第二章函数的极限

第二章 极限与连续

一、知识结构图

数列极限

{

数列极限概念

{ ε−N定义

无穷小数列

无穷大数列

数列的子列

收敛数列性质

{ 唯 一 性

有 界 性

保 号 性

保不等式性

夹 逼 性

四则运算

极限存在条件 {单调有界定理

柯西收敛准则

函数极限

{ 函数极限的概念 {x趋于∞时函数的极限

x趋于x0时函数的极限

函数极限的性质

{ 唯 一 性

局部有界性

局部保号性

保不等式性

夹 逼 性

四则运算

函数极限存在条件{归结原则

柯西准则

两个重要极限

{ limx→0(sinxx)=1

limx→∞(1+1x)x=e

无穷小量与无穷大量{无 穷 小 量

无穷小量阶的比较

无 穷 大 量 函数连续性

{

连续性概念

{ 函数在一点连续性

不连续点及其分类

区间上的连续函数{第一类不连续点

第二类不连续点

可移不连续点

连续函数性质

{

闭区间连续函数基本性质

{ 有界性

最值性

介值性

零点定理

一致连续性

初等函数连续性{基本初等函数连续性

初等函数的连续性

二、学习要求

1、 理解并掌握数列极限的定义，并会应用其证明数列的有关命题。

2、 理解收敛数列的性质，掌握收敛数列的四则运算以及单调有界定理。

3、 理解并掌握函数极限的定义，并会用函数极限来证明有关命题。

4、 理解函数极限的性质，掌握函数极限的四则运算，极限存在的两个准则，掌握两个重要

极限，并会利用它们求极限。

5、 理解无穷大量、无穷小量的概念以及性质，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小

量求极限。

6、 理解函数连续的概念，会判断函数不连续点的类型。

7、 掌握用基本定理证明闭区间上连续函数的最大值、最小值、介值性定理的基本思路和方

法。

8、 理解一致连续的概念，并会应用其证明相关命题。

三、知识点梳理

1、数列极限的概念、性质与定理

① 数列极限的定义：lim0,,

nnnxaNnNxa

当时，有

否定形式：

数列

nx不以a为极限：00lim0,0,

nnxaNnN

对，但

复变函数与积分变换

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§1.6复变函数的极限和连续性

一、极限

定义6.1设(){}

0

00C0,zNzzzz

ρρ∈=∈<−<()

,wfz=

若存在复数

A,

0,ε∀>(0),δδρ∃<<

有

(),fzAε−

A为当时的极限，记为()

fz

0zz→

0lim(),

zzfzA

→=

或记为当时，

0zz→().fzA→

uv

(w)

o

Aε

xy

(z)

oδ0z)(zfw=

注：（1）对于若()

0lim,

xxfxM

→=()

,yfx=

0xx→意指

从左右两侧趋于

x

0.x

0zz→意指（2）对于若()

0lim,

zzfzA

→=(

)

,wfz=

无论以何种方式趋于,

0zz

().fzA→都有

（3）复变函数极限唯一.§1.6复变函数的极限和连续性

定理6.1 设

00000()(,)(,),,,fzuxyivxyAuivzxiy=+=+=+则

0lim()

zzfzA

→=

00

0000lim(,),lim(,).

xxxx

yyyyuxyuvxyv

→→

→→==

[]

()0

0

00lim()();

lim()();

()

lim,lim()0.

()zz

zz

zzzzfzgzAB

fzgzAB

fzA

gz

gzB→

→

→→±=±

=

=≠定理6.2 若

00lim(),lim(),

zzzzfzAgzB

→→==则

§1.6复变函数的极限和连续性

例6.1 判断下列函数的极限是否存在：

22

(1)();wxyixy=+++

(2)()zz

fz

zz=+在点是否有极限？

0z=

Re()

(3)()z

fz

z=在点是否有极限？

0z=处处有极限

.

否.

否.定理6.1 设

00000()(,)(,),,,fzuxyivxyAuivzxiy=+=+=+则

0lim()

zzfzA

→=

00

0000lim(,),lim(,).

xxxx

yyyyuxyuvxyv

→→

→→==§1.6复变函数的极限和连续性

二、连续性

定义6.2 若

00lim()(),

1 第二章 极限与连续 复习题

一、求极限：

1．)1ln(1cossin3lim20xxxxx； 2．xxeexxxarctantanlimarctantan0；

3．axxaax2tan)(lim； 4．11sin1lim20xxexx；

5．nnxxxxx2cos4cos2coscoslimlim0；

6.

1121limxaxa；

7. )1sin(lim2nn； 8. nnnn)111(lim2

9.xxxexcos11201lim 10.)limxxxxx（

11．nnn121111211lim 12. xxxxxcba103lim

二、解下列各题：

1. 若2cos1)(lim0xxfx，求21)(1lim0xxxf。

2．已知.,2007)1(limbaxxxbbax、求

3．设).0(3sin2tan12tan1)0(;)21ln(1)(xxxxxxexfax且)(lim0xfx存在，求a。

4．当0x时，比较下列无穷小，将它们相对于x的阶数由高到低进行排列：

（A）xx2； （B）6xx； （C）)1ln(4xx； （D）xx2sin)cos1(

5．设)(xf在),0[上单调增且非负，0)(bfb，)0(0bx，)(1nnxfx，,2,1,0n，证明}{nx收敛。

6．设)(xf在0x连续，且对),(,yx，有)()()(yfxfyxf，证明：（1）)(xf在),(上连续；（2）xfxf)1()(。 2 三、求间断点并判断类型：

第二章极限与连续

第一节数列的极限

一、观察下列数列｛%„｝的变化趋势，判断是否有极限？若有极限，写出其极限

1、

2、 3^ xz/

=lnn

4、心=1 + (_1)“ 丄

n

二、利用数列极限的定义证明:

、v 3n + l 3

K lim --------- =—； n* 2/7 + 1 2

2. lim0.999_9=l

三、设数列｛x I满足lim兀=01

〃T8 n 证明: lim £

H—>oo 2/1-1

2〃（-1）〃 第二节函数的极限

一、 填空题

1、当x->2吋,y“T4,问当5取_时，只要Ov|兀-2|v5,必有卜-4|<0.001.

丫2_1

2^当兀T8时，y = — ------------- 1,问当z取 __________ 时，只要\x\ > z,必有|y-l| <0.01.

”+3

二、 用函数极限的沱义证明：

三、试证:函数/（兀）当JVTX。时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在 并且相等.

四、讨论：函数0（兀）二包在兀T0时的极限是否存在?第三节极限的性质

填空题

1、 lim

x—»2 — 3

x-3

2. v x~l lim —— XT】- 1

3、

4、

5、 lim HT8 （〃 + l）G +

2）（〃 + 3）

limx2 sin —=

“TO x

/

】•

COS X

6、 lim -----------

XTZ x + 厂

r .. 4x4 - 2x2 + x 7^ lim -------- ； ------ z） 32 + 2x

8、 lim •YT8 （2兀一 3严（3兀+ 2严

二、求下列各极限

2、 limU + /?）2-x2

D h

3、lim（— ------- 二） z \-x \-x3 4、lim

"Tv 2 + ijx

lim（l + 丄

+ 第四节无穷大、无穷小

一、 填空题

1、 凡无穷小量皆以 _________ 为极限