AB 的投影为线段BE ，棱AD 的投影为线段ED ，棱AC 的投影为正方形BCDE 的对角线，∴该几何体的俯视图为：，故选：A【点睛】本题主要考查了俯视图，解题的关键是熟练掌握俯视图的定义：从物体正上方看到的图形是俯视图．7. 长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（ ）A. 甲班视力值平均数大于乙班视力值的平均数B. 甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数C. 甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差D. 甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差【答案】D 【解析】【分析】根据平均数，中位数，极差，方差的定义分别求解即可．【详解】甲班视力值分别为：4.7,5.0,4.7,4.8,4.7,4.7,4.6,4.4；从小到大排列为：4.4,4.6,4.7,4.7,4.7,4.7,4.8,5.0；中位数为4.7 4.7=4.72+，平均数为()14.4 4.6 4.7 4.7 4.7 4.7 4.85.0=4.78+++++++；极差为5.0 4.40.6-=方差为()()()()222221=0.30.10.10.3=0.0258S ⎡⎤+++⎣⎦甲；乙班视力值分别为：4.8,4.7,4.7,5.0,4.6,4.5,4.9,4.4；从小到大排列为：4.4,4.5,4.6,4.7,4.7,4.8,4.9,5.0，中位数为4.7 4.7=4.72+的平均数为()14.4 4.5 4.6 4.7 4.7 4.8 4.95.0=4.78+++++++；极差为5.0 4.40.6-=方差为()()()()()()22222221=0.30.20.10.10.20.3=0.0358S ⎡⎤+++++⎣⎦甲；甲、乙班视力值的平均数、中位数、极差都相等，甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故D 选项正确故选：D ．【点睛】本题考查了折线统计图，求平均数，中位数，极差，方差，熟练掌握平均数，中位数，极差，方差的定义是解题的关键．8. 如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为1P ，停在空白部分的概率为2P ，则1P 与2P 的大小关系为（ ）A. 12P P <B. 12P P =C. 12P P > D. 无法判断【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得阴影部分面积等于正方形面积的一半，进而即可求解．【详解】解：如图所示，连接AE BD ，交于O ，由题意得，A B C D ，，，分别是正方形四条边的中点，∴点O 为正方形的中心，∴AOBF AODC S S =四边形四边形，根据题意，可得扇形OAB 的面积等于扇形CAD 的面积，∴AOBF OAB AODC AOC S S S S -=-四边形扇形四边形扇形，∴阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半∴12P P =，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积，几何概率，得出阴影部分面积等于正方形面积的一半是解题的关键．9. 如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭，与x 轴的一个交点位于0合和1之间，则以下结论：①0abc >；②20b c +>；③若图象经过点()()123,,3,y y -，则12y y >；④若关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=无实数根，则3m <．其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据图象，分别得出a 、b 、c 的符号，即可判断①；根据对称轴得出a b =，再根据图象得出当1x =时，0y a b c =++<，即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再根据该抛物线开口向下，在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方程230ax bx c ++-=移项可得23ax bx c ++=，根据该方程无实数根，得出抛物线2y ax bx c =++与直线3y =没有交点，即可判断④．【详解】解：①∵该抛物线开口向下，∴a<0，∵该抛物线的对称轴在y 轴左侧，∴0b <，∵该抛物线于y 轴交于正半轴，∴0c >，∴0abc >，故①正确，符合题意；②∵1,2A m ⎛⎫-⎪⎝⎭，∴该抛物线的对称轴为直线122b x a =-=-，则a b =，当1x =时，y a bc =++，把a b =得：当1x =时，2y b c =+，由图可知：当1x =时，0y <，∴20b c +<，故②不正确，不符合题意；③∵该抛物线的对称轴为直线12x =-，∴()13,y -到对称轴的距离为()15322---=，()23,y 到对称轴的距离为17322⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∵该抛物线开口向下，∴在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，∵5722<，∴12y y >，故③正确，符合题意；④将方程230ax bx c ++-=移项可得23ax bx c ++=，∵230ax bx c ++-=无实数根，∴抛物线2y ax bx c =++与直线3y =没有交点，∵1,2A m ⎛⎫-⎪⎝⎭，∴3m <．故④正确综上：正确的有：①③④，共三个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握根据二次函数图象判断各系数的方法，熟练掌握二次函数的图象和性质．10. 如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（ ）A. ()31.34B. ()31,34-C. ()32,35D. ()32,0【答案】A 【解析】【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律()323n A n n --，．【详解】解：∵()121A -，，()412A -，，()703A ，，()1014A ，，L ，∴()323n A n n --，，∵1003342=⨯-，则34n =，∴()1003134A ，， 故选：A ．【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律．二、填空题11. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为________．【答案】113.610⨯【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：3600亿360000000000=，用科学记数法表示为113.610⨯．故答案为：113.610⨯．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，正确确定a 的值以及n 的值是解决问题的关键．12. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知1102∠=︒，则2∠的度数为_____．【答案】78︒##78度【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解．【详解】解：如图所示，依题意，AB DC ∥，∴2BCD ∠=∠，∵1180BCD ∠+∠=︒，1102∠=︒，∴180178BCD ∠=︒-∠=︒∴278∠=︒．故答案为：78︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．13. 如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A ，B ，C ，D ，连接AB ，则BAD ∠的度数为_______．【答案】52.5︒【解析】【分析】方法一∶如图：连接,,,,,OA OB OC OD AD AB ，由题意可得：OA OB OC OD ===，502525AOB ∠=︒-︒=︒，然后再根据等腰三角形的性质求得65OAB ∠=︒、25OAD ∠=︒，最后根据角的和差即可解答．方法二∶ 连接,OB OD ，由题意可得：105BAD ∠=︒，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】方法一∶ 解：如图：连接,,,,,OA OB OC OD AD AB ，由题意可得：OA OB OC OD ===，502525AOB ∠=︒-︒=︒，15525130AOD ∠=︒-︒=︒，∴()118077.52OAB AOB ∠=︒-∠=︒，()1180252OAD AOB ∠=︒-∠=︒，∴52.5OAB A BAD O D ∠∠-∠==︒．故答案为52.5︒．方法二∶解∶ 连接,OB OD ，由题意可得：15550105BAD ∠=︒-︒=︒，根据圆周角定理，知1110552.522BAD BOD ∠=∠=⨯︒=︒．故答案为52.5︒．【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键．14. 如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：①按键的结果为4；②按键的结果为8；③按键的结果为0.5；④按键的结果为25．以上说法正确的序号是___________．【答案】①③【解析】【分析】根据计算器按键，写出式子，进行计算即可．【详解】解：①4=；故①正确，符合题意；②按键的结果为()3424+-=-；故②不正确，不符合题意；③按键的结果为()sin 4515sin 300.5︒-︒=︒=；故③正确，符合题意；④按键的结果为2132102⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭；故④不正确，不符合题意；综上：正确的有①③．故答案为：①③．【点睛】本题主要考查了科学计算器是使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个按键的含义．15. 如图，在直角坐标系中，A 与x 轴相切于点,B CB 为A 的直径，点C 在函数(0,0)ky k x x=>>的图象上，D 为y 轴上一点，ACD 的面积为6，则k 的值为________．【答案】24【解析】【分析】设,k C a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则,k OB a AC a==，则122kAC BC a ==，根据三角形的面积公式得出162ACD S AC OB =⋅= ，列出方程求解即可．【详解】解：设,k C a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵A 与x 轴相切于点B ， ∴BC x ⊥轴，∴,kOB a AC a==，则点D 到BC 的距离为a ，∵CB 为A 的直径，∴122k AC BC a ==，∴16224ACDk k S a a =⋅⋅== ，解得：24k =，故答案为：24．【点睛】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征．16. 如图1，在ABC 中，动点P 从点A 出发沿折线AB BC CA →→匀速运动至点A 后停止．设点P 的运动路程为x ，线段AP 的长度为y ，图2是y 与x 的函数关系的大致图象，其中点F 为曲线DE 的最低点，则ABC 的高CG 的长为_______．【解析】【分析】过点A 作AQ BC ⊥于点Q ，当点P 与Q 重合时，在图2中F 点表示当12AB BQ +=时，点P 到达点Q ，此时当P 在BC 上运动时，AP 最小，勾股定理求得AQ ，然后等面积法即可求解．【详解】如图过点A 作AQ BC ⊥于点Q ，当点P 与Q 重合时，在图2中F 点表示当12AB BQ +=时，点P 到达点Q ，此时当P 在BC 上运动时，AP 最小，∴7BC =，4,3BQ QC ==在Rt ABQ 中，8,4AB BQ ==∴AQ ===∵1122ABC S AB CG AQ BC =⨯=⨯ ，∴BC AQ CG AB ⨯===,．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．三、解答题17. 先化简，再求值：2695222a a a a a -+⎛⎫÷++ ⎪--⎝⎭，其中a 是使不等式112a -≤成立的正整数．【答案】33a a -+；12-【解析】【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a 的值，再代入数据计算即可．【详解】解：2695222a a a a a -+⎛⎫÷++ ⎪--⎝⎭()()()23225222a a a a a a -+-⎡⎤=÷+⎢⎥---⎣⎦()2234522a a a a--+=÷--()()()232233a a a a a --=⋅-+-33a a -=+，解不等式112a -≤得：3a ≤，∵a 为正整数，∴1a =，2，3，∵要使分式有意义20a -≠，∴2a ≠，∵当3a =时，552320223a a ++=++=--，∴3a ≠，∴把1a =代入得：原式131132-==-+．【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．18. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有_________人；（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．【答案】（1）见解析（2）14.4︒；200．（3）1 3【解析】【分析】（1）根据C的人数除以占比得到总人数，进而求得B的人数，补全统计图即可求解；（2）根据D的占比乘以360︒得到圆心角的度数，根据1000乘以选择A的人数的占比即可求解；（3）根据列表法求概率即可求解．【小问1详解】解：总人数为1428%50÷=（人）∴选择B大学的人数为5010142816----=，补全统计图如图所示，【小问2详解】在扇形统计图中，D 所在的扇形的圆心角的度数为236014.450︒⨯=︒，选择A 大学的大约有101000=20050⨯（人）故答案为：14.4︒；200．【小问3详解】列表如下，甲乙AB CA AA AB ACB BA BB BCC CA CBCC 共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为13．【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30︒的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD 长16米，在地面点A 处测得风力发电机塔杆顶端P 点的仰角为45︒，利用无人机在点A 的正上方53米的点B 处测得P 点的俯角为18︒，求该风力发电机塔杆PD 的高度．（参考数据：sin180.309≈︒，cos180.951≈︒，tan180.325≈︒）【答案】该风力发电机塔杆PD 的高度为32米【解析】【分析】过点P 作PF AB ⊥于点F ，延长PD 交AC 延长线于点E ，先根据含30︒角直角三角形的性质得出8DE =，设PD x =米，则()8PE PD DE x =+=+米，进而得出()8AE x =+米，证明四边形FAEP 为矩形，则()8PF AE x ==+米，()8AF PE x ==+米，根据线段之间的和差关系得出()45BF AB AF s x =-=-米，最后根据tan18BF PF=︒，列出方程求解即可．【详解】解：过点P 作PF AB ⊥于点F ，延长PD 交AC 延长线于点E ，根据题意可得：AB 、PD 垂直于水平面，30DCE ∠=︒，45PAC ∠=︒，18GBP ∠=︒，∴PE AE ⊥，∵16CD =米， ∴1116822DE CD ==⨯=（米），设PD x =米，则()8PE PD DE x =+=+米，∵45PAC ∠=︒，PE AE ⊥，∴()8tan 45PE AE x ==+︒米，∵AB AE ⊥，PE AE ⊥，PF AB ⊥，∴四边形FAEP 为矩形，∴()8PF AE x ==+米，()8AF PE x ==+米，∵53AB =米，∴()()53845BF AB AF x x =-=-+=-米，∵18GBP ∠=︒，∴18BPF ∠=︒，∴tan18BF PF=︒，即450.3258x x -≈+，解得：32x ≈，答：该风力发电机塔杆PD 的高度为32米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．20. 【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD 进行如下操作：①分别以点,B C 为圆心，以大于12BC 的长度为半径作弧，两弧相交于点E ，F ，作直线EF 交BC 于点O ，连接AO ；②将ABO 沿AO 翻折，点B 的对应点落在点P 处，作射线AP 交CD 于点Q ．【问题提出】在矩形ABCD 中，53AD AB ==，，求线段CQ 的长．【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接OQ ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ 的长；方案二：将ABO 绕点O 旋转180︒至RCO △处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ 的长．请你任选其中一种方案求线段CQ 的长．【答案】线段CQ 的长为2512．【解析】【分析】方案一：连接OQ ，由翻折的不变性，知3AP AB ==， 2.5OP OB ==，证明()HL QPO QCO ≌△△，推出PQ CQ =，设PQ CQ x ==，在Rt ADQ △中，利用勾股定理列式计算求解即可；方案二：将ABO 绕点O 旋转180︒至RCO △处，证明OAQ R ∠=∠，推出QA QR =，设CQ x =，同方案一即可求解．【详解】解：方案一：连接OQ ，如图2．∵四边形ABCD 是矩形，∴3AB CD ==，5AD BC ==，由作图知12.52BO OC BC ===，由翻折的不变性，知3AP AB ==， 2.5OP OB ==，90APO B ∠=∠=︒，∴ 2.5OP OC ==，90QPO C ∠=∠=︒，又OQ OQ =，∴()HL QPO QCO ≌△△，∴PQ CQ =，设PQ CQ x ==，则3AQ x =+，3DQ x =-，在Rt ADQ △中，222AD QD AQ +=，即()()222533x x +-=+，解得2512x =，∴线段CQ 的长为2512；方案二：将ABO 绕点O 旋转180︒至RCO △处，如图3．∵四边形ABCD 是矩形，∴3AB CD ==，5AD BC ==，由作图知1 2.52BO OC BC ===，由旋转的不变性，知3CR AB ==，BAO R ∠=∠，90B OCR ∠=∠=︒，则9090180OCR OCD ∠+∠=︒+︒=︒，∴D C R 、、共线，由翻折的不变性，知BAO OAQ ∠=∠，∴OAQ R ∠=∠，∴QA QR =，设CQ x =，则3QA QR x ==+，3DQ x =-，在Rt ADQ △中，222AD QD AQ +=，即()()222533x x +-=+，解得2512x =，∴线段CQ 的长为2512．【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．21. 中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的34，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．（1）求两种图书的单价分别为多少元？（2）为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？【答案】（1）《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；（2）当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316元．【解析】【分析】（1）设《周髀算经》单价为x 元，则《孙子算经》单价是34x 元，根据“用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本”列分式方程，解之即可求解；（2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出m 的取值范围，根据m 的取值范围结合函数解析式解答即可．【小问1详解】解：设《周髀算经》单价为x 元，则《孙子算经》单价是34x 元，依题意得，600600534x x =+，解得40x =，经检验，40x =是原方程的解，且符合题意，340304⨯=，答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；【小问2详解】解：设购买的《周髀算经》数量m 本，则购买的《孙子算经》数量为()80m -本，依题意得，()1802m m ≥-，解得2263m ≥，设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y （元），依题意得，()400.8300.88081920y m m m =⨯+⨯-=+，∵80k =>，∴y 随m 的增大而增大，∴当27m =时，有最小值，此时82719202316y =⨯+=（元），802753-=（本）答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316元．【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，根据。