高中数学苏教版必修5学案：3.2.1 一元二次不等式的解法含解析

备课时间
2016年3月23日
上课时间
第周周月日
班级节次
课题
3.2一元二次不等式（2）
总课时数
第节
教学目标
1、会解简单的分式不等式，
2、掌握简单的含有参数 的一元二次不等式的解法；
教学重难点
初步掌握含有参数的一元二次不 等式的解法
教学参考
教材、教 参
授课方法
合作探究
教学辅助手段
多媒体
专用教室
教学过程设计
教
学
二次
备课
一 、情境创设
1．解一元二次不等式的步骤：
2．问题：写出关于 的不等式 的解集；
二、数学运用
例1.分式不等式的解法
解下 列分式不等式：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
学生合作探究，给出结论
教学过程设计
教
学
二次
备课
例2、 含参数的不等式的解法：
解下列关于 的不等式
（1）
（ 2）
（3）
三、要点归纳与方法小结
1.分式不等式 的解法：
2．含有参数的一元二次不等式的解法
三、巩固练习：
解下列关于 的不等式
(1)业
教学小结

§3.2 一元二次不等式(二)课时目标 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．1．一元二次不等式的解集：判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0 (x 1<x 2)Δ＝0 Δ<0ax 2＋bx ＋c >0(a >0)ax 2＋bx ＋c <0(a >0)2.解分式不等式的同解变形法则： (1)f (x )g (x )>0⇔__________； (2)f (x )g (x )≤0⇔__________； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 3．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况：ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)恒成立⇔__________； ax 2＋bx ＋c ≤0 (a ≠0)恒成立⇔__________.(2)一般地，若函数y ＝f (x )，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： a >f (x )，x ∈D 恒成立⇔____________； a <f (x )，x ∈D 恒成立⇔____________.一、填空题1．不等式x －2x ＋3>0的解集是________________．2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是________．3．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为________．4．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是________．5．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中元素个数为________．6．若关于x 的不等式x －ax ＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________.7．若不等式－x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是________．8．若全集I ＝R ，f (x )、g (x )均为x 的二次函数，P ＝{x |f (x )<0}，Q ＝{x |g (x )≥0}，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0，g (x )<0的解集可用P 、Q 表示为________．9．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________．10．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．二、解答题11．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t %应在什么范围内变动？12．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围．能力提升13．已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0(k ∈R )的两个实数根，则x 21＋x 22的最大值为________________．14．已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .§3.2 一元二次不等式(二)答案知识梳理1．{x |x <x 1或x >x 2} {x |x ∈R 且x ≠－b2a} R {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅ 2.(1)f (x )·g (x )>0(2)⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0 3．(1)⎩⎨⎧ a >0Δ<0 ⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0 (2)a >f (x )max a <f (x )min作业设计1．(－∞，－3)∪(2，＋∞)解析 解不等式x －2x ＋3>0得，x >2或x <－3.2．{x |x ≥1或x ＝－2}解析 当x ＝－2时，0≥0成立．当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1.∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}． 3．{x |x ≠－2}解析 ∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34恒大于0，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．4．[－12，1)∪(1,3]解析 x ＋5(x －1)2≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥2(x －1)2x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，∴x ∈[－12，1)∪(1,3]． 5．6解析 解不等式(x －1)2<3x ＋7，然后求交集．由(x －1)2<3x ＋7，得－1<x <6，∴集合A 为{x |－1<x <6}， ∴A ∩Z 的元素有0,1,2,3,4,5，共6个元素． 6．4解析x －ax ＋1>0⇔(x ＋1)(x －a )>0⇔(x ＋1)(x －4)>0，∴a ＝4. 7．a ≥1解析 ∵Δ＝4－4a ≤0，∴a ≥1. 8．P ∩∁I Q解析 ∵g (x )≥0的解集为Q ，所以g (x )<0的解集为∁I Q ，因此⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0，g (x )<0的解集为P ∩∁I Q .9．0≤a ≤4 解析 a ＝0时，A ＝∅；当a ≠0时，A ＝∅⇔ax 2－ax ＋1≥0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0⇔0<a ≤4，综上所述，实数a 的取值范围为0≤a ≤4.10．x <1或x >3解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝x 2－3x ＋2>0g (－1)＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2x <2或x >3⇔x <1或x >3. 11．解 由题意可列不等式如下： ⎝⎛⎭⎫20－52t ·24 000·t %≥9 000⇔3≤t ≤5. 所以t %应控制在3%到5%范围内．12．解 由x 2－x －2>0，可得x <－1或x >2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}， 方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0的两根为－k 与－52，①若－k <－52，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；②若－52<－k ，则应有－2<－k ≤3，∴－3≤k <2.综上，所求的k 的取值范围为－3≤k <2. 13．18解析 由已知方程有两实数根得，Δ≥0， 即(k －2)2－4(k 2＋3k ＋5)≥0.解得－4≤k ≤－43，又x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝－(k ＋5)2＋19，∴当k ＝－4时，x 21＋x 22有最大值，最大值为18. 14．解 (1)不等式化为(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0， 令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又∵|p |≤2，∴－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0.∴x >3或x <－1. 故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1，∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立， ∴p >(1－x )max .而2≤x ≤4， ∴(1－x )max ＝－1，于是p >－1. 故p 的取值范围是p >－1.。

2 2
2 （ 2） ( x a ) x a 0


（2）
x 2 (2a 1) x a(a 1) 0
（3） x 2 (a 2) x 2a 0 （3） x 2 (a 1) x a 0
三、要点归纳与方法小结 1. 分式不等式 的解法： （4） x ( a
2
1 )x 1 0 a
（a 0） 2．含有参数的一元二次不等式的解法
作业 教学 小结
-3-
教学辅助手 段
多 媒 体 专
一 、情境创设 1．解一元二次不等式的步骤： 2．问题：写出关于 x 的不等式 二、数学运用 例 1.分式不等式的解法 解下 列分式不等式： （1）
x 1 0 的解集； x2
学生合作探究，给出结论
1 2x 1 2x x2 0 （2） 0 （3） 1 x4 2x 5 x4
备 课 时 间 课题 教学 目标 教学 重难 点 教学 参考 授课 方法 教 教学 合作探究 教材、教 参 3.2 一元二次不等式（2） 1、会解简单的分式不等式， 2016 年 3 月 23 日 上 课 时 间
第
周
周
月
日
班级
节次
总课时数
第
节
2、掌握简单的含有参数 的一元二次不等式的解法； 初步掌握含有参数的一元二次不 等式的解法
（4）
3x 2 2 x x ≥ 0 （5） 0 （6） ≥0 x 1 x3 2x 1
教学 过程
教
学
二次 备课
-2-
设计
例 2、 含参数的不等式的解法： 解下列关于 x 的不等式 （1） x a ( x 1) 0
三、巩固练习： 解下列关于 x 的不等式 (1) x ax 20a 0

第一页，共26页。
§ 3.2（一）
【学习要求】 1．会解简单的一元二次不等式． 2．了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互
关系． 【学法指导】 1．利用图象的形象直观可以准确把握三个“二次”之间的关
系，牢固地记忆相关结论． 2．解一元二次不等式的关键是熟练掌握一元二次不等式解集的
结构特征，“对号入座”即可快速地写出其解集.
－23ax2－－53ax＋a<0， 即 2ax2－5ax－3a>0.
第十七页，共26页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高 效
§ 3.2（一）
又因为 a<0，所以 2x2－5x－3<0，所以所求不等式的解集为 x|－12<x<3. 小结 利用根与系数的关系寻找根之间的联系，借此求出方
程的根，其中观察根与系数关系的结构变化是解题的关键．
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高 效
§ 3.2（一）
(1)从函数的观点来看：
一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集，就是二次函数 y＝
ax2＋bx＋c (a>0)的图象在 x 轴上方 部分的点的横坐标 x 的集
合；ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集，就是二次函数 y＝ax2＋bx＋c
答案 函数 y＝x2－x－6 的图象．知： ①{－2,3}；②{x|x<－2 或 x>3}； ③{x|－2<x<3}．
第六页，共26页。
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§ 3.2（一）
问题 2 作出函数 y＝－x2＋4x－3 的图象，根据图象完成 下列问题： ①方程－x2＋4x－3＝0 的解集是________； ②不等式－x2＋4x－3>0 的解集是________； ③不等式－x2＋4x－3<0 的解集是________．