数学人教A必修1第二章2.1.2 指数函数及其性质

2.1.2 指数函数及其性质 1．指数函数的概念 (1)定义：一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R． (2)指数函数的特征：

特征 系数：1底数：常数，且是不等于1的正实数指数：仅是自变量x定义域：R 例如函数y＝－3×4x和y＝x4均不符合指数函数的特征，故不是指数函数．其中函数y＝kax(kR，且k≠0，a＞0，且a≠1)称为指数型函数． 释疑点 指数函数的概念中为什么要规定a＞0，且a≠1? (1)若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义．

(2)若a＜0，则对于x的某些数值，可使ax无意义．如(－2)x，这时对于x＝14，x＝12，…，在实数范围内函数值不存在． (3)若a＝1，则对于任何xR，ax＝1，是一个常量，没有研究的必要性． 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1．在规定以后，对于任何xR，ax

都有意义，且ax＞0． 【例1－1】函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则( ) A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1

解析：由指数函数定义知2(2)1,0,1,aaa且所以解得a＝3． 答案：C 【例1－2】下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．

①y＝2·(2)x；②y＝2x－1；③y＝π2x；④y＝xx；⑤y＝13x；⑥y＝13x． 解析： 序号 是否 理由 ① 否 (2)x的系数不是1

② 否 2x－1的指数不是自变量x ③ 是 满足指数函数的概念 ④ 否 底数是x，不是常数 ⑤ 否 指数不是自变量x ⑥[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

否 底数不是常数且指数不是自变量x

答案：③ 2．指数函数的图象与性质 (1)指数函数的图象与性质对应关系如下： 图象特征 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质 ①图象都位于x轴上方 ①自变量x取任何实数时，都有ax＞0 ②函数图象都过定点(0,1) ②无论底数a取任何正数，都有a0＝1 ③当a＞1时，图象在第一象限内纵坐标都大于1；在第二象限③a＞1时， 内纵坐标都大于0小于1．而当0＜a＜1时图象正好相反． 01,001.xxxaxa若，则

若，则 当0＜a＜1时， 001,01.xxxaxa若，则

若，则 ④自左向右看，a＞1时图象呈上升趋势；当0＜a＜1时，图象呈下降趋势．

④当a＞1时，y＝ax是增函数；当0＜a＜1

时，y＝ax是减函数．

(2)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象和性质． a＞1 0＜a＜1

图象

性[来源:www.shulihua.net][来源:www.shulihua.net][来源:www.shulihua.net

www.shulihua.net] 质

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①定义域R，值域(0，＋∞) ②图象都过点(0,1) ③当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1 ③当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1 ④在R上是增函数 ④在R上是减函数 对称 性 指数函数y＝ax和y＝1ax(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称

点技巧 指数函数性质记忆口诀 指数增减要看清，抓住底数不放松； 反正底数大于0，不等于1已表明； 底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过(0,1)点．

【例2－1】函数y＝(3－1)x在R上是( ) A．增函数 B．奇函数 C．偶函数 D．减函数

解析：由于0＜3－1＜1，所以函数y＝(3－1)x在R上是减函数．

因为f(－1)＝(3－1)－1＝312，f(1)＝3－1，则f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)，所以函数y＝(3－1)x不具有奇偶性． 答案：D 【例2－2】如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( ) A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c 解析：(方法一)在①②中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图象越靠近x轴，故有b＜a．在③④中底数大于1，底数越大，图象越靠近y轴，故有d＜c．故选B． (方法二)设x＝1与①②③④的图象分别交于点A，B，C，D，如图，则其坐标依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由图象观察可得c＞d＞1＞a＞b．故选B． 答案：B 析规律 底数的变化对函数图象的影响 当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴，当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近于x轴，简称x＞0时，底大图象高． 3．指数型函数模型 (1)指数增长模型 设原有值为N，平均增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y， 则y＝N(1＋p)x(xN)． (2)指数减少模型 设原有值为N，平均减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y， 则y＝N(1－p)x(xN)． (3)指数型函数 形如y＝k·ax(kR，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数． 【例3】某乡镇现在人均一年占有粮食360 kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y kg粮食，求y关于x的函数解析式． 分析：在此增长模型中，基数是360，人口的平均增长率为1.2%，粮食总产量的平均增长率为4%，由此可列出1,2,3，…年后的人均一年占有量，观察得到所求的函数解析式． 解：设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M kg． 1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%) kg，人口数量为M(1＋1.2%)，

则人均一年占有粮食为360(14%)(11.2%)MMkg，

2年后，人均一年占有粮食为22360(14%)(11.2%)MMkg， …… x年后，人均一年占有粮食为y＝360(14%)(11.2%)xxMMkg，

即所求函数解析式为1.043601.012xy(xN*)． 点技巧 指数增长模型的计算公式 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示．这是非 常有用的函数模型． 4．利用待定系数法求指数函数的解析式 已知函数模型求函数的解析式，一般采用待定系数法，即设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的未知参数，从而得出函数的解析式． 在指数函数的概念中，只有形如y＝ax(a＞0，且a≠1)的函数才是指数函数，除此之外的函数都不是指数函数，所以设指数函数的解析式时，只能设成y＝ax(a＞0，且a≠1)的形式，而不是其他形式．同时，指数函数的解析式中只含有一个常数a，由此只需一个条件就可确定指数函数的解析式． 例如：若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，求f(x)． 解：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)， 因为函数f(x)的图象经过点(2,9)，代入可得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去)． 故f(x)＝3x． 【例4－1】指数函数y＝f(x)的图象经过点(π，e)，则f(－π)＝__________． 解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，

∵y＝f(x)的图象过点(π，e)，∴aπ＝e．∴a＝πe．∴f(x)＝(πe)x．

∴f(－π)＝(πe)－π＝e－1＝1e．

答案：1e 【例4－2】已知指数函数f(x)的图象经过点12,16，试求f(－1)和f(3)． 分析：设出函数f(x)的解析式，利用待定系数法求出． 解：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，

∵函数f(x)的图象经过点12,16，∴a－2＝116，解得a＝±4．

又a＞0，则a＝4，∴f(x)＝4x．∴f(－1)＝4－1＝14，f(3)＝43＝64． 点技巧 关于a的方程am＝n的解法 方法一：可以先把n化为以m为指数的指数幂的形式n＝km，即am＝km，则可得a＝k．方法二：由am＝n得到11()mmman，即1man，再利用指数幂的运算性质化简1mn． 5．与指数函数有关的定义域、值域问题 指数函数常与一次函数、反比例函数、二次函数结合构成指数型复合函数．与指数函数有关的复合函数的定义域和值域的求法如下： (1)求定义域的方法 ①函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的定义域与函数y＝f(x)的定义域相同．

②函数y＝f(ax)的定义域与函数y＝f(x)的定义域不一定相同．例如，函数f(x)＝x的定义域为[0，＋∞)，而函数f(x)＝xa的定义域则为R．求函数y＝f(ax)的定义域时，可由函数f(x)的定义域与g(x)＝ax的等价性，建立关于x的不等式，利用指数函数的相关性质求解． (2)求值域的方法 ①求函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域时，先求函数y＝f(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定函数y＝af(x)的值域． ②求函数y＝f(ax)的值域时，可用换元法求解，但换元后应注意引入的新变量的取值范围．