高考数学函数图像总结

第八节 函数的图象

[备考方向要明了]

考

什 么 怎 么 考

1.掌握函数图象画法．

2.会利用变换作函数图象．

3.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．

4.会用数形结合思想、转化与化归思想解决函数问题. 1.由于题型的限制江苏没有单独对图象的画法进行考查，但不单独考查，并不意味基本作图的方法不用掌握．

2.函数图象的考查主要是其应用如求函数的值域、单调区间，求参数的取值范围，判断非常规解的个数等，以此考查数形结合思想的运用，在每一年的江苏高考中大量存在，如2012高考T13、T18等.

[归纳 知识整合]

1．利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线．

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．

其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．

2．利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换：

y＝f(x)――――――――――→a>0，右移a个单位a<0，左移|a|个单位y＝f(x－a)；

y＝f(x)――――――――――→b>0，上移b个单位b<0，下移|b|个单位y＝f(x)＋b.

(2)伸缩变换：

y＝f(x) ―――――――――――→01，缩短为原来的1 ωy＝f(ωx)；

y＝f(x)――――――――――→A>1，伸为原来的A倍0

y＝f(x)――――――→关于x轴对称 y＝－f(x)；

y＝f(x)――――――→关于y轴对称 y＝f(－x)；

y＝f(x)――――――→关于原点对称 y＝－f(－x)．

(4)翻折变换：

y＝f(x)―――――――――――――→去掉y轴左边图，保留y轴右边图将y轴右边的图象翻折到左边去y＝f(|x|)；

y＝f(x)――――――――→留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f(x)|.

[探究] 1.函数y＝f(x)的图象关于原点对称与函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称一致吗？

1 / 10 新高考数学复习考点知识与题型专题讲解

34 正切函数的性质与图象

一、正切函数的性质与图象

1.正切函数的性质

函数 y=tan x,x∈R

周期 最小正周期为

奇偶性

单调性 在每一个区间上都.

值域

2.正切函数的图象

(1)正切函数的图象如右图所示.

(2)正切函数的图象叫做.

(3)正切函数的图象的特征:

正切曲线是被与y轴平行的一系列直线所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.

答案：π 奇函数 (-2+kπ,2+kπ)(k∈Z)单调递增 R 正切曲线 x=2+kπ,k∈Z

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题型一 正切函数的图象的应用

1．函数()tan,(11)fxxxx的图象可能是（ ）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】由()tan(11)fxxxx()tan(11)fxxxx，

则()tantanfxxxxx

所以()fxfx，即函数()fx是偶函数

故排除A，C，

当01x时，()0fx，排除D.

故选：B

题型二 正切函数单调性的应用

2．直线ya与函数tan04fxx的图象的相邻两个交点的距离为2，若函数fx在区间,0mmm上是增函数，则实数m的取值范围是（ ）

A．0,4B．0,2C．0,2D．0,4π

【答案】B

【解析】因为直线ya与函数tan04fxx的图象的相邻两个交点的距离为2， 3 / 10 所以2T，所以12，即1tan24fxx

由12242kxk可得322,22kxkkZ

当0k时可得fx在3,22上单调递增

因为函数fx在区间,0mmm上是增函数，所以实数m的取值范围是0,2

高中常用的函数作图方法大总结

函数作图是高中数学最重要的基本功之一。能够顺畅的做出函数图像，在解题的时候非常重要。往往我们只需要做出函数的简图即可，不要求严格的精确，追求的是图像的趋势和作图时的速度。有个别十分基础的函数图像画法，在此就不再一一总结。以下是较常用，也是学生较生疏的作图，在此做个汇总。

一、一元二次函数

即20yaxbxca，做此函数的简图，求出三个要素，就能够迅速确定函数的大致图像。即：

（1）判别式的符号。决定与x轴是否有无交点

（2）对称轴2ba。决定函数整体位于y轴左侧还是右侧

（3）确定f(0)的值。决定函数与y轴交与上方还是下方

练习：做出下列函数的简图 （答案略）

（1）223yxx （2）2232yxx （3）231yxx

二、幂函数yx为有理数

yx在第一象限内大致图像如下：

则画幂函数图像的步骤：

（1）先画出第一象限内的图像

（2）再根据有无奇偶性画出其余象限的图像（如无奇偶性，则图像只出现在第一象限）

练习：做出下列函数图像

（1）31yx （2）34yx （3）3yx

解：（1）先画出第一象限，又函数是奇函数，故图像如下

（2）函数非奇非偶，因此只有第一象限内的图像，如下

（3）函数为奇函数，画出第一象限内，再补充第三象限的即可，如下

继续练习作草图：

答案：

三、axbycxd图像

形如axbycxd的函数，实际上是由最基本的反比例函数1yx或者1yx经过平移变换得来的。也是比较常考常用的。下面就将该图像的画图方法以及图像的核心性质总结下来。

画图步骤：（1）先分离常数

（2）确定渐近线的交点（即点（0,0）平移到了哪个点）

注意这里的平移口诀是“左加右减，上加下减”

（3）画出渐近线，并画出函数图像（注意分子的正负）

下面以两道题为例，详细说明画图步骤。 练习（1） 作321xyx的图像 （2）作341xyx的图像

重难点06 函数的图像

1．函数图象平移变换的八字方针

(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．

(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．

2．函数图象自身的轴对称

(1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．

(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)．

(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．

3．函数图象自身的中心对称

(1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称．

(2)函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)．

(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．

4．两个函数图象之间的对称关系

(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝b－a2对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；

(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；

(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称．

2023高考函数图象部分仍以考查图像识别为重点和热点，难度为中档，也可能考查利用函数图象解函数不等式或函数零点问题，为难题，题型为选择题.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．已知函数()21xfxx，则不等式()0fx的解集是（ ）． A．(1,1) B．(,1)(1,)

C．(0,1) D．(,0)(1,)

【答案】D 【解析】因为21xfxx，所以0fx等价于21xx，

在同一直角坐标系中作出2xy和1yx的图象如图：