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数列极限 PPT

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《数列极限》课件

《数列极限》课件
性。
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛

高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限ppt.ppt

高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限ppt.ppt

2024/9/27
17
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 ．
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时，
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势？ 我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量（ | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离），| b a | 越小，a 与 b 就越接近．为此，“数
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N．
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
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数列极限的定义PPT课件

数列极限的定义PPT课件

n
n
证
xn a
n (1)n1
1
n
1 n
任给 0,
要 xn 1 ,
只要 1 , n
即n 1,
对
0,
取
N
1
,
则当n N时,
总有 n (1)n1 1 1 ,
n
n
n (1)n1 lim
1.
n
n
第13页/共32页
例2 证明 lim 2n 1 2 . n 3n 1 3
(2)
lim
n
|
an
|
0
lim
n
an
0.
第17页/共32页
五、小结
数列 研究其变化规律;
数列极限 “ – N ” 定义, 几何意义.
第18页/共32页
感谢您的欣赏
第32页/共32页
第4页/共32页
例如: 1) 2,4,8,,2n ,, xn 2n ;
(2n )n1
2) 1, 1,1,,(1)n1 ,, xn (1)n1 ; ( (1)n1 )n1
3) 2, 1 , 4 , 3 , 6 , 5 ,,
2 3 456
xn
n
(1)n1 n
;
n (1)n1 n
n1
4) 3, 3 3, 3 3 3,, 3 3 3 ,
第6页/共32页
三、数列的极限
问题: 当 n 无限增大时, xn 的变化趋势如何？
把 n 无限增大这个重要的变化过程记为 n.
当 n 时,
xn
1 (1)n1 n
无限接近于 1 .
当 n 时, xn 2n 无限增大 .
当 n 时, xn (1)n 没有确定的变化趋势 .

数列的极限ppt

数列的极限ppt

恒有 f ( x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0 ( x x0 )
注意:{x 0 x x0 }
f ( x0 0) A.
{ x 0 x x0 } { x x x0 0}
. Sept. 26 Mon
Review
1.数列极限性质：唯一性，有界性，夹逼性， 保号性；
定理 : lim f ( x) A x x0
f ( x0 0) f ( x0 0) A.
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1. 不等式 xn a 刻划了 xn 与 a 的无限接近;
2. N 与任意给定的正数 有关.
极限的 N 定义:
lim
n
xn
a
0, N 0,使 n N 时,恒有 xn a .
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x1 , x2 ,, xi ,xn ,
xn1 , xn2 ,, xnk ,
xn
1
(1)n 2
子列 1，1，
0，0，
0, 1, 0, 1,
定义3. 设有序列{ xn }，若 M 0，对一切n 都有： | xn | M 则称 {xn} 是有界序列。
例： 0,1,0,1,
为有界序列。
二. 数列极限的定义
有界，几个特殊数列的极限; 。

数列极限的定义ppt课件

数列极限的定义ppt课件
当n无限增大时, an无限接近于a . 当n无限增大时, |ana|无限接近于0 . 当n无限增大时, |ana|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |ana|能小于事先给定的任意 小的正数.
因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |ana|能小于事先 给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, an无限接近于常 数a.
7 3(3n 1)
7 9n
1 n
对 0,
取
N
1
,
则当n N时,
总有 2n 1 2 1 ,
3n 1 3 n
lim 2n 1 2 . n 3n 1 3 0, 存在N（），使得，当n N时，
an a 成立
11
用定义证明
lim
n
an=
a，就是证明对
>0，N存在.
证明的步骤：
n
nn
随着n的增加，1/n会越来越小.例如
给定 1,
由 1 1, n
只要 n 1时,
有 an 1 1,
给定 1 , 由 1 1 ,
10
n 10
只要 n 10时,
有
1 an 1 10 ,
给定 给定
1, 1010 1000
由 ,
1 1 , n 100 只要 n
只要 n 1000时,
2
数列的极限
例如
111 1
, , , 248
, 2n
,
;
2, 3 , 4 ,L , n 1 ,L ; 23 n
{
1 2n
}
{n 1} n
2, 1 , 4 , , n (1)n1 , ;
23
n
n (1)n1
{

数列的极限(PPT)4-3

数列的极限(PPT)4-3

注：上述运算法则对于x→∞的情况仍然成立
这种距离上的相对近使得金属锑的密度达到. 7g/cm，但层与层之间的成键很弱也造成它很软且易碎。 [] 同位素 锑有两种稳定同位素，Sb的自然丰度为 7.%，而Sb的自然丰度为4.4%。锑还有种放射性同位素，其中半衰期最长的Sb为.7年。此外，已发现了 种亚稳态。这其中最稳定的是Sb，半衰期为.天， 它可以用作中子源。比稳定同位素Sb轻的；展台搭建 展台搭建 ； 同位素倾向于发生β衰变，而较重的同位素更易发生β衰变。 当然也有一些例外。 [4] 化合物编辑 锑化合物通常分为+价和+价两类。与同主族的砷一样，它的+氧化态更为稳定。 [] 氧化物与氢氧化物 三氧化二锑可由 锑在空气中燃烧制得。在气相中，它以双聚体Sb4O的形式存在，但冷凝时会形成多聚体。五氧化二锑只能用浓硝酸氧化三价锑化合物制得。锑也能形成混 合价态化合物——四氧化二锑，其中的锑为Sb(III)和Sb(V)。与磷和砷不同的是，这些氧化物都是两性的，它们不形成定义明确的含氧酸，而是与酸反应形 成锑盐。 还没有制得亚锑酸（Sb(OH)），但它的共轭碱亚锑酸钠（[NaSbO]4）可由熔融的氧化钠与三氧化二锑反应制得。过渡金属的亚锑酸盐也已制得。 锑酸只能以水合物HSb(OH)的形式存在，它形成的盐中含有Sb(OH)?。这些盐脱水得到混合氧化物。 [] 许多锑矿石是硫化物，其中如辉锑矿（SbS）、深 红银矿（AgSbS）、辉锑铅矿、脆硫锑铅矿和硫锑铅矿。五硫化二锑是一种非整比化合物，锑处于+氧化态并含有S-S键。有多种硫代锑酸盐是已知的，例 如[SbS]和[SbS]。 卤化物 锑能形成两类卤化物——SbX和SbX。其中三卤化物（SbF、SbCl、SbBr和SbI）的空间构型都是三角锥形。三氟化锑可以由三 氧化二锑与氢氟酸反应制得： SbO + HF → SbF + HO 这种氟化物是路易斯酸，能结合氟离子形成配离子SbF4?和SbF?。熔化的三氟化锑是一种弱的导体。 三氯化锑则由三硫化二锑溶于盐酸制得： SbS + HCl → SbCl + HS 五卤化物（SbF和SbCl）气态时的空间构型为三角双锥形。但是转化为液态后，五氟化 锑形成聚合物，而五氯化锑依旧是单体。五氟化锑是很强的路易斯酸，可用于配制著名的超强酸氟锑酸（HSbF）。 锑的卤氧化物比砷和磷更为常见。三氧 化二锑溶于浓酸再稀释可形成锑酰化合物，例如SbOCl和(SbO)SO4。 [7] 锑化物、氢化物与有机锑化合物 这类化合物通常被视作Sb的衍生

高等数学《数列的极限》课件

高等数学《数列的极限》课件
则有唯一极限 a 存在 .
取
则存在 N ,
但因
交替取值 1 与－1 ,
内,
而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间
使当 n > N 时, 有
因此该数列发散 .
2. 收敛数列一定有界.
证: 设
取
则
当
时,
从而有
取
则有
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立.
例如,
虽有界但不收敛 .
欲使
即
只要
因此 , 取
则当
时, 就有
故
例2. 已知
证明
证:
欲使
只要
即
取
则当
时, 就有
故
故也可取
也可由
N 与 有关, 但不唯一.
不一定取最小的 N .
说明:
取
例3. 设
证明等比数列
证:
欲使
只要
即
亦即
因此 , 取
, 则当 n > N 时,
就有
故
的极限为0 .
二、收敛数列的性质
证: 用反证法.
第一章
二 、收敛数列的性质
三 、极限存在准则
一、数列极限的定义
第二节
数列的极限
数学语言描述:
一 、数列极限的定义
引例.
设有半径为 r 的圆,
逼近圆面积 S .
如图所示 , 可知
当 n 无限增大时,
无限逼近 S .
当 n > N 时,
用其内接正 n 边形的面积
总有
(刘徽割圆术)
他对数学的贡献主要集中
在微积分学,

数列的极限讲解(课堂PPT)

数列的极限讲解(课堂PPT)

函数与极限
2
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
函数与极限
R
目录 上一页 下一页 退3出
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为 X n
函数与极限
目录 上一页 下一页 退9出
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数N ,使得对于n N 时的一切 xn,
不等式 xn a 都成立,那末就称常数a是数列
x n 的极限,或者称数列x n 收敛于a ,记为
lim
n
xn
a,
或xn a
(n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
令n a 1 n 0, 于是
a = (1 n )n 1 nn nn
1 nn nn
0, 为了使
n
a
1
λn
a n
ε,
λn
a n
只要使
n
a, ε
因此,
取N
a
,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则当n > N 时,有
n
a
1
n
. 即
函数与极限
lim
n
n
a
1.
16
二、收敛数列的性质
1、有界性
定义: 对数列xn , 若存在正数M , 使得一切自 然数n , 恒有 xn M 成立, 则称数列xn 有界,
动点在数轴上依次取 x1 , x2 , , xn , .

数学分析课件之第二章数列极限

数学分析课件之第二章数列极限

02
数列极限的运算性质
数列极限的四则运算性质
01
02
03
04
加法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n + y_n) =
a + b$。
减法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n - y_n) =
a - b$。
数列极限的性质
总结词
数列极限具有一些重要的性质，如唯一性、收敛性、保序性等。
详细描述
数列极限具有一些重要的性质。首先，极限具有唯一性，即一个数列只有一个极限值。其次，极限具有收敛性， 即当项数趋于无穷时，数列的项逐渐接近极限值。此外，极限还具有保序性，即如果一个数列的项小于另一个数 列的项，那么它们的极限也满足这个关系。
指数性质
若$lim x_n = a$且$0 < |a| < 1$ ，则$lim a^{x_n} = 1$。
幂运算性质
若$lim x_n = a$，则$lim x_n^k = a^k$（其中$k$为正整数）。
数列极限的运算性质在数学中的应用
解决极限问题
利用数列极限的运算性质，可以 推导和证明一系列数学定理和公 式，如泰勒级数、洛必达法则等
无穷小量是指在某个变化过程中，其 值无限趋近于0的变量。
性质
无穷小量具有可加性、可减性、可乘 性和可除性，但不可约性。
无穷大量的定义与性质
定义
无穷大量是指在某个变化过程中，其值无限增大的变量。
性质
无穷大量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷小量与无穷大量的关系
1 2
无穷量是无穷大量的极限状态

数列极限PPT课件

数列极限PPT课件

定理2(有界性定理)若数列{ xn }收敛,则{ xn } 必是有界数
列.
若{
xn
}是无界数列,则
{
xn
}发散,即lim
n
xn
不存在.
定理3(保序性定理)设{ xn},{
yn}的极限存在,且 lim
n
xn
lim
n
yn , 则存在正整数
N,当n
N 时,有xn
yn .
推论1(保号性定理)设
{
xn
}的极限存在,且lim
4.数列极限的几何意义.
xn A(n )就是对以 A为中心,以任意小的正数 为半径的邻域U ( A, ),总能找到一个N,从第N 1 项开 始,以后的各项(无限多项)都落在邻域 U ( A, ) 内,而在 U ( A, )外,至多有N项(有限项).
三、数列极限的性质及收敛准则
定理1(唯一性定理)若数列{ xn }收敛,则其极限值必唯一.
n
xn
0
(或
lim
n
xn
0),则存在正整数N,当n

N
时,有xn
0(或
xn
0).
推论2 设{ xn },{ yn}的极限存在,若 xn yn (当n N 时),则
lim
n
xn
lim
n
yn .
特别地,若 xn
0
(或 xn
0
),则lim
n
xn
0
(或 lim
n
xn
0).
注:在推论2中即使是xn
yn
,也只能推出lim
定义2 若数列{ xn}满足 x1 x2 x3 xn ,
则称{ xn}是单调递增数列.如果 x1 x2 x3 xn ,

数列的极限优秀公开课PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课

数列的极限优秀公开课PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课

三、数列旳极限
观察数列 {1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
三、数列旳极限
观察数列 {1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
三、数列旳极限
观察数列 {1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
问题: 当 n 无限增大时, xn是否无限接近于某一
拟定旳数值?假如是,怎样拟定?
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,; {n (1)n1 }
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注意： 1.从几何上看，数列能够看作一种动点 在数轴上旳运动．
x3 x1 x2 x4 xn
2.从函数旳角度看，数列是整标函数
xn f (n). n N
三、数列旳极限
观察数列 {1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
——刘徽
一、概念旳引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
正六边形旳面积 A1
正十二边形旳面积 A2
R
正6 2n1形旳面积 An
A1, A2 , A3 ,, An ,
S
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为
三、数列旳极限
观察数列 {1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
三、数列旳极限
观察数列 {1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
三、数列旳极限
观察数列 {1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
三、数列旳极限
观察数列 {1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
合适放大为 | xn a | (n) 再令 (n) , 并从中能以便旳解出 n ( ),
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课堂小结 1、极限的四则运算，要特别注意四则运 算的条件是否满足。
2.几个重要极限：
limC C （C为常数）
n
lim 1 0 n n
当 q 1 时 lim qn 0 n
2、本节复习内容是数列极限在代数，平
面尤其几要何注、意三公角式、S解=析几何1的中a 1运q的用综。合应用，
【作业】教材闯关训练。Байду номын сангаас
第二节数列的极限
１、数列极限的定义
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an} 的项an无限地趋近于某个常数a（即an-a无限地接近 于0），那么就说数列{an}以a为极限，或者说a是数列 {an}的极限。
记为: nliman=a. 也可记为：当n 时，an a。 注：1）数列的极限是仅对于无穷数列而言的；
n 5n2 7
(2)lim( n2nn) n
(3)nl i m(n22 n42 .....2nn2)
(4)lim an(1a)(1an1)
...........n an1(1a)(1an)(a1)
例2：已知 lnim (3na2n2cnbn14n)5
求常数a、b、c的值。
例3．(优化P204例2)已知数列{ an }是由正数 构成的数列，a1=3，且满足于lgan =lgan-1 +lgc，其中 n 是大于1的整数，c 是正数
2）“趋近”和“无限趋近”是不同的概念，无限趋近是指随n 的无
限增大，数列中的项与常数a的距离可以任意小；
3）若数列{an}的极限为a，则可以是从大于a的方向无限趋近 于a，也可以是从小于a的方向无限趋近于a，还可以是从a 的两侧摆动地无限趋近于a。
2.几个重要极限：
limC C （C为常数） lim 1 0
n
n n
当 q 1 时 lim qn 0 n
3．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就 是一个特殊的函数，对于一般的函数f(x) x∈R是否有同 样的结论？
3、数列极限的运算法则
如果 lim an=A， lim bn=B
n
n
那么
(1)
lim n
(an±bn)=A±B
（１）求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
lim （2）
求
n
2n1 an 的值 2n an1
例 4(优 化 P204例 4) 若 数 列 {a n}的 首 项 为 a1 1, 且 对 任 意 n N * , an与 an1恰 为 方 程 x2 bn x c n 0 的两根,
其
中
0<
(２)lnim (an·bn)=A·B
(３)lnim
an b n
=
A B
(B≠0)
4。特别注意：数列极限运算法则运用的前提: （１） 参与运算的各个数列均有极限;
(２)运用法则,只适用于有限个数列参与运算, 当无限个数列参与运算时不能首先套用.
例1：求下列极限(优化Ｐ204例1)
lim (1)
2n2 n7
c
1,当
l
i
m(
b 1
b 2
...
b n
)
3,
n
求c的取值范围
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
备用
例5、某城市2001年末汽车保有量为30万辆， 预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护 城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过 多少辆？