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3.3 抛物线考纲要求1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、准线)．(重点) 2．能根据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行灵活转化，并能理解数形结合思想，掌握抛物线的简单应用．(难点)知识解读知识点①抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 知识点①抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0))|PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p2知识点①必记结论1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径． 2．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．题型讲解题型一、抛物线的定义及其应用例1．已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线【答案】D【解析】由已知得|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．例2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则∈OFP 的面积为( ) A ．12B ．1C ．32D ．2 【答案】B【解析】设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.又点P 到焦点F 的距离为2，∈由定义知点P 到准线的距离为2. ∈x P ＋1＝2，∈x P ＝1.代入抛物线方程得|y P |＝2，∈∈OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1. 例3．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 【答案】4【解析】如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4. 题型二、抛物线的标准方程 例1．[易错题]抛物线y ＝－116x 2的焦点坐标为( ) A ．⎝⎛⎭⎫－164，0 B ．()－4，0 C ．⎝⎛⎭⎫0，－164 D ．()0，－4【答案】D【解析】∈y ＝－116 x 2，∈x 2＝－16y ，因此焦点坐标为()0，－4 ．例2．已知点()1，1 在抛物线C ：y 2＝2px ()p >0 上，则C 的焦点到其准线的距离为( ) A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】由点()1，1 在抛物线上，易知1＝2p ，p ＝12 ，故焦点到其准线的距离为12．例3．若抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点(2，1)，则C 的标准方程是___________． 【答案】x 2＝4y【解析】因为抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，故设抛物线方程为x 2＝my ， 又抛物线过点(2，1)，所以22＝m ，即m ＝4，所以抛物线方程为x 2＝4y ．例4．如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的标准方程为________．【答案】y 2＝3x【解析】分别过点A ，B 作AA 1∈l ，BB 1∈l ，且垂足分别为A 1，B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |，得|BC |＝2|BB 1|，所以∈BCB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3，所以|AC |＝2|AA 1|＝6，所以|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，所以F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，从而抛物线方程为y 2＝3x .例5．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD ∈l ，交l 于D .若|AF |＝4，∈DAF ＝60°，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝x【答案】B【解析】根据抛物线的定义可得|AD |＝|AF |＝4， 又∈DAF ＝60°，所以|AD |－p ＝|AF |cos 60°＝12|AF |，所以4－p ＝2，解得p ＝2， 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . 题型三、抛物线的简单几何性质例1．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6【答案】B【解析】抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.例2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为( ) A ．(－1，0) B ．(1，0) C ．(0，－1)D ．(0，1)【答案】B【解析】抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2 ，由准线过点(－1，1)，得－p2 ＝－1，解得p ＝2．所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．例3．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则∈ABP 的面积为( ) A ．18 B ．24 C ．36 D ．48【答案】C【解析】以抛物线的顶点为原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)． 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为(p 2 ，0)．将x ＝p2 代入y 2＝2px ，可得y 2＝p 2．所以|AB |＝2p ，即2p ＝12，所以p ＝6．因为点P 在准线上，所以点P 到AB 的距离为p ＝6， 所以∈ABP 的面积为12×12×6＝36．例4．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，∈MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16x D ．y 2＝15x2【答案】B【解析】设M (x ，y )，因为|OF |＝p 2，|MF |＝4|OF |，所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p 2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p . 又∈MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .例5．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36xD ．y 2＝8x 或y 2＝32x 【答案】C【解析】因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6， 所以若设该点为P ，则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p2 ＝10．∈ 因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0．∈由∈∈解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x ．例6．(2022·山东淄博一模)若抛物线y 2＝2px ()p >0 上的点A ()x 0，－2 到其焦点的距离是点A 到y 轴距离的3倍，则p 等于___________． 【答案】22【解析】抛物线y 2＝2px ()p >0 开口向右，准线为x ＝－p2 ，将A 的坐标代入抛物线方程得4＝2px 0，x 0＝2p，由于抛物线y 2＝2px ()p >0 上的点A ()x 0，－2 到其焦点的距离是点A 到y 轴距离的3倍， 根据抛物线的定义有x 0＋p 2 ＝3x 0，所以2p ＋p 2 ＝3×2p ，p 2 ＝4p ，p 2＝8，p ＝22 ．题型四、直线与抛物线的位置关系例1．(2018·全国卷∈)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】D【解析】由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)，联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ＋2，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.不妨设M 为(1,2)，N 为(4,4)．又∈抛物线焦点为F (1,0)，∈FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)． ∈FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8.例2．已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝－12，那么抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x【答案】C【解析】由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋p 2)·(my 2＋p 2)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12∈p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .例3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2 【答案】B【解析】∈y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(p2，0)，∈过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∈y 1＋y 22＝p ＝2，∈抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.例4．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8. (1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求∈F AB 的面积．【答案】(1)y 2＝8x (2)245【解析】(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∈(－8)2＝2p ×8，∈2p ＝8， ∈抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m ＞0，∈m ＞－2.y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∈x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ∈OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∈m ＝8或m ＝0(舍去)，∈直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)． 故S ∈F AB ＝S ∈FMB ＋S ∈FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3()212214y y y y -+＝245.达标训练1．已知抛物线的准线方程为y ＝－2，则其标准方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝－8y C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x【答案】A【解析】因为抛物线的准线方程为y ＝－2，所以抛物线的焦点在y 轴正半轴上，且p2＝2，即p ＝4，所以抛物线的方程为x 2＝8y .2．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2 B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2 C ．y ＝－36x 2 D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2【答案】D【解析】分两类a >0，a <0，可得y ＝112x 2或y ＝－136x 2.3．(全国卷∈)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k ＞0)与C 交于点P ，PF ∈x 轴，则k ＝( )A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D【解析】∈y 2＝4x ，∈F (1,0)．又∈曲线y ＝kx (k ＞0)与C 交于点P ，PF ∈x 轴，∈P (1,2)．将点P (1,2)的坐标代入y ＝kx(k ＞0)，得k ＝2.4．(2021·山东烟台一模)已知F 为抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，直线l 与C 交于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为4，则|| AF ＋||BF ＝( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．16【答案】C【解析】抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点， 若AB 的中点的横坐标为4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝8， 则|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝8＋4＝12．5．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，P ()x 0，y 0 是该抛物线上的一点．若||PF >2，则( ) A ．x 0∈()0，1 B ．x 0∈(1，＋∞) C ．y 0∈(2，＋∞) D ．y 0∈(－∞，2) 【答案】B【解析】由条件可知p2＝1，根据焦半径公式||PF ＝x 0＋1>2，解得x 0>1．6．(2021·广东茂名二模)设O 为坐标原点，F 为抛物线C ：x 2＝8y 的焦点，P 为C 上一点，若||PF ＝6，则∈POF 的面积为( ) A ．2 B ．42 C ．43 D ．4【答案】B【解析】∈抛物线C ：x 2＝8y ，∈F (2，0)，准线y ＝－2．由||PF ＝6，即P 到准线的距离为6．设P (x 0，y 0)，||PF ＝y 0＋2＝6，解得y 0＝4， 代入抛物线方程x 2＝8y ，得x 0＝±42 ．S ∈POF ＝12 ||OF ||x 0 ＝12×2×42 ＝42 ．7．设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ∈l 于Q .则线段FQ 的垂直平分线( ) A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B【解析】连接PF (图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ |＝|FP |，则∈QPF 为等腰三角形，故线段FQ 的垂直平分线经过点P .8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( )A ．3716B ．115C ．3D ．2 【答案】D【解析】直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线， 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于|PF |， 过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线， 和抛物线的交点就是点P ，所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2，故选D.8．(2020·新高考全国∈)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 【答案】163【解析】如图，由题意得，抛物线的焦点为F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．由⎩⎨⎧ y ＝3x －1，y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103， 所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163. 9．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝________.【答案】12【解析】焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，0，方法一 直线AB 的斜率为33， 所以直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212， 所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12. 方法二 由抛物线焦点弦的性质可得|AB |＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12. 10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝MB →，则p ＝________.【答案】2【解析】如图， 由AB 的斜率为3，知∈α＝60°，又AM →＝MB →，∈M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ，则∈ABP ＝60°，∈∈BAP ＝30°，∈|BP |＝12|AB |＝|BM |. ∈M 为焦点，即p 2＝1，∈p ＝2. 11．已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P . (1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程；(2)若AP →＝3PB →，求|AB |.【答案】(1)y ＝32x －78 (2)4133【解析】设直线l ：y ＝32x ＋t ， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32. 又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 则x 1＋x 2＝()9112--t . 从而()9112--t ＝52，得t ＝－78. 所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0， 所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3.代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13， 即A (3,3)，B ⎝⎛⎭⎫13，－1.故|AB |＝4133. 12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．【答案】见解析【解析】证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p 2，0)． 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p 2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24. (2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24. 因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式， 得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2|AB |－p ＋p 24＝2p(定值)． (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．课后提升1．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的标准方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x【答案】C【解析】由题意知，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ，抛物线的准线方程为x ＝－p 2， 则由抛物线的定义知，x M ＝5－p 2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2 ， 所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －52 2 ＋⎝⎛⎭⎫y －y M 2 2 ＝254，又因为圆过点(0，2)，所以y M ＝4， 又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p 2 ，解得p ＝2或p ＝8， 所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ．2．(多选)(2022·潍坊模拟)已知抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是( )A ．点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫18，0B ．若直线MN 过点F ，则x 1x 2＝－116C ．若MF →＝λNF →，则|MN |的最小值为12D ．若|MF |＋|NF |＝32，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为58【答案】BCD【解析】易知点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，18，选项A 错误； 根据抛物线的性质知，MN 过焦点F 时， x 1x 2＝－p 2＝－116，选项B 正确； 若MF →＝λNF →，则MN 过点F ，则|MN |的最小值即抛物线通径的长，为2p ，即12，选项C 正确； 抛物线x 2＝12y 的焦点为⎝⎛⎭⎫0，18， 准线方程为y ＝－18， 过点M ，N ，P 分别作准线的垂线MM ′，NN ′，PP ′，垂足分别为M ′，N ′，P ′(图略)，所以|MM ′|＝|MF |，|NN ′|＝|NF |.所以|MM ′|＋|NN ′|＝|MF |＋|NF |＝32， 所以线段|PP ′|＝|MM ′|＋|NN ′|2＝34， 所以线段MN 的中点P 到x 轴的距离为|PP ′|－18＝34－18＝58，选项D 正确． 3．(多选)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点P (1,1)，则下列结论正确的是( )A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则∈OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x －2y ＋1＝0D ．过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M ，N 两点，则直线MN 的斜率为定值【答案】BCD【解析】因为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点P (1,1)，所以p ＝12，所以抛物线方程为y 2＝x ，焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫14，0. 对于A ，|PF |＝1＋14＝54，错误； 对于B ，k PF ＝43，所以l PF ：y ＝43⎝⎛⎭⎫x －14，与y 2＝x 联立得4y 2－3y －1＝0，所以y 1＋y 2＝34，y 1y 2＝－14， 所以S ∈OPQ ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×14×y 1＋y 22－4y 1y 2＝532，正确； 对于C ，依题意斜率存在，设直线方程为y －1＝k (x －1)，与y 2＝x 联立得ky 2－y ＋1－k ＝0，Δ＝1－4k (1－k )＝0，即4k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝12，所以切线方程为x －2y ＋1＝0，正确； 对于D ，依题意斜率存在，设l PM ：y －1＝k (x －1)，与y 2＝x 联立得ky 2－y ＋1－k ＝0，所以y M ＋1＝1k ，即y M ＝1k －1，则x M ＝⎝⎛⎭⎫1k －12，所以点M ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫1k －12，1k －1，同理N ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫－1k －12，－1k －1， 所以k MN ＝1k －1－⎝⎛⎭⎫－1k －1⎝⎛⎭⎫1k －12－⎝⎛⎭⎫－1k －12＝2k －4k＝－12，正确． 4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________.【答案】2【解析】抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4. 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k， y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA → ·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2.5．(2022·沈阳模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，且l 1与l 2交于点M .(1)求p 的值；(2)若l 1∈l 2，求∈MAB 面积的最小值．【答案】(1)p ＝2 (2)4【解析】(1)由题意知，抛物线焦点为⎝⎛⎭⎫0，p 2， 准线方程为y ＝－p 2， 焦点到准线的距离为2，即p ＝2.(2)由(1)知抛物线的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，所以y ′＝12x ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l 1：y －x 214＝x 12(x －x 1)， l 2：y －x 224＝x 22(x －x 2)， 由于l 1∈l 2，所以x 12·x 22＝－1， 即x 1x 2＝－4.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线方程联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ， 所以x 2－4kx －4m ＝0，Δ＝16k 2＋16m >0， x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ＝－4，所以m ＝1， 即l ：y ＝kx ＋1.联立方程⎩⎨⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝x 22x －x 224， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2k ，y ＝－1，即M (2k ，－1)． M 点到直线l 的距离d ＝|k ·2k ＋1＋1|1＋k 2＝2|k 2＋1|1＋k 2， |AB |＝()()[]21221241x x x x k -++ ＝4(1＋k 2)，所以S ＝12×4(1＋k 2)×2|k 2＋1|1＋k 2322=4(1+)4k ≥,当k ＝0时，∈MAB 的面积取得最小值4.。
第1页共27页2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：抛物线及其标准方程【考点梳理】考点一抛物线的定义1．定义：平面内与一定点F 和一条定直线l (不经过点F )距离相等的点的轨迹．2．焦点：定点F .3．准线：定直线l .考点二抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px (p >0)p 2，0x ＝－p 2y 2＝－2px (p >0)－p 2，0x ＝p 2x 2＝2py (p >0)0，p 2y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0)0，－p 2y ＝p 2重难点技巧：p 的几何意义是焦点到准线的距离．【题型归纳】题型一：抛物线的定义（方程、最值）1．（2022·全国高二课时练习）若抛物线24y x =上一点M 到该抛物线的焦点F 的距离||5MF =，则点M 到y 轴的距离（）．A ．1B ．22C ．23D ．4第2页共27页2．（2021·东城·北京二中高二月考）抛物线2:2C y px =上一点()01,y 到其焦点的距离为3，则抛物线C 的方程为（）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x=D ．216y x=3．（2022·全国高二课时练习）已知A （3，2），点F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上移动，为使PA PF +取得最小值，则点P 的坐标为（）A ．（0，0）B ．（2，2）C ．()1,2D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭题型二：抛物线的四种标准方程4．（2022·全国高二课时练习）以x 轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（）A ．28y x=B ．28y x=-C ．28y x =或28y x=-D ．28x y =或28x y=-5．（2021·吉林农安·高二期末（理））已知抛物线C ：22x py =（0p >）的准线为l ，圆M ：()()22129x y -+-=与l 相切，则p =（）A ．1B ．2C ．3D ．46．（2021·四川省内江市第六中学（理））已知抛物线22x y =的焦点与椭圆2212y x m +=的一个焦点重合，则m =（）A ．74B ．12764C ．94D ．12964第3页共27页题型三：抛物线焦半径的公式7．（2021·全国）已知抛物线24y x =的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点，若5MF NF +=，则线段MN 的中点到y 轴的距离为（）A ．3B ．32C ．5D ．528．（2022·全国高二课时练习）过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，若33AF BF ==，则p =（）A ．3B ．2C ．32D ．19．（2022·全国高二课时练习）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，设A 和B 是C 上的两点，且M 是线段AB 的中点，若|AB |＝6，则M 到y 轴的距离的最小值是（）A ．2B ．4C ．6D ．8题型四：抛物线的方程常见求法10．（2021·东城·北京二中高二月考）己知过点(1, 2)的抛物线方程为22(0)y px p =>，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且||5AB =.（1）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；（2）求AB 所在的直线方程.11．（2021·哈密市第十五中学（理））根据条件求下列方程.（1）顶点在原点，准线方程是2x =的抛物线方程；（2）已知双曲线C 过点()4,2A 并且与22142x y -=有共同的渐近线，求双曲线C 的标准方程.12．（2021·全国高二专题练习）根据下列条件求抛物线的标准方程.（1）抛物线的焦点是双曲线16x 2-9y 2=144的左顶点；（2）过点P (2，-4)；第4页共27页（3）抛物线的焦点在x 轴上，直线y =-3与抛物线交于点A ，|AF |=5.【双基达标】一、单选题13．（2021·山西平城·大同一中高二月考）若抛物线x 2=8y 上一点P 到焦点的距离为8，则点P 的纵坐标为（）A ．6B ．6±C ．7D ．43±14．（2022·全国高二课时练习）在抛物线()220y px p =>上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为（）A ．12B ．2C ．1D ．415．（2022·全国高二课时练习）如果抛物线2y ax =的准线是直线1x =，那么它的焦点坐标为（）A ．（1，0）B ．（2，0）C ．（3，0）D ．()1,0-16．（2021·绥德中学高二月考（文））已知抛物线22(0)x py p =>上一点P 到焦点的距离与到x 轴的距离之差为1，则p ＝（）A ．1B ．2C ．3D ．417．（2022·全国高二课时练习）若抛物线22(0)y px p =>上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点M 的横坐标和p 的值分别为（）A ．9，2B ．1，18C ．9，2或1，18D ．9，18或1，218．（2022·全国高二课时练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为2，过点(4,0)E 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则||2||AF BF +的最小值为（）A ．223+B ．823+C ．178D ．919．（2022·全国高二课时练习）已知M 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，F 是抛物线第5页共27页C 的焦点，过M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，若120MFO ∠=︒（O 为坐标原点），MNF 的周长为12，则||NF =（）A ．4B ．17C ．32D ．520．（2021·富宁县第一中学高二月考（文））已知抛物线()220y px p =>第一象限内一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为（）A ．3B ．±1C ．3±D ．33±21．（2021·云南省楚雄天人中学高二月考（理））O 为坐标原点，F 为抛物线2:42C y x =的焦点，P 为C 上一点，若22PF =，则POF 的面积为（）A ．2B ．22C ．23D ．422．（2022·全国高二课时练习）如图，过抛物线22y px =()0p >的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，准线与对称轴交于点M ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线的方程为（）A ．232y x =B ．23y x =C ．292y x =D ．29y x=【高分突破】一：单选题23．（2021·全国高二单元测试）若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3第6页共27页C ．4D ．824．（2020·河北易县中学高二月考）O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF 的面积为A ．2B ．3C ．2D ．325．（2022·全国高二课时练习）已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为A ．3B ．4C ．5D ．626．（2021·全国高二专题练习）已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A ．34B ．1C ．54D ．7427．（2021·泉州鲤城北大培文学校高二期中）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为A ．2B ．22C ．4D ．828．（2020·高台县第一中学高二期中（文））已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A ．31+B ．21+C ．512+D ．212+29．（2020·福建省南安市柳城中学高二期中）已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点为,F O 原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO +的最小值为A ．213B ．42C ．313D ．4630．（2019·河南宛城·南阳中学高二月考（理））抛物线28x y =的焦点为F ,过点F 的直线第7页共27页交抛物线于M 、N 两点，点P 为x 轴正半轴上任意一点，则)()OP PM PO PN +⋅-=（A ．20-B ．12C ．-12D ．20二、多选题31．（2021·全国高二专题练习）已知抛物线()220y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和22，则p 的值可以是A ．2B ．6C ．4D ．832．（2020·如皋市第一中学高二月考）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点()10M ，，直线l ：2x =-，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（）A ．点P 的轨迹曲线是一条线段B ．点P 的轨迹与直线'l ：1x =-是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C ．26y x =+不是“最远距离直线”D ．112y x =+是“最远距离直线”33．（2021·全国高二期中）已知双曲线1C ：()222210,0x y a b a b -=>>的实轴长是2，右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点F 重合，双曲线1C 与抛物线2C 交于A 、B 两点，则下列结论正确的是（）A ．双曲线1C 的离心率为23B ．抛物线2C 的准线方程是2x =-C ．双曲线1C 的渐近线方程为3y x=±D ．203AF BF +=34．（2020·广东实验中学越秀学校高二期中）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，P 为第8页共27页其上一动点，当P 运动到(2,)t 时，4PF =，直线l 与抛物线相交于,A B 两点，点()4,1M ，下列结论正确的是（）A ．抛物线的方程为24y x =B ．PM PF +的最小值为6C ．存在直线l ，使得A 、B 两点关于60x y +-=对称D ．当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与y 轴相切35．（2020·江苏高二专题练习）设抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点．若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则（）A ．|BF |＝3B ．△ABF 是等边三角形C ．点F 到准线的距离为3D ．抛物线C 的方程为y 2＝6x36．（2022·全国高二课时练习）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于点,A B ，且,4p A a ⎛⎫⎪⎝⎭，32AF =.下列结论正确的是（）A ．4p =B ．2a =±C ．3BF =D ．△AOB 的面积为322三、解答题37．（2021·全国高三专题练习（文））已知点1,06F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线1:6l x =-，动点P 到点F 与到直线l 的距离相等，求动点P 的轨迹C 的方程.38．（2022·全国高二课时练习）已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆224x y +=相交的公共弦长为23，求抛物线的方程．39．（2022·全国高二课时练习）已知椭圆2244x y +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，抛物线第9页共27页()20y px p =>与椭圆在第一象限的交点为Q ，若1260FQF ∠=︒.（1）求三角形12F QF 的面积；（2）求此抛物线方程.40．（2021·江西科技学院附属中学高二月考（理））已知抛物线的顶点是坐标原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，Q 是抛物线上的点，点Q 到焦点F 的距离为1，且到y 轴的距离是38．（1）求抛物线的标准方程；（2）假设直线l 通过点()3,1M ，与抛物线相交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，求直线l 的方程．41．（2021·上海市新场中学高二期中）已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点(1,0)F 的距离等于它到x =-1的距离.（1）求曲线C 的方程；（2）求直线1y x =-被曲线C 截得线段长.42．（2021·浙江湖州·）已知抛物线21:4C y x =，圆()222:34C x y -+=，F 是抛物线的焦点，过点F 的直线与抛物线1C 交于A ､B 两点，与圆2C 交于点D ，点D 是线段AB 的中点.（1）求抛物线的准线方程；（2）求OAB 的面积.43．（2021·广西河池·（文））已知椭圆22110y x +=的一个焦点与抛物线C ：22x py =(0)p >的焦点(0)p >重合，点A 是抛物线的准线与y 轴的交点．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点A 的直线l 与曲线C 交于M ，N ，若FMN 的面积为72，求直线l 的方程．第10页共27页2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：抛物线及其标准方程【答案详解】1．D 【详解】因为抛物线24y x=所以抛物线焦点(10)，，准线方程1x =-，点M 到准线距离为5，到y 轴距离514-=，故选：D 2．B 【详解】因抛物线2:2C y px =上一点()01,y 到其焦点的距离为3，则p >0，抛物线准线方程为2px =-，由抛物线定义得：1()32p--=，解得4p =，所以抛物线C 的方程为：28y x =.故选：B 3．B 【详解】如图所示：设点P 到准线的距离为d ，准线方程为12x =-，所以17322PA PF PA d AB +=+≥=+=，当且仅当点P 为AB 与抛物线的交点时，PA PF +取得最小值，此时点P 的坐标为()2,2．故选：B ．4．C 【详解】依题意设抛物线方程为()220y px p =±>．因为焦点与原点之间的距离为2，所以22p=，所以28p =，所以抛物线方程为28y x =或28y x =-．故选：C ．5．B【详解】解：抛物线2:2(0)C x py p =>的准线:2p l y =-与圆22:(1)(2)3M x y -+-=相切，可得232p +=，解得2p =．故选：B ．6．C【详解】抛物线22x y =的焦点坐标为1(0,)2，所以椭圆2212y x m +=中12c =，2122m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，94m =．故选：C ．7．B【详解】由抛物线方程24y x =，得其准线方程为1x =-.设()11,M x y ，()22,N x y ，由抛物线的定义，得12115MF NF x x +=+++=，即123x x +=，所以线段MN 中点的横坐标为12322x x +=，线段MN 的中点到y 轴的距离为32．故选：B.8．C【详解】方法一：如图，分别过点A ，B 作准线l 的垂线1AA ，1BB ，垂足分别为1A ，1B ，过点B 作1BD AA ⊥于点D ，BD 交x 轴于点E ．由已知条件及抛物线的定义，得11BB BF ==，13AA AF ==，所以312AD =-=．在Rt ADB 中，因为AB 4=，2AD =，所以30ABD ∠=︒，所以1122EF BF ==，所以焦点F 到准线的距离为13122+=，即32p =．方法二：依题意，直线AB 不与x 轴垂直，设直线AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将其代入抛物线C 的方程22y px =，得()22222204k p k x p k x -++=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2124p x x =．因为33AF BF ==，所以123322p p x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，即132p x =-，212p x =-，所以231224p p p ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得32p =．故选：C.9．A解：因为C 的方程为y 2＝4x ，所以F （1，0），过A 作准线x ＝﹣1的垂线，垂足为E ，过B 作准线的垂线，垂足为D ，过M 作准线的垂线，垂足为K ，根据抛物线定义可得：|AF |+|BF |＝|AE |+|BD |≥|AB |＝6，则|MK |＝12（|AE |+|BD |）≥3，所以，线段MN 的中点M 到C 的准线x ＝﹣1的距离最小值为3，故点M 到y 轴的距离最小值为3﹣1＝2.故选：A.10．(1)抛物线的方程为24y x =，焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-；(2)220x y --=或220x y +-=.【详解】(1)因点(1, 2)在抛物线方程22y px =上，则2p =，所以抛物线的方程为24y x =，焦点(1,0)F ，准线方程为：1x =-；(2)显然，直线AB 不垂直y 轴，设直线AB 方程为：1x my =+，由214x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 得：2440y my --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有12124,4y y m y y +==-，于是得2222121212||1||1()44(1)5AB m y y m y y y y m =+-=+⋅+-=+=，解得12m =±，即直线AB ：112x y =±+，所以AB 所在的直线方程：220x y --=或220x y +-=.11．（1）28y x =-；（2）22184x y -=.【详解】(1)∵抛物线的顶点在原点，准线方程是2x =，∴可设抛物线的方程为22y px =-，且p =4，∴抛物线的标准方程为28y x =-，(2)∵双曲线C 与双曲线22142x y -=有共同的渐近线，∴可设双曲线C 方程为2242x y λλ-=≠（0），又双曲线C 过点()4,2A ，∴16442λ-=，∴=2λ，故双曲线C 的标准方程22184x y -=.12．（1）y 2=-12x ；（2）y 2=8x 或x 2=-y ；（3）y 2=±2x 或y 2=±18x .【详解】（1）双曲线方程为221916x y -=，其左顶点为(-3，0)，由题意设抛物线方程为y 2=-2px (p >0)，则抛物线焦点为(,0)2p -，32p -=-，解得p =6，所以所求抛物线方程为为y 2=-12x ；（2）由于P (2，-4)在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴，可设方程为y 2=mx 或x 2=ny ，将P 点坐标代入方程求得m =8，n =-1，所以所求抛物线方程为y 2=8x 或x 2=-y ；（3）设所求焦点在x 轴上的抛物线方程为：y 2=2px (p ≠0)，A (m ，-3)，则抛物线准线为2p x =-，由抛物线定义得|5|2p AF m ==+，又(-3)2=2pm ，显然p ，m 同号，从而得29210m p m p ⋅=⎧⎨+=⎩或29210m p m p ⋅=⎧⎨+=-⎩，解得p =±1或p =±9，所以所求抛物线方程为y 2=±2x 或y 2=±18x .13．A【详解】设点(),P x y ，因为抛物线方程为x 2=8y ，所以其准线方程为2y =-，又因为抛物线上点P 到焦点的距离为8，由抛物线的定义得：()28y --=，交点6y =，所以点P 的纵坐标为6，故选：A14．B解：由题意可得抛物线22(0)y px p =>开口向右，焦点坐标(2p，0)，准线方程2p x =-，由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5，即4()52p --=，解之可得2p =.故选：B.15．D【详解】由于抛物线的准线是直线1x =，所以它的焦点为()1,0-.故选：D16．B【详解】由题意P 到准线的距离减去P 到x 轴距离等于1，所以12p =，2p =．故选：B ．17．C【详解】因为点M 到对称轴的距离为6，所以不妨设()0,6M x ．因为点M 到准线的距离为10，所以20062102px p x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得092x p =⎧⎨=⎩或0118x p =⎧⎨=⎩，故选：C ．18．B【详解】因为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为2，所以2p =，抛物线C 的方程为24y x =．设直线l 的方程为4x my =+，将此方程代入24y x =，整理得24160y my --=．设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1216y y =-，所以222222121212||2||12132382344428y y y y y y AF BF ⎛⎫⎛⎫+=+++=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当221242y y =，即22122y y =时等号成立．故选：B ．19．A【详解】因为120MFO ∠=︒，所以60FMN ∠=︒.又M 是抛物线C 上一点，所以||||FM MN =，则FMN 是等边三角形.又FMN 的周长为12，所以12||43NF ==，故选：A20．A【详解】抛物线焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为点M 到抛物线的焦点的距离为2p ，所以点M 到抛物线的准线的距离为2p ，则点M 的横坐标为32p ，将32M p x =代入抛物线方程得23232M p y p y p =⋅⇒=，即3,32p M p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线MF 的斜率为303322p p p -=-.故选：A21．A【详解】因为抛物线2:42C y x =，所以22p =，由抛物线的定义得：2222p p p PF x x =+=+=，解得2p x =，则42222p y =±⨯=±，所以POF 的面积为11222222p S OF y =⋅=⨯⨯=，故选：A22．B【详解】由抛物线定义，BF 等于B 到准线的距离，因为2BC BF =，所以30BCM ∠=︒，又3AF =，从而333,222p A ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，又因为A 在抛物线上，代入抛物线方程22y px =，解得32p =．故抛物线方程为23y x =．故选：B23．D【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．24．B【详解】由24y x =可得抛物线的焦点F (1,0),准线方程为1x =-,如图:过点P 作准线1x =-的垂线,垂足为M ,根据抛物线的定义可知PM =PF =4,设(,)P x y ,则(1)4x --=,解得3x =,将3x =代入24y x =可得23y =±,所以△POF 的面积为1||2y OF ⋅=123132⨯⨯=.故选B .25．B 【详解】如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF=当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=- 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C 415CP ∴=+=()min 514MA MF ∴+=-=本题正确选项：B26．C【详解】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，因为,A B 是该抛物线上的两点，故,AE AF BG BF ==，所以3AE BG AF BF +=+=，又MH 为梯形的中位线，所以32MH =，故M 到y 轴的距离为315244-=，故选C.27．C【详解】设C ：22x a －22y a＝1．∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立22x a －22y a＝1和x ＝－4得A(－4，216a -)，B(－4，－216a -)，∴|AB|＝2216a -＝43，∴a ＝2，∴2a ＝4．∴C 的实轴长为4．28．B【详解】过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|∴1||||PN m PA =，设PA 的倾斜角为α，则1sin mα=，当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，设直线PA 的方程为y=kx ﹣1，代入x 2=4y ，可得x 2=4（kx ﹣1），即x 2﹣4kx+4=0，∴△=16k 2﹣16=0，∴k=±1，∴P （2，1），∴双曲线的实轴长为PA ﹣PB=2（2﹣1），∴双曲线的离心率为2212(21)=+-．故选B ．29．A【详解】由题意，椭圆2221,5145y x c +=∴=-=，即2c =，则椭圆的焦点为()0,2±，不妨取焦点()0,2,F 抛物线244a x ay y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴抛物线的焦点坐标为0,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q 椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ，24a ∴=，即8a =，则抛物线方程为28x y =，准线方程为2y =-，4AF =，由抛物线的定义得：A ∴到准线的距离为4,24y +=，即A 点的纵坐标2y =，又点A 在抛物线上，4x ∴=±，不妨取点A 坐标()4,2A ，A 关于准线的对称点的坐标为()4,6B -，则PA PO PB PO OB +=+≥，即,,O P B 三点共线时，有最小值，最小值为()2246163652213OB =+-=+==，故选A.30．B【详解】分析：设()()1122,,,M x y N x y ，则()()OP PM PO PN OM NO +⋅-=⋅ ()()11221212,,x y x y x x y y =⋅--=--，由22281608y kx x kx x y-=⎧⇒--=⎨=⎩利用韦达定理求解即可.详解：设()()1122,,,M x y N x y ，()()OP PM PO PN OM NO ∴+⋅-=⋅ ()()11221212,,x y x y x x y y =⋅--=--28x y = 的焦点()0,2F ，设过点F 的直线为2y kx -=，22281608y kx x kx x y-=⎧⇒--=⎨=⎩1216x x ⇒=-，128x x k +=，()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++2162844k k k =-+⨯+=，()()OP PM PO PN OM NO ∴+⋅-=⋅ ()121216412x x y y =--=---=，故选B.31．AC【详解】设M 的横坐标为x ，由题意，32p x +=，28px =，解得2p =或4p =.故选：AC32．BCD【详解】由题意可得，点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，即等价于“点P 到点M 的距离等于到直线'l ：1x =-的距离”故P 点轨迹是以()10M ，为焦点，直线'l ：1x =-为准线的抛物线，其方程是24y x =，故A 错误;点P 的轨迹方程是抛物线24y x =，它与直线'l 没交点，即两者是没有交会的轨迹，故B 正确;要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线24y x =有交点，把26y x =+代入抛物线24y x =，消去y 并整理得2590x x ++=因为25419110∆=-⨯⨯=-<，无解，所以26y x =+不是“最远距离直线”，故C 正确；把112y x =+代入抛物线24y x =，消去y 并整理得21240x x -+=，因为()2124141280∆=--⨯⨯=>，有解，所以112y x =+是“最远距离直线”，故D 正确．故选：BCD ．33．BC【详解】由双曲线1C ：()222210,0x y a b a b -=>>的实轴长为2，可得1a =，又由抛物线2C ：28y x =的焦点F 重合，可得双曲线的右焦点为(2,0)，即2c =，则2223b c a =-=，可知双曲线1C ：2213y x -=，所以双曲线1C 的离心率为2c e a==，抛物线2C 的准线方程是2x =-，双曲线1C 的渐近线方程为3y x =±，所以A 不正确；B 、C 正确，联立方程组222833y x x y ⎧=⎨-=⎩，解得326x y =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以33410A B AF BF x x p +=++=++=，所以D 不正确.故选：BC.34．BD【详解】22(0)y px p =>，故242p PF =+=，4p =，故28y x =，A 错误；过P 作PE 垂直于准线于E ，则6PM PF PM PE +=+≥，当PEM 共线时等号成立，故B 正确；设()11,A x y ，()22,B x y ，设AB 中点()00,D x y 则2118y x =，2228y x =，相减得到()()()1212128y y y y x x +-=-，即028AB y k ⋅=，故04y =，故02x =，点()2,4在抛物线上，不成立，故不存在，C 错误；如图所示：G 为AF 中点，故()111222DG OF AQ AC AF =+==，故AF 为直径的圆与y 轴相切，故D 正确；故选：BD .35．BCD【详解】根据题意，作图如下：因为|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点，所以||||FA FB =，又||||FA AB =，所以ABF 为等边三角形，B 正确；∠ABD ＝90°，//AB x ，过F 作FC ⊥AB 交于C ，则C 为AB 的中点，C 的横坐标为2p ，B 的横坐标为2p -，所以A 的横坐标为3,||22p AB p =，2233493,344ABC S AB p p ∴==⨯==△，||||26BF AB p ===，所以A 不正确，焦点到准线的距离为3p =，所以C 正确；抛物线的方程为：y 2＝6x ，所以D 正确.故选：BCD ．36．BCD【详解】选项A.由抛物线的定义可得32422A p p p AF x =+=+=，解得2p =，所以A 不正确.选项B.所以1,2A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0F ，抛物线方程为24y x =将点1,2A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭坐标代入抛物线方程，得21422a =⨯=，所以2a =±，所以B 正确选项C.当2a =时，则2022112l k -==--，则直线l 的方程为：()221y x =--则()22214y x y x⎧=--⎪⎨=⎪⎩，得282080x x -+=，解得112x =或22x =所以2B x =，则2132B p BF x =+=+=，同理当2a =时，可得3BF =，所以C 正确.选项D.由上可知当2a =时，()1,22,222A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，121132132222AOB S OF y y =⋅-=⨯⨯= 同理当2a =时，322AOB S =，所以D 正确.故选：BCD37．223y x =解：设点(,)P x y ，根据题意得：221166x y x ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，化简得动点P 的轨迹方程为223y x =38．23y x =或23y x =-．【详解】由题意，设所求抛物线的方程为22y px =，交点()11,A x y ，()()2212,0,0B x y y y ><，因为抛物线与圆224x y +=相交的公共弦长为23，则1223y y +=，即1223y y -=．由对称性知21y y =-，代入上式，解得13y =，把13y =代入224x y +=，解得11x =±，当11x =时，点(1,3)在抛物线22y px =上，所以32p =；当11x =-时，点(1,3)-在抛物线22y px =上，所以32p =-．于是所求抛物线的方程为23y x =或23y x =-．故答案为：23y x =或23y x =-．39．（1）33；（2）2224y x =.【详解】（1）椭圆2244x y +=即221,2,1,34x y a b c +====，()()123,0,3,0F F -=，设12,QF m QF n ==，则()2222422cos 60m n a c m n mn +==⎧⎪⎨=+-︒⎪⎩，即()22244,312123m n m n mn mn m n mn +=⎧+-=⇒=⎨+-=⎩，所以三角形12F QF 的面积为11433sin 6022323mn ︒=⨯⨯=.（2）设()00,Q x y ，Q 在第一象限，12120001313,233F QF S F F y y y =⨯⨯=== ，2200042143x y x +=⇒=，所以421,33Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得214223324p p ⎛⎫=⨯⇒= ⎪⎝⎭，所以抛物线方程为2224y x =.40．（1）252y x =；（2）250x y --=．【详解】（1）由己知，可设抛物线的方程为22y px =，又Q 到焦点F 的距离是1，∴点Q 到准线的距离是1，又Q 到y 轴的距离是38，∴3128p =-，解得54p =，则抛物线方程是252y x =．（2）假设直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为3x =，与252y x =联立可得交点A 、B 的坐标分别为303,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，303,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，易得32OA OB ⋅= ，可知直线OA 与直线OB 不垂直，不满足题意，故假设不成立，∴直线l 的斜率存在．设直线l 为()13y k x -=-，整理得31y kx k =-+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线l 与抛物线的方程得23152y kx k y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，消去y ，并整理得222256296102k x k k x k k ⎛⎫ --+-⎝++⎭=⎪，于是2122961k k x x k -+⋅=，21225622k k x x k -++=，∴2212121212155(31)(31)(31)()(31)2k y y kx k kx k k x x k k x x k k-+⋅=-+-+=--+++=，又OA OB ⊥，因此0OA OB ⋅= ，即12120x x y y ⋅+⋅=，∴2296115502k k k k k-+-++=，解得13k =或2k =．当13k =时，直线l 的方程是13y x =，不满足OA OB ⊥，舍去．当2k =时，直线l 的方程是()123y x -=-，即250x y --=，∴直线l 的方程是250x y --=．41．（1）24y x =；（2）8【详解】（1）一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点(1,0)F 的距离等于它到x =-1的距离，所以该曲线是以点(1,0)F 为焦点，以x =-1为准线的抛物线，设其方程为22,1,22p y px p ===，所以24y x =；（2）设直线1y x =-与曲线C 交于()()1122,,,A x y B x y ，联立方程241y x y x ⎧=⎨=-⎩，整理得2610x x -+=，1212320,6,1x x x x ∆=>+==，()212121142328AB x x x x =+⨯+-=⨯=.所以直线1y x =-被曲线C 截得线段长为8.42．（1）1x =-；（2）22.【详解】（1）因为抛物线21:4C y x =，所以准线方程为1x =-；（2）设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y 联立直线与抛物线214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=，由韦达定理可得124y y m +=，故()21212242x x m y y m +=++=+，∴()221,2D m m +，将D 点坐标代入圆方程得()22211m m -+=，解得1m =±(0舍去).根据抛物线的对称性，不妨设1m =，联立214x y y x =+⎧⎨=⎩，消去y 得2610x x -+=，所以126x x +=所以12122822p p AB x x x x =+++=++=，坐标原点到直线10x y --=的距离12d =，所以1222OAB S AB d =⋅=△.43．（1）212x y =；（2）53y x =±-．解：（1）因为椭圆22110y x +=的焦点坐标为(0,3)-，(0,3)．又因为椭圆的焦点与抛物线C ：22x py =(0)p >的焦点F 重合，所以32p =，即6p =，所以抛物线方程为212x y =．（2）由（1）知(0,3)A -，设l 的方程为3y kx =-，联立2312y kx x y=-⎧⎨=⎩，消去y 得212360x kx -+=，由2(12)4360k ∆=-⨯>得1k <-或1k >．设()11,M x y ，()11N x y ,，由韦达定理知1212x x k +=，1236x x =，所以222212||(1)()1211MN k x x k k =+-=+⋅-，点F 到 l 直线的距离261d k =+所以FMN 的面积为21||3612MN d k ⋅=-，因为963QMN S =△，所以236172k -=，解得5k =±，因为1k <-或1k >，所以5k =±满足条件，所以所求直线 l 的方程为53y x =±-．。
第05讲抛物线【考点目录】【知识梳理】知识点1 抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．②定义的实质可归纳为“一动三定”一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．知识点2抛物线的标准方程和几何性质焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2．p的几何意义：焦点F到准线l的距离．标准方程y 2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形顶点O(0,0)知识点3 直线与抛物线的位置关系设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km －p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．知识点4 弦长问题过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.注：(1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α (α是直线AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点)． （5）求弦长问题的方法①一般弦长：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|. ②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .考点一 抛物线的标准方程（一）求抛物线的标准方程1．（2022春·北京海淀·高二校考阶段练习）抛物线的焦点在x 轴正半轴上，且准线与焦点轴间的距离为3，则此抛物线的标准方程为（ ） A ．26y x = B ．23y x = C ．26x y = D ．23x y =【答案】A【分析】利用抛物线的性质，求出p ，然后求得抛物线方程即可.【详解】解：焦点在x 轴正半轴上的抛物线标准方程为()220y px p =>，又准线与焦点轴间的距离为3，可得3p =，所以抛物线的标准方程为26y x =.故选：A.2．（2022春·辽宁本溪·高二校考阶段练习）以坐标轴为对称轴，焦点在直线45100x y -+=上的抛物线的标准方程为（ ） A ．210x y =或28y x =-B ．210x y =-或28y x =【考点剖析】C ．210y x =或28x yD ．210y x =-或28x y =【答案】D【分析】直线45100x y -+=与坐标轴的交点即为焦点，根据焦点可求出p ，可得答案. 【详解】直线45100x y -+=与坐标轴的交点为()5,0,0,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，当抛物线的焦点为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭时，其标准方程为210y x =-；当抛物线的焦点为()0,2时，其标准方程为28x y =. 故选：D.3．（2022秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）过点1,2，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x = B ．24y x =-C ．212=-x yD ．212x y =【答案】C【分析】设抛物线方程为2x my =，代入点的坐标，即可求出m 的值，即可得解； 【详解】解：依题意设抛物线方程为2x my =，因为抛物线过点1,2， 所以()212m =⨯-，解得12m =-，所以抛物线方程为212=-x y ；故选：C（二）抛物线的几何性质的应用4．（2022·全国·高二假期作业）抛物线26y x =的准线方程为（ ） A ．124y =-B ．112y =-C ．y =-6D ．=3y -【答案】A【分析】先把抛物线化成标准方程，求出p ，即可得到准线方程.【详解】抛物线26y x =的标准方程为：216x y =，令2126x y py ==，得112p =，于是该抛物线的准线为：124y =-.5．（2022春·山东临沂·高二临沂第四中学校考阶段练习）若抛物线22y px =的焦点与双曲线221x y -=的右焦点重合，则p =（ ）A ．2B ．4C ．D 【答案】C【分析】先求出双曲线221x y -=的右焦点，此焦点是抛物线22y px =的焦点，求出.p【详解】在双曲线221x y -=中，2112c =+=,所以右焦点)2F ，2F 是抛物线22y px =的焦点，2pp ∴== 故选：C6．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知圆22:(1)1C x y -+=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p =（ ）A ．18B ．14C ．8D ．2【答案】A【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用点到直线距离公式求解作答.【详解】圆22:(1)1C x y -+=的圆心(1,0)C ，半径1，抛物线212x y p =的准线为18y p=-， 依题意，118p =，解得18p =， 所以18p =. 故选：A7．（2022·全国·高二假期作业）已知抛物线()2:0C x ay a =≠，则抛物线C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,04a ⎛⎫± ⎪⎝⎭C ．()0,4aD ．()0,4a ±【答案】A【分析】将抛物线方程化为标准方程，判断焦点的位置，求出p ，即可得焦点坐标.【详解】已知()20x ay a =≠，则标准方程为21y x a=，焦点在x 轴上， 所以1122p p a a=⇒=， 所以焦点坐标为1,04a ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2022春·江苏泰州·高二统考期中）若抛物线2y mx =上一点(),2t 到其焦点的距离等于4，则（ ） A ．14m =B ．18m =C ．4m =D ．8m =【答案】B【分析】由抛物线的定义求解即可【详解】因为抛物线2y mx =的标准方程为21x y m=，其准线方程为14y m =-，由于抛物线上一点(),2t 到其焦点的距离等于4， 由抛物线的定义可得，1244m +=，解得18m =． 故选：B9．（2022秋·湖北咸宁·高二统考期末）已知O 是坐标原点，F 是抛物线C ：()220y px p =>的焦点，()0,4P x 是C 上一点，且4=PF ，则POF 的面积为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2【答案】C【分析】根据条件求出p 的值，然后可算出答案.【详解】由题可知0042162p x px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得024x p =⎧⎨=⎩，所以POF 的面积为12442⨯⨯=，故选：C考点二 抛物线定义的应用（一）利用抛物线的定义求距离或点的坐标10．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期末）抛物线26y x =上一点()11,M x y 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为（ ） A．B．CD ．2【答案】A【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，再由()11,M x y 到其焦点的距离求得M 横坐标，进一步求得M 纵坐标，则答案可求.【详解】由题意知，焦点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为32x =-，由()11,M x y 到焦点距离等于到准线距离，得13922x +=，则13x =，2118y ∴=故选：A.11．（2022·高二单元测试）已知曲线C 上任意一点P 到定点()2,0F 的距离比点P 到直线3x =-的距离小1，M ，N 是曲线C 上不同的两点，若10MF NF +=，则线段MN 的中点Q 到y 轴的距离为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】根据抛物线的定义求出曲线C 的方程，再根据抛物线的性质计算可得；【详解】解：依题意曲线C 上任意一点P 到定点()2,0F 的距离和点P 到直线2x =-的距离相等， 由抛物线的定义可知：曲线C 是以()2,0F 为焦点，2x =-为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为28y x =．分别设点M 、N 、Q 到准线2x =-的距离分别为1d ，2d ，d ， 则12522MF NFd d d ++===，所以中点Q 到y 轴的距离为3， 故选：A ．12．（2022·高二课时练习）若()00,P x y 是抛物线232y x =-上一点，F 为抛物线的焦点，则PF =（ ）． A ．08x + B ．08x -C ．08x -D ．016x +【答案】C【分析】根据抛物线定义，得到PF 等于点00(,)P x y 到准线的距离，即PF PM =，即可求解. 【详解】由抛物线232y x =-，可得其焦点在x 轴上，且8p =，准线方程为8x =， 因为点00(,)P x y 是抛物线232y x =-上一点，F 为抛物线的焦点，根据抛物线定义，可得PF 等于点00(,)P x y 到准线的距离，即PF PM =， 如图所示，所以08PF x =-.故选：C13．（2022·高二课时练习）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，()00,A x y 是C 上一点，054AF x =，则0x =（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．5【答案】B【分析】先求出抛物线的准线方程，进而将点到焦点的距离转化为到准线的距离即可求得答案.【详解】由抛物线C ：22y x =可得1p =，则准线方程为12x =-，于是00015224p AF x x x =+=+=，解得02x =．故选：B ．14．（2022秋·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考期中）已知A ()4,2-，F 为抛物线28y x =的焦点，点M 在抛物线上移动，当MA MF +取最小值时，点M 的坐标为（ ）A ．()0,0B ．(1,-C ．()2,2-D ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】过M 点作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义，知MF ME =，当M 在抛物线上移动时，当,,A M E 三点共线时，ME MA +最小，由此即可求出结果.【详解】如图所示，过M 点作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义，知MF .ME =当M 在抛物线上移动时，ME MA +的值在变化，显然M 移动到M '时，,,A M E 三点共线，ME MA +最小，此时//AM Ox '，把=2y -代入28y x =，得12x =，所以当MA MF +取最小值时，点M 的坐标为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：D.15．（2022春·湖北武汉·高二华中师大一附中阶段练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 的准线l 上，线段MF 与y 轴交于点A ，与抛物线C 交于点B ，若||3||3MA AB ==，则p =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由题知点A 为MF 的中点，结合已知得||6,||2,||4MF BF BM ===，过点B 作BQ l ⊥，由抛物线的定义即可求解.【详解】设l 与x 轴的交点为H ，由O 为FH 中点，知点A 为MF 的中点， 因为||3||3MA AB ==，所以||6,||2,||4MF BF BM ===．过点B 作BQ l ⊥，垂足为Q ，则由抛物线的定义可知||||2BQ BF ==， 所以||2||BM BQ =，则||2||6MF FH ==，所以||3p FH ==． 故选：C16．（2022春·福建·高二福建师大附中校考期末）如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，准线与对称轴交于点M ，若3BC BF=，且3AF =，则p 为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】分别过点A 、B 作准线的垂线，垂足分别为点E 、D ，设BF a =，根据抛物线的定义以及图象可得sin sin sin BCD ACE FCM ∠=∠=∠，结合已知条件求得,a p ，即可. 【详解】如图，分别过点A 、B 作准线的垂线，垂足分别为点E 、D ，设BF a =，则由己知得3BC a =，由抛物线的定义得BD a =， 故1sin 33BD a BCD BC a ∠===， 在直角三角形ACE 中，3AF =，34AC a =+， 又因为31sin sin 343AE BCD ACE AC a ∠=∠===+， 则349a +=，从而得32a =， 又因为1sin sin 463MF p p BCD FCM FC a ∠=∠====， 所以2p =. 故选：B.（二）与抛物线定义有关的最大(小)值问题17．（2022·高二单元测试）已知圆C 经过点()1,0P ，且与直线=1x -相切，则其圆心到直线30x y -+=距离的最小值为（ ）A ．3B ．2 CD【答案】D【分析】利用已知可推出圆心C 的轨迹为抛物线，利用抛物线的几何性质求解即可.【详解】解：依题意，设圆C 的圆心(),C x y ，动点C 到点P 的距离等于到直线=1x -的距离， 根据抛物线的定义可得圆心C 的轨迹方程为24y x =， 设圆心C 到直线30x y -+=距离为d，d ====当2y =时，min d ，故选：D ．18．（2022春·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考期末）已知抛物线C ：212y x =-的焦点为F ，抛物线C 上有一动点P ，()4,2Q -，则PF PQ +的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C【分析】抛物线的准线l 的方程为3x =，过P 作PM l ⊥于M ，根据抛物线的定义可知PF PM =，则当,,Q P M 三点共线时，可求PM PQ +得最小值，答案可得.【详解】解：抛物线C ：212y x =-的焦点为()3,0F -，准线l 的方程为3x =，如图，过P作PM l ⊥于M ，由抛物线的定义可知PF PM =，所以PF PQ PM PQ +=+则当,,Q P M 三点共线时，PM PQ +最小为()347--=. 所以PF PQ +的最小值为7.故选：C.19．（2022秋·江西赣州·高二校联考期中）已知抛物线216y x =的焦点为F ，P 点在抛物线上，Q 点在圆()()22:624C x y -+-=上，则PQ PF +的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离.【详解】如图，过点P 向准线作垂线，垂足为A ，则PF PA =，当CP 垂直于抛物线的准线时，CP PA +最小，此时线段CP 与圆C 的交点为Q ，因为准线方程为4x =-，()6,2C ，半径为2，所以PQ PF +的最小值为21028AQ CA =-=-=.故选：C20．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）设点P 是抛物线1C :24x y =上的动点,点M 是圆2C :22(5)(4)4x y -++=上的动点,d 是点P 到直线=2y -的距离,则||d PM +的最小值是（ ）A ．2B ．1C ．D ．1【答案】B 【分析】根据题意画出图像,将d 转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点到焦点的距离加1,若求||d PM +的最小值,转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离再加1即可,根据三角形两边之和大于第三边,即当112,,,F P M C 共线时,||d PM +取最小值为21FC r +-,算出结果即可.【详解】解:由题知圆2C :22(5)(4)4x y -++=,()25,4,2C r ∴-=()0,1F 为抛物线焦点,1y =-为抛物线准线,则过点P 向1y =-作垂线垂足为D ,如图所示:则1d PD =+, 根据抛物线定义可知=PD PF ,1d PF ∴=+,||d PM ∴+=1PF PM ++,若求||d PM +的最小值,只需求PF PM +的最小值即可,连接2FC 与抛物线交于点1P ,与圆交于点1M ,如图所示,此时PF PM +最小,为2FC r -,()2min 1d PM FC r +=+-,()()220,1,5,4,F C FC -∴=()2min 11d PM FC r ∴+=+-=.故选:B21．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A ．3716B ．115C ．2D ．74【答案】C【分析】由=1x -是抛物线24y x =的准线，推导出点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值即为点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和点P 到焦点的距离之和，利用几何法求最值．【详解】1x =-是抛物线24y x =的准线，P ∴到=1x -的距离等于PF .过P 作1PQ l ⊥于 Q ，则P 到直线1l 和直线2l 的距离之和为PF PQ +抛物线24y x =的焦点(1,0)F∴过F 作11Q F l ⊥于1Q ，和抛物线的交点就是1P ， ∴111PF PQ PF PQ +≤+（当且仅当F 、P 、Q 三点共线时等号成立）∴点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值就是(1,0)F 到直线4360x y -+=距离，∴最小值1FQ 2==．故选：C ．考点三 抛物线的轨迹问题22．（2022·高二课时练习）已知点(2,2)M ，直线:10l x y --=，若动点P 到l 的距离等于PM ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线【答案】C【分析】由抛物线的定义求解即可.【详解】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点P 的轨迹是抛物线.故选：C23．（2022春·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）已知圆22:1O x y +=，点00(,0),(0)A x x ≥，动圆M 经过点A 且与圆O 相切，记动圆圆心M 的轨迹为E ，有下列几个命题：①00x =，则轨迹E 表示圆，②001x <<，则轨迹E 表示椭圆，③01x =，则轨迹E 表示抛物线，④01x >，则轨迹E 表示双曲线，其中，真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】设动圆M 圆心(),M x y ，半径为r ，根据圆与圆内切和外切两种情况，结合圆，抛物线，椭圆和双曲线的定义，依次判断每个选项得到答案.【详解】设动圆M 圆心(),M x y ，半径为r ，当00x =时，动圆M 与圆O 内切，故1MO r =-，即1MO MO =-，12MO =，轨迹为圆，①正确； 当001x <<时，动圆M 与圆O 内切，故1MO r =-，即1MO MA AO +=>，故轨迹为椭圆，②正确； 当01x =时，动圆M 与圆O 内切时，1MO r =-，1MO MA AO +==，轨迹为线段OA ；动圆M 与圆O 外切时，1MO r =+，1MO MA AO -==，轨迹为射线，③错误；当01x >时，动圆M 与圆O 外切，1MO r =+，即1MO MA AO -=<，故轨迹为双曲线，④正确. 故选：C24．（2022秋·福建福州·高二统考期中）在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 到直线1x =的距离比它到定点()2,0-的距离小1，则P 的轨迹方程为（ ）A ．22y x =B ．24y x =C ．24y x =-D ．28y x =-【答案】D【分析】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.【详解】由题意知动点(),P x y 到直线2x =的距离与定点()2,0-的距离相等，由抛物线的定义知，P 的轨迹是以()2,0-为焦点，2x =为准线的抛物线，所以4p =，轨迹方程为28y x =-，故选：D25．（2022春·广东江门·高二新会陈经纶中学校考阶段练习）已知点()1,0F ，过直线=1x -上一动点P 作与y 轴垂直的直线，与线段PF 的中垂线交于点Q ，则Q 点的轨迹方程为（ ）A ．221x y +=B ．221x y -=C ．22y x =D ．24y x = 【答案】D 【分析】根据中垂线性质得到QF QP =，结合抛物线的定义判断出Q 点的轨迹是抛物线，由此求解出轨迹方程.【详解】设(),Q x y ，因为PF 的中垂线经过点Q ，所以QF QP =，又因为PQ y ⊥轴，所以QP 表示Q 到直线=1x -的距离， 且QF 表示Q 点到F 点的距离，F 点不在直线=1x -上，由抛物线的定义可知：Q 点的轨迹是以F 为焦点，以直线=1x -为准线的抛物线，设轨迹方程为()220y px p =>，所以12p =，所以2p =， 所以轨迹方程为24y x =.故选：D.26．（2022秋·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆2231()C x y =：＋＋ 外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）A ．212x y =-B ．212x y =C ．212y x =D ．212y x =-【答案】A 【分析】根据动圆M 与直线y =2相切，且与定圆2231()C x y =：＋＋外切，可得动点M 到C （0，-3）的距离与到直线y =3的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．【详解】设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，由题意可得M 到C (0，－3)的距离与到直线y ＝3的距离相等, 由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C (0，-3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线， 所以3,2122p p ==，其方程为212.x y =-， 故选：A27．（2022·高二课时练习）若动点(,)M x y 满足3412x y =-+，则点M 的轨迹是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 【答案】D34125x y -+=，结合抛物线的定义，即可求解.【详解】由题意，动点(,)M x y 满足3412x y -+，34125x y -+=， 即动点(,)M x y 到定点(1,2)的距离等于动点(,)M x y 到定直线34120x y -+=的距离，又由点(1,2)不在直线34120x y -+=上，根据抛物线的定义，可得动点M 的轨迹为以(1,2)为焦点，以34120x y -+=的抛物线.故选：D.考点四 直线与抛物线的位置关系（一）直线与抛物线位置关系的判断及应用28．（2022春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）过定点()0,1P 且与抛物线28y x =有且仅有一个公共点的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【分析】根据题意，考虑直线斜率不存在和存在两种情况，由直线与抛物线位置关系，联立直线与抛物线方程求解，即可得出结果.【详解】当斜率不存在时，直线方程为0x =，只有一个公共点，符合题意；当斜率存在时，设为k ，则直线方程为1y kx =+，联立218y kx y x=+⎧⎨=⎩，得22(28)10k x k x +-+=， ①当0k =时，直线方程为1y =，只有一个公共点，符合题意；②当0k ≠时，令22(28)40k k ∆=--=，解得2k =，即直线与抛物线有一个公共点.所以满足题意的直线有3条.故选：C29．（2022·高二课时练习）直线()12y k x =-+与抛物线24x y =的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案】A【分析】直线()12y k x =-+过定点()1,2，在抛物线24x y =内部，即可得出结论．【详解】直线()12y k x =-+过定点()1,2，∴2142<⨯，∴()1,2在抛物线24x y =内部，∴直线()12y k x =-+与抛物线24x y =相交，故选：A ．30．（2022春·江苏连云港·高二期末）已知直线l 过点()1,2且与抛物线24y x =只有一个公共点，则直线l 的方程是（ ）A ．2y =B ．10x y -+=C ．1x =D ．2y =或10x y -+= 【答案】D【分析】先判断点()1,2在抛物线上，再分直线的斜率不存在，直线的斜率为0和直线的斜率存在且不为0，三种情况讨论求解即可.【详解】将点（1，2）的坐标代入抛物线方程得2241=⨯，即该点在抛物线上．①若直线的斜率不存在，直线l 的方程为:1l x =，当直线l 与抛物线有两个交点，不合题意； ②若直线的斜率为0，则直线:2l y =平行于x 轴，则满足题意；③若直线的斜率存在且不为0，设()():210l y k x k -=-≠，联立方程组22(1)4y k x y x -=-⎧⎨=⎩， 将21y x k k =-+代入24y x =化简得24840y y k k-+-=， 则248Δ()4(4)01k k k =---=⇒=，此时:2110l y x x y -=-⇒-+=．综上，直线l 的方程为2y =或10x y -+=．故选：D ．31．（2022春·江苏南京·高二校联考阶段练习）过抛物线24x y =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，且点A 在第一象限，则当2AF FB =时，直线AB 的斜率为（ ）AB．C．D．±【答案】A【分析】首先设直线AB ,把直线与抛物线联立,结合2AF FB =,找到12x x + 与12x x 关系式,计算即可得到斜率.【详解】由题意知()0,1F ,设直线AB :1y kx =+,()()1122,,,A x y B x y联立方程214y kx x y =+⎧⎨=⎩, 可得2440x kx --=,即得121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩ ① 又因为2AF FB =,可得122x x =-,②结合①②()212122x x x x =-+,24216k -=-⨯ 可得21=8k , 因为122x x =-,1>0x ,20x <又因12=4x x k +所以0k >即可得k 故选:A .32．（2022春·江苏连云港·高二校考期中）过抛物线2:C y x =上定点(P 作圆()22:21M x y -+=的两条切线，分别交抛物线C 于另外两点A 、B ，则直线AB 的方程为（ ） A．10x -+= B．10x ++= C．20x -+= D．20x ++=【答案】B【分析】设过点P 且与圆M相切的直线的方程为()2y k x =-，根据该直线与圆M 相切求出k 的值，设点()211,A y y 、()222,B y y ，求出1y 、2y 的值，求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】圆M 的圆心为()2,0M ，半径为1，易知PM x ⊥轴，所以，直线PA 、PB 的斜率必然存在， 设过点P 且与圆M相切的直线的方程为()2y k x =-，即20kx y k -+=，1=，解得1k =±，设点()211,A y y 、()222,B y y ，不妨设直线PA 、PB 的斜率分别为1、1-，则11PA k ==，可得11y =同理1PB k ==-，可得21y =-直线AB的斜率为122212121AB y y k y y y y -===-+ 易知点A的坐标为(3-， 所以，直线AB的方程为(13y x -=-+，即10x ++=. 故选：B.33．（2022秋·安徽·高二校联考期末）已知抛物线2:12C x y =的焦点为F ，其准线与y 轴的交点为A ，点B 为抛物线上一动点，当AB FB取得最大值时，直线AB 的倾斜角为（ ）A ．4π B ．3π C ．6π或56π D ．4π或34π【答案】D【分析】过点B 作抛物线C 的准线的垂线BM ，垂足为点M ，分析可得cos BF BAF AB =∠，当AB FB取得最大值时，BAF ∠最大，此时AB 与抛物线C 相切，设出直线AB 的方程，将抛物线C 的方程，由Δ0=可求得直线AB 的斜率，即可求得直线AB 的倾斜角.【详解】抛物线C 的准线为2:12l x y =，焦点为()0,3F ，易知点()0,3A -，过点B 作BM l ⊥，垂足点为M ，由抛物线的定义可得BM BF =，易知//BM y 轴，则BAF ABM ∠=∠，所以，cos cos BF BMABM BAF AB AB==∠=∠， 当AB FB取得最大值时，cos BAF ∠取最小值，此时BAF ∠最大，则直线AB 与抛物线C 相切，由图可知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为3y kx =-，联立2123x yy kx ⎧=⎨=-⎩可得212360x kx -+=，则21441440k ∆=-=，解得1k =±，因此，直线AB 的倾斜角为4π或34π. 故选：D.（二）弦长问题34．（2022春·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π4的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则AB =（ ）．A ．8B ．C ．16D ．32【分析】根据过抛物线焦点的弦长公式求得正确答案. 【详解】焦点()2,0F ，直线l 的方程为2y x =-，由228y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 并化简得21240,144161280x x -+=∆=-=>， 设()()1122,,,A x y B x y ，所以1212x x +=， 所以1212416AB x x p =++=+=. 故选：C35．（2022春·湖北·高二校联考阶段练习）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线22y x =，若从点()3,2Q 发射平行于x 轴的光射向抛物线的A 点，经A 点反射后交抛物线于B 点，则AB =（ ） A ．258B ．2516C ．259D ．2518【答案】A【分析】由题意求出A 点的坐标，由于直线AB 过焦点，利用点斜式方程求出直线AB 为4320x y --=，联立抛物线方程，得23102y y --=，根据韦达定理求出B 点坐标，利用两点间距离公式可求出AB . 【详解】由条件可知AQ 与x 轴平行，令2y =，可得2A x =，故A 点坐标为()2,2， 因为AB l 经过抛物线焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以AB l 为20101222y x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-，整理得4320x y --=， 联立224320y x x y ⎧=⎨--=⎩，得23102y y --=，()2325411024⎛⎫∆=--⨯⨯-=> ⎪⎝⎭，所以32A B y y +=，又2A y =，所以12B y =-，2111228B x ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以258AB =，36．（2022春·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知椭圆22154x y +=的右焦点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于A ，B （A 在x 轴上方）两点，则AFBF的值为（ ）A．3+B ．2+C ．3D ．4【答案】A【分析】先根据椭圆方程求抛物线的方程，分别过A ，B 作准线的垂线，得到直角梯形11AA B B ，结合抛物线的定义在梯形中求2ABAP ，即得结果.【详解】依题意，()1,0F 是抛物线()220y px p =>的焦点，故12p=，则2p =，24y x =. 根据已知条件如图所示，A 在x 轴上方，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为11,A B ， 过B 作1AA 的垂线，垂足为P ，设,BF x AF kx ==，根据抛物线的定义知11,BB x AA kx ==，所以直角梯形11AA B B 中1A P x =，()111AP AA A P k x =-=-，()1AB k x =+，又直线AB 的倾斜角45，故121k xk x ，解得3k =+3AFBF=+ 故选：A.37．（2022·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学学业考试）设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为（ ）A ．94B C ．98D【分析】联立直线与抛物线方程消去x 得1212,y y y y +， 121||||2OAB OAF OFB S S S OF y y =+=-△△△代入计算可得结果.【详解】由题意知，3(,0)4F∴过A 、B的直线方程为3)4y x =-，即：34x =+22349034y xy x ⎧=⎪⇒--=⎨+⎪⎩设1122,,()()A x y B x y ，，则121294y y y y +==-∴1212113||||||224OAB OAF OFB S S S OF y y y y =+=-=⨯-△△△3984== 故选：A.38．（2022春·河南·高二校联考期中）已知抛物线2:4C y x =的焦点为,F N 为C 上一点，且N 在第一象限，直线FN 与C 的准线交于点M ，过点M 且与x 轴平行的直线与C 交于点P ，若||2||MN NF =，则MPF △的面积为（ ） A ．8 B ．12C．D．【答案】C【分析】过N 作准线的垂线，垂足为Q ，准线与x 轴交于点E ，进而根据几何关系得MPF △为等边三角形，34MF NF ==，再计算面积即可.【详解】解：如图，过N 作准线的垂线，垂足为Q ，准线与x 轴交于点E ， 所以，NF NQ =，2EF =． 因为MQN MEF △△∽， 所以23QN MN MQ EF MF ME ===，43QN NF ==，34MF NF ==． 所以1cos 2EF MFE MF ∠==，60MFE PMF ∠=︒=∠．又因为PM PF =，所以60PFM PMF ∠=∠=︒，所以MPF △为等边三角形，所以2MPF S ==△ 若M 在第三象限，结果相同． 故选：C39．（2022秋·河南许昌·高二统考期末）已知直线l 过点()2,0，且垂直于x 轴．若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为 ） A ．()1,0 B ．()0,1 C ．()1,2 D ．()2,1【答案】A【分析】将2x =代入24y ax =可得交点坐标，结合弦长为a ，进而得到抛物线的焦点坐标即可【详解】当2x =时，28y a =，显然0a >，解得y =±(-=，解得1a =，故抛物线24y x =，焦点坐标为()1,0故选：A40．（2022秋·河南·高二校联考开学考试）已知A ，B 为抛物线2:C y x =，上的两点，且2AB =，则AB 的中点横坐标的最小值为（ ）． A ．14B ．12C ．34D ．1【分析】根据抛物线的弦长公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】设直线AB 的方程为()0x ky b b =+≥，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2y xx ky b ⎧=⎨=+⎩，得20y ky b --=，则12y y k +=，12y y b =-，240k b ∆=+>．因为2AB ，所以()()22144k k b ++=，得22114k b k =-+．因为()2121222x x k y y b k b +=++=+，所以AB 的中点的横坐标2221202211112241414x x k k k x b k k ++==+=+=+-++．因为2211141k k ++≥=+， 当且仅当221141k k +=+，即1k =±时，等号成立， 所以当1k =±时，0x 取得最小值34． 故选：C41．（2022秋·广东深圳·高二深圳市罗湖外语学校校考阶段练习）已知圆()2220x y r r +=>与抛物线23y x=相交于M ，N ，且MN =r =（ ）A B ．2 C ．D ．4【答案】B【分析】由圆与抛物线的对称性及MN =M 点纵坐标，代入抛物线得横坐标，求出||OM 即可得解.【详解】因为圆()2220x y r r +=>与抛物线23y x =相交于M ，N ，且MN =由对称性，不妨设(M x ，代入抛物线方程，则33x =，解得1x =，所以M ，故||2r OM ==（三）焦点弦问题42．（2022春·湖南长沙·高二湘府中学校考阶段练习）设F 为抛物线2:2C y x =的焦点，点M 在C 上，点N 在准线l 上，满足//MN OF ，NF MN =，则MF =（ ）A ．12 B C ．2 D 【答案】C【分析】由抛物线方程可知p ，焦点坐标及准线方程，设准线l 与x 轴交点为E ，画出图象，由抛物线定义及NF MN =可知MNF 是正三角形，结合平行关系可判断60EFN ∠=︒，利用直角三角形性质即可求解. 【详解】由题，1p =，抛物线焦点F 为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线l 为12x =-，设准线l 与x 轴交点为E ，如图所示， 由题知MN l ⊥，由定义可知MN MF =， 因为NF MN =，所以MNF 是正三角形，则对Rt NEF ，因为//MN OF ，所以60EFN MNF ∠=∠=︒， 所以222MF NF EF p ====， 故选：C43．（2022·全国·高二假期作业）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，N 为C 上一点，且N 在第一象限，直线FN 与C 的准线交于点M ，过点M 且与x 轴平行的直线与C 交于点P ，若2MN NF =，则直线PF 的斜率为（ ） A ．1 B ．2C ．43D 【答案】D【分析】过N 作准线的垂线，垂足为Q ，根据抛物线的定义以及两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质可得30NMQ ∠=，通过直线的倾斜角为πPFM MFO -∠-∠即可得结果. 【详解】如图，过N 作准线的垂线，垂足为Q ，则||||NF NQ =． 又因为||||PM PF =，所以PFM PMF MFO MNQ ∠=∠=∠=∠． 因为||2||MN NF =，即||2||MN NQ = 所以30NMQ ∠=，即60MNQ ∠=︒．直线PF的斜率为tan(π)tan 60PFM MFO -∠-∠=︒= 故选：D.44．（2022春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期中）已知直线l 过抛物线2:4E y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线的准线交于C 点，若2AB BC =，则||||AF BF 等于（ ） A ．2 B ．3C ．12D ．13【答案】B【分析】过点A 作1AA 垂直于准线交准线于1A ，过点B 作1BB 垂直于准线交准线于1B ，根据相似得到1113BB AA =，再利用抛物线的性质得到答案. 【详解】如图所示：过点A 作1AA 垂直于准线交准线于1A ，过点B 作1BB 垂直于准线交准线于1B ， 则1BF BB =，1AF AA =，2AB BC =，故1113BB AA =，即||3||AF BF =. 故选：B45．（2022春·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段练习）设倾斜角为α的直线l 经过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A 、B 两点，设A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方．若2AFBF=，则cos α的值为（ ）A ．13B ．12C ．23D 【答案】A【分析】由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，在直角三角形中求出倾斜角为α的余弦值.【详解】过A ，B 分别作准线的垂线交准线于M ，N ，过B 作BC AM ⊥于C ，则AC AM BN =-，由抛物线的性质可得，AM AF =，BN BF =， 因为||2||AF BF =，∴3AB BF =， 所以1cos 3333AC AM BN AF BF BF CAB AB BF BF BF --=====∠，即1cos 3α=. 故选：A ．（四）中点弦问题。
