切线长定理
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3.7切线长定理
思考：切线与切线长有区别吗？
O
观察与猜想：你认为图中有哪些
相等的数量？
A
O
P
B
切线长定理：
过圆外一点画圆的两条切线，它们的 切线长相等。
注意：
这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
如图：四边形ABCD 四条边都与⊙O相切 ，途中的线段之间有哪些等量关系？
D
N
P
.o
M L B
C
A
△ABC中,∠C =90º ,它的内切圆O分别与边 AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BC=24， AC=10，求 ⊙O的半径.
A D F O ∟
B
E
C
例2 已知：如图, △ABC的内切圆⊙O 与BC 、CA、 AB 分别相交于点D 、 E 、 F ，且AB＝9厘米，BC ＝14厘 米,CA ＝13厘米,求AF、BD、CE的长。
A E F B D O C
已知在直角三角形中AB=10，AC=6.求 它的内切圆的半径。
A 10
1、圆的切线的定义是什么？ 2、圆的切线有哪些判定方法？ 3、你能过圆上一点作出圆的切线吗？ 能说出作图的步骤吗？理论依据是 什么？
作图的步骤： 1、连接OA; 2、过点A作直线l⊥OA.
O
1、你能过圆外一点作出圆的切线吗？
2、过圆外一点能作几条圆的切线吗？
O过圆外一ຫໍສະໝຸດ 作圆的切线，这点和 切点之的线段的长，叫做这点到 圆的切线长。
6
C
B
O
观察与猜想：你认为图中有哪些
相等的数量？
A
O
P
B
切线长定理：
过圆外一点画圆的两条切线，它们的 切线长相等。
注意：
这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
如图：四边形ABCD 四条边都与⊙O相切 ，途中的线段之间有哪些等量关系？
D
N
P
.o
M L B
C
A
△ABC中,∠C =90º ,它的内切圆O分别与边 AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BC=24， AC=10，求 ⊙O的半径.
A D F O ∟
B
E
C
例2 已知：如图, △ABC的内切圆⊙O 与BC 、CA、 AB 分别相交于点D 、 E 、 F ，且AB＝9厘米，BC ＝14厘 米,CA ＝13厘米,求AF、BD、CE的长。
A E F B D O C
已知在直角三角形中AB=10，AC=6.求 它的内切圆的半径。
A 10
1、圆的切线的定义是什么？ 2、圆的切线有哪些判定方法？ 3、你能过圆上一点作出圆的切线吗？ 能说出作图的步骤吗？理论依据是 什么？
作图的步骤： 1、连接OA; 2、过点A作直线l⊥OA.
O
1、你能过圆外一点作出圆的切线吗？
2、过圆外一点能作几条圆的切线吗？
O过圆外一ຫໍສະໝຸດ 作圆的切线，这点和 切点之的线段的长，叫做这点到 圆的切线长。
6
C
B
切线长定理
A
。
P
O
B
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的 线段的长叫做这点到圆的切线长
A
O·
P
B
已知：⊙O外一点P，PA切⊙O于A PB切⊙O于B
求证：PA=PB
A O ·))
( (P
证明：连结OA，OB，OP
PA切⊙O于A OA为⊙O半径
同理
OA⊥PA OB⊥PB
OA=OB OP =OP
B Rt△AOP≌Rt △BOP AP=BP
（6）若PA=4、PD=2，求半径OA
反思：在解决有关圆
A
的切线长的问题时，
往往需要我们构建基
本图形。
。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
三、典 型 例 题
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，
A、B为切点，BC是直径。
求证：AC∥OP
C
A
O
P
B
练习一、已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是
小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。
求证：AC=BD
A
C
O·
P
D B
例2、圆的外切四边形ABCD，四边与圆的切点分别为E、F、G、H
G
D
C
H
F
O·
A
B
E
（1）图中有哪些相等的线段
（2）猜想四边形的两组对边怎样的关系
反思：圆的外切四边形的两组对边的和相等
O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
。
P
O
B
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的 线段的长叫做这点到圆的切线长
A
O·
P
B
已知：⊙O外一点P，PA切⊙O于A PB切⊙O于B
求证：PA=PB
A O ·))
( (P
证明：连结OA，OB，OP
PA切⊙O于A OA为⊙O半径
同理
OA⊥PA OB⊥PB
OA=OB OP =OP
B Rt△AOP≌Rt △BOP AP=BP
（6）若PA=4、PD=2，求半径OA
反思：在解决有关圆
A
的切线长的问题时，
往往需要我们构建基
本图形。
。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
三、典 型 例 题
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，
A、B为切点，BC是直径。
求证：AC∥OP
C
A
O
P
B
练习一、已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是
小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。
求证：AC=BD
A
C
O·
P
D B
例2、圆的外切四边形ABCD，四边与圆的切点分别为E、F、G、H
G
D
C
H
F
O·
A
B
E
（1）图中有哪些相等的线段
（2）猜想四边形的两组对边怎样的关系
反思：圆的外切四边形的两组对边的和相等
O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
3.7 切线长定理
A
O
P
B
4.如图，AB∥DC，直线AB、BC、CD分别与⊙O相 切于点E、F、G．求∠BOC的度数．
小结
本节课你学到了什么？ 你还存在哪些困难、疑问？
作业 《学练优》对应练习.
变式：如图，P是⊙O外一点，PA与PB分别⊙O 切于A、B两点，DE也是⊙O的切线，切点为C， PA=PB=5cm，求△PDE的周长。
2、如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB分别 相切于点 D，E，F，AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm, 求AF,BD,CE的长。
.
3.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点， ∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长．
A
D
O
B
F E
C
变式：如图，△ABC中,∠C =90º ,它的内切圆O 分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且 BD=12，AD=8，求⊙O的半径r.
A D F B C
E
学以致用
1、如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半 圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点 分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB 为5，则该梯形的周长是（ D ） A、 9 B、10 C、12 D、14
想一想
如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，图中 的线段之间有哪些等量关系？与同伴进行交流.
A
F
D
结论： 圆的外切四边形 的两组对边的和相等.
B 图9 H
E
O
G
C
例：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10， BC=24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别 为D,E,F，求⊙O的半径。
O
P
B
4.如图，AB∥DC，直线AB、BC、CD分别与⊙O相 切于点E、F、G．求∠BOC的度数．
小结
本节课你学到了什么？ 你还存在哪些困难、疑问？
作业 《学练优》对应练习.
变式：如图，P是⊙O外一点，PA与PB分别⊙O 切于A、B两点，DE也是⊙O的切线，切点为C， PA=PB=5cm，求△PDE的周长。
2、如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB分别 相切于点 D，E，F，AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm, 求AF,BD,CE的长。
.
3.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点， ∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长．
A
D
O
B
F E
C
变式：如图，△ABC中,∠C =90º ,它的内切圆O 分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且 BD=12，AD=8，求⊙O的半径r.
A D F B C
E
学以致用
1、如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半 圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点 分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB 为5，则该梯形的周长是（ D ） A、 9 B、10 C、12 D、14
想一想
如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，图中 的线段之间有哪些等量关系？与同伴进行交流.
A
F
D
结论： 圆的外切四边形 的两组对边的和相等.
B 图9 H
E
O
G
C
例：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10， BC=24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别 为D,E,F，求⊙O的半径。
切线长定理
课堂小结
切线长
原 理 作 用
图形的轴对称性 提供了证线段和
切线长 定 理
角相等的新方法 ① 分别连接圆心和切点；
辅助线
② 连接两切点；
③ 连接圆心和圆外一点.
三角形 内切圆
有关概念
内心概念及性质 运用切线长定理，将相等线段
应 用
转化集中到某条边上，从而建
立方程.
想一想：若延长PO交⊙O于点C， 连结CA、CB，你又能得出什么
C O.
A P
新的结论?并给出证明.
CA=CB ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. ∵PC=PC.
B
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴ △PCA ≌ △PCB，
∴AC=BC.
典例精析
例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、
解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆 心为O，连接OP、OA. ∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为 ∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.
O
Q
又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，
∴∠PAO＝∠QAO＝60°.
在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，
OP=5 3cm.
O.
B
A
P
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
想一想：若连结两切点A、B，AB交 OP于点M.你又能得出什么新的结论? 并给出证明. O.
A M P
OP垂直平分AB.
B
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB.
切线长定理(用)
回顾反思 1.切线长定理 2.三角形的内切圆、内心、内心的性质
作业：暗线：课本 P102第5题 P103第12题 《感悟》 P79-80 课外作业
第十一页，编辑于星期六：十八点 三十八分。
切线长定理 拓展
第十二页，编辑于星期六：十八点 三十八分。
回顾反思
1.切线长定理
·A
O·
·P
B
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
第十三页，编辑于星期六：十八点 三十八分。
回顾反思
2.三角形的内切圆、内心、内心的性质
A
D
E
O
B
F
C
第十四页，编辑于星期六：十八点 三十八分。
知识拓展 拓展一：直角三角形的外接圆与内切圆
b
c
a
1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__斜__边__中__点__，半
径为____斜__边__的__一_.半
作业 《感悟》 P78-79 课堂练习
P93-94 课外作业 共3题
第十九页，编辑于星期六：十八点 三十八分。
课前训练
1、已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、 B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径
第九页，编辑于星期六：十八点 三十八分。
知识拓展
2、△ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长为 l ,求 △ABC的面积。（提示：设内心为O，连接OA、OB、 OC。）
若△ABC的内切圆半径为 r ,
周长为 l ,
则S△ABC=
29.4切线长定理(2015)
分析：证明直线与 作垂直，证半径 圆相切，但无切点 时，往往过圆心作 切线的垂线，再证 明d=r即可.
E
F
D C
B
29.4切线长定理
如图,⊙O为△ABC的内切圆， 切点为D,E,F. A （1）图中有几对相等的线段. （2）若AD=2，BE=3，CF=1 ， D 求△ABC的周长. O F （3）求⊙O的半径.
·P ∴PA=PB
B
圆外一点与圆心的连线平分过 这点的两条切线所形成的夹角.
如果 如果 OA=9 OA=3， ， PA=18 ， PO=6， 求点 P到 求两切线 圆的最短 夹角和切 距离。 线长
∠APO=∠BPO
A
O
·P B
如图， PA,PB分别与⊙O相切于点A,B. 直线OP交⊙O于点D,E,交AB于点C. (1)写出图中所有具有垂直关系的直线。 (2)写出图中所有的全等三角形。
A
O
C
Q B
D
∵ PA,PB,CD分别切 ⊙O于点A,B,Q. ∴PA=PB,CA=CQ, P DQ=DB. ∴ △PCD的周长 =PC+PD+CD =PC+PD+CQ+DQ =PC+PD+CA+DB =PA+PB=2PA
跟踪训练三 已知：如图， AB为⊙O直径，E为 ⊙O 外一点，EB,EC切⊙O于点B,C. 求证：AC∥OE
29.4切线长定理
切线的判定方法有：
①直线与圆有唯一一个公共点。 ②直线到圆心的距离等于圆的半径。
（作垂直，证半径）
③切线的判定定理：（连半径,证垂直） 经过半径外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线。
21页7题 已知,如图,在Rt△ABC中，∠C=90°， 点 O在AB上，以点O为圆心、OA长为半径 的圆与AC，AB分别交于点D，E，且 连半径 ,证垂直 ∠ CBD= ∠ A。判断直线BD与⊙O的位置 关系，并证明你的结论。 C
28.2.3(2)切线长定理
A A F
●
D B
E
D
●
F
O
O C
B
E
C
2、设△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l， 求△ABC的面积s(用含r、l的代数式表示)。
B 这一结论在数学上叫做切 线长定理，切线长定理为 我们证明线段相等和角相 等又提供了一个重依据。 结合上图，你能用符号 语言把切线长定理表达 出来吗？
应用示例
例1 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B， 直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，EF交PA、PB于点E、F， 已知PA=12cm，∠P=70°。求（1）△PEF的周长；（2） ∠EOF的度数。 A
E
P
●
Q F
1 2
●
O
B
变式训练：四边形ABCD的四边都和⊙O相切，且AB=16，
CD=10，则四边形ABCD的周长为_______。
例2 如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是⊙O的 切线，切点分别是A、E、B。 (1)求证：OD⊥OC； (2)若BC=9，AD=4，求OB，可以从定义、 确定方法、性质和位置四个方面进行对比，不能 把二者混为一谈。
应用示例：
例3 如图，△ABC的内切圆⊙O与AC、AB、BC 分别相切于点D、E、F，且AB=5cm，BC=9cm， AC=6cm。求AE、BF和CD的长。
C
F
D
A
●
O
B
E
练习：
1、如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分 别切于点D、E、F，∠DOE=120°，∠EOF=150°， 求△ABC的三个内角的度数。
28.2.3(2) 切线
回顾
1、圆的切线的判定方法有哪些？ （1）和圆有唯一公共点的直线是圆的切线； （2）到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线； （3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆 的切线。 2、圆的切线有哪些性质？
●
D B
E
D
●
F
O
O C
B
E
C
2、设△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l， 求△ABC的面积s(用含r、l的代数式表示)。
B 这一结论在数学上叫做切 线长定理，切线长定理为 我们证明线段相等和角相 等又提供了一个重依据。 结合上图，你能用符号 语言把切线长定理表达 出来吗？
应用示例
例1 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B， 直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，EF交PA、PB于点E、F， 已知PA=12cm，∠P=70°。求（1）△PEF的周长；（2） ∠EOF的度数。 A
E
P
●
Q F
1 2
●
O
B
变式训练：四边形ABCD的四边都和⊙O相切，且AB=16，
CD=10，则四边形ABCD的周长为_______。
例2 如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是⊙O的 切线，切点分别是A、E、B。 (1)求证：OD⊥OC； (2)若BC=9，AD=4，求OB，可以从定义、 确定方法、性质和位置四个方面进行对比，不能 把二者混为一谈。
应用示例：
例3 如图，△ABC的内切圆⊙O与AC、AB、BC 分别相切于点D、E、F，且AB=5cm，BC=9cm， AC=6cm。求AE、BF和CD的长。
C
F
D
A
●
O
B
E
练习：
1、如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分 别切于点D、E、F，∠DOE=120°，∠EOF=150°， 求△ABC的三个内角的度数。
28.2.3(2) 切线
回顾
1、圆的切线的判定方法有哪些？ （1）和圆有唯一公共点的直线是圆的切线； （2）到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线； （3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆 的切线。 2、圆的切线有哪些性质？
5.7切线长定理
O· B A
P
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.
例题讲解
例1 如图 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切 于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长. 解: 设 AF=x（cm），则 AE=x， CD=CE=AC－AE=13－x， BD=BF=AB－AF=9－x， 由BD+CD=BC可得 A （13－x）+（9－x）=14. E F 解得 x=4cm. 因此 AF=4（cm）， O BD=5 （cm）， B D CE=9 （cm）.
课堂小结
我们学过的切线，常有 六个 五个 性质：
1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心;
6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
O
A
C D B
P
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
课堂小结 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等. ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
切线长定理为证明线段相等，角 相等，弧相等，垂直关系提供了理论 依据。必须掌握并能灵活应用.
D P A O L M B
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切 点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q 点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点， 已知PA=12CM，求△PEF的周长.
P
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.
例题讲解
例1 如图 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切 于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长. 解: 设 AF=x（cm），则 AE=x， CD=CE=AC－AE=13－x， BD=BF=AB－AF=9－x， 由BD+CD=BC可得 A （13－x）+（9－x）=14. E F 解得 x=4cm. 因此 AF=4（cm）， O BD=5 （cm）， B D CE=9 （cm）.
课堂小结
我们学过的切线，常有 六个 五个 性质：
1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心;
6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
O
A
C D B
P
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
课堂小结 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等. ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
切线长定理为证明线段相等，角 相等，弧相等，垂直关系提供了理论 依据。必须掌握并能灵活应用.
D P A O L M B
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切 点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q 点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点， 已知PA=12CM，求△PEF的周长.
27.2.4切线长定理
∴OA⊥AP，OB⊥BP 又∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴PA=PB，∠1=∠2
⌒
数学语言：
∵ PA、PB是⊙O的两 条切线,A、B是切点 ∴ PA=PB，∠1=∠2 O
A 1 2
⌒
M
P
B
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切
线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切
端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
如图，A是⊙O上一点，PA为⊙O的切线，沿直 线OP翻折，设圆上与点A重合的点为B，请问：OB 是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的 对称性，说明图中PA与PB，∠APO与∠BPO有什么 A 关系？
O B
P
A
O
M
1 2
P
B
证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点
28.2.4 切线长定理
A
O
B
如图，P是⊙O外 一点，PA、PB是 ⊙O的两条切线， P A、B为切点,我们 把线段PA，PB叫 做点P到⊙O的切 线长.
经过圆外一点作圆的切线，这点 和切点之间的线段的长，叫做这 点到圆的切线长。
A
O
P
B 切线和切线长是两个不同的概念，切
线是直线，不能度量；
切线长是线段的长，这条线段的两个
线的夹角。
A
D
O
H
C
P
B
已知PA、PB是⊙O的两条
切线,A、B是切点
你 还 可 以 得 到 什 么 结 论 ？
想 一 想 ： 根 据 图 形 ，
1、下列说法错误的是（
）
A、过圆上一点可以作一条直线和圆相切 B、过圆外一点可以作两条直线与圆相切
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴PA=PB，∠1=∠2
⌒
数学语言：
∵ PA、PB是⊙O的两 条切线,A、B是切点 ∴ PA=PB，∠1=∠2 O
A 1 2
⌒
M
P
B
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切
线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切
端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
如图，A是⊙O上一点，PA为⊙O的切线，沿直 线OP翻折，设圆上与点A重合的点为B，请问：OB 是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的 对称性，说明图中PA与PB，∠APO与∠BPO有什么 A 关系？
O B
P
A
O
M
1 2
P
B
证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点
28.2.4 切线长定理
A
O
B
如图，P是⊙O外 一点，PA、PB是 ⊙O的两条切线， P A、B为切点,我们 把线段PA，PB叫 做点P到⊙O的切 线长.
经过圆外一点作圆的切线，这点 和切点之间的线段的长，叫做这 点到圆的切线长。
A
O
P
B 切线和切线长是两个不同的概念，切
线是直线，不能度量；
切线长是线段的长，这条线段的两个
线的夹角。
A
D
O
H
C
P
B
已知PA、PB是⊙O的两条
切线,A、B是切点
你 还 可 以 得 到 什 么 结 论 ？
想 一 想 ： 根 据 图 形 ，
1、下列说法错误的是（
）
A、过圆上一点可以作一条直线和圆相切 B、过圆外一点可以作两条直线与圆相切
2.5.3 切线长定理
图 2-5-32
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*2.5.3 切线长定理
归类探究
类型之一 利用切线长定理进行计算 ︵
如图 2-5-33，PA，PB 是⊙O 的切线，切点分别是 A，B，Q 为AB上一 点，过点 Q 作⊙O 的切线，分别交 PA，PB 于 E，F 两点，连接 OE，OQ，OF. 已知 PA＝12 cm，∠P＝56°.
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*2.5.3 切线长定理
5．如图 2-5-42(1)，已知正方形 ABCD 的边长为 2 3，点 M 是 AD 的中点，P 是线段 MD 上的一动点(不与点 M，D 重合)，以 AB 为直径作⊙O，过点 P 作⊙O 的切线交 BC 于点 F，切点为 E.
(1)除正方形 ABCD 的四边和⊙O 中的半径外，图中还有哪些相等的线段(不添 加字母和辅助线)?
(2)求四边形 CDPF 的周长．
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*2.5.3 切线长定理
(3)如图 2-5-42(2)，连接 OF，延长 CD，FP 相交于点 G，是否存在点 P，使 BF·FG＝CF·OF？若存在，试求此时 AP 的长；若不存在，请说明理由．
(1)
(2)
图 2-5-42
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*2.5.3 切线长定理
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*2.5.3 切线长定理
当堂测评
1．[2019·杭州]如图 2-5-35，P 为圆 O 外一点，PA，PB 分别切圆 O 于 A，B 两点，若 PA＝3，则 PB＝( B )
A．2 C．4
图 2-5-35 B．3 D．5
课件目录首页末页来自*2.5.3 切线长定理
2．如图 2-5-36，PA，PB 切⊙O 于点 A，B，PA＝10，CD 切⊙O 于点 E，交 PA，PB 于 C，D 两点，则△PCD 的周长是( C )
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切线长定理切线长定理教材分析：本节内容是切线长的概念和切线长定理。
通过本节教学应使学生理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题。
切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，这个定理经常用到，因此，它是本节的重点。
灵活运用图形语言、文字语言、符号语言三种语言表述切线长定理，学生感觉困难;用切线长定理解决有关问题中，准确应用数学语言进行表述，学生感觉困难;从实际情境中抽象出切线长定理模型解决问题，学生感觉困难;在综合题中迅速找出切线长定理模型, 学生感觉困难;因此,综合应用切线长定理及有关知识解决问题，是本节的难点。
本节内容是在学习了“切线的判定和性质”之后，并进一步了解了“三角形的内切圆”这一内容的基础上进行研究的。
是前面内容的必然延伸，也是后面学习切割线定理等重要内容的基础。
切线长定理的出现，可以让我们对直线与圆位置关系的研究由定性分析深入到定量研究。
再次让我们感触到了圆的轴对称性。
它为我们证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据。
通过本节内容的学习，会让学生更客观地认识切线的有关问题。
同时，该定理的学习对我们解决一些实际问题很有指导意义。
因此，本节内容在这部分中具有非常重要的作用，是“直线与圆的位置关系”这部分内容的纽带和桥梁。
同时,它综合运用等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、四边形等知识解决问题。
切线长定理及其研究方法又是研究两圆相切问题的基础，因此，本节内容在整个初中几何教材体系中，起着承上启下的作用。
学生分析：1、经过前面几节的学习，学生对圆的轴对称性已经有了初步了解，掌握了等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、四边形等知识，具备了学习本节内容的知识基础。
2、经过前面的学习，学生已经对合情推理和逻辑推理都有了一定的认识,具备了证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等的基本技能。
3、初三学生已经具备了一定的探索解决问题方法的经验，从心理学的角度分析：他们正处于想成为大人，想得到别人肯定的年龄阶段，因此，他们会不遗余力地提出他们自己的看法并能较有条例地申述自己的理由，这些是很必要的情感准备；但由于特定年龄阶段的关系，他们对问题的分析还不是很全面，用数学语言表述看法，有时还欠准确贴切。
有待于教师不断地加以培养。
设计理念：1、本着“人人都能学好数学”，“人人都学有价值的数学”的理念，我将本节的问题情境设置为两个小朋友玩滚圈游戏，目的是想通过游戏营造一种氛围，在一开始就抓住学生，激发他们解决问题的愿望，让他们体验到：数学源于生活，生活中处处有数学，建立数学模型能解决实际问题；感受到数学探索的乐趣。
2、按照建构主义的理念，本节课试图让学生经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的基本过程，体验数学与生活的内在联系，获得方法与经验，发展思维能力，增强应用数学的自信心。
3、本着“数学学习最根本的是数学思想和方法的学习”，“只有亲身经历过，才会是印象最深刻的，哪怕他的探索没有成功，他也会获得很多。
”的理念，本节课在设计时，注重给学生探究的机会，在教师的引导下，让学生自主探索解决问题的途径，通过学生动手实验、观察图形、发现并解决问题培养他们主动获取知识的能力、抽象概括的能力及提出问题的能力。
从而，锻炼学生百折不挠克服困难的精神，增强他们学习数学的内驱力，让他们体会从特殊到一般，从一般到特殊的数学思想方法。
教学目标：知识与技能目标：1、理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题。
2、通过学生动手实验、观察图形、发现并解决问题培养他们主动获取知识的能力、抽象概括的能力及提出问题的能力。
过程与方法目标：1、经历，领悟从实际问题情境中抽象出数学模型，从而解决实际问题的方法。
2、运用这种方法解决有关实际问题。
情感、态度、价值观目标：1、在切线长定理模型的探索过程中，经历概括、分析、提出问题、克服困难解决问题等阶段，体验成功的喜悦。
2、通过这节课的学习，培养学生热爱生活的积极人生态度,锻炼学生百折不挠克服困难的精神，增强他们学习数学的内驱力，激发学习兴趣。
3、经过本节课的探索，在建立数学模型解决问题的过程中，体会从特殊到一般，从一般到特殊的数学思想方法。
教学准备：1、教师准备：本节教学课件。
2、学生准备：一个圆形硬纸片、一把刻度尺、一副三角板、一个圆规，课本，练习本。
教学过程：一、问题情境：（大屏幕展示动画）小明和小亮在玩滚圈游戏，小亮一不小心把小明的铁圈弄坏了，小明说：“我不用你赔了，但你要用我们近期所学的数学知识，设计出方案测出这个铁圈的直径，以便在做一个和它一样的铁圈。
”小亮用手挠了挠头，有点发愁，聪明的同学们，请你们开动脑筋，帮小亮解决这个问题，好吗？老师相信你们一定能行！赶快动手吧。
[设计目的：通过游戏营造一种氛围，挖掘学生内心乐于助人的潜能，激发他们解决问题的愿望，让他们体验到数学与生活的联系，鼓励他们自己动手，自主探究。
]师：想帮小亮解决这个问题，我们第一步该怎样做？生1：将该问题抽象为数学问题。
师：怎样抽象？抽象出的数学问题又是怎样的？生2：认真阅读，把有关大小、形状、位置等的语言用数学语言翻译出来。
例如，本问题中的铁圈可抽象为一个圆。
这样，抽象出的数学问题是：利用刻度尺、三角板、圆规，运用已学知识，设计一个测量已知圆的直径的方案。
[设计目的：引导学生用数学的眼光看待周围的一切，增强他们数学地解决问题的意识；探索将实际问题抽象为数学问题的方法：关注实际问题中的数量、形状、位置等语言，将其翻译成符号语言、图形语言。
]APBO师：刚才，这两位同学说得很好，下面我们就分小组利用准备的材料，探索设计出这个方案吧！（学生分组活动，教师巡回参与、指导。
）学生们通过探讨提出的方案有：生3：方案（一）：如图(1)将铁圈卡在墙角,可用刻度尺测得AP 的长度.图(1)理由是: 设铁圈所在的圆的圆心为O,连结OA,OB,由切线的性质得OA⊥AP,OB⊥PB,BADEC又AP ⊥BP,OB=OA,则四边形APBO为正方形.那么,铁圈半径OB=AP,这样就可求出铁圈的直径.图(2)生4：方案（二）：如图(2),把三角板顶点A放在铁圈边缘,设三角板一边与铁圈边缘交于点B,另一边交于点C,(若三角板另一边无法达到铁圈边缘, 延长另一边与铁圈边缘交于点C),度量BC长即为直径.二、问题拓展探究：探索问题1师问：方案（一）中由四边形APBO为正方形易得PA=P B，∠BPA如果不是90°，PA=PB还成立吗？做出判断，并说明理由。
请同学们运用任何工具和方法（如：观察、测量、比较、对折、猜想、论证等）研究这个问题。
（分小组研究探索，一个小组确定一个发言人。
）[设计目的：让学生体验数学研究的一种方法：变化其中的特殊条件为一般条件，观察、分析出变中不变的结论，作为规律。
体验从特殊到一般的数学思想方法。
请同学们运用任何工具和方法（如：观察、测量、比较、对折、猜想、论证等）研究这个问题。
目的是想促使学生人人参与，提高参与度。
让他们发现更多的方法，明确逻辑推理是建立在合情推理的基础上的；而合情推理是在观察、对折等实际操作的基础上，加以分析得来的。
]展示探索结果：图（3）生5：第一种证法：如图（3）连结OP，则OP是整个图形的对称轴，沿OP折叠，两侧的部分能够互相重合，可证PA=P B。
教师强调：合情推理也是数学说理的一种方法，运用时语言要简洁明确。
生6：第二种证法：连结OP,OA,OB，由切线的性质得OA⊥AP,OB⊥PB,OB=OA,又∵OP=OP∴Rt△APO≌Rt△BPO∴PA=PB教师给出切线长的定义：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
教师强调：切线是直线，切线长是切线上一条线段的长。
问：在图（3）中利用三角形全等你还发现那些特性？请用语言叙述出来。
（叙述时用上切线长这个概念。
）生7：∠OPA=∠OPB，用语言叙述为：在圆外找一点，作圆的两条切线，可得切线长相等，OP平分两切线的夹角。
师：说得好，将OP改换成文字，再简化一下，就更好了。
下面老师板书图（4）定理，请同学们认真体会一下自己的说法与定理叙述间的差距，做好自我教育，提高语言叙述水平。
[设计目的：训练学生的数学表达，体会定理的语言叙述，就是将定理的应用情境及结论用数学语言明确表达。
]教师板书：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
教师强调：（1）此定理用于证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等（2）此定理有三种表达方式：文字表达（板书的定理）、图形表达（如图4）、符号表达（如下）∵PA、PB切圆O于A点B点∴PA=PB ∠OPA=∠OPB三、理解应用━━巩固练习、变式训练例1、已知：如图PA、PB是圆O的两条切线，A、B 为切点，直线OP交圆于点D、E，交AB于C⑴写出图中所有的垂直关系；⑵写出图中所有的全等三角形；⑶如果PA=4cm，PD=2cm，PABCDOE求半径OA的长（一位同学板演，其他同学在练习本上做。
）[设计目的：本例题较简单，学生能够独立完成，想用它训练学生的规范书写。
]解：⑴OA⊥PA，OB⊥PB，OP⊥AB；图5⑵△OAP≌△OBP，△OCA≌△OCB，△ACP≌△BCP⑶设OA=xcm；在Rt△OAP中，OA=xcm，OP=OD+PD=x+2(cm)，P A=4cm，由勾股定理，得PA2+OA2=OP2 即42+x2=(x+2) 2解得，x=3cm所以，OA的长为3cm反馈练习：图61、填空：已知如图4，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，P O 与⊙O相交于点D，（1）若PA=12，则PB= ；（2）若∠APB=80o，则∠APO= ，∠AOB=（3）∠APO=30o，OA = 2，则PB=[设计目的：让学生体会一般到特殊的数学思想方法，体会应用切线长定理的关键是读出该定理的应用情境，即定理的前提，得出定理的结论。
初步感受该定理与垂直、三角形全等、解直角三角形的综合应用。
]生8：（1）∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B∴PA=PB=12112生9：（2）∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B 2∴∠OPA=∠OPB= —∠APB =—80°= 40°OA⊥AP,OB⊥PB∴∠AOP = 50°同理，∠BOP = 50°∴∠AOB = ∠AOP + ∠BOP = 100°师：还有其他方法吗？生10：还可用四边形内角和为360°，得∠AOB = 360°- 90° - 90°- ∠APB= 100°生11：（3）∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B ∴PA = PB，OA⊥AP∵∠APO=30o，OA = 2∴OP = 4,由勾股定理，得3PA = 23PA = PB = 2师：还有其他方法吗？生12：还可用30°角的余弦值来求。