新2021年高考数学专题讲义第10讲 函数的图像(学生版)

【解析】 (1)根据题意可得，f(x)＝l－n lxn，xx，≥01<，x<1， ∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
根据题意可知，a2>－0a>0 ⇒0<a<2； ①当 0<a<1 时，2－a>1， ∵f(a)>f(2－a)，∴－ln a>ln(2－a)⇒a(2－a)<1， 解得 a≠1；∴0<a<1； ②当 a＝1 时，f(a)＝f(2－a)不符合题意(舍)； ③当 1<a<2 时，0<2－a<1， ∵f(a)>f(2－a)，∴ln a>－ln(2－a)，∴a(2－a)>1，解得 a∈∅， 综上，a 的取值范围为(0,1)，故选 A. 【答案】 (1)A
【解析】(2)∵函数 y＝f(x)是 R 上的奇函数，∴f(0)＝0，由题 意可得 f(1)＝－f(0)＝0，
当 x≥0 时，f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴f(2 019)＋f(－2 020) ＝f(2 019)－f(2 020)＝f(1)－f(0)＝0，A 选项正确；当 x≥0 时，f(x
或x2＋x<10≥，0， 所以 x<0.故选 D.
3．(多选题)若函数 f(x)在其图象上存在不同的两点 A(x1，y1)， B(x2，y2)，其坐标满足条件：|x1x2＋y1y2|－ x21＋y21· x22＋y22的最大 值为 0，则称 f(x)为“柯西函数”，则下列函数中为“柯西函数”
的是( )
(2)[2020·山东德州质量检测]已知 f(x)为定义在 R 上的奇函数， 当 x≥0 时，有 f(x＋1)＝－f(x)，且当 x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)， 下列命题正确的是( )

【解析】 度得到y＝ln(2－x)＋2的图像④，即为所求图像，如图．
则实数a的取值范围是
.
实数m的取值范围是( )
精编优质课PPT第2章第6节函数的图像-2021年新高考数学自主复习课件(共40张PPT)(获奖课件推荐下载)
6．[课标全国Ⅰ2016·7]函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图像大致为( )
精编优质课PPT第2章第6节函数的图像-2021年新高考数学自主复习课件(共40张PPT)(获奖课件推荐下载)
精编优质课PPT第2章第6节函数的图像-2021年新高考数学自主复习课件(共40张PPT)(获奖课件推荐下载)
综上可得所求实数k的取值范围为
精编优质课PPT第2章第6节函数的图像-2021年新高考数学自主复习课件(共40张PPT)(获奖课件推荐下载)
精编优质课PPT第2章第6节函数的图像 -2021 年新高 考数学 自主复 习课件( 共40张 PPT)( 获奖课 件推荐 下载)
第6节
函数的图像
【解析】
【答案】D
精编优质课PPT第2章第6节函数的图像 -2021 年新高 考数学 自主复 习课件( 共40张 PPT)( 获奖课 件推荐 下载)
精编优质课PPT第2章第6节函数的图像 -2021 年新高 考数学 自主复 习课件( 共40张 PPT)( 获奖课 件推荐 下载)
B．这个函数在其定义域内有最大值是7
精编优质课PPT第2章第6节函数的图像-2021年新高考数学自主复习课件(共40张PPT)(获奖课件推荐下载)
(3)从图像的走向趋势，分析函数的单调性与周期性．
由函数的值域，判断图像的上下位置．
精编优质课PPT第2章第6节函数的图像-2021年新高考数学自主复习课件(共40张PPT)(获奖课件推荐下载)

答案 B
2．(2011·福州质检)函数y＝log2|x|的图象大致是( ) 答案 C 解析 函数y＝log2|x|为偶函数，作出x>0时y＝log2x的图象，图象关于y轴对称，应选C.
答案 A
4．(08·山东)设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图象关于直线x＝1对称，则a的值为( ) A．3 B．2 C．1 D．－1 答案 A 解析 ∵函数f(x)图象关于直线x＝1对称，∴f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(2)＝f(0)．即3＋|2－a|＝1＋|a|，用代入法知选A.
思考题1 将函数y＝lg(x＋1)的图象沿x轴对折，再向右平移一个单位，所得图象的解析式为________． 【答案】 y＝－lgx
题型二 知式选图或知图选式问题 例2 (2011·合肥模拟)函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为( )
【解析】 首先分析奇偶性，知函数为偶函)＝1，∴选A.
1.函数图象的三种变换 (1)平移变换：y＝f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位，得到y＝f(x＋a)的图象；y＝f(x－b)(b>0)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移b个单位而得到；y＝f(x)的图象向下平移b(b>0)个单位，得到y＝f(x)－b的图象；y＝f(x)＋b(b>0)的图象可由y＝f(x)的图象向上平移b个单位而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减上加下减．
【答案】 C
题型三 函数图象的对称性 例3 (1)已知f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式为________________． (2)设函数y＝f(x)的定义域为实数集R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于( ) A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称 C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称

第 1 页 共 9 页 2021年新高考数学总复习讲义：函数的图像知识讲解一、描点法方法：在考虑函数定义域的条件下有三个步骤：列表、描点、连线．若函数由基本初等函数复合或组合而成，则结合一下四点描点：①确定函数的定义域②化简函数解析式③讨论函数的性质④画出函数的图像（尤其注意特殊点、零点、最大值与最小值、对称轴、中心、渐近线）．二、图象变换1.平移变换1）水平平移：函数()f x a 的图像可以把函数()f x 的图像沿x 轴方向向左（0a ）或向右（0a ）平移||a 个单位．2）竖直平移：函数()f x a 的图像可以把函数()f x 的图像沿x 轴方向向上（0a ）或向下（0a ）右平移||a 个单位．2.对称变换1）函数()f x 的图像可以将函数()yf x 的图像关于y 轴对称得到； 2）函数()f x 的图像可以将函数()y f x 的图像关于x 轴对称得到； 3）函数()f x 的图像可以将函数()y f x 的图像关于原点对称得到； 4）函数(2)yf m x 的图像可以将函数()y f x 的图像关于x m 对称得到； 5）函数2()yn f x 的图像可以将函数()y f x 的图像关于y n 对称得到； 6）函数2(2)y n f m x 的图像可以将函数()y f x 的图像关于点()m n ，对称得到．3.翻折变换1）函数|()|y f x 的图像可以将函数()yf x 的图像的x 轴的下半轴沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉x 轴下方部分，并保留()yf x 的x 轴上半部分即可得到． 2）函数(||)y f x 的图像可以将函数()yf x 的图像沿y 轴向右翻折到y 轴的左边代替原y 轴左边部分并保留()yf x 在y 轴右边部分即可得到．。

对于具有周期性的函数，其图 像呈现周期性重复的特点。
CHAPTER 02
常见函数的图像
一次函数的图像
一次函数
y=kx+b，当k>0时，函数图像为上 升直线；当k<0时，函数图像为下降 直线。
斜率
截距
b决定了函数图像与y轴的交点，当 b>0时，交点在y轴的正半轴；当b<0 时，交点在y轴的负半轴。
计算机构图法
利用计算机软件（如 GeoGebra、Desmos等 ）输入函数解析式，自动 生成函数的图像。
函数图像的基本特征
连续性
函数图像是连续的曲线，没有 间断。
单调性
函数在其定义域内可能存在单 调增或单调减的情况。
奇偶性
根据函数是否满足奇偶性，函 数的图像可能关于原点对称或 关于y轴对称。
周期性
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
验证模型
通过函数图像验证数学模型的正确性和有效性。
应用模型
将数学模型应用于实际问题，解决实际问题。
CHAPTER 04
函数图像的变换
平移变换
平移变换
函数图像在平面坐标系中沿x轴或y轴方向进行等距离移动。
水平平移
函数图像沿x轴方向移动，左加右减。
垂直平移
函数图像沿y轴方向移动，上加下减。
伸缩变换
不等式的性质
通过观察函数图像与不等式解集的关系，可以进一步了解不等式的性质，如对 称性、传递性等。
函数图像与方程的关系
方程的根
通过观察函数图像与x轴的交点，可以确定方程的根。如果函数图像与x轴交于一 点，则该点为方程的一个根；如果交于两点，则这两个点分别为方程的两个根。
函数的奇偶性

(a<0)平移|a|个单位长度得到.
(2)伸缩变换： ①把 y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标伸长(A>1)到原来的 A
倍或缩短(0<A<1)到原来的A1，横坐标不变，就得到 y＝Af(x)(A>0，
A≠1)的图象.
②把 y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长(0<w<1)到原来
1
1
的___w___倍或缩短(w>1)到原来的____w____，纵坐标不变，就得
2×1e2＋1－2m×1e－m>0，
解得
1 0<m<e.
答案：C
图 D10
考点 3 函数图象的变换 例 3：(1)(多选)已知 f(x)＝xx2＋＋11，，xx∈∈[[－0，1，1]0，， 则结合图 2-10-1，下列选项正确的是( )
①
②
③
④
A.①是 f(x－1)的图象 C.③是 f(|x|)的图象
答案：B
【规律方法】函数图象主要涉及三方面的问题，即作图、 识图、用图.作图主要应用描点法、图象变换法以及结合函数的 性质等方法；识图要能从图象的分布范围、变化趋势、对称性 等方面，来研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性及周期 性等性质；用图是函数图象的最高境界，利用函数图象的直观 性可以方便、快捷、准确地解决有关问题，如求值域、单调区 间、求参数范围、判断非常规方程解的个数等，这也是数形结 合思想的重要性在中学数学中的重要体现.
考点 1 函数图象的辨析
例
1：(1)(2017
年新课标Ⅰ)函数
y＝1－sinco2sx
的部分图象大 x
致为( )
A
B
C
D
解析：函数
y＝1－sinco2sx

(2)对称变换 y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=f(x) (3)伸缩变换
y=f(x)
y=f(x) (4)翻折变换 y=f(x)
① y=-f(x) ; ② y=f(-x) ;
③ y=f(2a-x) ; ④ y=-f(-x) .
⑦ y=f(ωx) ; ⑧ y=Af(x) .
⑨ y=|f(x)| .
图可知,要使原不等式的解集为x

-
1 2

x

4
,则x=4是两图象的交点的横坐
标,即方程 2x 1=x+m的解.∴m= 2 4 1 -4=-1.
方法总结 利用函数的图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化 为两函数图象的上下关系问题,从而利用数形结合法求解.
3.借助动点探究函数图象.解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析
式后再判断函数的图象;也可采用“以静观动”,即将动点处于某些特殊的
位置处考察图象的变化特征,从而作出选择.
考法三 函数图象的应用
例3
已知函数f(x)=
sin log
πx,0 2 017 x,x
x 1, 1,
若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+
(2)y=
x2 x-1
=1+
3 x-1
,先作出y=
3 x
的图象,将其图象向右平移一个单位,再向上
平移一个单位,即得y= x 2 的图象,如图②所示.
x-1
方法总结 画函数图象的一般方法: 1.直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,就 可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. 2.转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画 图象. 3.图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸 缩、翻折、对称得到,可利用图象变换作出. 提醒 (1)画函数的图象一定要注意定义域. (2)利用图象变换法时要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本初等函 数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式 的影响.

2021年新高考数学总复习讲义：函数的定义及表示知识讲解一、函数1.函数的概念概念：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意的数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()yf x ，xA 其中x 叫做自变量．自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a ，所有函数值构成的集合{()}y yf x xA ，叫做这个函数的值域．2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则3.函数的表示法1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．4.求函数定义域注意事项1）分式的分母不应为零； 2）零的零次幂没有意义；3）开偶次方根的被开方数大于或者等于零； 4）对数式的真数大于零； 5）()=tan f x x 的定义域为{|}2x xk kZ ππ，；6）复合函数求定义域要保证复合过程有意义，最后求它们的交集．5.分段函数定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．6.复合函数定义：若()∈，(),u m n∈，那么[()]x a b=，(),y f u=，()u g xy f x称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是()g x的值域．注意：函数的定义域必须写成集合或区间的形式．二、映射，是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x在B 定义：设A B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，这时称y是x在映射f的作用下的象，记作()f x，于是y f x()x称为y的原象，映射f也可记为：:f A Bx f x()f x构成的集合叫做映射f的其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广）．由所有象()f A．值域．通常记作()、以及对应法则，三者缺一不可；:f A B，集合A中每一个元素映射三要素：集合A B在集合B中都有唯一的元素与之对应，从A到B的对应关系为一对一或多对一，绝对不可以一对多，但也许B中有多余元素．三、函数求解析式1.换元法2.方程组法四、函数求值域1.直接法（分析观察法）2.函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域．3.配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域．对于形如2y ax bx c (0)a或2()[()]()F x a f x bf x c (0)a类的函数的值域问题，均可使用配方法．4.分离常数法：当分式中分子分母都函数由参数时．可以采用分离常数法．5.换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域． 对形如的函数，令；形如的函数，令；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令．6.判别式法：在函数定义域为R 时，把函数转化成关于的二次方程()0F x y ，；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域．对形如21112222a xb xc ya xb xc （1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x 的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y 的范围，即值域．值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论．注意：主要适用于定义在R 上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论．7.基本不等式法：利用基本不等式求函数值域， 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值．8.数形结合法：如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域．()1y f x =()f x t=,,,,0)y ax b a b c dac =+±≠均为常数t =[]cos ,0,x a θθπ=∈sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦x 0∆≥0≥∆经典例题一．选择题（共12小题）1．（2018春•东安区校级期末）集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（）A．f：x→y=12x B．f：x→y=2﹣xC．f：x→y=23x D．f：x→y=√x2．（2018春•青山区校级期末）已知函数y=√(a−1)x2+ax+1的值域为[0，+∞），求a的取值范围为（）A．a≥1B．a＞1C．a≤1D．a＜13．（2016秋•芗城区校级期末）下列图形中可以是某个函数的图象的是（）A．B．C ．D ．4．（2016秋•宁城县期末）下列函数与函数y=x 相等的是（ ） A ．y =(√x)2 B ．y =√x 2C ．y =(√x 3)3D ．y =x 2x5．（2016秋•湖北期末）已知函数f （x ）的定义域为[﹣1，5]，在同一坐标系下，函数y=f （x ）的图象与直线x=1的交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．0个或者2个6．（2016秋•天门期末）已知函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，在同一坐标系下，函数y=f （x ）的图象与直线x=1的交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．0个或者2个7．（2018•乌鲁木齐二模）若集合A ={x|x(x +1)≥0}，B ={y|y =√x −1}，则（ ）A．A=B B．A⊆BC．A∪B=R D．B⊆A8．（2018•乌鲁木齐二模）若集合A={x|x（x﹣1）＜0}，B={y|y=x2}，则（）A．A=B B．A⊆BC．A∪B=R D．B⊆A9．（2018•河南模拟）已知函数f（x）=5﹣1og3x，x∈（3，27]，则f（x）的值域是（）A．（2，4]B．[2，4）C．[﹣4，4）D．（6，9]10．（2018•济宁一模）已知函数f(x)={lnxx，x＞1e x+1，x≤1，则函数f（x）的值域为（）A．（0，e+1]B．（0，e+1）C．(0，1e]∪(1，e+1)D．(0，1e]∪(1，e+1]11．（2017秋•沂南县期末）若f（lnx）=3x+4，则f（x）的表达式是（）A．3e x+4B．3lnx+4C．3lnx D．3e x12．（2017秋•潮南区期末）若f（x）满足关系式f（x）+2f（1x）=3x，则f（2）的值为（）A．1B．﹣1C．﹣32D．32二．填空题（共4小题）13．（2017秋•杨浦区校级期末）设f(x)=2x−1，g(x)=√x−1x，则f（x）•g（x）=．14．（2018春•海安县校级月考）若f（2x）=3x2+1，则函数f（x）的解析式是．15．（2018•徐汇区二模）函数f（x）=lg（3x﹣2x）的定义域为．16．（2017秋•海陵区校级期中）若g（x）=x2+x，x∈{﹣1，1}的值域为．三．解答题（共2小题）17．求函数y=e x+1e x+2值域．18．求下列函数的值域．（1）y=√x−4√x+3；（2）y=2x﹣3+√13−4x；（3）y=√1+x+√1−x．。

专题10：高考数学中函数图像的判断知识点和精选提升题（解析版）【高考地位】函数图像作为高中数学的一个“重头戏”，是研究函数性质、方程、不等式的重要武器，已经成为各省市高考命题的一个热点。

在高考中经常以几类初等函数的图像为基础，结合函数的性质综合考查， 多以选择、填空题的形式出现。

给定函数找图像，可以从以下几个方面入手：1)奇偶性或对称性，奇函数关于原点对称，偶函数关于y 轴对称。

2)单调性，可以是整个定义域中的单调性，也可以是某个小区间或某一点附近的单调性。

3)某些点处的函数值的符号或大小关系等，一些不在函数图像上点的极限，比如x 趋近于正负无穷或开区间端点时的函数值 【方法点评】 方法一 特值法 使用情景：函数的 解析式已知的情况下解题模板：第一步 将自变量或者函数值赋以特殊值； 第二步 分别一一验证选项是否符合要求； 第三步 得出结论 .方法二 利用函数的基本性质判断其图像 使用情景：函数的解析式已知 的情况下解题模板：第一步 根据已知函数解析式分析其变化特征如单调性、奇偶性、定义域和值域等；第二步 结合简单的基本初等函数的图像特征如对称性、周期性极值等进行判断即可； 第三步 得出结论 .一、单选题1．已知0a >，且1a ≠，函数x y a =与()log ay x =-的图象只能是下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】 根据函数()log ay x =-的图象与log a y x =的图象关于y 轴对称，函数xy a =的图象与log a y x =的图象关于直线y x =对称，即可判断．【详解】当1a >时，函数xy a =与()log ay x =-的大致图象如图所示：当01a <<时，函数xy a =与()log ay x =-的大致图象如图所示：根据题意，所以正确的是B ． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象的理解和应用，属于容易题． 2．如图是函数()f x 的图像，()f x 的解析式可能是（ ）A ．1()ln 1+=-x f x x B ．1()ln 1-=+x f x x C ．11()11=++-f x x x D ．11()11=-+-f x x x 【答案】C 【分析】利用赋值法代入0x =，2x =，12x =-，用排除法即可得到答案.【详解】由图象可知(0)0f =，若11()11=-+-f x x x ，11(0)20101f =-=+-，故可排除D ； 当2x =时，(2)0f >，若1()ln1-=+x f x x ，211(2)ln ln 0213f -==<+，故可排除B ； 当12x =-时，1()02f ->，若1()ln 1+=-x f x x ，11112()ln ln 012312f -+-==<-，故可排除A ； 故选：C. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．3．在同直角坐标系中，1y a x b=-+与log ()a y x b =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】 利用函数1y a x b=-+的单调性排除选项，以及根据函数()log a y x b =-的图象判断0b ->，再利用函数1y a x b=-+的对称性排除选项. 【详解】 函数1y a x b =-+的单调性与1y x=-的单调性一致，两段区间都是单调递增，故排除BC ，AD 选项中，()log a y x b =-，当0x =时，()log 0a b -<，即0b ->， 而1y a x b=-+关于点(),b a -对称，因为0b ->，故排除D. 故选：A 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2xa )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】取0a =可判断排除D ，再根据图象的对称性可求a 的值，讨论相应的函数性质后可得正确的选项. 【详解】若0a =，则21()402xx x f x ⎛⎫== ⎪-⎝⎭，故D 中图象符合，排除D. AC 中对应的函数的定义域为{}|0x x ≠，故040a -=，故1a =， 此时1()22x x f x -=-，而()1()22x xf x f x --==--，故()f x 为奇函数， 且当0x >时，22x xy -=-为增函数，故()f x 在()0,∞+上为减函数，故A 中图象符合，排除A ，C 中图象不符合.B 中对应的函数的定义域为R ，且为偶函数，故0a <，因为()22()44x x x xf x f x a a---===--，故()()1220x xa -++=，故1a =-， 此时12()2x xf x +-=， 当0x >时，21x >，故12222xxx x y -=+=+为()0,∞+上的增函数， 1故选：C. 【点睛】方法点睛：函数图象的识别，一般从函数的定义域，奇偶性、单调性和特殊点处的函数的正负去讨论.5．函数2()ln f x x x =+的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】根据函数奇偶性、单调性、特殊值或临界值的正负排除即可. 【详解】解：函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B. 当0x >时，2()ln f x x x =+在()0,∞+上单调递增，排除A.又()110f =>，排除D. 故选：C. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．函数()32241x xxx y -=+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】研究函数奇偶性和区间(2的函数值的正负，利用排除法即得结果. 【详解】函数()33222()4122x x xxxx x x y f x ---===++，定义域为R ， 对于任意的自变量x ，()333222()()222222x x x x x xx x x x x xf x f x -------===++-=-+++，故函数()y f x =是奇函数，图象关于原点中心对称，故CD 错误；又(3222()2222x x xxx x x x x y f x --+-===++，故(2x ∈时，020,20,202x x x x x ->><+>，，即()0y f x =<，故故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 7．函数1()()21xx f x x -=+的部分图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【分析】分别计算()(0)2f f -，判断符合排除A ，D ，然后根据()1,0x ∈-，()0f x <即可得到结果. 【详解】由题可知：函数1()()21xx f x x -=+的定义域为{}1x x ≠- (0)1f =-，故排除A()324f -=，排除D 当()1,0x ∈-时，10,201x x x -<>+，所以()0f x < 所以排除B ，故C 正确 故选：C8．函数()122x x x xf x --=+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】判断函数的奇偶性，结合特殊值，排除选项得出正确答案． 【详解】()f x 的定义域为R ，且()()()()112222x xx x x x f x xx x f -------==+--=-+-， 即函数为奇函数，排除A ，B又当12x =时，31201224f -⎛⎫=< ⎪⎝⎭+，排除C故选：D9．函数sin cos 1y x x x =+-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D分别计算x π=、0x =、2x π=对应的函数值，排除ABC 错，即可得出结果.【详解】当x π=时，sin cos 10cos 120y x x x π=+-=+-=-<，故A 错； 当0x =时，sin cos 10110y x x x =+-=+-=，故B 错； 当2x π=时，sin cos 1011022y x x x ππ=+-=+-=->，故C 错，D 正确.故选：D.10．下列可以表示以{}01M x x =≤≤为定义域，以{}01N y y =≤≤为值域的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】根据题意，依次分析选项中的图象，综合即可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，其对应函数的值域不是{}01N y y =≤≤，A 错误；对于B ，图象中存在一部分与x 轴垂直，该图象不是函数的图象，B 错误；对于C ，其对应函数的定义域为{|01}M x x =，值域是{|01}N y y =，C 正确； 对于D ，图象不满足一个x 对应唯一的y ，该图象不是函数的图象，D 错误；11．函数2()1sin 12xf x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ）． A ． B ．C ．D ．【答案】B 【分析】首先判断函数的奇偶性，再判断0πx <<时，函数值的正负，判断得选项. 【详解】因为2()1sin 12x f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以12()sin 12x x f x x -=⋅+， ()()()2221sin 1sin 1212x x xf x x x -⎛⎫⨯⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()21221sin 12x x x ⎛⎫+- ⎪=-- ⎪+⎝⎭221sin 1sin 1212xx x x ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()f x =，所以函数是偶函数，关于y 轴对称，排除C ，D ， 令()0f x =，则21012x-=+或sin 0x =，解得()x k k Z π=∈，而0πx <<时，120x -<，120x +>，sin 0x >，此时()0f x <.故排除A.故选：B ． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.12．已知0a >，且1a ≠，则函数x y a =与1log a y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【分析】讨论01a <<或1a >，首先判断xy a =的图象，再判断1log a y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象即可得出结果. 【详解】若01a <<，函数xy a =的图象下降，即为减函数，且过()0,1，()1log log a a y x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭的图象下降，即为减函数，且0x <以上图象C 符合；若1a >，函数xy a =的图象上升，即为增函数，且过()0,1，()1log log a a y x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭的图象上升，即为增函数，以上图象都不符合. 故选：C13．函数()f x 的大致图像如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()1ln 2f x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ B ．()()1ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．()1ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．()()1ln 2f x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】首先根据图象可判断函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，当0x >时，函数()f x 有两个零点，当0x <时，函数()f x 有一个零点，然后依次对四个选项进行分析计算即可得出正确答案. 【详解】由图可知，函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，当0x >时，函数()f x 有两个零点，当0x <时，函数()f x 有一个零点，依次对四个选项进行分析： 对于A ：10x x+≠，令()0f x =得：ln 20x -=，解得1x =或3x =， 对于B ：令()0f x =得：10x x-=或()ln 20x -=，解得3x =-或1x =-或1x =或3x =，对于C ：令()0f x =得：10x x-=或ln 20x -=，解得1x =-或1x =或3x =， 对于D ：10x x+≠，令()0f x =得：()ln 20x -=，解得3x =-或3x =， 综上，只有选项C 满足题意.故选：C . 【点睛】方法点睛：本题考查由函数图象判断解析式，通常做法是从定义域、奇偶性、单调性、特殊值、零点等方面入手去分析，从而得出正确的答案.14．函数451()x f x x -=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和函数值单调性可得正确的选项. 【详解】函数定义域关于原点对称，且451()()x f x f x x--=-=-，所以()f x 为奇函数，排除A C ，又当1x >时，()0f x <， 由11631818(2),(3)357243243f f --==-==-，()(23)f f <，可知函数不单调递减，排除B ，故D 正确. 故选：D.15．函数()ln ||(33)f x x x x =--的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再由1x >时()0f x <判断. 【详解】因为()ln ||ln ||()f x x x x x f x -=-==-， 所以()f x 为奇函数，排除C ，D ； 又因为1x >时()0f x <，排除B ， 故选：A.16．函数2()44x xx f x -=+的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由函数为偶函数，可排除B,D 选项，又()2044x xx f x -=≥+恒成立，可排除C 选项，得出答案. 【详解】2()()()44--==+x xx f x f x ，则()f x 是偶函数，排除B ，D ； 又因为2()044->=+x xx f x 恒成立，所以排除C ；故选：A ． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 17．函数lg 1()x x f x x-=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】先求函数定义域得()()(),00,11,x ∈-∞+∞，再根据定义域分0x <，01x <<，1x >三种情况分别讨论即可得答案.【详解】解：函数的定义域为：()()(),00,11,-∞+∞，当0x <时，11x -+>函数()()lg 1lg 1()lg 10x x x x f x x x x--+===--+<-，故排除CD 选项；当01x <<时，011x <-+<，故函数()()lg 1lg 1()lg 10x x x x f x x x x--+===-+<，故排除B 选项；当1x >时，函数()()lg 1lg 1()lg 1x x x x f x x x x--===-，该函数图象可以看成将函数lg y x =的图象向右平移一个单位得到. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 18．函数21xy =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】先根据题意判断函数定义域为R ，且在()0,∞+单调递增，再根据奇偶性得函数为偶函数，进而可得答案. 【详解】解：由题知函数的定义域为R ，当()0,x ∈+∞时，21xy =-为增函数，故排除ABD选项， 由于()()2121xxf x f x --=-=-=，故函数为偶函数.故选：C. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 19．函数1()xxf x e ex-=--的部分图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由奇偶性和1x =时()0f x >可排除错误选项得到结果. 【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠且()()11x x x x f x e e e e f x x x --⎛⎫-=-+=---=- ⎪⎝⎭， ()f x ∴为奇函数，图象关于原点对称，可排除C ，D ；当1x =时，11(1)110f e e e e-=--=-->，可排除B ，知A 正确. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 20．下列可能是函数()2()xx f x xee -=-的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】先由解析式确定函数定义域，排除D ；再计算()1f -，排除AB ，即可得出结果. 【详解】 因为()2()xx f x xee -=-，所以其定义域为R ，故D 排除；又()121(1)(1)0f ee e e--=--=-<，故排除AB 选项，C 选项符合；故选：C. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 21．函数1()lnxf x a x+=-的图象不可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】从四个图象所过的定点入手，求a 的值，再利用分离常数，判断函数的单调性，判断选项.【详解】,A B 选项中的图象过原点，()10ln 0f a ==，则1a =， 当1a =时，()1ln 1x f x x+=-，函数的定义域是()1,1- ，()()1122ln ln ln 1111x x f x x x x +-+⎛⎫===-- ⎪----⎝⎭，根据复合函数的单调性可知函数在定义域上单调递增，故A 不正确；C.图象过点()0,1-，即1ln 1a=-，即a e =，当a e =时，()()11ln ln x x e e f x e x x e +-++==--- 1ln 1e x e +⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭，即函数在()1,e -上单调递增，即选项C 正确； D.()20f -=，即1ln 02a -=+，即3a =-，当3a =-时，()()1322lnln ln 1333x x f x x x x ++-⎛⎫===-+ ⎪---++⎝⎭，函数在定义域()3,1--单调递减，故D 正确.故选：A【点睛】 思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.22．图中1C 、2C 、3C 为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）A ．12、3、1-B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3 【答案】D【详解】由题意得，根据幂函数的图象与性质可知，2310C C C ααα>>>，所以解析式中指数α的值依次可以是11,,32-， 故选：D ．。

x
A.y轴对称
B.x轴对称
()
C.原点对称
D.直线y=x对称
【解析】选C.函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)且f(-x)=-f(x),即函数f(x)
为奇函数,关于原点对称.
2.(必修1P68探索与研究改编)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞 停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.
() (2)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同. ( ) (3)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同. ( ) (4)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.( )
()
【解析】选C.小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排 除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加 快速度行驶,故排除B.
3.(必修1P78巩固与提高T8改编)下列图象是函数y=
x2，x 0， x－1，x 0
的图象的是 ()
【解析】选C.其图象是由y=x2图象中x<0的部分和y=x-1图象中x≥0的部分组成.
提示:(1)√.若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对 称. (2)×.如f(x)=2x-x2时,|f(x)|=|2x-x2|与f(|x|)=2|x|-x2在(0,+∞)上的图象不同. (3)×.如f(x)=x2时,2f(x)=2x2与f(2x)=4x2的图象不相同. (4)×.函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称.

第10讲：函数的图像一、课程标准1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题.二、基础知识回顾1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象. (3)伸缩变换y ＝f (x )―――――――――――――――――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a （a >0）倍y ＝f (ax ). y ＝f (x )―――――――――――――――――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ). (4)翻折变换y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象. [常用结论与微点提醒] 1.记住几个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称. (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称.(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称. 2.图象的左右平移仅仅是相对于．．．x ．而言，如果x 的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换. 3.图象的上下平移仅仅是相对于．．．y ．而言的，利用“上减下加”进行.三、自主热身、归纳总结 1、函数的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】∵，当时，，∴，则B ，C 不正确； 当时，，∴，则D 不正确；综上可得选项为A.2、.(2020·深圳调研)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )【答案】 C【解析】 由函数f (x )的图象知a >1，－1<b <0. ∴g (x )＝a x ＋b 在R 上是增函数，且g (0)＝1＋b >0. 因此选项C 满足要求.3、已知函数f(x)＝log a x(0＜a ＜1)，则函数y ＝f(|x|＋1)的图像大致为(A )A B C D【答案】A【解析】 先作出函数f(x)＝log a x(0＜a ＜1)的图像，当x>0时，y ＝f(|x|＋1)＝f(x ＋1)，其图像由函数f(x)的图像向左平移1个单位得到，又函数y ＝f(|x|＋1)为偶函数，∴再将函数y ＝f(x ＋1)(x>0)的图像关于y 轴对称翻折到y 轴左边，得到x ＜0时的图像．故选A .4、定义：在平面直角坐标系xOy 中，若存在常数(0)ϕϕ>，使得函数()y f x =的图象向右平移ϕ个单位长度后，恰与函数()y g x =的图象重合，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”．下列四个选项中，函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”的是( ) A ．f 2()x x =，2()21g x x x =-+ B ．f ()sin x = x ，()cos g x = x C ．f ()x ln = x ，()g x ln =2xD ．f 1()()3x x =，1()2()3x g x =【答案】ABD【解析】由2()f x x =，2()(1)g x x =-知，()f x 向右移动一个单位可得到()g x ，故选项A 正确； 由3()sin ,()cos sin()2f x xg x x x π===-知，()f x 向右移动32π个单位可得到()g x ，故选项B 正确；由1(),()()22f x lnxg x ln x lnx ln ===-知，()f x 项下移动2ln 个单位可得到()g x ，故选项C 不正确； 由31321211()()11133()(),()2()()13331()23x xx log x x log f x g x -=====知，()f x 向右移动3log 2个单位可得到()g x ，故选项D 正确； 故选：ABD ．5、.已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________. 【答案】9【解析】如图，作出函数f (x )＝|log 3x |的图象，观察可知0<m <1<n 且mn ＝1.若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2， 从图象分析应有f (m 2)＝2， ∴log 3m 2＝－2，∴m 2＝19.从而m ＝13，n ＝3，故nm ＝9.6、(一题两空)(2019·吉林调研改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，1－x ，x ＜1，则f (f (0))＝________，若f (m )＞1，则实数m 的取值范围是________． 【答案】0 (－∞，0)∪(e ，＋∞)【解析】f (f (0))＝f (1)＝ln 1＝0.如图所示，可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，1－x ，x ＜1的图象与直线y ＝1的交点分别为(0，1)，(e ，1)．若f (m )＞1，则实数m 的取值范围是(－∞，0)∪(e ，＋∞)．7、已知函数f (x )＝|x |(x －a )，a ＞0.(1)作出函数f (x )的图象； (2)写出函数f (x )的单调区间；(3)当x ∈[0，1]时，由图象写出f (x )的最小值．【解析】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －a ），x ≥0，－x （x －a ），x ＜0，其图象如图所示．(2)由图知，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞；单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，a 2.(3)由图象知，当a2＞1，即a ＞2时，f (x )min ＝f (1)＝1－a ； 当0＜a 2≤1，即0＜a ≤2时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24. 综上，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a 24，0＜a ≤2，1－a ，a ＞2.四、例题选讲 考点一 作函数的图像例1、作出下列函数的图象： (1)(1)y ＝2－2x ；(2)y ＝log 13 [3(x ＋2)]；(3)y ＝|log 12(－x )|. 思路点拨：搞清各个函数与基本函数之间的关系，然后用图象变换法画函数图象．解析：(1)作函数y ＝2x 的图象关于x 轴对称的图象得到y ＝－2x 的图象，再将图象向上平移2个单位，可得y ＝2－2x 的图象．如图1；(2)因为y ＝log 13[3(x ＋2)]＝－log 3[3(x ＋2)]＝－log 3(x ＋2)－1.所以可以先将函数y ＝log 3x 的图象向左平移2个单位，可得y ＝log 3(x ＋2)的图象，再作图象关于x 轴对称的图象，得y ＝－log 3(x ＋2)的图象，最后将图象向下平移1个单位，得y ＝－log 3(x ＋2)－1的图象， 即为y ＝log 13[3(x ＋2)]的图象．如图2；(3)作y ＝log 12x 的图象关于y 轴对称的图象，得y ＝log 12(－x )的图象，再把x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，可得到y ＝|log 12(－x )|的图象．如图3.变式、作出下列函数的图像：(1)y ＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1； (4)y ＝x 2－2|x|－1.【解】 (1)作出y ＝12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的图像，保留y ＝的图像中x≥0的部分，加上y ＝的图像中x>0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝的图像，如图①实线部分．①②(2)将函数y ＝log 2x 的图像向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即得函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图像，如图②.12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x⎛⎫ ⎪⎝⎭12x⎛⎫⎪⎝⎭(3)∵y＝2x－1x－1＝2＋1x－1，故函数图像可由y＝1x的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图③.(4)∵y＝22x21,021,0x xx x x⎧--⎪⎨+-⎪⎩≥，＜，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，如图④.③④方法总结：1.作函数图象的一般步骤为：(1)确定函数的定义域．(2)化简函数解析式．(3)讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等)以及图象上的特殊点(如极值点、与坐标轴的交点、间断点等)、线(如对称轴、渐近线等)．(4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象．2．采用图象变换法时，变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点，以显示图象的主要特征，处理这类问题的关键是找出基本函数，将函数的解析式分解为只有单一变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到所要的函数图象．考点二图像的辨识例2、函数y＝2x－x2的图像大致是____．①②③④(2)已知函数y＝f(1－x)的图像如图所示，则y＝|f(x＋2)|的图像是( )第(2)题图 A B C D【答案】(1)① (2)A【解析】 (1)当x <0时，函数f (x )＝2x －x 2单调递增，故排除③④，又f (2)＝f (4)＝0，结合个选项中的图像，知应填①.(2)把函数y ＝f (1－x )的图像向左平移1个单位得y ＝f (－x )的图像；作出f (－x )关于y 轴对称的函数图像得y ＝f (x )的图像；将f (x )向左平移2个单位得y ＝f (x ＋2)的图像；将y ＝f (x ＋2)的图像在x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折到x 轴上方得到y ＝|f (x ＋2)|的图像．故选A.变式1、关于函数()||2||f x ln x =-下列描述正确的有( ) A ．函数()f x 在区间(1,2)上单调递增B ．函数()y f x =的图象关于直线2x =对称C ．若12x x ≠，但12()()f x f x =，则124x x +=D ．函数()f x 有且仅有两个零点 【答案】【解析】函数()||2||f x ln x =-的图象如下图所示：由图可得：函数()f x 在区间(1,2)上单调递增，A 正确； 函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，B 正确； 若12x x ≠，但12()()f x f x =，则124x x +=，C 错误； 函数()f x 有且仅有两个零点，D 正确．故选：ABD ． 变式2、函数的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】f （﹣x ）＝﹣f （x ），即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B ， 当x ＞0时，f （x ）＞0，排除D ， 当x →+∞，f （x ）→+0，排除C ， 故选：A ．变式3、(2020·深圳模拟)函数f (x )＝1－x 2lg|x |的图象大致为( )【答案】B【解析】(1)由⎩⎨⎧1－x 2≥0，|x |≠0且|x |≠1，得－1<x <0或0<x <1， 所以f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.又f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A；当0<x<1时，lg |x|<0，f(x)<0，排除C；当x>0且x→0时，f(x)→0，排除D，只有B项符合.变式4、(2020·武汉调研)函数f(x)＝3x－3－xx4的大致图象为()(2)(2019·成都诊断)函数f(x)＝|x|sin x的图象大致是()【答案】(1)B(2)A【解析】(1)易知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.f(－x)＝3－x－3x（－x）4＝－3x－3－xx4＝－f(x)，则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，f(1)＝3－13＝83>0，排除D，当x→＋∞时，3x→＋∞，则f(x)→＋∞，排除C，选项B符合.(2)函数f(x)＝|x|sin x为奇函数，图象关于原点对称，排除B，C.又f(π)＝|π|sin π＝0，排除D，只有选项A适合.考点三函数图像的应用例3、已知函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩，若1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则下列结论正确的是( ) A ．121x x +=- B ．341x x = C ．412x << D ．123401x x x x <<【答案】BCD【解析】由函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩，作出其函数图象：由图可知，122x x +=-，121x -<<-； 当1y =时，2|log |1x =，有1,22x =；所以341122x x <<<<； 由34()()f x f x =有2324|log ||log |x x =，即2324log log 0x x +=； 所以341x x =；则2123412111(2)(1)1(0,1)x x x x x x x x x ==--=-++∈； 故选：BCD ．变式1、(2018南京、盐城一模）设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x （3－x ），0≤x≤3，－3x ＋1，x>3，若函数y ＝f(x)－m 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．【答案】 ⎣⎡⎭⎫1，94【解析】先画出x≥0时的函数图像，再利用偶函数的对称性得到x<0时的图像．令y ＝0得f(x)＝m.令y ＝f(x)，y ＝m ，由图像可得要有四个不同的零点，则m ∈⎣⎡⎭⎫1，94.变式2、(1)(2020·哈尔滨模拟)已知函数f (x )＝2－|x |，若关于x 的不等式f (x )≥x 2－x －m 的解集中有且仅有1个整数，则实数m 的取值范围为( ) A.[－3，－1) B.(－3，－1) C.[－2，－1)D.(－2，－1)(2)函数f (x )是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式f （x ）cos x <0的解集为__________.【答案】 (1)C (2)⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2【解析】 (1)在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )，y ＝x 2－x －m 的图象如图所示.由图可知，不等式f (x )≥x 2－x －m 的解集中的整数解为x ＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧f （0）≥0－0－m ，f （1）<1－1－m ，解得－2≤m <－1. (2)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝cos x >0. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4时，y ＝cos x <0.结合y ＝f (x )，x ∈[0，4]上的图象知，当1<x <π2时，f （x ）cos x <0.又函数y ＝f （x ）cos x 为偶函数， 所以在[－4，0]上，f （x ）cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1， 所以f （x ）cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2.变式3、已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)作出函数f(x)的图像并判断其零点个数；(2)根据图像指出f(x)的单调递减区间；(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有三个不相等的实根}．【解】(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.于是f(x)＝x|m－x|＝x|4－x|＝(4),4 -(4), 4. x x xx x x-⎧⎨-⎩≥，＜∴函数f(x)的图像如图，由图像知f(x)有两个零点．(2)从图像上观察可知：f(x)的单调递减区间为[2，4]．(3)由图像可知若y＝f(x)与y＝m的图像有三个不同的交点，则0<m<4，∴集合M＝{m|0<m<4}．【点评】函数的图像在解题中有着十分广泛的应用，常见的有：研究函数的性质，解不等式，求函数的零点等．(1)利用函数的图像研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图像研究，但一定要注意性质与图像特征的对应法则．(2)利用函数的图像可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图像交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图像位于g(x)图像下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想．五、优化提升与真题演练1、已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足g（x）＝f（|x﹣1|），则函数y＝g（x）的图象关于（）A．直线x＝﹣1对称B．直线x＝1对称C．原点对称D．y轴对称【答案】B【解析】由y ＝f （|x |）关于y 轴对称，由y ＝f （x ）向右平移一个单位可得y ＝f （x ﹣1），即函数y ＝g （x ）的图象关于x ＝1对称， 故选：B ．2、(2019·全国卷Ⅲ)函数y ＝2x 32x ＋2－x 在[－6，6]的图象大致为( )【答案】B【解析】(1)∵ y ＝f (x )＝2x 32x ＋2－x ，x ∈[－6，6]， ∴ f (－x )＝2（－x ）32－x ＋2x ＝－2x 32－x ＋2x ＝－f (x )， ∴ f (x )是奇函数，排除选项C.当x ＝4时，y ＝2×4324＋2－4＝12816＋116∈(7，8)，排除选项A 、D.故选B.3、[2018·全国Ⅲ高考]函数f(x)＝e x －e －xx 2的图像大致为(B )A B C D【答案】B【解析】 (1)∵y ＝e x －e －x是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f(x)＝e x －e －xx 2是奇函数，图像关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f(1)＝e －1e >0，排除D 选项．又e >2，∴1e ＜12， ∴e －1e >1，排除C 选项．故选B . 4、函数的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由于函数，可得为奇函数，故排除C 、D ，当x ＝1时，f （1），排除A ，故选：B ．5、(多选)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f 1(x )＝log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，其中“同形”函数是( ) A ．f 2(x )与f 4(x ) B ．f 1(x )与f 3(x ) C ．f 1(x )与f 4(x ) D ．f 3(x )与f 4(x )【答案】AC【解析】f 3(x )＝log 2x 2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x )的图象重合，故排除选项B 、D ；f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，将f 2(x )＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到y ＝log 2x 的图象，再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x 的图象，可知选项A 是“同形”函数；将f 1(x )＝log 2(x ＋1)的图象沿着x 轴向右平移一个单位得到y ＝log 2x 的图象再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x 的图象，可知选项C 是“同形”函数，故选A 、C.6、(多选)将函数f (x )的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得到奇函数g (x )的图象，则下列函数f (x )不能满足条件的是( ) A ．f (x )＝1x ＋1 B ．f (x )＝e x －1－e 1－x C ．f (x )＝x ＋2x D ．f (x )＝log 2(x ＋1)＋1 【答案】ACD【解析】由题意知f (x )必须满足两个条件：①f (1)＝0，②f (1＋x )＝－f (1－x )．对于选项A 、C 、D ，f (1)均不为0，不满足条件；对于选项B ，f (1)＝e 0－e 0＝0，f (1＋x )＝e x －e －x ，f (1－x )＝e －x －e x ＝－f (1＋x )．故选A 、C 、D.7、函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________.【答案】2【解析】f (x )＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，函数f (x )的零点个数可转化为函数y 1＝sin 2x 与y 2＝x 2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y 1＝sin 2x 与y 2＝x 2的图象如图所示：由图可知两函数图象有2个交点，则f (x )的零点个数为2.8、(2018镇江期末）已知k 为常数，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ＋1，x≤0，|ln x|，x>0，若关于x 的方程f(x)＝kx ＋2有且只有四个不同解，则实数k 的取值构成的集合为________．【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e 3∪(－e ，－1)【解析】思路分析 作函数y ＝f(x)和y ＝kx ＋2的图像，考察两函数图像的公共点，两函数图像的公共点的个数等价于方程f(x)＝kx ＋2解的个数．作函数y ＝f(x)和y ＝kx ＋2的图像，如图所示，两图像除了(0，2)还应有3个公共点，当k≥0时，直线应与曲线y ＝f(x)(x>1)相切，设切点(x 0，ln x 0)，则切线斜率为k ＝1x 0，又k ＝ln x 0－2x 0，则1x 0＝ln x 0－2x 0，解得x 0＝e 3，此时k ＝1e 3，当k<0时，当y ＝kx ＋2与曲线y ＝x ＋2x ＋1相切于点(0，2)时，函数y ＝f(x)和y ＝kx ＋2的图像只有三个公共点，不符合题意，此时k ＝－1，当－1<k<0时，函数y ＝f(x)和y ＝kx ＋2的图像只有三个公共点，不符合题意，当直线y ＝kx ＋2与y ＝f(x)(0<x<1)相切时，两图像只有三个公共点，设切点(x 0，－ln x 0)，则切线的斜率k ＝－1x 0，又k ＝－ln x 0－2x 0，则－1x 0＝－ln x 0－2x 0，解得x 0＝e －1，此时k ＝－e 不符合题意，当k<－e 时，两图像只有两个公共点，不合题意，而当－e <k<－1时，两图像有4个公共点，符合题意，所以实数k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e 3∪(－e ，－1)．9、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x>0，x 3－3mx －2，x≤0(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】. (1，＋∞)【解析】解法1(直接法) 当x>0时，令f(x)＝e －x－12＝0，解得x ＝ln 2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R 上有3个不同的零点，则当x ≤0时，f (x )＝x 3－3mx －2有2个不同的零点，因为f ′(x )＝3x 2－3m ，令f ′(x )＝0，则x 2－m ＝0，若m ≤0，则函数f (x )为增函数，不合题意，故m >0，所以函数f (x )在(－∞，－m )上为增函数，在(－m ，0]上为减函数，即f (x )max ＝f (－m )＝－m m ＋3m m －2＝2m m －2，f (0)＝－2<0，要使f (x )＝x 3－3mx －2在(－∞，0]上有2个不同的零点，则f (x )max ＝2m m －2>0，即m >1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)．解法2(分离参数) 当x>0时，令f(x)＝e －x－12＝0，解得x ＝ln 2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R 上有3个不同的零点，则当x ≤0时，f (x )＝x 3－3mx －2有2个不同的零点，即x 3－3mx －2＝0，显然x ＝0不是它的根，所以3m ＝x 2－2x ，令y ＝x 2－2x (x <0)，则y ′＝2x ＋2x 2＝2（x 3＋1）x 2，当x ∈(－∞，－1)时，y ′<0，此时函数单调递减；当x ∈(－1，0)时，y ′>0，此时函数单调递增，故y min ＝3，因此，要使f (x )＝x 3－3mx －2在(－∞，0)上有两个不同的零点，则需3m >3，即m >1.。

2021年新高考数学总复习讲义：三角函数的图像及性质知识讲解一、三角函数的图像和性质1.正弦函数图像和性质1）图像：2）定义域：R 3）值域：[11]，4）单调性： 5）奇偶性：奇函数 6）最小正周期：2 7）对称性：2.余弦函数图像和性质1）图像2）定义域：R 3）值域：[11]，xy -11-2π-π2ππo-3π23π2-π2π2xy -11-2π-π2ππo4）单调性：[22]x k k πππ，（k Z ）增函数 [22]x k k πππ，（kZ ）减函数5）奇偶性：偶函数 6）最小正周期：2π7）对称性：对称轴xk kZ π，；对称中心(0)2k k Zππ，，．3.正切函数图像和性质1）定义域：{|}2x xk k Z ππ，2）值域：R3）单调性：在()22k k ππππ，（k Z ）增函数．4）奇偶性：奇函数 5）最小正周期：π6）对称性：对称中心(0)2k k Zπ，，．二、三角函数的图像变换三角函数的几种变换：1）平移变换：函数sin()(0)yxϕϕ的图像可以看做将函数sin y x 的图像上的所有的点向左（当0ϕ时）或向右（当0ϕ时）平移ϕ个单位而得到．2）周期变换：函数sin()y xωϕ（0ω且1ω）的图像可以看做是把sin()yxϕ的图像上所有的点的横坐标缩短为（当1ω时）或伸长（当01ω时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到． 3）振幅变换：函数sin()yA xωϕ（0A 且1A ）的图像可以看做是将sin()yx ωϕ的图像上所有的点的纵坐标伸长（当1A 时）或缩短（当1A 时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到．经典例题一．选择题（共15小题）1．（2018•新课标Ⅲ）函数f（x）=tanx1+tan2x的最小正周期为（）A．π4B．π2C．πD．2π2．（2018•海南三模）函数f(x)=1+12sin2x的最小正周期与最小值分别为（）A．2π，12B．π，12C．2π，1D．π，13．（2018•福建模拟）将函数y=sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=f（x）的图象，则（）A．y=f（x）的图象关于直线x=π8对称B．f（x）的最小正周期为π2C．y=f（x）的图象关于点(π2，0)对称D．f（x）在(−π3，π6)单调递增4．（2018•广西模拟）函数f(x)=cos(πx−π6)的图象的对称轴方程为（）A．x=k+23(k∈Z)B．x=k+13(k∈Z)C．x=k+16(k∈Z)D．x=k−13(k∈Z)5．（2018•宝鸡一模）函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0＜ω＜12，|φ|＜π2)，若f(0)=−√3，且函数f（x）的图象关于直线x=−π12对称，则以下结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为π3B．函数f（x）的图象关于点(7π9，0)对称C．函数f（x）在区间(π4，11π24)上是增函数D．由y=2cos2x的图象向右平移5π12个单位长度可以得到函数f（x）的图象6．（2018•长沙一模）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为π2，若角φ的终边经过点(3，√3)，则f(π4)的值为（）A．√32B．√3C．2D．2√37．（2018•永州三模）将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π2）的图象向左平移π6个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，π2]上的最小值为（）A．√32B．12C ．﹣12D ．﹣√328．（2018•全国三模）已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)，f （x 1）=2，f （x 2）=0，若|x 1﹣x 2|的最小值为12，且f(12)=1，则f （x ）的单调递增区间为（ ） A ．[−16+2k ，56+2k ]，k ∈ZB ．[−56+2k ，16+2k ]，k ∈ZC ．[−56+2kπ，16+2kπ]，k ∈ZD ．[16+2k ，76+2k ]，k ∈Z9．（2018•广州一模）已知函数f （x ）=sin （ωx +π6）（ω＞0）在区间[﹣π4，2π3]上单调递增，则ω的取值范围为（ ） A ．（0，83]B ．（0，12]C ．[12，83]D ．[38，2]10．（2018•珠海二模）若函数f （x ）=cos （2x +φ）在（0，π2）上单调递减，则φ的值可能是（ ） A ．2πB ．πC ．π2D ．﹣π211．（2018•全国）要得到y=cosx ，则要将y=sinx （ ） A ．向左平移π个单位 B ．向右平移π个单位C ．向左平移π2个单位D ．向右平移π2个单位12．（2018•榆林一模）已知曲线C 1：y =sinx ，C 2：y =cos(12x −5π6)，则下列说法正确的是（ ）A ．把C 1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移π3，得到曲线C 2B ．把C 1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移2π3，得到曲线C 2C ．把C 1向右平移π3，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线C 2D ．把C 1向右平移π6，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线C 213．（2018•凌源市模拟）将函数f （x ）=2√3cos 2x ﹣2sinxcosx ﹣√3的图象向左平移t （t ＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ） A ．2π3B ．π3C ．π2D ．π614．（2018•四川模拟）若将函数y =sin2x +√3cos2x 的图象向左平移π6个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（ ）A ．x =kπ2−π12(k ∈Z) B ．x =kπ2+π2(k ∈Z)C ．x =kπ2(k ∈Z) D ．x =kπ2+π12(k ∈Z)15．（2018•河南模拟）已知点A(0，2√3)，B(π6，0)是函数f （x ）=4sin （ωx +φ）(0＜ω＜6，π2＜φ＜π)的图象上的两个点，若将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）的图象的一条对称轴的方程为（ ） A ．x =π12 B ．x =π6 C ．x =π3D ．x =5π12二．填空题（共8小题）16．（2018•宝山区二模）函数 f （ x ）=2sin 4x cos 4x 的最小正周期为17．（2018•浦东新区三模）函数y=cos （2x +π4）的单调递减区间是 ．18．（2017•江苏模拟）若函数f （x ）=sin （ωx +π6），（ω＞0）最小正周期为π，则f （π3）的值为 ．19．（2017•上海一模）函数y=sin （ωx ﹣π3）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ．20．（2018•江苏）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣π2＜φ＜π2）的图象关于直线x=π3对称，则φ的值为．21．（2018•浙江模拟）已知函数f（x）=2sin（2x+π3）+1，则f（x）的最小正周期是，f（x）的最大值是.22．（2018•南通模拟）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在R上的部分图象如图所示，则f（2018）的值为．23．（2017•江苏模拟）将函数y=5sin（2x+π4）的图象向左平移φ（0＜φ＜π2）个单位后，所得函数图象关于y轴对称，则φ=．三．解答题（共6小题）24．（2016•海淀区模拟）已知函数f（x）=2√2sinxcos（x+π4）．（Ⅲ）若在△ABC中，BC=2，AB=√2，求使f（A﹣π4）=0的角B．（Ⅲ）求f（x）在区间[π2，17π24]上的取值范围．25．（2018•海淀区二模）如图，已知函数f（x）=Asinx（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象经过B(π6，0)，C(2π3，0)，D(5π12，2)三点2（Ⅲ）写出A，ω，φ的值；（Ⅲ）若α∈(5π12，2π3)，且f（α）=1，求cos2α的值．26．（2018•朝阳区二模）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）﹣a的图象经过点（π2，1），a∈R．（1）求a的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若当x∈[0，π2]时，不等式f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．27．（2017•北京）已知函数f（x）=√3cos（2x﹣π3）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣π4，π4]时，f（x）≥﹣12．28．（2018•玉溪模拟）已知函数f（x）=sin2x+√3sinx•cosx+2cos2x，x∈R （1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得到？29．（2018•海淀区校级三模）若函数y=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．求：（Ⅲ）ω和φ；（Ⅲ）f（x）在区间(0，π3)上的取值范围．。

(3)伸缩变换[常用结论]1．关于对称的三个重要结论(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图像关于直线x＝a对称．(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点(a、b)中心对称．(3)若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)、则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．2．函数图像平移变换八字方针(1)“左加右减”、要注意加减指的是自变量．(2)“上加下减”、要注意加减指的是函数值．(1)C (2)32[(1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎨⎧ x2－2x ，x≥0，－x2－2x ，x ＜0，画出函数f (x )的图像、如图、观察图像可知、函数f (x )的图像关于原点对称、故函数f (x )为奇函数、且在(－1,1)上单调递减．(2)函数f (x )＝max{|x ＋1|、|x －2|}(x ∈R )的图像如图所示、由图像可得、其最小值为32. ]利用函数的图像研究函数的性质、一定要注意其对应关系．如：图像的左右范围对应定义域、上下范围对应值域、上升、下降趋势对应单调性、对称性对应奇偶性．解不等式设奇函数f(x)在(0、＋∞)上为增函数、且f(1)＝0、则不等式错误!＜0的解集为()A．(－1,0)∪(1、＋∞)B．(－∞、－1)∪(0,1)C．(－∞、－1)∪(1、＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)D[因为f(x)为奇函数、所以不等式错误!＜0可化为错误!＜0、即xf(x)＜0、f(x)的大致图像如图所示．所以xf(x)＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．](1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根、则实数k 的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝|x ＋a |、g (x )＝x －1、对于任意的x ∈R 、不等式f (x )≥g (x )恒成立、则实数a 的取值范围是________．(1)(0,1] (2)[－1、＋∞) [(1)作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图像、如图所示、由图可知k ∈(0,1]．(2)如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图像、观察图像可知、当且仅当－a ≤1、即a ≥－1时、不等式f (x )≥g (x )恒成立、因此a 的取值范围是[－1、＋∞)．](1,2)中心对称、A 正确、D 错误；易知函数f (x )在(－∞、1)上单调递减、故B 错误；易知函数f (x )的图像是由y ＝2x的图像平移得到的、所以不存在两点A 、B 使得直线AB ∥x 轴、C 错误．故选A.]2.已知函数y ＝f (x )的图像是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧、如图所示、则不等式f (x )＞f (－x )－2x 的解集是________．(－1,0)∪(1、2] [由图像可知、函数f (x )为奇函数、故原不等式可等价转化为f (x )＞－x .在同一直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图像、由图像可知不等式的解集为(－1,0)∪(1、2]．]3．已知函数f (x )＝|x －2|＋1、g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根、则实数k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 [先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图像、如图所示、当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1、当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12、故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时、k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.]。