NBA赛程的分析与评价

NBA赛程的分析与评价

摘要

本文研究的是NBA赛程的公平性问题。基于编制公平NBA赛事复杂性，需要对所给的赛程进行定量的分析与评价，给出需要考虑的因素及评价赛程利弊的数量指标，并由此计算赛程对各队的利弊指标值，分析编排赛程时选取球队的方法、对该方法给予评价。

在问题一中，主要对2008~2009赛季赛程的合理性和公平性的分析与评价。我们首先对影响赛程的合理性和公平性的主要因素进行了阐述，得到了各队的客场比赛数、背靠背比赛数以及球队的影响力系数等一系列影响因素。同时将球迷对赛程表的评价作为评价赛程表合理性的一部分，并且通过定义赛季主客场满意度，比赛精彩系数等指标将赛程的合理性和公平性进行量化。最后利用各个模型计算出2008~2009赛季的各指标值：公平性系数为，精彩系数为，2008~2009赛季赛程的综合评定系数为。

在问题二中，我们运用问题1中所得的模型对各个球队的满意度进行求解，再用评价赛程利弊的数量指标来对火箭队进行评价，结果得出该赛程对火箭队是有利的。用同样的方法找出该赛程对“波士顿凯尔特人队”最有利，对“孟菲斯灰熊队”最不利。

在问题三中，我们首先对如何选取赛3场的球队的合理性的讨论，得出对选取赛3场的球队的各个影响因素，其次我们对各个影响因素进行了量化分析，得到各个因素的影响系数，然后对各个因素的影响系数加权，利用线性加权法建立出数学模型：'1'2'(,)njinnjSLM，最后讨论对数学模型的应用、分析以及评价。

本题我们对影响赛程利弊的各个因素都进行了严密的数学讨论和分析，模型具有很高精确度和利用价值。

关键词：权重 背靠背 主客场 量化分析 线性加权法 MATLAB软件

一、问题重述

问题的背景

NBA比赛是全世界篮球迷们最钟爱的赛事之一，姚易加盟以后更是让中国球迷宠爱有加。NBA共有30支球队，西部联盟、东部联盟各15支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋3个区，东部分东南、中部和大西洋3个区，每区5支球队。对于2008~2009新赛季，常规赛阶段从2008年10月29日（北京时间）直到2009年4月16日，在这5个多月中共有1230场赛事，每支球队要进行82场比赛，附件1是30支球队2008~2009赛季常规赛的赛程表，附件2是分部、分区和排名情况（排名是2007~2008赛季常规赛的结果），见 。

比赛的规则

在NBA的常规赛中，每支球队与同部同区的每一支球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，共用同一个比赛场馆的球队的主场比赛不能在同一天进行，每支球队的主客场数相同且同部3个区的球队间保持均衡，每个赛季每一支球队的背靠背上限是24对，下限是15对。

要解决的问题

这个题目主要是要求用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价。

1） 要求我们分析赛程对某个球队利弊有哪些影响因素，根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。

2） 根据问题一的结果，计算并分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。

3） 试根据赛程找出与同部不同区球队的比赛中，选取赛3场的球队的方法。并阐述这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的方法。

二、问题分析

本题主要是要求用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价，需要对赛程进行数据处理，对大量的数据进行统计组合。为了简化问题的求解过程，我们省略了一些次要因素，如：一个球队的伤病情况、球员的身体和心理素质及连续客战数。

对问题1的分析

在该问题中，我们考虑到赛程对某个球队利弊的影响主要有3个方面的因素：即是否满足赛制的要求，球队的满意度，球迷的满意度。其中，球队的满意度又包括每个球队比赛的主客场数、背靠背数、连续客场作战数以及连续与强队比赛数等因素；球迷的满意度又包括比赛时间的安排、对抗的两个球队的实力、比赛中两队的球星的数目等因素。并对这些因素进行讨论和量化分析，然后根据各个因素对赛程合理性和公平性的不同影响程度赋予不同的权重，运用线性加权法建立得数学模型，最后根据所得模型计算出评价赛程利弊的数量指标。

对文题2的分析

该问题是在问题1所得结果的基础上计算和分析赛程对火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。我们运用问题1中的模型分别求出各个球队对赛程的满意度，再用评价赛程利弊的数量指标来评价赛程对火箭队的利弊以及找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。

对问题3的分析

欲找出与同部不同区球队的比赛中，选取赛3场的球队的方法，首先我们统计2008—2009赛季的赛程表中的各支球队与另一支球队打3场比赛的赛程，并列成一个关于西部赛区打3场比赛的赛程表（见附录4，其中3表示有3场比赛的交锋队，0表示有其他比赛或没有比赛）。因为是打3场比赛，有（2主1客或2客1主）两种情况，再加上各球队的实力存在一定的差距，所以存在两个相对不均衡的主要问题。然后我们利用相对不均衡问题的互补性来阐明选取赛3场的球队的方法。

三、模型假设

（1）假设考察一个赛程安排是否合理主要考虑下面这三个因素：是否满足赛制的要求、球队的满意度以及球迷的满意度，不考虑其它因素。

（2）假设个球队的排名情况和拥有的球星数能够说明该队的受关注程度。

（3）假设各球队对赛程的满意度仅取决于对“主客场数”和“背靠背数”的满意度。

（4）假设球迷对赛程的满意程度主要取决于“各球队的实力”和“球星的影响力”。

（5）假设08—09季度的比赛每个周末比赛日的比赛场数固定，非周末比赛日比赛场数大体相等。 （6）假设选取赛3场的球队的因素只有球队的实力和主客场战数，不考虑其他因素对比赛的影响，或者认为其他因素的影响度很小，可以忽略不计。

四、符号说明

i：表示客队队名的编号；

n：表示在2007---2008赛季的排名；

iC：表示第i支球队参加的背靠背比赛数；

iH：表示第i支球队的客场比赛数；

iW：表示排名为第n名的球队的实力系数；

iR：表示各支球队对背靠背数的满意度；

iK：表示第i支球队的影响力；

iP：表示第i支球队的影响力系数；

Vi：表示第i支球队的比赛的精彩系数；

V：表示观众对赛程安排的满意程度；

Q：表示综合评定系数；

S：选取赛3场的球队的评定指标

'njS：合理性评定系数；

'(,)njM：表示排名为'n的球队与其同部另两个分区中的任一分区选取的两个球队中排名为j的球队打主客比赛对排名为'n的球队的影响性系数。

五、模型的建立及求解

问题1的求解

要分析赛程对某一支球队的合理性和公平性，主要由以下3个主要因素来衡量：

第一：满足赛制的要求。

第二：球队从自身利益出发对赛程的满意程度。

第三：观众对赛程的满意程度。

其分析流程如下图所示：

模型分析示意图 满足赛制的要球队对赛程的观众对赛程的满意综合评定系数

数量指标可以评价赛程对某一个同一分 区 同部不同不同球星的影主客场背靠背数 各球队的实力 连续客场数

主要因素

5.1.1 满足赛制的要求的验证

1）同一分区内赛程安排检验

在讨论赛程的合理性和公平性时，必须要对每支球队在分赛区的赛程安排进行检验。要求每个分赛区的球队在常规赛中要与在同一个分赛区的球队比赛四场（如：编号为1—5的各个球队就属于同一分区的情况，则其中一个球队与其余的四个球队各比赛4场），各个球队的分区情况以及编号（见附录1）。

2）同赛区不同分区的赛程安排检验

在讨论赛程的合理性和公平性时，必须要对每支球队在同一赛区不同分区的赛程安排进行检验。要求分赛区的每支球队要与分赛区以外，但是在同在一个大赛区的每支球队相遇三到四次（如：编号为1—5的球队与编号为6—10的球队属就于同赛区不同分区的情况，则编号为1—5内的每个球队需要与编号为6—10内的每个球队比赛3—4场）。

3）不同赛区内的赛程安排检验

在讨论赛程的合理性和公平性时，还需要对每支球队在不同赛区的赛程安排进行检验。要求小赛区的每支球队要与不同大赛区的每支球队比赛两场（如：编号为1—15的球队与编号为16—30的球队就属于不同大赛区的情况，编号为1—15内的球队需要与编号为16—30的球队比赛两场）。

只有当一个赛程的安排同时满足上面的三个条件时，该赛程才符合了赛程安排的基本要求，才能够进一步进行合理性和公平性的分析。

5.1.2 球队对赛程的满意程度的评价

对于一个确定的赛程，球队就有确定的主客场数、背靠背数、连续客场作战数，而球队会从自身利益出发对自己的赛程做出评价，一个合理公平的赛程应该使各球队的主客场数、背靠背数、连续客场作战数都大致相等。

（一）各球队对赛程安排满意度的量化分析 通过给出的材料，我们知道“每支球队的主客场数”、“背靠背数”、“连续客场数”这几个因素是衡量球队满意度的主要因素。

1）各球队主客场数的讨论

根据题目（附件）中所给的赛程表，我们计算出每个球队的主客场比赛数是相等的，即Hi=41（见附录1），所以这个因素对结果没有任何影响。其中Hi表示第i支球队的客场比赛数。

2）各队背靠背比赛场数的讨论

根据题目（附件）中所给的赛程表，我们可以计算出各个球队背靠背比赛场数Ci (见附录2)。其中Ci表示第i支球队参加的背靠背比赛数。

球队都希望自己的背靠背比赛数尽量少，但是竞赛委员会为了公平公正，应该尽量照顾到每支球队，因此竞赛委员会在每个赛季给一支球队定的背靠背上限是24对，下限是15对。由于某个球队的背靠背比赛场数越少，则对该队越有利，也就是说，某个球队的背靠背比赛场数越少，则该球队的满意度就越高。为了量化的说明球队对背靠背数的满意程度，我们定义：第i支球队对背靠背数的满意程度（Ri）等于第i支球队参加的背靠背比赛数（Ci）的倒数。

即 1iiRC

经过求解得到各个球队对背靠背数的满意度（Ri）如表一所示

编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ri

编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Ri

编号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Ri

表 一

由上述分析可知，其它因素对赛程安排的公平性影响不大，赛程安排的公平性主要由各球队对背靠背数的满意程度来决定，所以我们取各球队对背靠背数的