高二数学课件：抛物线及其标准方程

新知探究
l
F
思考：若定点F在定直线l上，M的轨迹又
是什么？
一条经过点 F
且垂直于 l
的直线
l
•
F
抛物线的定义
1．定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的
点的轨迹是抛物线．
l
焦点：点 F 叫做抛物线的焦点．
准线：直线 l 叫做抛物线的准线．
F
2.当 l 经过点 F 时，轨迹为经过 F 点且与 l 垂直的直线.
新知探究
2
例2 二次函数
=

( ≠ 0)的图象是抛物线吗？如果是，请
l
l
写出它的焦点坐标、准线方程.
解：∵
∴
= 2 ( ≠ 0)

2
= (

≠ 0).
1
焦点在轴上，焦点坐标为(0, )，准线方程为
4
=
1
− .
4
小结：
1.抛物线的几何特征是什么？
知识与方法
2.抛物线的标准方程是如何获得的？
新知探究
探究2 抛物线的标准方程
问题2：明确了定义，你能根据定义求出抛物线的标准方程吗？
思考：求轨迹方程的步骤是什么？
建系
设点
列式
化简
检验
思考：回顾一下推导椭圆和双曲线的标准方程时是如何建系的？
观察抛物线的几何特征，我们如何建立平面直角坐标系？
设焦点到准线的距离为 p, ( p 0)
H
O
l
y
3.抛物线的标准方程有哪些不同的形式？如何区分？
思想：数形结合、化归、类比
作业
（1）课本138页复习巩固第1-4题

3．用坐标表示的焦半径公式 由教材中抛物线的定义可得抛物线的焦半径公式如下： 若点 M(x0，y0)是抛物线 y2＝2px(p>0)上一点， 抛物线的焦点为 F，准线为 l，则线段 MF 叫作抛物 线的焦半径．如图所示，过点 M 作 l 的垂线段 MH， 由抛物线的定义可知|MF|＝|MH|＝x0＋p2.
探究 3 一般方程标准化是基本的解题方法． 思考题 3 (1)抛物线 y＝－16x2 的焦点坐标是________，准
线方程是________．
(2)已知抛物线的方程为 y2＝ax(a≠0)，求它的焦点坐标和准 线方程．
【思路分析】 由题设参数 a≠0，有两种情况 a＞0 或 a＜0， 需分别求解．
【解析】 ①当 a＞0 时，∵2p＝a，∴p＝2a. ∴焦点坐标为 F4a，0，准线方程为 x＝－4a. ②当 a＜0 时，y2＝－(－a)x， ∵2p＝－a，∴p＝－2a. ∴焦点坐标为 F4a，0，准线方程为 x＝－4a. 综上所述，抛物线的焦点坐标为4a，0，准线方程为 x＝－4a.
抛物线 y2＝mx 的焦点为m4 ，0，准线为 x＝－m4 ；抛物线 x2 ＝my(m≠0)的焦点为0，m4 ，准线为 y＝－m4 .
小值为点 F 和点(0，2)之间的距离，即
122＋（－2）2＝
17 2.
题型三 抛物线的焦点和准线
互动 1 已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位 置和开口方向？
【解析】 一次项变量为 x(或 y)，则焦点在 x 轴(或 y 轴)上； 若系数为正，则焦点在正半轴上；若系数为负，则焦点在负半轴上．焦 点确定，开口方向也随之确定．
(2)已知点 M(－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线 y2＝2x
的焦点为 F，点 Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小

抛物线的标准方程
图形
标准方程 ④ y2=2px(p>0)
焦点坐标
p 2
,0
y2=-2px(p>0)
⑤
-
p 2
,0
准线方程 x=- p
2
p
x= 2
x2=2py(p>0)
0,
p 2
p
⑥ y=-2
续表
图形
标准方程 ⑦ x2=-2py(p>0)
焦点坐标
0,-
p 2
准线方程 y= p
2
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” 。 1.抛物线的焦点到准线的距离是p. ( √ )
a
0,
1 4a
,准线方程是y=-
1 4a
.
抛物线的定义及应用
1.利用定义解决与抛物线有关的轨迹问题 先将几何条件转化,其关键是根据几何性质,将几何条件化为抛物线的定义:动点到定点的 距离等于到定直线的距离,且定点不在定直线上;再利用抛物线的定义写出标准方程,写标 准方程时要注意:先定性、再定量. 2.利用抛物线的定义解决抛物线的焦半径问题 (1)抛物线的定义主要用来进行抛物线上的点与焦点的距离及与准线的距离的转化,通过转 化可以求最值、参数、距离.
由抛物线的定义知,点P到准线x=
1 2
的距离|PD|等于点P到焦点F
-
1 2
,0
的距离|PF|,因此点P
到点M(0,2)的距离与点P到准线x= 1 的距离之和等于点P到点M(0,2)的距离与点P到点
2
F
-
1 2
,0
的距离之和,其最小值为点M(0,2)到点F
-
1 2
,0
的距离(当点P位于P'的位置时),即最小

点、方向为 轴正方向的射线，且不包括端点，如图
所示；
当 ≤ 0 时，方程可变为 2 = −8，
这表示的是焦点为 0， − 2 的抛物
线，如图所示.
随堂练习.分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.
(1)经过点(-3,-1);
(2)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.
解:(1)因为点(-3,-1)在第三象限,
准方程 .
类似地，如果按照图（2）的方式建立平面直角
坐标系，则抛物线的焦点为
为=

−
2

0，
2
，准线
；只要将①中的 x 与 y 互换即可得
到抛物线的方程为 2 = 2 .
③
通常称③为焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标
准方程 .
如果按照图（3）的方式建立平面
直角坐标系，则抛物线的焦点为
势，且 = 4，从而所求抛物线的标准方程是
2 = 8.
(2)因为双曲线的焦点坐标为（0，-5），（0，5），所以抛物线的标准方程具有
2 = −2或 2 = −2的情势，而且 = 5，因此 = 10，从而所求抛物线的标
2
准方程是
2 = −20或 2 = 20.
例3
的点的轨迹称为抛物线，其中定点 F 称为抛物线的焦点，
定直线 l 称为抛物线的准线.
动画演示
尝试与发现
怎样从数学上证明满足抛物线定义的点一定是存在的？这样的
点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？
同椭圆、双曲线的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与
发现中的问题，并求出抛物线的标准方程.
为了方便，过抛物线的焦点 F 作准线 l 的垂线，记垂足为 K ，设

物线的标准方程是( D )
A.x2=4y
B.y2=8x
C.x2=8y
D.y2=4x
解析 由题意可设抛物线方程为y2=2px(p>0),且p=2,则抛物线方程为y2=4x,
故选D.
1 2 3 4 5
3.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),则p=
为 x=-1 .
解析 ∵抛物线 y =2px
由抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3为准线的
一条抛物线,其方程为x2=-12y.
规律方法 解决轨迹为抛物线问题的方法
抛物线的轨迹问题,既可以用轨迹法直接求解,也可以先将条件转化,再利
用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于动点
到定直线的距离且定点不在定直线上的条件,有时需要依据已知条件进行
这样可以减少讨论情况的个数.
变式训练1根据下列条件分别求出抛物线的标准方程:
2
(1)准线方程为y= 3 ;
(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5.
解 (1)易知抛物线的准线交 y
准方程为 x

轴于正半轴,且
2
=
2
,则
3
4
p= ,故所求抛物线的标
3
8
=- y.
3
2
(2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的
(0,-3)或(4,0).
当焦点为(0,-3)时,抛物线的标准方程为x2=-12y;
当焦点为(4,0)时,抛物线的标准方程为y2=16x.
故所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.
规律方法 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤

这就是所求的轨迹方程.
三、抛物线的标准方程
把方程 y 2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程， 其中 p 为正常数，表示焦点在 x 轴正半轴上.
p的几何意义是: 焦点到准线的 距 离
焦点坐标是
p 2
,
0
准线方程为: x p
2
y l
Ko F
x
三三. 、不同抛位物置线的抛的物标线准方程
y
图
OF
x
形
l
y
y
一次项变量看l 对Oy称轴
x
F O x开口方F 向看正F负
O
x
四l 分l 一：焦点坐标
焦点位置
x轴的 正半轴
x轴的准线方y轴程的：相y轴反的数
负半轴
正半轴 负半轴
标准方程 y2=2px
焦点坐标 准线方程
F ( p , 0) 2
xP 2
y2=2px
F ( p , 0) 2
x P 2
x2=2py
解:依题意,点M与点F的距离等 x+4=0
于 它 到 直 线 x+4=0 的 距 离 , 根 据
y
抛物线定义,点M的轨迹是以点 x+5=0
M
F(4,0)为焦点的抛物线.
∵p/2=4,
∴p=8. ∵焦点在x轴的正半轴,
o F(4,0)
x
∴点M的轨迹方程为
y2=16x
练习、M是抛物线y2 = 2px（p＞0）上一点，若点
准线方程是 x 2 .
y
P Q
O 2F 4x
由定义知：P到焦点 F 的距离等于 P到准线 l 的距离 . 即 | PF || PK | .
| PF | | PQ | | PK | | PQ |

M(x,y) 为x轴,垂足为K、以F,K得中点O
Ko F
为坐标原点建立直角坐标系xoy、
x 设 M( x, y), FK p ,
l
则焦点 F( p , 0) ,准线 l : x p
2
2
依题意得 ( x p )2 y2 | x p |
2
2
两边平方,整理得
y2 2 px( p 0)
这就就是所求得轨迹方程、
三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线得标准方 程、其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上、
且 p得几何意义就 焦点到准线得距离
想是:一焦点想坐:标坐是标(系2p得, 0建) ,立准还线有方没程有为其: 它x 方案2p也
﹒ ﹒ ﹒ ﹒ 会使抛物线方程得形式简单 ？
y
y
y
l
(p>0)
(0，p ) 2
yp 2
方程得特点: (1)左边就是二
次式,
y
O F
l
x
x2=-2py (0， p )
(p>0)
2
y p
(2)右边就是一 次式;决定了焦
2 点得位置、
P66思考:
二次函数 y ax2 (a 0) 得图像为什么
就是抛物线？
y ax2 (a 0) x2 1 y 1 2 p
a
a
当a>0时与当a<0时,结论都为:
焦点（0，1 )准线y=- 1
4a
4a
例1
(1)已知抛物线得标准方程就是 y 2 = 6 x ,求它得
焦点坐标及准线方程
焦点F (
3 2
,0)
准线：x =－
3 2

(1)椭圆的离心率范围为0<e<1 ;(2) 双曲线的离心率的范围是e>1 ;(3)当e=1 时，它的轨迹是什么? 抛物线我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，今天我们类比椭圆、 双曲线的研究过程与方法，研究另一类圆锥曲线——抛物线.
情景导入
02抛物线及其标准方程 P A R T 0 N E
抛物线及其标准方程
,准线为
为F
抛物线及其标准方程 从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解，以方 程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点 的距离和它到准线 的 距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上，我们把方程①叫做抛物线 的标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 ,准线是 的抛物线 .
将点(一2,3)代入抛物线方程y 得
抛物线及其标准方程
∴满足条件的抛物线的标准方程为(2)直线x—y+2=0 与两坐标轴的交点为(一2,0),(0,2). 若抛物线的焦点为(一2,0),设其方程为y²=—2px(p>0).
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形 式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表. 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 y²=2px(p>0) F(2,0) x=-2 y²=-2px(p>0) F(-2,0) x=2 x²=2py(p>0) F(0,2) y=-2 x²=-2py(p>0) F(0,-2 y=2
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 求轨迹方程C P_ 建立直角坐标系?使方程形式足够简洁 !
设M(x,y) 是抛物线上一点，则M 到F的距离为则M到直线l的距离为所以上式两边平方，整理可得y²= 2px ①

y
F
x
y
F
O
l
x
y
l
O F
x
p x2=-2py (0， ) (p>0) 2
五.例题讲 解 例1：⑴根据下列条件求抛物线的标
y2=8x 准方程： x2=-12y ①已知抛物线的焦点坐标是 ⑵求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： F(2,0); ① y2=6x ② y= 6x2 ②已知抛物线的准线方程是 小结:求抛物 y=3;
想一想：在平面内,与一个定点
F和一条定直线l(l经过点F )的距
离相等的点的轨迹是什么？
抛物线的生活实例
卫 星 接 收 天 线
灯
喷
泉
二 探究抛物线的标 准方程

想一想求曲线方程的基本步骤是怎样的？ 1. 建立适当的直角坐标系，设动点 M 为(x,y)
H


F · 2.写出适合条件的x,y的关系式
2 2
两边平方,整理得
x
y 2 2 px ( p 0)
比较探究结果：
y
●
M(x,y)
y
M(x,y)
y
M(x,y)
F
o F
K
x
K
F
x
K o
x
y
2
2 px
p
2
y
2
2 px
p
2
y 2 px
2
方程最简洁 抛物线的标准方程
获知二 抛物线的标准方程
方程 y2 = 2px（p＞0）表示抛物 线，其焦点F位于x轴的正半轴上， y 其准线交于x轴的负半轴
x
图 l y
O
形
标准方程

则a22＝m·－a4，所以m＝－a. 即抛物线方程为x2＝ －ay.
将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，
即y＝－0.a82.
欲使卡车通过隧道，应有y－
－a4
＞3，即
a 4
－
0.82 a
＞
3.
因为a＞0，所以a＞12.21.所以a应取13.
归纳升华 1．考查抛物线知识的实际应用时，首先要建系， 将题目转化成抛物线的问题，再利用解抛物线的知识解 答． 2．在建立抛物线的标准方程时，应以抛物线的顶 点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样 可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方 程不含常数项，形式更为简单，便于应用．
类型2 抛物线定义的应用(互动探究) [典例2] 设P是抛物线y2＝4x上一个动点，若B(3， 2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 解析：如图所示，过点B作BQ垂直准线 于Q，交抛物线于点P1， 则|P1Q|＝|P1F|. 则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4. 答案：4
类型3 抛物线的实际应用 [典例3] 一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为 抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口 宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值． 解：如图所示，以隧道顶点为原点，拱 高所在直线为y轴建立直角坐标系，则点B的 坐标为a2，－a4. 设隧道所在的抛物线方程为x2＝my，
2．抛物线标准方程的几种形式
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p＞0)
p2，0
y2＝－2px(p＞0) －p2，0
x2＝2py(p＞0)
0，p2