第一章 函数与极限
一 函数（见§1.1） Ⅰ 内容要求
（ⅰ）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调
性、周期性和有界性）的了解。
（ⅱ）理解复合函数的概念，了解反函数的概念，了解分段函数的概念。
（ⅲ）记忆基本初等函数的图象，了解初等函数的概念，自学双曲函数及反双曲函数。 （ⅳ）学会建立简单实际问题中的函数关系式。 Ⅱ 基本题型
（ⅰ）有关确定函数定义域的题型
1．（4分）1
)2ln()(+-=
x x x f 的定义域为 21<<-x
2．（4分）)
2ln(1
)(x x x f -+=
的定义域为 [))2,1(1,1 -
3．（4分）)32arcsin(
-=x y 的定义域为--------------- （ D ） A )2,1( B )2,1[ C ]2,1( D ]2,1[ 4．设)(x f 的定义域D = ]1,0[，求下列各函数的定义域： （1）（6分）)(2
x f []1,1-∈x
（2）（6分）)2(x
f (]0,∞-∈x
（3）（7分）)31
()31(-++x f x f ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈32,31x （ⅱ）有关确定函数（反函数）表达式的题型 5．（4分）已知： x x
f cos 1)2
(sin
+=，则)(x f =)1(22x - 6．（4分）设⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎨⎧>=<-=0
,10,00,1)(x x x x f ，则=)]([x f f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,10,00
,1)(x x x x f
7．求下列函数的反函数
（1）（4分）31+=x y 1,13
3
-=-=x y y x （2）（4分）x x y +-=
11 x
x
y y y x +-=+-=11,11 )1(-≠x
（3）（6分）)2ln(1++=x y 2211-=⇒-=--x y e y e x
8．（7分）已知：,2sin )(,)(3
x x x x x f =-=ϕ 求)].([)],([x f x f ϕϕ
解：x x x x x f 2cos 2sin 2sin 2sin )]([233-=-=-=ϕϕϕ
)(2s i n )(2s i n )]([3x x x f x f -==ϕ
9．（10分）设x e x g x x x x f =⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧>-=<=)(,
1||,11||,01
||,1)(，求)]([x g f 和)]([x f g ，并作出这
两个函数的图形。
解： ⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪
⎨⎧
>-=<=0
,10,00,1)]([x x x x g f ， ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=><=-1,11,1,)]([1x x e x e x f g
（ⅲ）有关函数性质判定的题型
10．（10分）下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？
（1）3
23x x y -=（非）（2）1||+=x y （偶函数）（3）1sin +=x y （非）
（4）x
x
a a y -+= （偶函数） （5）x
x
a
a y --=（奇函数）
11．（4分）设+∞<<∞-++=
x x x x f ,1
)
1sin()(2
，则此函数为--------（ A ）
A 有界函数
B 奇函数
C 偶函数
D 周期函数 12．（4分）)32
sin(
+=x
y 的最小正周期为 π4 13．（4分）设⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧≤<-=<≤-=ππx x x x x x f 0,cos 0
,00,cos )(，则)(x f 在定义区间为-------（ A ） A 奇函数但非周期函数 B 偶函数但非周期函数 C 奇函数且为周期函数 D 偶函数且为周期函数
（ⅳ）有关复合函数分解的题型
14．（6分）将2tan ln x y =分解成若干个基本初等函数的形式。
解：是由u y ln =，v u tan =，2
x v =复合而成的。
15．（7分）将2
3
1arctan
x x
y -=分解成由基本初等函数复合及四则运算而成的形式。 解：是由3u y =，v u arctan =，2
1x
x
v -=
复合而成的。 Ⅲ 综合应用题型 16．（8分）已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角ϕ为已知锐角（如图所示），当过水断
面ABCD 的面积为定值0S 时，求湿周L 与水深h 之间的函数关系式，并指明其定义域。
D
解：参见教材23P
ϕϕϕϕcot cot ,sin ,sin h CE h CE h CD CD h =⇒===
h BC h s h BC
h .cot 2
2cot 220+=⇒+ϕϕ
h h S BC ϕcot 20-=，ϕ
ϕcot 0cot 02
20S h h S <⇒>-
ϕ
ϕϕsin 2cot sin 220h
h h S h BC L +
-=+=，)tan ,0(ϕo S h ∈ ϕϕcsc 2cot 0
h h h
S +-=
)t a n ,0(ϕo S h ∈ 17．（8分）一列火车在运行时，每小时的费用由两部分组成，一部分是固定费用a ，
另一部分是与火车的平均速度x 的立方成正比，比例系数为k ，常用y 表示火车连续运行路程S 所需的总费用，试将y 表示为x 的函数。
解： )(3kx a x
S
y +=
