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高二数学抛物线

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2.3.1 抛物线及其标准方程

一、教学目标

1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程；

2.能够利用给定条件确定抛物线的位置和标准方程，能够根据抛物线的标准方程确定抛物线的焦点坐标和准线方程；

3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想；

二、教学重点：

抛物线的定义及标准方程

三、教学难点

抛物线定义的形成过程及不同位置抛物线标准方程的选择

四、教学过程

（一）创设问题情境：前面我们通过学习知道到两个定点的距离和为定值（大于两定点间的距离）的点的轨迹为椭圆，到两个定点的距离差的绝对值为定值（小于两定点间的距离）的点的轨迹为双曲线。

那么到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹又是什么呢？

设计意图：由于人教B版不涉及圆锥曲线第二定义，因此依然从学生熟知的椭圆、双曲线第一定义出发引入新课，贴切自然。

（二）新知探究：

lAF

引导学生通过交轨法寻找满足条件的几个点，运动后得到轨迹，教师通过几何画板演示。学生无论通过预习还是初中已有知识都知道轨迹是抛物线。

设计意图：学生初中已经熟悉开口向上（下）的抛物线方程，教材首先研究开口向右的如果从第二定义出发，与椭圆、双曲线成一系列。但人教版对第二定义不做要求，因此教师从学生熟悉的开口向上抛物线入手，自然亲切。

（三）定义教学：（板书：课题 抛物线及其标准方程）

我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.

注意：l不经过点F这个条件学生容易忽视，一方面教师可以几何画板演示，另一方面可以在下面标准方程推导引入焦参数p时提问：点和直线有几种位置关系，此时相应p的范围如何？在推导出标准方程后指出0p轨迹方程依然适用，但此时为0x，图像为直线。

（四）抛物线的标准方程

从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点,Mxy满足到焦点F的距离与到准线l的距离相等。那么动点,Mxy的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？

要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系.

问题 设焦点F到准线l的距离为(0)pp，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程？

引导学生着眼抛物线图像，隐去准线和焦点，学生利用对称性容易建立坐标系，求出标准方程)0(22ppyx

教师（1）强调P的意义；（2）引导与初中学习的抛物线一般方程比较，说明统一性和由于参数的不同方程形式的区别。

（3）教师说明曲线方程与方程的曲线：从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足方程，以方程的解,xy为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等，即方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程.

问题：在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：

（学生分前两排，中间两排，后面两排三组分别计算三种情况，一起填充表格）

图形 标准方程 焦点坐标 准线方程

y2=2px(p＞0)

（2p,0）

x=—2p

y2=—2px(p＞0)

（—2p,0）

x=2p

x2=2py(p＞0)

（0,2p）

y=—2p

x2=—2py(p＞0)

（0,—2p）

y=2p

问题：我们需要再如开口向上运算一遍吗？能否由图像的变化很快得到其他三种位置的标准方程呢？（引导通过关于xyxyyx，直线轴，直线轴，对称得到方程）

问题：方程的特点和焦点位置、开口方向有关吗？（引导观察得到一次项与对称轴坐标轴吻合，符号与开口方向吻合）

(五)例题讲解

例1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

08)4(;052)3(;2)2(;20)1(2222yxxyxyxy

例2：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：

（1）焦点是F（3，0）；

（2）准线方程 是41x；

（3） 焦点到准线的距离是2；

例1例2设计意图：从不同侧面巩固本节课重点即抛物线的标准方程。

思考题：点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程.

解：如右图所示，设点M的坐标为（x,y)

由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离.根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点的抛物线.

∵2p=4，∴p=8

因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为y2=16x.

变式训练2：

在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小.

解：如下图所示，设抛物线的点P到准线的距离为|PQ|

由抛物线定义可知：|PF|=|PQ|

∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|

显然当P、Q、A三点共线时，|PQ|+|PA|最小.

∵A(3,2)，可设P（x0,2)代入y2=2x得x0=2

故点P的坐标为（2，2）.

设计意图：巩固抛物线的定义，但要求较高，可以留作思考题课后讨论，下节课讲评。

(四)小结

1、抛物线的定义；

2、抛物线的四种标准方程；(先定位后定量)

3、注意抛物线的标准方程中的字母P的几何意义；

4、引导回顾抛物线定义及标准方程的推导，标准方程与初中一般式的联系。

(五)课后练习;练习册2.3.1

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高二数学抛物线笔记

高二数学抛物线笔记

高二数学：抛物线笔记大纲

一、基本定义和性质

1. 抛物线定义：作为圆锥截线的抛物线，是平面上一点到一定点（焦点）和到一条不过此点（准线）的定直线之间的所有点的集合。

2. 标准方程：y^2 = 2px (开口向右), x^2 = 2py (开口向上)

3. 焦距：p决定了抛物线的开口大小。

4. 顶点：对于给定的标准方程，顶点是 (0, p) 或 (p, 0)。

5. 对称性：抛物线关于其顶点对称。

二、性质与定理

1. 焦点与准线性质：对于任意一点在抛物线上，该点到焦点的距离等于到准线的距离。

2. 焦点弦：通过焦点的弦称为焦点弦，其长度与弦的倾斜角有关。

3. 切线与焦点：抛物线的切线与过切点的弦垂直，且切点处的切线与焦点的连线互相垂直。

三、几何性质与证明

1. 焦点三角形：通过焦点和切线的直线和通过切点的弦的垂直平分线交于焦点。

2. 切线性质：证明切线与过切点的弦垂直，并证明切点处的切线与焦点的连线互相垂直。 3. 抛物线与直线的关系：证明当直线的斜率存在时，直线与抛物线的交点必在一条直线上。

四、应用题解题策略

1. 几何意义：利用抛物线的几何意义解决最值问题。

2. 数形结合：结合代数方程和几何图形解决复杂问题。

3. 方程联立：当抛物线与其他曲线有交点时，联立方程求解。

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关键点详解

1. 标准方程的推导

标准方程的推导涉及复杂的几何关系和代数运算。理解这一推导过程有助于理解抛物线的本质。

2. 焦点与准线的性质

这是抛物线最基础也是最重要的性质之一。它告诉我们如何通过给定的点或条件来确定焦距和准线的位置。

3. 切线的性质与证明

证明切线的性质是理解抛物线几何特性的关键步骤，这涉及到复杂的几何推理和代数运算。

4. 应用题解题策略

解决抛物线应用题需要综合运用前面的知识，包括标准方程、焦点与准线、切线性质等，还需要掌握一些解题策略和技巧。

5. 数形结合的思想 在解决抛物线问题时，数形结合是非常重要的思想方法。通过将代数方程与几何图形相结合，可以更直观地理解问题并找到解决方案。

高二数学抛物线

高二数学抛物线

高二数学抛物线

高二数学里的抛物线，就像天空中绚丽的彩虹，有着独特的魅力与奥秘。

抛物线的图像像一个优雅的舞者，在平面直角坐标系这个大舞台上翩翩起舞。它有着一条对称轴，这对称轴像舞者的中心线，让整个图形左右对称，呈现出一种和谐的美感。抛物线上的点呢，就像舞者身上的亮片，分布在不同的位置，却又遵循着一定的规律。比如说，抛物线的顶点，它就像舞者的头部，是整个图形的关键部位，处于最特殊的位置，其坐标像舞者头部的坐标标记，确定了它，抛物线的大致形状就有了一个框架。

抛物线的方程像一把神奇的钥匙，打开了研究抛物线各种性质的大门。二次函数表达式 y = ax² + bx + c 就是这把钥匙的模样。其中 a 的值像一个指挥家，决定着抛物线的开口方向和大小。当 a 大于 0 时，抛物线像一个开心的笑脸，开口向上；当 a 小于 0 时，抛物线像一个难过的哭脸，开口向下。那 a 的绝对值越大，抛物线是不是像被拉伸得更厉害的橡皮筋，开口越窄？而 b 的值像一个小助手，和对称轴的位置有着微妙的关系，它像在幕后默默调整着舞者的站位，影响着对称轴的偏移。c 的值则像舞台的初始高度，决定了抛物线与 y 轴的交点位置，它像是给舞者设定了一个起始的高度平台。

抛物线在实际生活中的应用像一个个隐藏的宝藏，等待我们去发掘。比如投篮的时候，篮球在空中划过的轨迹像一条抛物线。球员们像聪明的数学家，在脑海里估算着抛物线的角度和力度，才能让篮球准确地落入篮筐。这抛物线的轨迹是不是像连接着球员手中的篮球和篮筐的隐形桥梁？还有桥梁的拱形，很多时候也设计成抛物线的形状。这抛物线形状的桥拱像一个坚固的卫士，能够均匀地分散压力，让桥梁稳稳地横跨在江河之上，承受着车辆和行人的重量，它是不是很厉害？

在学习抛物线的过程中，我们会遇到各种问题，就像在探索神秘森林时遇到的荆棘。求抛物线与直线的交点，这像在寻找两条不同路径的交汇点。我们要联立方程，像把两条线索放在一起比对，然后通过求解方程，像解开谜题一样，找到交点的坐标。这过程中，计算像一场艰难的战斗，稍有不慎就可能出错，但我们不能退缩，要像勇敢的战士，攻克每一个难关。

高二数学抛物线试题答案及解析

高二数学抛物线试题答案及解析

高二数学抛物线试题答案及解析

1. 已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离.

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）是否存在过的直线，使得直线被曲线截得的弦恰好被点所平分？

【答案】（1）；（2）即

【解析】（1）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程，或根据定义来求抛物线方程.（2）在解决与抛物线性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此；（3）求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，求出的值.

试题解析：（Ⅰ）因点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，

其方程为.

（Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，

依题意，得.

①当直线的斜率不存在时，不合题意.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立方程组，

消去，得，（*）

∴，解得.

此时，方程（*）为，其判别式大于零，

∴存在满足题设的直线

且直线的方程为：即.

解法二：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，

依题意，得.

∵在轨迹上，

∴有，将，得.

当时，弦的中点不是，不合题意，

∴，即直线的斜率,

注意到点在曲线的张口内（或：经检验，直线与轨迹相交）

∴存在满足题设的直线

且直线的方程为：即.

【考点】（1）抛物线的标准方程；（2）直线与抛物线的综合问题.

2. 如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1,2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．

高二数学抛物线试题答案及解析 2

高二数学抛物线试题答案及解析 2

高二数学抛物线试题答案及解析

1. 抛物线截直线所得弦长等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设直线与抛物线交点坐标分别为，将直线方程代入抛物线方程并化简的，由根与系数的关系可知，由弦长公式可知弦长，答案选A.

【考点】直线与抛物线相交弦长公式

2. 设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，分别过

、两点作抛物线的两条切线交于点，则有（ ）

A． B． C． D．

【答案】A．

【解析】设出过点F的直线方程即，联立方程组，化简整理得，设，，则由韦达定理得，．

，．由可得，

，所以，所以抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为，．

所以在点A处的切线方程为，即．

同理在点B处的切线方程为．

于是解方程组可得，，所以点C的坐标为．

所以

故答案应选A．

【考点】直线与抛物线的位置关系；向量的数量积．

3. 抛物线（）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足

.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A.

【解析】设，连接AF、BF，由抛物线的定义知，，在梯形ABPQ中，

；应用余弦定理得，配方得

，又因为，所以，得到.所以，即的最大值为，故选A.

【考点】抛物线的简单性质.

4. 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为3，则=（ ）

A． B． C．4 D．

【答案】B．

【解析】由题意可设抛物线方程为，因为点到该抛物线焦点的距离为3，所以，即，即抛物线方程为，又因为点在抛物线上，所以，所以，故选B．

【考点】抛物线的简单性质．

5. 设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点且点恰为的中点，则 【答案】8 【解析】设，因为是的中点，所以， 由点在抛物线上，所以 所以 所以答案填：8. 【考点】抛物线的定义与标准方程. 6. 如图，已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分，光源安装在焦点上，且灯的深度等于灯口直径，且为64 ，则光源安装的位置到灯的顶端的距离为____________．