高等数学同济第七版第一章

反常积分
反常积分的概念
反常积分是对于无穷区间上的积分，它分为两类：无穷限的反常积 分和瑕点的反常积分。
反常积分的性质
反常积分具有一些特殊的性质，例如：无穷限的反常积分的结果可 能为无穷大，瑕点的反常积分的结果可能为无穷小。
反常积分的计算方法
对于不同类型的反常积分，计算方法有所不同，常用的方法包括利 用极限理论、幂级数展开等。
法则。
基本公式
02 基本公式包括指数函数的导数、幂函数的导数、对数
函数的导数和三角函数的导数等。
常见函数的导数
03
常见函数的导数包括一次函数的导数、二次函数的导
数、反比例函数的导数和幂函数的导数等。
微分及其应用
01
02
03
微分的概念
微分是函数在某一点处的 近似值，即函数在该点的 切线截距。
微分的几何意义
柯西中值定理
进一步揭示了函数在某点处的导数与该点附近函数的平均值之间的关系，是微分学中的重要定理之一。
洛必达法则
洛必达法则基本内容
在一定条件下，当一个函数的极限为0时，可以 应用洛必达法则求其导数的极限。
洛必达法则的应用
适用于求一些复杂函数的极限，简化计算过程 。
洛必达法则的条件
只有在满足一定条件下才能使用洛必达法则，否则可能导致错误的结果。
反常积分的应用
• 总结词：反常积分是定积分的一种推广形式，它可以用来求解更广泛的一类问 题。反常积分的应用包括物理、工程、经济等领域。
• 详细描述：反常积分是定积分的一种推广形式，它可以用来求解更广泛的一类 问题。反常积分有两种类型：无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。 无穷区间上的反常积分可以用来求解函数在无穷区间上的积分，而无界函数的 反常积分可以用来求解函数在有限区间上的瑕积分。反常积分的应用非常广泛 ，包括物理、工程、经济等领域。例如，在物理学中，反常积分可以用来求解 量子力学中的波函数问题、电动力学中的电磁场问题等；在工程学中，反常积 分可以用来求解流体动力学中的问题、热传导问题等；在经济领域，反常积分 可以用来求解贴现问题、投资组合问题等。

高等数学同济第七版上册笔记
高等数学同济第七版上册笔记：
一、第1章函数及其图象。

1、函数：定义域、值域和定义域与值域、函数的唯一性、函数的表示式。

2、一元函数：一元函数关系、函数增减性及极值、函数的单调性。

3、二元函数：一般性函数定义、定义域及值域、函数变换、矩阵运算。

4、函数的图象：函数的图象的判断、函数的图象的绘制和性质。

二、第2章一次函数。

1、一次函数的斜率：斜率的定义、斜率的性质、斜率的应用。

2、一次函数的判别式：一次函数的判别式的性质。

3、一次函数的图象：一次函数的图象的对称性、一次函数的图象的性质。

4、一次函数的运算：一次函数的加法、减法、乘法、除法、幂次。

三、第3章线性函数。

1、线性函数的法则：线性函数的性质、线性函数的图象。

2、线性变换：线性变换的定义和性质。

3、矩阵的运算：矩阵的定义和性质、矩阵的加法和乘法、矩阵的乘方。

四、第4章二次函数。

1、二次函数的性质：二次函数的判定、二次函数的标准形式。

2、二次函数的图象：二次函数的图象的判断和绘制、二次函数的图象的性质。

3、二次函数的运算：二次函数的加法、减法和乘法。

4、二次函数的拟合：二次函数的拟合问题、最小二乘法。

（1）
lim x2 ln 1
x
3 x2 ；
解：当 x
ln 1
时，
3 x2
~
3 x2
，所以
lim x2 ln 1
x
3 x2
lim x2
x
3 x2
3
（2）
3 lim
sin x x
3x
x 0 1 cos x
解：
lim
x0
3
sin x x 1 cos x
3x
..
1 sin x x 1
lim 3x
3
x 0 1 cos x
例５
求
lim
x0
tan x sin sin3 2x
x
.
解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
原式 lim x x x0 (2x)3
0.
错
解 x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
1 x3
例４ 求 lim (x 1)sin x . x0 arcsin x
解 当x 0时, sin x ~ x, arcsin x ~ x.
原式 lim (x 1)x lim( x 1) 1.
x0 x
x0
注意 不能滥用等价无穷小代换.
切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小不能分别代换.
常用等价无穷小: 当x 0时,
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x) x ~ e x 1, 1 cos x ~ 1 x2 , (1 x)a 1 ~ ax (a 0)

高等数学同济第七版上册附录第一章函数与极限第一节映射与函数第二节数列的极限第三节函数的极限第四节无穷小与无穷大第五节极限运算法则第六节极限存在准则两个重要极限第七节无穷小的比较第八节函数的连续性与间断点第九节连续函数的运算与初等函数的连续性第十节闭区间上连续函数的性质总习题一第二章导数与微分第一节导数概念第二节函数的求导法则第三节高阶导数第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率第五节函数的微分总习题二第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理第二节洛必达法则第三节泰勒公式第四节函数的单调性与曲线的凹凸性第五节函数的极值与最大值最小值第六节函数图形的描绘第七节曲率第八节方程的近似解总习题三第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质第二节换元积分法第三节分部积分法第四节有理函数的积分第五节积分表的使用总习题四第五章定积分第一节定积分的概念与性质第二节微积分基本公式第三节定积分的换元法和分部积分法第四节反常积分*第五节反常积分的审敛法Γ函数总习题五第六章定积分的应用第一节定积分的元素法第二节定积分在几何学上的应用第三节定积分在物理学上的应用总习题六第七章微分方程第一节微分方程的基本概念第二节可分离变量的微分方程第三节齐次方程第四节一阶线性微分方程第五节可降阶的高阶微分方程第六节高阶线性微分方程第七节常系数齐次线性微分方程第八节常系数非齐次线性微分方程*第九节欧拉方程总习题七附录Ⅰ二阶和三阶行列式简介附录Ⅱ基本初等函数的图形附录Ⅲ几种常用的曲线附录Ⅳ积分表习题答案与提示。