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高等数学（同济人学数学系-第七版）上册高等数学（同济大学数学系第七版）上册第三章：微分屮值定理与导数的应用课后习题答案微分中值定理&I.脸证罗尔定理对= Insin x任区间［于打］上的止确性.证函数/（x）=lnsinx^［y^］匕连续•在（卡•乎）内可导■又4f）= ,nsin 6 =,n \ /（T）= ,n,in T=，n T*即4才）唧认卜灯⑷在［:・丫］上満足罗尔定理条件•山罗尔定理®至少仔任T・（H（:、罟卜仙'（§）"•乂 JS二瓷令厂（丫）“得""T +于（w = 0. = 1 ・ ± 2 .・•・）・ JR 兀=0 w（? •普）・IM比罗尔定理对函数尸Insin x任区叫亍'寻］上是正确的•& 2.脸证拉格制日中值定理对函敎y・4』-5/u 2在区何［0,1］上的正确性.it 匪数/（尤）=4“・5/在区河卫・1上连缤■金（0.1）內叫导，故/（・丫）在0」上满足拉格朗H中值定理条件，从而至少存在一点f e（0J）.使门小斗护二仝严“又•由八° =12^2 - 10f 4 I =0 olUlf =^~^G（0J） JM此拉俗阴H屮值定理对函敗y=4八5P r・2徃区何0」；上是正确的."i"及化X）’ + cos X在IX间|o,y］j；验让柯內中值定理的正确性.证旳数"+0*在区1叫0,；］上连续皿（0.；）內可品.M住卩•寸）内=1 -MOX ZO.故.心）屮（兀）满足柯两中值定理条件•从而至55/ 1.高等数学（同济人学数学系•第七版）上册55/ 2.高等数学（同济人学数学系•第七版）上册55/ 3.高等数学（同济大学数学系-第七版）上册.55/ 4.高等数学（同济人学数学系•第七版）上册.55/ 5.高等数学（同济人学数学系-第七版）上册86 一、《离等数学》(第七版)上冊习趣全解55 / 6.高等数学(同济人学数学系•第七版)上册件；)"(0)"(目1 -0 cos £ T . 1 - HI1 {T"14Z n = 0,得 go = 2arclan -一~ . 1*1 0 < < 丨•故 C = 2arckm j 4 ^ * | € (。
习题1-11.求下列函数的自然定义域：(1)1(3)(5)sin (7)arcsin(3);(9)ln(1);y y x y y x y x ====-=+211(2);1(4);(6)tan(1);1(8)arctan ;(10).xe y xy y x y xy e =-==+=+=解：2(1)3203x x +≥⇒≥-，即定义域为2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2(2)101,x x -≠⇒≠±查看全部文档，请关注微信公众号：高校课后习题即定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞(3)0x ≠且2100x x -≥⇒≠且1x ≤即定义域为[)(]1,00,1-⋃2(4)402x x ->⇒<即定义域为(2,2)-(5)0,x ≥即定义域为[)0,+∞(6)1(),2x k k Z ππ+≠+∈即定义域为1(1,2x x R x k k Z π⎧⎫∈≠+-∈⎨⎬⎩⎭且(7)3124,x x -≤⇒≤≤即定义域为[]2,4(8)30x -≥且0x ≠，即定义域为(](,0)0,3-∞⋃(9)101x x +>⇒>-即定义域为(1,)-+∞(10)0,x ≠即定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞2.下列各题中，函数()f x 和()g x是否相同？为什么？222(1)()lg ,()2lg (2)(),()(3)()()(4)()1,()sec tan f x x g x x f x x g x f x g x f x g x x x========-解：（1）不同，因为定义域不同（2）不同，因为对应法则不同，,0(),0x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩（3）相同，因为定义域，对应法则均相同（4）不同，因为定义域不同3.设sin ,3()0,3x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩求(),((),(2),644πππϕϕϕϕ--并指出函数()y x ϕ=的图形解：1()sin ,()sin 66244()sin(),(2)0,44ππππϕϕππϕϕ====-=-=-=()y x ϕ=的图形如图11-所示4.试证下列函数在指定区间内的单调性：(1);1(2)ln ,(0,)xy xy x x =-=++∞证明：1(1)()1,(,1)11x y f x x x===-+-∞--设121x x <<，因为212112()()0(1)(1)x x f x f x x x --=>--所以21()(),f x f x >即()f x 在(,1)-∞内单调增加(2)()ln ,(0,)y f x x x ==++∞设120x x <<，因为221211()()ln 0x f x f x x x x -=-+>所以21()()f x f x >即()f x 在(0,)+∞内单调增加5.设()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数，若()f x 在(0,)l 内单调增加，证明()f x 在(,0)l -内也单调增加证明：设120l x x -<<<，则210x x l<-<-<由()f x 是奇函数，得2121()()()()f x f x f x f x -=-+-因为()f x 在(0,)l 内单调增加，所以12()()0f x f x --->即()f x 在(,0)l -内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)l l -上的。
高等数学同济第七版上册课后习题答案L 求下列函数的自然定义域： ⑴ y = J3K +2; ⑶ y =—Vi- x 2；X (5) y=sin(7)y = arcsin(x-3); (9)jV = ln(x + l);解：(1)3AI + 2>0=>X >-23(2)1 -厂工 0 = JCH ±1, 即定义域为(-8, -1) U (-1/)D (1, +8) (3)/ = 0且1一/之0=4工0且产仔1 即定义域为[-1R)D(0,1](2)y = 1 - JC (4);y -1 , A /4-JT (6)y = tan(x +1); (8)J=V3-x + arctanJL; x(10)y = e e\,即定义域为「一 2,+0?(4)4-犬＞。
二＞卜|＜2即定义域为(—2,2)(5)x2 0,即定义域为［0, +oc)71(6)x +1 / kjr + 一 (% £Z), \ 2 1即定义域为x xe R^x^(k+ )兀一1k eZ(7)|x-3|< 1= 2 WxW 4,即定义域为[2,4](8)3—冗2 0且4工0,即定义域为(一8,0) u(0,3](9)x + 1 >0=>x> -1 即定义域为(-1,+8) (10)工工0,即定义域为(一双0) u (0, +oo)2,下列各题中，函数/(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)/U) = 1g g(x) =21gx(2)/U) = x, g(x)=岳(3)/(%) = #(f-丁), g(x) =(4)/(x) = l,g(x) =sec'x — tarrx解；(1)不同，因为定义域不同((2)不同，因为对应法则不同，g(M= 1—= x.x>0< 0(3)相同，因为定义域，对应法则均相同(4)不同，因为定义域不同匹斗|斗＜3 .设a“)=\ 兀3州花一11 3求0(二),夕(巴)，旗一土),0(-2),并指出函数y = Q(x)的图形6 4 41 /乃、, 7T yfl二？，以 4)= sin 耳=~^,0(_Z)= sin(--)l = =0,44 | 2(l)y=(2)y = x + In x,(0, +oo)证明：,匹、 .匹%)=sm%解:4 .试证下列函数在指定区间内的单调X \-xx 1⑴尸/W = ---- -- = T+ -- --- ,(一00』)1-x 1-x设X] <工2 < 1，因为/%)—/区)=“七方 ,〉0 (—Xi) >U1 2所以/(X2 )> /(&),即/(X)在(一8,1)内单调增加(2) y - /(x) = x + In x,(0, +8)设0<»<彳2，因为 /U） -/u） = X - x+ In 当二。
高等数学（同济人学数学系-第七版）上册高等数学（同济大学数学系第七版）上册第三章：微分屮值定理与导数的应用课后习题答案微分中值定理&I.脸证罗尔定理对= Insin x任区间［于打］上的止确性.证函数/（x）=lnsinx^［y^］匕连续•在（卡•乎）内可导■又4f）= ,nsin 6 =,n \ /（T）= ,n,in T=，n T*即4才）唧认卜灯⑷在［:・丫］上満足罗尔定理条件•山罗尔定理®至少仔任T・（H（:、罟卜仙'（§）"•乂 JS二瓷令厂（丫）“得""T +于（w = 0. = 1 ・ ± 2 .・•・）・ JR 兀=0 w（? •普）・IM比罗尔定理对函数尸Insin x任区叫亍'寻］上是正确的•& 2.脸证拉格制日中值定理对函敎y・4』-5/u 2在区何［0,1］上的正确性.it 匪数/（尤）=4“・5/在区河卫・1上连缤■金（0.1）內叫导，故/（・丫）在0」上满足拉格朗H中值定理条件，从而至少存在一点f e（0J）.使门小斗护二仝严“又•由八° =12^2 - 10f 4 I =0 olUlf =^~^G（0J） JM此拉俗阴H屮值定理对函敗y=4八5P r・2徃区何0」；上是正确的."i"及化X）’ + cos X在IX间|o,y］j；验让柯內中值定理的正确性.证旳数"+0*在区1叫0,；］上连续皿（0.；）內可品.M住卩•寸）内=1 -MOX ZO.故.心）屮（兀）满足柯两中值定理条件•从而至55/ 1.高等数学（同济人学数学系•第七版）上册55/ 2.高等数学（同济人学数学系•第七版）上册55/ 3.高等数学（同济大学数学系-第七版）上册.55/ 4.高等数学（同济人学数学系•第七版）上册.55/ 5.高等数学（同济人学数学系-第七版）上册86 一、《离等数学》(第七版)上冊习趣全解55 / 6.高等数学(同济人学数学系•第七版)上册件；)"(0)"(目1 -0 cos £ T . 1 - HI1 {T"14Z n = 0,得 go = 2arclan -一~ . 1*1 0 < < 丨•故 C = 2arckm j 4 ^ * | € (。
习题1-10
1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间.
证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数.
因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根.
因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间.
2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b.
证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数.
f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0.
若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根;
若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根.
总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b.
3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有
|f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)⋅f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0.
证明设x0为(a,b)内任意一点.因为
0||lim |)()(|lim 0000
0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00
=-→x f x f x x , 即 )()(lim 00
x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续.
同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续.
因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )⋅f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0.
4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a <x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅ <x n <b , 则在[x 1, x n ]上至少有一点ξ, 使
n
x f x f x f f n )( )()()(21+⋅⋅⋅++=ξ. 证明 显然f (x )在[x 1, x n ]上也连续. 设M 和m 分别是f (x )在
[x 1, x n ]上的最大值和最小值.
因为x i ∈[x 1, x n ](1≤ i ≤n ), 所以有m ≤f (x i )≤M , 从而有 M n x f x f x f m n n ⋅≤+⋅⋅⋅++≤⋅)( )()(21,
M n
x f x f x f m n ≤+⋅⋅⋅++≤)( )()(21. 由介值定理推论, 在[x 1, x n ]上至少有一点ξ . 使
n
x f x f x f f n )( )()()(21+⋅⋅⋅++=ξ. 5. 证明: 若f (x )在(-∞, +∞)内连续, 且)(lim x f x ∞
→存在, 则f (x )必在(-∞, +∞)内有界.
证明 令A x f x =∞
→)(lim , 则对于给定的ε >0, 存在X >0, 只要|x |>X , 就有
|f (x )-A |<ε , 即A -ε<f (x )<A +ε .
又由于f (x )在闭区间[-X , X ]上连续, 根据有界性定理, 存在M >0, 使|f (x )|≤M , x ∈[-X , X ].
取N =max{M , |A -ε|, |A +ε|}, 则|f (x )|≤N , x ∈(-∞, +∞), 即f (x )在(-∞, +∞)内有界.
6. 在什么条件下, (a , b )内的连续函数f (x )为一致连续？。
