三角函数y =Asin(ωx +φ)图像练习题一、单选题1. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω,φ的值分别是( )A. 2,−π3 B. 2,−π6 C. 4,−π6 D. 4,π32. 为了得到函数y =sin (2x +π3)的图象，只需要把函数y =sinx 的图象上( )A. 各点的横坐标缩短到原来的12，再向左平移π3个单位长度 B. 各点的横坐标缩短到原来的12，再向左平移π6个单位长度 C. 各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π3个单位长度 D. 各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位长度3. 要得到函数y =sinx +cosx 的图象，只需把函数y =√2sin (x −π12)的图象( )A. 向左平移π3个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度 C. 向左平移13个单位长度D. 向右平移13个单位长度4. 要得到函数y =3sin (2x +π4)的图象，只需将y =3sin2x 的图象( )A. 向左平移π8个单位 B. 向右平移π8个单位 C. 向左平移π4个单位D. 向右平移π4个单位5. 已知函数f(x)=Msin(ωx +φ)(M >0,ω>0,|φ|<π2)在半个周期内的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )A. f(x)=2sin(x +π6) B. f(x)=2sin(2x −π6)C. f(x)=2sin(x−π6)D. f(x)=2sin(2x+π6)6.为得到函数y=cos(x+π3)的图象，只需将函数y=sinx的图象()A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度C. 向左平移5π6个单位长度 D. 向右平移5π6个单位长度7.函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期上的图象如图所示，则函数的解析式是()A. y=2sin(x2−23π)B. y=2sin(x2+43π)C. y=2sin(x2+23π)D. y=2sin(x2−π3)8.设ω>0，函数y=sin(ωx+π3)+2的图象向右平移4π3个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是()．A. 23B. 43C. 32D. 39.如图所示，函数f(x)=Asin(2x+φ)(其中A>0，|φ|<π2)的图象过点(0,√3)，则f(x)的图象的一个对称中心是()A. (−π3,0)B. (−π6,0)C. (π6,0)D. (π4,0)10.将函数y=sinωx(ω>0)的图象向左平移π6个单位长度，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数解析式为()A. y=sin(x+π6)B. y=sin(x−π6)C. y=sin(2x+π3)D. y=sin(2x−π3)11.将函数f(x)=sin(x+φ)图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>1)(纵坐标不变)，得函数g(x)的图象.若g(π6)=1，g(2π3)=0，且函数g(x)在(π6,π2)上具有单调性，则ω的值为()A. 2B. 3C. 5D. 712.设函数的最小正周期为π，则下列说法正确的是()A. 函数f(x)的图象关于直线x=π3对称B. 函数f(x)的图象关于点(π12,0)对称C. 函数f(x)在(−5π12,π12)上单调递减D. 将函数f(x)的图象向右平移5π12个单位，得到的新函数是偶函数13.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(x)为奇函数，则()A. f(x)的图象关于点(π6,0)对称 B. f(x)的图象关于点(−π6,0)对称C. f(x)在(−π6,π3)上单调递增 D. f(x)在(−2π3,−π6)上单调递增14.已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+2π3)，则下面结论正确的是()A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C215.已知曲线y=sin(2x+π6)向左平移φ(φ>0)个单位，得到的曲线y=g(x)经过点(−π12,1)，则()A. 函数y=g(x)的最小正周期T=π2B. 函数y=g(x)在[11π12,17π12]上单调递增C. 曲线y=g(x)关于直线x=π6对称D. 曲线y=g(x)关于点(2π3,0)对称16.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π)的图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式为()A. y=32sin(2x+π6)B. y=32sin(2x−π6)C. y=32sin(2x+π3)D. y=32sin(2x−π3)二、多选题17.已知函数f(x)=sin(2x+π3)，将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为奇函数，则φ的值可以为()A. π12B. π6C. π3D. 2π318.为了得到函数y=cos(2x+π4)的图象，只要把函数y=cosx图象上所有的点()A. 向左平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍B. 向左平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍C. 横坐标变为原来的12倍，再向左平移π8个单位长度 D. 横坐标变为原来的12倍，再向左平移π4个单位长度19. 已知函数f(x)=2cos 2ωx +√3sin2ωx −1(ω>0)的最小正周期为π，则下列说法正确的有( )A. ω=2B. 函数f(x)在[0,π6]上为增函数C. 直线x =π3是函数y =f(x)图象的一条对称轴 D. 点(512π,0)是函数y =f(x)图象的一个对称中心20. 将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的23，得到函数g(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法正确的是( )A. f(x)的最小正周期为π，最大值为2B. f(x)的图象关于点(π6,0)中心对称 C. f(x)的图象关于直线x =π6对称 D. f(x)在区间[π6,π3]上单调递减第II 卷（非选择题）三、解答题21. 已知函数f(x)=4cos xsin (x +π6)−1．(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[−π6,π4]上的最大值和最小值．22.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若x∈[−53,53]，求函数f(x)的值域．23.已知函数f(x)=2√3sinxcosx−cos(2x+π3)−cos(2x−π3)．(Ⅰ)求f(π2)的值．(Ⅱ)求函数f(x)在区间[−π12,5π12]上的最大值和最小值．24.已知函数y=12sin (2x+π6),x∈R．(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的简图；(3)该函数的图象可由y=sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到⋅25.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示：(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图像，求函数y=g(x)在区间[0,π4]上的最大值及函数取最大值时相应的x 值.26.已知函数f(x)=cos2x+sin(2x−π6).(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)当x∈[0,π]时，求函数f(x)的单调递增区间．27.已知函数f(x)=2cos(x−π3)+2sin(3π2−x)．(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)求函数f(x)的最大值，并求f(x)取得最大值时的x的取值集合;(3)若f(x)=65，求cos(2x−π3)的值．28.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示．(I)求f(x)的解析式；(II)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a=1，c=2，f(A)=1，求b的值．29.已知函数f(x)=√3sinxcosx+sin2x−12．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若A∈(π12,π3)，f(A)=13，求cos(2A−5π6)的值．30.已知函数f(x)=4sinxcos(x+π3)+√3．(1)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间；(2)求函数f(x)在区间[−π4,π6]上的值域和取得最大值时相应的x的值．答案和解析1.【答案】A本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，属于基础题．结合图象由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值．【解答】解：由题意可知T=2×(11π12−5π12)=π，∴ω=2，x=5π12时，函数取得最大值2，可得：2sin(2×5π12+φ)=2，，即，又∵−π2<φ<π2，所以φ=−π3.故选A.2.【答案】B本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象的伸缩平移，属于基础题．根据函数图象伸缩平移变换法则即可得到答案．【解答】解：y=sinx图象上各点的横坐标缩短到原来的12，得到y=sin2x的图象，再向左平移π6个单位长度得到y=sin[2(x+π6)]=sin(2x+π3)的图象，故选B．3.【答案】A【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象的平移变换，辅助角公式，属于基础题．由辅助角公式，根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象的平移变换可得答案．【解答】解：y =sinx +cosx，则要得到函数y =sinx +cosx 的图象，只需把函数y =√2sin (x −π12)的图象向左平移π3个单位长度． 故选A ．4.【答案】A本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．由y =3sin (2x +π4)=3sin [2(x +π8)]，根据左加右减的平移原理，即可得到结果． 【解答】解：y =3sin (2x +π4)=3sin [2(x +π8)]，因此将函数y =3sin2x 的图象向左平移π8个单位，即可得到函数y =3sin (2x +π4)的图象． 故选A .5.【答案】A【分析】本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，属于基础题． 由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．【解答】解：由图象知M =2． 设函数f(x)的最小正周期为T ， 则14T =π3−(−π6)=π2，可知T =2π，ω=2πT=1，将(π3,2)代入f(x)的解析式得sin(π3+φ)=1， 又|φ|<π2，可得φ=π6，故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(x +π6). 故选A ．6.【答案】C本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质、函数图象的变换的相关知识，属于基础题．根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换的规则可得结论．【解答】解：故选C．7.【答案】C本题考查三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质，涉及诱导公式应用，属于基础题．依题意，根据图象求得A=2，ω=12，根据五点作图法得进而求得结果．【解答】解：由图知A=2，T2=8π3−2π3=2π=πω,ω=12，y=2sin(12x+φ)，根据五点作图法知，代入得，，所以，k∈Z，故选C．8.【答案】C本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质，属于基础题．函数y=sin(ωx+π3)+2的图象向右平移4π3个单位长度后与原图象重合，可判断出4π3是此函数周期的整数倍，由此能求出ω的表达式，判断出它的最小值．【解答】解：由函数的图象向右平移4π3个单位长度后与原图象重合，得4π3是此函数周期的整数倍．又ω>0，∴2πω⋅k=4π3(k∈Z,且k>0)，∴ω=3k2(k∈Z,且k>0)，∴ωmin=32．故选C．9.【答案】B【解答】解：由函数图象可知A=2，由于图象过点(0,√3)，可得2sinφ=√3，即sinφ=√32，由于|φ|<π2，解得φ=π3，即有f(x)=2sin(2x+π3)．由2x+π3=kπ，k∈Z，解得x=kπ2−π6，k∈Z，故f(x)的图象的对称中心是(kπ2−π6,0)，k∈Z，当k=0时，f(x)的图象的一个对称中心是(−π6,0)．故选B．10.【答案】C本题考查三角函数图像的平移变换，函数的解析式，属于基础题．由三角函数图像的平移得为，代入点，得，得ω=2，从而得解析式．【解答】解：函数y=sinωx(ω>0)的图象向左平移π6个单位长度，则平移后的图象所对应的函数解析式为，代入点，得，，k∈Z，当k=0时，ω=2，即解析式为y=sin(2x+π3)．故选C．11.【答案】B本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于中档题．根据题意得出，得出ω=2n−1(n∈N∗)，由函数g(x)在(π6,π2)上具有单调性，得出π2−π6⩽T2=πω，即可求出结果．【解答】解：由题意得，g(x)=sin(ωx+φ)，最小正周期T=2πω，若g(π6)=1，g(2π3)=0，，∴ω=2n−1(n∈N∗)，∵函数g(x)在(π6,π2)上具有单调性，∴π2−π6⩽T2=πω，解得ω⩽3，又ω>1，ω=2n−1(n∈N∗)，∴ω=3．故选B．12.【答案】D本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，正弦、余弦函数的图象与性质，属于中档题．先根据函数f(x)=12sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，求出ω=2，再根据选项逐一判断即可．【解答】解：∵函数f(x)=12sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，∴2πω=π，解得ω=2，则f(x)=12sin(2x+π3)，对于A.当x=π3时，f(π3)=12sin(2×π3+π3)=0，∴函数f(x)的图象关于点(π3,0)对称，故A不正确；对于B.当x=π12时，f(π12)=12sin(2×π12+π3)=12，∴函数f(x)的图象关于直线x=π12对称，故B不正确；对于C．f(x)=12sin(2x+π3)的单调递减区间满足：2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2,k∈Z，解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12,k∈Z，k=−1时不符合，故C不正确；对于D.将函数f(x)的图象向右平移5π12个单位，得到新函数为g(x)=f(x−5π12)=1 2sin(2x−π2)=−12cos2x，是偶函数，故D正确．故选D．13.【答案】C本题考查三角函数的图象的性质，属一般题．根据题意求出函数解析式，然后验证对称性和单调性．【解答】解：f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)，其图象相邻最高点之间距离为，ω=2， 所以将函数y =f(x)的向左平移π12个单位长度后，，因为g(x)为奇函数， 所以，则，则，当，，当，，故A ，B 错误；当x ∈(−π6,π3)时，，所以f(x)在(−π6,π3)单调递增，故C 正确；当x ∈(−2π3,−π6)时，，所以f(x)在(−2π3,−π6)单调递减，故D 错误； 故选C ．14.【答案】D本题考查三角函数的图象变换、诱导公式的应用． 利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变， 得到函数y =cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度， 得到函数y =cos2(x +π12)=cos(2x +π6) =sin(2x +2π3)的图象，即曲线C 2，故选D ．15.【答案】D本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于基础题．利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，可得结论．【解答】解：把曲线y=sin(2x+π6)向左平移φ(φ>0)个单位，得到的曲线y=g(x)=sin(2x+2φ+π6)，由于所得曲线经过点(−π12,1)，∴sin(−π6+2φ+π6)=sin2φ=1，，，∵φ>0，，，，，故g(x)=cos(2x+π6)的最小正周期为2π2=π，故A错误；在[11π12,17π12]上，2x+π6∈[2π,3π]，故函数y=g(x)在[11π12,17π12]上单调递减，故B错误；当x=π6时，g(x)=0，故g(x)的图象关于点(π6,0)对称，故C错误；当x=2π3时，g(x)=0，故g(x)的图象关于点(2π3,0)对称，故D正确，故选：D．16.【答案】D由图象求y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)解析式的方法；(1)A可由图象上最高点和最低点的纵坐标确定;(2)ω可由图象上最高点与最低点的横坐标确定，先求出最小正周期T，再由T=2πω求出ω;(3)φ可以由某一点处的函数值求得，要注意φ的范围．【解答】解：设f(x)的最小正周期为T，则12T=2π3−π6=π2，T=π，∴ω=2πT =2.又由图象可得A=32，∴f(x)=32sin(2x+φ).∵f(5π12)=32sin(2×5π12+φ)=32，∴5π6+φ=2kπ+π2，k∈Z，即φ=2kπ−π3，k∈Z，又|φ|≤π，∴φ=−π3，∴y=f(x)=32sin(2x−π3).故选D．17.【答案】BD【解析】【分析】本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易由题意将函数f(x)图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后，得到的图象对应的解析式g(x)，又函数g(x)为奇函数，即可得出φ的值【解答】解：将函数f(x)图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后，得到的图象对应的解析式为g(x)=sin[2(x−φ)+π3]=sin(2x−2φ+π3)．由g(x)为奇函数可得−2φ+π3=kπ(k∈Z)，故φ=π6−kπ2(k∈Z)，又φ>0，结合选项，所以φ的值可以为π6，23π.故应选BD．18.【答案】BC【分析】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，函数图象的平移伸缩变换，属于基础题．依据函数y=Asin(ωx+φ)的图象平移伸缩变换的规则逐一判定即可．【解答】解：对于A，把函数y=cosx图象上所有的点向左平移π4个单位长度，可得函数，再将横坐标变为原来的2倍，可得函数，故A错误；对于B，把函数y=cosx图象上所有的点向左平移π4个单位长度，可得函数，再将横坐标变为原来的12倍，可得函数，故B正确；对于C，把函数y=cosx图象上所有的点横坐标变为原来的12倍，可得函数y=cos 2x，再向左平移π8个单位长度，可得函数，故C正确；对于D，把函数y=cosx图象上所有的点横坐标变为原来的12倍，可得函数y=cos 2x，再向左平移π4个单位长度，可得函数，故D错误．故选BC．19.【答案】BD本题考查三角函数的性质应用，考查两角和与差的三角函数公式，辅助角公式及二倍角公式应用，属基础题．依题意，根据两角和与差的三角公式及二倍角公式化简函数，再根据三角函数的性质求解即可．【解答】解：，因最小正周期为π得ω=1，故A错误，当时，，得函数f(x)在[0,π6]上为增函数，故B正确；当，，所以直线x=π3不是函数y=f(x)图象的一条对称轴，故C 错误；当，，得点(512π,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心，故D正确；故选BD．20.【答案】ACD本题考查三角函数的图象与性质，涉及正弦函数图象与性质的应用，属于中档题．先由函数图象得出g(x)的解析式，再由函数图象的变换得出f(x)的解析式，借助正弦函数的图象与性质得出答案即可．【解答】解：由图可知，A=2，T=4×(2π9−π18)=2π3，∴ω=2πT=3，又由g(2π9)=2，可得2π9×3+φ=π2+2kπ(k∈Z)，且lφ|<π2，∴φ=−π6，∴g(x)=2sin(3x −π6)，将函数g(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的32，可得函数，再将函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数，∴f(x)=2sin(2x +π6)，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为2，A 正确． 令2x +π6=kπ，k ∈Z ，得，∴函数f(x)图象的对称中心为(kπ2−π12,0)(k ∈Z)， 由kπ2−π12=π6，得k =12，不符合k ∈Z ，B 错误; 对于选项C ，令2x +π6=π2+kπ(k ∈Z)，得x =π6+kπ2(k ∈Z)，∴函数f(x)图象的对称轴为直线x =π6+kπ2(k ∈Z)，当k =0时，x =π6，故C 正确；当x ∈[π6,π3]时，2x +π6∈[π2,5π6]，∴f(x)在区间[π6,π3]上单调递减，D 正确． 故选ACD ．21.【答案】解：(1)因为f(x)=4cos xsin (x +π6)−1=4cos x (√32sin x +12cos x)−1=√3sin 2x +2cos 2x −1 =√3sin 2x +cos 2x=2sin (2x +π6)， 所以f(x)的最小正周期为π; (2)因为−π6≤x ≤π4， 所以−π6≤2x +π6≤2π3．故当2x +π6=π2，即x =π6时，f(x)取得最大值2; 当2x +π6=−π6，即x =−π6时，f(x)取得最小值−1．【解析】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题．(1)利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式，即可求出函数的最小正周期;(2)先根据x的取值范围求得2x+π6的范围，再由正弦函数的性质即可求出函数的最大值和最小值．22.【答案】解：(1)由图象知函数的最大值为1，即A=1，T2=3−(−1)=4，即周期T=8，即2πω=8，得ω=π4，则f(x)=sin(π4x+φ)，由五点对应法得π4×1+φ=π2，得φ=π4，即f(x)=sin(π4x+π4).(2)若x∈[−53,53 ]，则π4x+π4∈[−π6,2π3]，∴当π4x+π4=−π6时，即x=−53时，f(x)最小，最小值为f(−53)=−12，当π4x+π4=π2时，即x=1时，f(x)最大，最大值为f(1)=1，∴f(x)的值域为[−12,1]．【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用图象法求出函数的解析式以及结合三角函数的最值性质是解决本题的关键．难度不大．(1)根据函数图象先求出A和周期，结合周期公式求出ω，利用五点对应法求出φ即可求出函数的解析式．(2)求出角的范围，结合三角函数的最值关系进行求解即可．23.【答案】解：(Ⅰ；(Ⅱ)f(x)=2√3sinxcosx−cos(2x+π3)−cos(2x−π3)=√3sin2x−12cos2x+√32sin2x−12cos2x−√32sin2x=√3sin2x −cos2x =2sin(2x −π6)，因为x ∈[−π12,5π12]∴−π3≤2x −π6≤2π3，∴2sin(2x −π6)∈[−√3,2]． 即函数f(x)在区间[−π12,5π12]上的最大值为2，最小值为−√3．【解析】本题考查三角函数的化简与求值，考查三角函数的性质，属基础题． (Ⅰ)将代入化简即可；(Ⅱ)利用辅助角公式化简得到f(x)，由x 的取值范围得出2x −π6的范围，再由正弦函数的性质得出最值即可．24.【答案】解：(1)函数y =12sin (2x +π6)的振幅为12，周期为π，初相为π6．(2)列表：描点画图(如图所示)：(3)函数y =sinx 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y =sin (x +π6)的图象， 再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的12倍，得到函数y =sin (2x +π6)的图象， 再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的12倍，得到函数y =12sin (2x +π6)的图象．【解析】本题主要考查了三角函数的图象和性质以及“五点法”作图和图象的平移和伸缩变换，属于基础题．(1)结合振幅、周期、初相的定义可得； (2)按照列表、描点、连线的步骤求解画图；(3)由y =sinx (x ∈R )的图象左移π6个单位得到数y =sin (x +π6),x ∈R 的图象，然后横坐标再伸缩得到y =sin (2x +π6),x ∈R 的图象，最后纵坐标再伸缩得到y =12sin (2x +π6),x ∈R 的图象．25.【答案】解：(1)如图可知，A =2，T =4×[π12−(−π6)]=π，∴ω=2πT=2．∵{2sin (2×π12+φ)=2|φ|<π2，∴φ=π3，即函数解析式为；(2)根据图象平移原则得g (x )=2sin (4x +π3)， ∵x ∈[0,π4]，∴4x +π3∈[π3,4π3]，∴2sin (4x +π3)∈[−√3,2]， 当，即x =π24时，函数g(x)在区间[0,π4]上的最大值为2．【解析】本题考查了三角函数的图象与性质的应用，求出函数f(x)的解析式是关键，属于中档题．(1)利用三角函数的图象，得出振幅A 与周期T ，代入特殊点求出φ，即可求出函数解析式；(2)根据图像平移，得到函数g(x)的解析式，最后利用正弦型函数的性质求出结果．26.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=cos2x +sin(2x −π6)=cos2x +√32sin2x −12cos2x =sin(2x +π6)，故它的最小正周期为2π2=π．(Ⅱ)令2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ， 得kπ−π3≤x ≤2kπ+π6，k ∈Z ，∴函数的增区间为[kπ−π3,2kπ+π6]，k∈Z，∵x∈[0,π]，∴函数的增区间为[0,π6]、[2π3,π]．【解析】本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．(Ⅰ)由题意利用两角和差的三角公式化简函数f(x)的解析式，可得它的最小正周期．(Ⅱ)由题意利用正弦函数的单调性，求出函数f(x)的单调递增区间．27.【答案】解：f(x)=2cosxcosπ3+2sinxsinπ3−2cosx=cosx+√3sinx−2cosx=√3sinx−cosx=2sin(x−π6 ).(1)令2kπ+π2≤x−π6≤2kπ+32π(k∈Z)，∴2kπ+2π3≤x≤2kπ+5π3(k∈Z)，∴f(x)的单调递减区间为[2kπ+2π3,2kπ+5π3](k∈Z)．(2)f(x)取最大值2时，x−π6=2kπ+π2(k∈Z)，则x=2kπ+2π3(k∈Z)．∴f(x)的最大值是2，取得最大值时的x的取值集合是{x|x=2kπ+2π3,k∈Z}.(3)∵f(x)=65，∴2sin(x−π6)=65，∴sin(x−π6)=35．∴cos(2x−π3)=1−2sin2(x−π6)=1−2×(35)2=725．【解析】本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，诱导公式，两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，属于中档题．利用诱导公式和两角差的余弦函数公式得f(x)=√3sinx−cosx，即．(1)利用函数y=Asin(ωx+φ)的单调性，计算得结论；(2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的最值，计算得结论；(3)利用题目条件得，再利用余弦的二倍角公式，计算得结论．28.【答案】解：(1)由最值可确定A=2，周期T=2×(π3+π6)=π⇒ω=2，又f(π3)=2，即，，即，∵|φ|<π，∴φ=−π6，所以f(x)=2sin (2x−π6)；(2)f(A)=2sin (2A−π6)=1⇒sin (2A−π6)=12⇒2A−π6=π6或5π6，故A=π6或π2，当A=π2时，三角形为直角三角形，此时a>c，这与题目条件a=1,c=2矛盾，所以舍掉；当A=π6时，由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccos A⇒b2−2√3b+3=0，解得b=√3．【解析】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，余弦定理，考查运算化简的能力，属于中档题．(1)由图可得A=2，，可得ω=2，再由f(π3)=2，结合|φ|<π可得φ，从而可得f(x)的解析式；(2)由(1)及f(A)=1，求得A=π6或π2，按A讨论结合余弦定理可得．29.【答案】解：(1)f(x)=√3sinxcosx+sin2x−12=√32sin2x+1−cos2x2−12=sin(2x−π6 )，令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z.解得，k∈Z.所以f(x)的单调增区间为[−π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)．(2)由(1)得f(x)=sin(2x−π6)，所以f(A)=sin(2A−π6)=13，令θ=2A−π6，则0<θ<π2，所以sinθ=13，cosθ=2√23，则cos(2A−56π)=cos(θ−23π)=cosθcos23π+sinθsin23π=2√23×(−12)+13×√32=√3−2√26．【解析】本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质和三角恒等变换，是中档题。
