第四章 线性系统的能控性与能观测性

第四章 线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ-ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。

能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能力。

能控性严格上说有两种，一种是系统控制输入u(t)对系统内部状态x(t)的控制能力，另一种是控制输入u(t)对系统输出y(t)的控制能力。

但是一般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。

所以，系统的能控性和能观性研究一般都是基于系统的状态空间表达式的。

4-1 线性连续定常系统的能控性定义 对于单输入n 阶线性定常连续系统若存在一个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每一个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。

反之，只要有一个状态不可控，我们就称系统不可控。

对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。

4-2线性连续定常系统的能控性判别4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1． 单输入系统 具有约旦标准型系统⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λn λλλλ0000000000000321 n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根 或bu Jx x += m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性（1）u b x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221000λλ 解：⇒=111x xλ 1x 与u 无关，即不受u 控制 ⇒+=u b x x2222λ 2x 为能控状态 该系统为状态不完全能控，因而为不能控系统。

§ 2 线性连续定常系统的能控性判据
推论： (a) 已知系统方程，记其能控指数为μ，并设 rankB=r，则必成立：
n r n r 1
(b) 对于单输入单输出系统，也即 r=1时，系统的能控指数为 μ=n。 (c) 线性定常系统完全能控的充分条件是：
rankQ
n r 1
rank [ B AB A
为对系统方程导出的约当规范形：
ˆˆ ˆ ˆ x A x B u , 其中：
J1 ˆ A
J2
ˆ B1 ˆ , B B2 ˆ Jl Bl
J i1 Ji
i
1
J ik
而 ( ri1 ri 2 ri i ) i 的最后一行所组成的矩阵：
b ri 1 b ri 2 b ri i
对i=1,2……均为行线性无关。
§ 2 线性连续定常系统的能控性判据 2-2 能控性指数：
, , l ( l 重 ) 且 ( ) n 时， 1 2 l
为对系统方程导出的约当规范形：
ˆ ˆ ˆ x Ax ˆˆ y Cx
其中：
§3 线性连续定常系统的能观性判据
J1 ˆ A ˆ ˆ , C C 1 Jl J i1 Ji ˆ ˆ , C C i i1 J i 1
我们在第二章得出了：
x (t ) (t , t 0 ) x 0
将上式带入系统方程，得：

t
( t , ) B ( ) u ( ) d
t0
y ( t ) C ( t ) ( t , t 0 ) x 0 C ( t ) ( t , ) B ( ) u ( ) d D ( t ) u ( t )

n
M
N
n1
(t1
)
N0(t) C(t)
N k 1 (t )
Nk
(t ) A(t )
d dt
Nk
(t)
(k 0,1,2,L ,n 1)
第四章 线性系统的能控性与能观性
例 4.4.2.（2）已知线性时变连续系统为
x1 t 1 0 x1
x2
0
2t
0
x2
Td [0, 2], t0 0.5, t f 2
解：首先计算 0
M0 (t ) B(t ) 1
1
1
M1(t)
A(t )M0 (t )
d dt
M0 (t )
2t
t t 2
3t
M2 (t )
A(t )M1(t )
d dt
M1(t)
4t 2 2
(t 2 t )2 2t 1
进而，可以找到 t1 1，[0使,3有]
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t
t 2
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2t 0 2t
M
2
(t
)
A(t)M1(t)
d dt
M 1 (t )
t t
2 4
1
2t
t
2
1
t4 2t
M0(t) M1(t) M2(t) 秩为3，所以系统是完全能控
第四章 线性系统的能控性与能观性
推论（秩判据）：假设矩阵A(t)和B(t)在时间区间
N1 ( t )
t 2 1 4t 2 3t 2 (t 2 t )2 (2t 1)
N0 (t1 )
1 1 1
于是
rank
(k 1, 2,L , n 1)

系统的能控性能观测性稳定性分析1. 能控性（Controllability）能控性是指系统输出能否通过适当的输入方式对系统进行控制。

如果一个系统是能控的，意味着通过控制器的输入信号，我们能够将系统的输出发展到我们所期望的状态。

对于一个线性时不变（LTI）系统，能控性可以通过判断其控制矩阵的秩来确定。

控制矩阵（也称为控制可达矩阵）是由系统的状态方程和控制器的输入方程组成的。

如果控制矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能控的；否则，系统是无法被完全控制的。

能控性的分析可以帮助我们选择合适的控制策略和控制器设计。

当系统的能控性差时，我们可能需要通过增加或修改系统的状态变量或控制器的输入方式来提高系统的能控性。

2. 能观测性（Observability）能观测性是指系统的内部状态能否通过系统的输出信号来判断。

一个能观测的系统意味着我们可以通过观测系统的输出来估计系统的状态。

对于一个线性时不变系统，能观测性可以通过判断其观测矩阵的秩来确定。

观测矩阵（也称为观测可达矩阵）是由系统的状态方程和输出方程组成的。

如果观测矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能观测的；否则，系统的一些状态是无法通过输出来观测到的。

能观测性的分析可以帮助我们选择合适的观测器设计，以实现对系统状态的估计。

当系统的能观测性差时，我们可能需要增加或改变系统的输出方程来提高系统的能观测性。

3. 稳定性（Stability）稳定性是指系统在受到扰动后是否会逐渐恢复到原来的状态。

对于线性时不变系统，稳定性可以分为几种类型：零状态稳定、有限状态稳定和无限状态稳定。

零状态稳定（Zero-state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到零。

有限状态稳定（Finite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到一些有限值。

无限状态稳定（Infinite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在无限时间内收敛到一些有限值。