数列的极限课件

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数学分析讲解---数列极限ppt课件

无穷小，无穷大和无界的关系
定理若xn
0,
则
lim
n
xn
lim
n
1 xn
0.
无穷大无界，反之不成立
例8 当n
时，xn
n2
cos
n 是（
）.
(A) 无穷小.
(B) 无穷大.
(C) 有界的，但不是无穷小. (D) 无界的，但不是无穷大.
15
Stolz定理
设{yn}严格增加，且
lim
n
yn
.
若
12
定理5 若
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B, 则有
lim (
n
xn
yn )
A
B
lim
n
xn
lim
n
yn ;
lim (
n
xn
yn )
A
B
lim
n
xn
lim n
yn ;
(lim n
xnm
Am ,
m N)
(lnim(cxn
)
cA
c
lim
n
xn
)
lim
xn
A
lim
n
xn
n yn
B
lim
n
yn
(B 0);
1 3
Ex. 求极限 lim1 2 L n
n
nn
2 3
五、数列收敛准则
1单调有界定理设数列{xn}单调增加. 则当{xn}有上界时, {xn}收敛，当{xn} 上无界时, {xn}为正无穷大，且均成立
lim
n

《高数》数列极限课件PPT

定义与其他概念的关系
极限与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限值等于该点的函数值，因此，函数的连续性可以看作是极限的一种特殊情况。
极限与可导性的关系
极限与积分的关系
积分是研究面积和体积的重要工具，而积分的计算需要用到极限的概念。
可导性是指函数在某一点处的切线斜率存在，而这个切线斜率可以通过函数在该点的极限值来定义。
数列极限与其他数学概念的关系
数列极限与函数极限的关系
函数极限是数列极限的一个特例，即当自变量n趋于无穷大时，函数值趋于一个常数，这个常数就是函数的极限值。函数极限和数列极限有许多共同的性质和定理，如单侧极限、连续性等。
数列极限与微积分学
微积分学中的许多概念都与数列极限有关，如导数、定积分等。通过数列极限，我们可以更好地理解这些概念的本质和性质。同时，微积分学中的许多问题也需要借助数列极
04
数列极限的应用
在数学分析中的应用
极限是数学分析的基本概念之一，数列极限在数学分析中有着广泛的应用。通过研究数列极限，可以更好地理解函数的变化趋势、导数和积分的定义和性质等。
数列极限在证明一些数学定理和推导数学公式中也有着重要的作用。例如，利用数列极限可以证明实数的完备性定理、级数收敛的判别法等。
数列极限的几何解释
数列极限的几何解释是通过图形直观地理解数列收敛和发散的概念。在平面坐标系中，我们可以绘制数列的图像，通过观察图像的变化趋势来理解数列的收敛性和发散性。
收敛数列的图像会趋近于一个固定的点，而发散数列的图像则会远离这个点。通过比较不同数列的图像，我们可以更好地理解数列极限的性质和特点。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理是数列极限存在的一个充分条件，它表明如果一个数列的项构成一个闭区间套，则该数列收敛。

《数列极限》课件

性。
适用于任何收敛数列的证明。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$，则数列${a_n}$也收敛于$L$。通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的内容
微积分基本定理是微积分学中的重要定理，它建立了定积分与不定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的推导过程
通过极限理论、实数完备性等数学工具，可以推导出微积分基本定理。
03
微积分基本定理的应用
微积分基本定理是计算定积分的基石，可以用于解决面积、体积、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任意正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当$n, m > N$时，有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这样的$N$，可以证明数列的收敛

《数列的极限》课件

单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接近一个点，那么这个数列就是收敛的，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。

《高数》数列极限》课件

详细描述
几何级数是每一项都等于前一项乘以一个固定比例的数列。数列极限的概念用于计算几何级数的和，帮助我们了解这种数列的增长
趋势和规律。
05
数列极限的扩展知识
无穷级数的概念
要点一
无穷级数定义
无穷级数是无穷多个数按照一定顺序排列的数列，可以表示为$sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中$a_n$是级数的项。
《高数》数列极限》ppt课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质与定理 • 数列极限的运算 • 数列极限的应用 • 数列极限的扩展知识
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当项数n无限增大时，数列的项无限趋近的数值。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在，则称该数列收敛。
单调有界定理
如果数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则该数列收敛。
反例
举出一些不满足单调有界定理的数列，如无界且无周期的数列等。
应用
单调有界定理在证明某些数学问题时具有重要应用，如求函数的极值点等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
数列收敛的充要条件是对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当$n,m>N$时，有$|a_n - a_m|<varepsilon$ 。
幂级数求极限
幂级数求极限的方法
介绍如何利用幂级数的方法求极限，包括将函数展开为幂级数，并利用幂级数的性质求极限。
VS
举例说明
通过具体例子演示如何运用幂级数求极限，如求lim(x->0) (1+x)^1/x的极限值。

高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限ppt.ppt

2024/9/27
17
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 ．
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时，
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势？我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量（ | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离），| b a | 越小，a 与 b 就越接近．为此，“数
从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N．
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
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12
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数列极限-PPT精选文档

2.几个重要极限：
1 0 limC C （C为常数） lim n n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
3．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就
是一个特殊的函数，对于一般的函数f(x) x∈R是否有同
样的结论？
3、数列极限的运算法则 lim bn=B 如果 lim an=A，
n
n 1
例2：已) 5 a n b n
2
求常数a、b、c的值。
例3．已知数列{ an }是由正数构成的数列， a1=3，且满足于lgan =lgan-1 +lgc，其中 n 是大于1的整数，c 是正数
（１）求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
例1：求下列极限
2n n7 (1 )lim 2 5 n 7 n
2
(2 )lim ( n nn )
2 n
2 4 2 n 2 . . . . . 2) ( 3 ) l i m (n 2 n n n
a ( 1 a ) ( 1 a) ( a 1 ) ( 4 ) l i m n 1 n 1 a ) ( 1 a ) . . . . . . . . . . . n a (
2 a n 求的值（2） lim n n 2 a n 1
n 1
课堂小结 1、极限的四则运算，要特别注意四则运算的条件是否满足。
2.几个重要极限：
limC C （C为常数）
n
1 lim 0 n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
2、本节复习内容是数列极限在代数，平面几何、三角、解析几何中的综合应用， a1 尤其要注意公式S= 的运用。 1 q

高等数学《数列的极限》课件

则有唯一极限 a 存在 .
取
则存在 N ,
但因
交替取值 1 与－1 ,
内,
而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间
使当 n > N 时, 有
因此该数列发散 .
2. 收敛数列一定有界.
证: 设
取
则
当
时,
从而有
取
则有
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立.
例如,
虽有界但不收敛 .
欲使
即
只要
因此 , 取
则当
时, 就有
故
例2. 已知
证明
证:
欲使
只要
即
取
则当
时, 就有
故
故也可取
也可由
N 与有关, 但不唯一.
不一定取最小的 N .
说明:
取
例3. 设
证明等比数列
证:
欲使
只要
即
亦即
因此 , 取
, 则当 n > N 时,
就有
故
的极限为0 .
二、收敛数列的性质
证: 用反证法.
第一章
二、收敛数列的性质
三、极限存在准则
一、数列极限的定义
第二节
数列的极限
数学语言描述:
一、数列极限的定义
引例.
设有半径为 r 的圆,
逼近圆面积 S .
如图所示 , 可知
当 n 无限增大时,
无限逼近 S .
当 n > N 时,
用其内接正 n 边形的面积
总有
(刘徽割圆术)
他对数学的贡献主要集中
在微积分学,

02数列的极限PPT课件

•数列与函数
数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), nN .
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铃
❖数列极限的通俗定义当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近
于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收敛a, 记为
例如
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铃
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a, 则数列{xn}收敛a.
2. 数列1, -1, 1, -1, , (-1)N1, 的有界性与收敛如何？
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铃Байду номын сангаас
二、收敛数列的性质
❖定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一.
❖定理2(收敛数列的有界性)
如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界. ❖定理3(收敛数列的保号性)
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铃
❖数列极限的精确定义
设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正
数e , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
|xn-a |<e
都成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收敛于a, 记为
如果不存在这样的常数a, 就说数列{xn}没有极限,
•数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x1, x2, x3, , xn , .
x1
xn x4 x3 x5 x2
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数列的极限讲解课件

取a 1 1 , b 1 1 代入,得
n
n1
(1 1 )n (1 1 )n1 ,
n
n1
即数列{(1 1 )n }是单调增加的. n
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第27页/共30页
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五、小结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 有界性、唯一性、子数列的收敛性.
第2页/共30页
R
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2.截丈问题：
“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭”
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为 X n
1 2
1 22
1 2n
;
Xn
1
1 2n
1
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一、数列极限的定义
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定 0,
只要 n N ( [1])时,
有
xn 1 成立.
第8页/共30页
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定义如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn, 不等式 xn a 都成立,那末就称常数 a是数列
例2
设xn
C(C为常数),
证明 lim n
xn
C.

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(3)
lim an n bn
A B
(bn 0 , B 0 )
3 . 几个常用的极限 :
(1) lim C C (2) lim C 0 (3) lim qn 0 . ( q 1 )
n
n n
n
0 a 1
4 . 两种类型极限: (1)
lim
n
an
n
bn

B
是
lim
n
an
bn
A B的(
)
A. 充分必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
4.
lim 2 n

r
r
1
n

2
,
则
r
的取值范围是
(
)
A. 1 r 1 B. r 1 C. r 1 D. r 1
an an
bn bn

6 . 已知 an 是以 a (a 0) 为首项以 q (1 q 0) 为
公比的等比数列, 设
A

lim
n
a1

a2

a3

an

B

lim
n
a1

a2

a3

a2n

பைடு நூலகம்
C

lim
n
a1

a3

a5

a2n1
D

lim
(1)
lim n
9 n2

18 n2

9n n2

(2)
lnim1

1 22
1

1 32
1

1 42
1

1 n2

(3)
lim
n
4n
2n n n 3n
1 32n 1
3n1
(4)
lim
n
cosn cosn

s in n s in n

0,
2
评析：1)四则运算法则只对任意有限个数列可进行四则运算，(1)小题数列个数是无限的，不适用于四则运算法则，因此应先求和后求极限.
2)对无穷多项的和(或积)求极限一般采用先求和(或积)后求极限.
(3) 数列

3
3 2

n

的极限为
3
.
(4)
数列

2n
3
n

没有极限.
A. (1) (2) B. (2) (3) (4) C. (1) (2) (3)
D. (1) (2) (3) (4)
3.
lim
n
an

A
,
lim
法则适应的前提条件.（参与运算的数列都
有极限，运算法则适应有限个数列情形）
⑶ 求数列极限最后往往转化为
1 nm
m

N

或
qn q 1 型的极限.
⑷求极限的常用方法：
①分子、分母同时除以 nm 或 an .
②求和（或积）的极限一般先求和（或积）
再求极限.
③利用已知数列极限
（如 lim qn 0 q 1, lim 1 0 等）.

a1a2
an
1 n
,
Sn
b1 b2
bn .
求
lim
n
Sn
.
评析：求一个数列前n项和的极限主要是确定和
的表达式.本题解题关键是先确定 bn
为等比数列，然后求和Sn的表达式，再求极限.
归纳小结，提高认识： ⑴ 只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.
⑵ 运用数列极限的运算法则求数列极限应注意
2
2
2
2
5.
lim
n
2n2 n 1 的值为 3n2 1
(
)
A. 1 2
B. 2 3
C. 1 2
D. 2 3
1 . 数列 an 的极限定义:
任给 0 , 存在 N 0 , 当 n N 时 , an A 恒成立 .
记作
lim
n
an

A.
注意 :
3)分式的极限通常是分子分母同除以趋向
较快的项. 4)求解含参数式子的极限时，应注意对参数进
行分类讨论.
例2. 已知
nlim
n2 n
1 1

an

b

0
，求实数
a , b的值.
例3.
数列 an 是首项为1
,
公比为 Sin
(0
) 2
的等比数列, 又 bn
数列的极限
1
.
已知
lim
n
an

A
, 则在区间(A

,
A
)
外(
为任意
小的正的常数 ) , 数列 an 的项数为
.
( 填 " 有限项" 或 " 无穷项 " )
2 . 下列命题正确的是 (
)
(1) 数列
1n 3
没有极限. (2) 数列
1n

2
n

的极限为0 .
n
n n
④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限.
1 .已知等比数列an 的公比为q 1 ,
则 lim a1 a2 an 等于 (
)
n a6 a7 an
A. q5
B. q5
C. q
2.
lim n
4 n2
7 n2

3n n2
1
1 a 1
不存在 a
1 或 a 1
0
(s t)
(2)
lim
n
a0nt b0 n s

a1n t 1 b1n s1

at1n bs1n

at bs

a0 b0
(s t)
不存在 (s t)
例1. 求下列极限:
(1)
N与有关 .
(2)
lim
n
an

A 的几何意义是
当n N时 , an对应的点全部落在区间( A , A )之内.
2
.
数列极限的运算法则:
如果
lim
n
an

A,
lim
n
bn

B.则
(1)
lim
n
an

bn

A

B
(2)
lim
n
a n bn

AB

的值为
(
A. 5 6
B. 3 4
C. 1 2
3.
lim
1

1 2

1 4

1 2n
的值为
n
1

1 3

1 9

1 3n
D. 1 ) D. 3
2
4.
lim
n
n1

1 3
1

1 4
1

n
1
2

5.
若a 0,b0
,
则 lim n
n
a2

a4

a6

a2n

则 A , B , C , D 的大小关系为
思考题 :
已知数列an , bn 都是由正数组成的等比数列 ,
公比分别为 p , q . 其中 p q 且 p 1 , q 1 ,
设 cn an bn , Sn 为数列cn 的前 n 项的和.