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第二节数列的极限

一、数列极限的定义

如果按照某一法则，对每个nN，对应着一个确定的实数nx，这些实数nx按照下标n从小到大排列得到的一个系列

12,,,,nxxx

就叫做数列，记为.nx

数列中的每一个数叫做数列的项，第n项nx叫做数列的一般项（或通项）．

数列nx可以看作自变量为正整数n的函数

,.nxfnnN

当自变量n依次取一切正整数1,2,3,时，对应的函数值就排成数列.nx

一个非常重要的问题是：当n无限增大时（即n时），对应的nxfn是否无限接近某个确定的数值？

对于数列11nnn，其通项

111111.nnnnxnn

01123451111111111,111,1,1,1,1122345xxxxx

678910111111,1,1,1,1,678910xxxxx1112131411111,1,1,1,11121314xxxx

易知，当n无限增大时，nx的值无限接近于1.也即当n无限增大时，11111nnxnn的值无限接近零．

给定1100，要使

11100nx，

只需11100n，即100n．故当100n时，11.100nx 2

给定11000，要使

111000nx，

只需111000n，即1000.n故当1000n时，11.1000nx

一般地，任意给定一个正数，存在一个正整数N，使得当nN时，不等式

1nx

都成立．事实上，要使

11nxn，只需1n．故取正整数1max,1N，则当nN时，n，1n，

1.nx

注：设m为整数，x为实数，且mx，则.mx这是因为m为整数，且mx，所以111.mxxx

极限的常用求法及技巧.培训课件

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精品文档极限的常用求法及技巧

引言

极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。

极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结，

我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x趋于正无穷，x趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三，触类旁通

。

1数列极限的常用求法及技巧

数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法。

1.1利用定义求数列极限

利用定义法即利用数列极限的定义设na 为数列。若对任给的正数N，使得n大于N时有

aan

则称数列na收敛于a,定数a称为数列na的极限，并记作,limnana或)(,nan 精品文档

精品文档读作当n趋于无穷大时，na的极限等于a或na趋于a

例证明

2322nlimnn

解由于

)3n93n9323222（nnn

高等数学第2章第1节数列极限的概念

18 第二章数列极限

 引言

为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势．例如有这么一个变量，它开始是１，然后为1111,,,,,234n如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零．我们就说，这个变量的极限为０．

在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关（如导数、微分、积分、级数等），并且在实际问题中极限也占有重要的地位．例如求圆的面积和圆周长（已知：2,2Srlr），但这两个公式从何而来？

要知道，获得这些结果并不容易！人们最初只知道求多边形的面积和求直线段的长度．然而，要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上，在思考方法上来一个突破．

问题的困难何在？多边形的面积其所以为好求，是因为它的周界是一些直线段，我们可以把它分解为许多三角形．而圆呢？周界处处是弯曲的，困难就在这个“曲”字上面．在这里我们面临着“曲”与“直”这样一对矛盾．

在形而上学看来，曲就是曲，直就是直，非此即彼，辩证唯物主义认为，在一定条件下，曲与直的矛盾可以相互转化．恩格斯深刻提出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在一定的条件下直线和曲线应当是一回事”．整个圆周是曲的，每一小段圆弧却可以近似看成是直的；就是说，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圆弧．

执照这种辩证思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成n个等长的小段，代替圆而先考虑其内接正n边形．易知，正n边形周长为

2sinnlnRn

显然，这个nl不会等于l．然而，从几何直观上可以看出，只要正n边形的边数不断增加．这些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长．N越大，近似程度越高．

但是，不论n多么大，这样算出来的总还只是多边形的周长．无论如何它只是周长的近似值，而不是精确值．问题并没有最后解决．

为了从近似值过渡到精确值，我们自然让n无限地增大，记为n．直观上很明显，当n时，nll，记成limnnll．——极限思想．