2011届高考数学人教A版一轮复习课时练习-第八章 第一节--直线的倾斜角与斜率

第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．(2)倾斜角的范围为 由题意得2m －31－m ＝tan 135°＝－1，即2m －3＝m －1，所以m ＝2，故选B.2.教材习题改编经过点P 0(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0D 由点斜式得直线方程为y －(－3)＝tan 45°(x －2)＝x －2，即x －y －5＝0，故选D.3.教材习题改编倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．3x －y ＋1＝0 B ．3x －y －3＝0 C ．3x ＋y －3＝0D ．3x ＋y ＋3＝0D 因为倾斜角为120°，所以斜率k ＝－ 3. 又因为直线过点(－1，0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.4．(2017·烟台模拟)如果AC ＜0，BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C 由题意知直线的斜率k ＝－A B ＜0，直线在y 轴上的截距b ＝－C B＞0，故选C. 5．直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1，4)，D (5，0)，则直线l 的方程为________．直线l 平分平行四边形ABCD 的面积，则直线l 过BD 的中点(3，2)，则直线l ：y ＝23x .y ＝23x直线的倾斜角与斜率(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1，1)和Q (2，2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．【解析】 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α.由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈． 由于θ∈1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈ 因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 4求直线的方程(高频考点)直线方程是解析几何的一个基础内容，在高考中经常与其他知识结合考查，多以选择题、填空题的形式呈现，多为中、低档题目．高考中对直线方程的考查主要有以下两个命题角度： (1)已知两个独立条件，求直线方程；(2)已知直线方程及其他条件，求参数值或范围．根据下列条件，分别写出直线的方程： (1)经过点A (－3，2)，B (－3，5)； (2)斜率为32，在x 轴上的截距为－7； (3)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．【解】 (1)显然A 、B 的横坐标相同，故直线AB 与y 轴平行，其方程为x ＝－3. (2)由题意，直线过点(－7，0)． 代入直线的点斜式方程得y ＝32(x ＋7)， 即3x －2y ＋73＝0.(3)由已知，设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. 因为tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.与直线方程有关问题的解题策略(1)在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．(2)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．角度一 已知两个独立条件，求直线方程1．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0D 已知圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.角度二 已知直线方程及其他条件，求参数值或范围2．已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a >0，a 是常数)，当此直线在x ，y 轴上的截距之和最小时，a 的值是( )A ．1B ．2C ． 2D ．0A 直线方程可化为x a ＋y 1a＝1，因为a >0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号．直线方程的综合问题过点P (4，1)作直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程．【解】 设直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 因为直线l 经过点P (4，1)， 所以4a ＋1b＝1.(1)4a ＋1b＝1≥24a ·1b＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎪⎫4a ＋1b＝5＋a b＋4ba≥9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立， 所以当|OA |＋|OB |取最小值时， 直线l 的方程为x ＋2y －6＝0.直线方程的应用问题常见的类型及解法(1)与函数相结合命题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x 、y 的关系，将问题转化成关于x 的某函数，借助函数性质来解决．(2)与方程、不等式相结合命题：一般是利用方程、不等式等知识来解决．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0. 因为S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k，即k ＝12，所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0., )——分类讨论思想在求直线方程中的应用(2017·常州模拟)过点P (－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为__________________．【解析】 (1)当截距不为0时，设所求直线方程为x a ＋ya＝1，即x ＋y －a ＝0. 因为点P (－2，3)在直线l 上， 所以－2＋3－a ＝0，所以a ＝1， 所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0.(2)当截距为0时，设所求直线方程为y ＝kx ， 则有3＝－2k ，即k ＝－32，此时直线l 的方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0. 【答案】 x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0(1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用．(3)求直线方程时，还要断定直线是否具有斜率，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．1.若直线过点P ⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为( )A ．3x ＋4y ＋15＝0B ．x ＝－3或y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0D 若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，则圆心(0，0)到直线的距离为52－42＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k －32k 2＋1，解得k ＝－34，此时该直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0.2．过点M (－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． (1)当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；(2)当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(－3，5)，得a ＝－8. 即直线方程为x －y ＋8＝0.y ＝－53x 或x －y ＋8＝0, )1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0D 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a. 所以a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 3．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab >0，bc <0 B ．ab >0，bc >0 C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b <0且－c b>0，故ab >0，bc <0.4．两直线x m －y n ＝a 与x n －y m＝a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )B 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝m nx －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．5．(2017·太原质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．13B ．－13C ．－32D ．23B 依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.6．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．B ．(－∞，－2]∪ D ．(－∞，＋∞)C 令x ＝0，得y ＝b2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是．7．过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为________．设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. 3x ＋4y ＋15＝08．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． 直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0， 解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)． (2，－2)9．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值． 所以b 的取值范围是．10．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a ＝________．由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．1211．△ABC 的三个顶点分别为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．(1)因为直线BC 经过B (2，1)和C (－2，3)两点， 由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2， 即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2. BC 边的中线AD 过点A (－3，0)，D (0，2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y 2＝1， 即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12， 则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由(2)知，点D 的坐标为(0，2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.12．直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．如图，因为k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， 所以k ∈(－∞，－3]∪ (－∞，－3]∪ (1)因为直线l 的斜率存在，所以m ≠0， 于是直线l 的方程可化为y ＝－1m x ＋2m －6m. 由题意得－1m＝1，解得m ＝－1. (2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32. 法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32. 14. 如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1， 解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。

第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程[考纲传真] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (2)X 围：直线l 倾斜角的取值X 围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α≠90°，则斜率k ＝tan_α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式名称 方程适用X 围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用1．直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：α 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°kk ＞0 不存在k ＜02.当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2时，α越大，l 的斜率越大；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π时，α越大，l 的斜率越大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )(3)过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )[答案](1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是( ) A. 3 B ．－ 3 C.33D ．－33D [k AB ＝3＋1－3－3＝－33，故选D.]3．(教材改编)过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为( ) A.3x －3y ＋6＋3＝0 B.3x －3y －6＋3＝0 C.3x ＋3y ＋6＋3＝0 D.3x ＋3y －6＋3＝0 A [直线的斜率k ＝tan 30°＝33. 由点斜式方程得y －2＝33(x ＋1)，即3x －3y ＋6＋3＝0，故选A.] 4．如果A ·C ＜0且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [法一：由Ax ＋By ＋C ＝0得y ＝－A B x －C B. 又AC ＜0，BC ＜0，故AB ＞0，从而－A B ＜0，－C B＞0， 故直线不通过第三象限．故选C.法二：取A ＝B ＝1，C ＝－1，则直线x ＋y －1＝0，其不过第三象限，故选C.] 5．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 [若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.若直线不过原点，设x a ＋ya＝1，即x ＋y ＝a ，则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线方程为x ＋y ＋1＝0.]直线的倾斜角与斜率的应用【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值X 围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值X 围为________．(1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞) [(1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α.由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.(2)如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，要使过点P 的直线l 与线段AB 有公共点，只需k ≥1或k ≤－3，即直线l 斜率的取值X 围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．][母题探究] (1)若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值X 围．(2)若将本例(2)中的B 点坐标改为B (2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的X 围． [解] (1)∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)，∴k AP ＝1－02－－1＝13，k BP ＝3－00－－1＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. (2)如图，直线PA 的倾斜角为45°，直线PB 的倾斜角为135°， 由图象知l 的倾斜角的X 围为[0°，45°]∪[135°，180°)． [规律方法] 1.求倾斜角的取值X 围的一般步骤 1求出斜率k ＝tan α的取值X 围.2利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值X 围.,求倾斜角时要注意斜率是否存在. 2.斜率的求法1定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率. 2公式法：若已知直线上两点A x 1，y 1，Bx 2，y 2，一般根据斜率公式(1)已知点(－1,2)和⎝⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 倾斜角的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，πC.⎝⎛⎭⎪⎫3π4，5π6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，3π4(2)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 的横坐标的取值X 围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12B ．[－1,0]C ．[0,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 (1)D (2)A [(1)由题(－a －2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫33a －0＋1＞0， 即(a ＋1)(a ＋3)＜0，所以－3＜a ＜－1，又直线l 的斜率k ＝a ， 即－3＜k ＜－1，所以倾斜角的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫2π3，3π4，故选D.(2)由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1.所以－1≤x 0≤－12.故选A.]直线方程的求法【例2】 已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．[解](1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y－4＝0.(2)设BC 边的中点D (x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过A (－3,0)，D (0,2)两点，所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.所求直线方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0. [规律方法] 求直线方程应注意以下三点1在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零.3截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解.(1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________．(1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 (2)3x －y ＋6＝0 [(1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0. (2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3， 所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°， 故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0.]。

注意：(1)用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情 况下，注意对k存在与不存在进行讨论，否则会造成漏解．(2) 直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时 可用点斜式．(3)由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视 判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－AB.
【调研2】 (1)(2016·河北衡水重点中学摸底)经过点 A(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程 为________．
【解析】 由题意可知，所求直线的斜率为±1，又过点 (3,4)．
由点斜式得y－4＝±(x－3)，故所求直线的方程为x－y＋1 ＝0或x＋y－7＝0.
【答案】 x－y＋1＝0或x＋y－7＝0
请注意 1.对直线的倾斜角和斜率概念的考查，很少单独命题， 但作为解析几何的基础，复习时要加深理解． 2．直线方程一直是高考考查的重点，且具有以下特 点： (1)一般不单独命题，考查形式多与其他知识结合，以 选择题为主； (2)主要是涉及直线方程和斜率．
突破考点01 突破考点02 突破考点03
高考真题演练 课时作业
【解】 当cosθ＝0时，sin2θ＝1－cos2θ＝1，此时A，B重
合，∴cosθ≠0，∴k＝
1－sin2θ 0－cosθ
＝－cosθ，∴k∈[－
1,0)∪(0,1]，因此倾斜角的范围是0，π4∪34π，π.
1.斜率的求法 (1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数 值，一般根据k＝tanα求斜率； (2)公式法：若已知直线上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 一般根据斜率公式k＝yx22－－xy11(x1≠x2)求斜率．
【答案】 D
(2)若直线l过点M(－1,2)且与以点P(－2，－3)，Q(4,0)为 端点的线段恒相交，则l的斜率范围是________．

⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。