甘肃省兰州第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．抛物线28y x =的焦点坐标为 A ．(0,2) B ．(2,0) C ．1(,0)32D ．1(0,)32答案：D解：抛物线28y x =可化为218x y =，∴抛物线28y x =的焦点在y 轴上，∵128=p ，∴11 232p =，∴抛物线的焦点坐标为10,32⎛⎫⎪⎝⎭，故选D ． 2．双曲线221416y x -=的渐近线方程为（ ）A ．12y x =± B ．2y x =± C ．14y x =±D ．4y x =±答案：A令双曲线方程得右边为0，可得双曲线的渐近线方程.解：解：令双曲线方程得右边为0，可得220416y x -=，可得12y x =±，即：双曲线221416y x -=的渐近线方程为12y x =±，故选：A.点评：本题主要考查双曲线的渐近线方程，注意牢记双曲线渐近线的求法. 3．若方程2212x y m m+=-表示椭圆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()0,2 D ．()()0,11,2答案：D由题知0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解不等式组即可得答案.解：解：因为方程2212x y m m+=-表示椭圆 所以0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得021m m m >⎧⎪<⎨⎪≠⎩，所以实数m 的取值范围为()()0,11,2故选：D4．命题“00x ∃>，00sin x x <”的否定是（ ） A ．00x ∃≤，00sin x x < B ．00x ∃≥，00sin x x > C ．0x ∀>，sin x x ≥ D ．0x ∀>，sin x x >答案：C特称命题否定为全称命题即可解：命题“00x ∃>，00sin x x <”的否定是“0x ∀>，sin x x ≥”， 故选：C5．如果质点A 按照规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为 A ．6 B ．18C ．54D ．81答案：B对23s t =求导，再把3t =代入,从而可得3t =时的瞬时速度. 解：质点A 按照规律23s t =运动，'6s t ∴=，∴根据导数的物理意义可得，在3t =时的瞬时速度为6318⨯=，故选B.点评：本题主要考查导数的物理意义，意在考查利用所学知识解决实际问题的能力，属于简单题.6．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为 1.1时，函数的平均变化率为（ ） A ．2.1 B ．1.1 C ．2 D ．0答案：A由平均变化率的定义计算．解：22(1.1)(1)(1.11)(11) 2.11.110.1y f f x ∆----===∆- 故选：A ．7．已知0a >，0b >，则“4a b +=1a =，4b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案：B根据基本不等式确定等式成立的条件，然后由充分必要条件的定义判断．解：0a >，0b >时，4a b +≥=4a b =.因为4a b =时，不一定有1a =，4b = 故选：B.8．椭圆与双曲线2213y x -=有相同的焦点1F ，2F ，离心率互为倒数，P 为椭圆上任意一点，则角12F PF ∠的最大值为（ ） A ．5π6B ．2π3 C ．π2D ．π3答案：D设椭圆方程为22221x y a b+=，根据条件列方程求出,a b ，即可求出椭圆方程，当点P 为椭圆短轴端点时角12F PF ∠最大，利用余弦定理可求得该角. 解：设椭圆方程为22221x y a b+=，则222213211c c a a b c ⎧=+⎪⎪⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解得2216,12a b ==， 则椭圆方程为2211612x y +=， 当点P 为椭圆短轴端点时角12F PF ∠最大，此时()22212221616161cos 22162a a c F PF a +-+-∠===⨯， 因为()120,F PF π∠∈，12π3F PF ∴∠= 故选：D.9．已知点P 是抛物线22y x =-上的一个动点，则点P 到点()0,2M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） AB ．3 CD ．92答案：A求出抛物线的焦点F 的坐标，分析可知点P 到点()0,2M 的距离与点P 到准线12x =的距离之和等于点P 到点()0,2M 的距离与点P 到点F 的距离之和，利用当点P 为线段MF 与抛物线的交点时，即M 、P 、F 三点共线时取PM PF +取最小值可得结果.解：抛物线22y x =-的焦点为1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线方程为12x =，如下图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线12x =的距离PD 等于点P 到焦点F 的距离PF ，因此点P 到点()0,2M 的距离与点P 到准线12x =的距离之和等于点P 到点()0,2M 的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点()0,2M 到点1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离（当点P 为线段MF 与抛物线的交点时，即M 、P 、F 三点共线时）11744+ 故选：A.10．已知点1F ，2F 为椭圆22142x y+=的左右焦点，过点1F 与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，则三角形2ABF 的内切圆的半径为（ ）A ．2B ．1C 2D 2答案：C根据题意得2ABF 的周长为48a =，2AB =，进而等面积法求解即可. 解：解：根据题意得2,2a b c ===()12,0F ， 因为过点1F 与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点 所以()()2,1,2,1A B ---，2AB = 根据椭圆定义得2ABF 的周长为48a =， 不妨设三角形2ABF 的内切圆的半径为r ，所以根据等面积法得21211422ABF S a r AB F F =⨯⋅=△，代入数据得22r故选：C11．已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的右焦点为(),0F c ，右顶点为A ，以OA 为直径的圆交直线cy x b=于点B （不同于原点O ），设OBF 的面积为S ．若S AB AF =⋅，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12 B ．13C ．34D ．35答案：D由题可得Rt OAB 的三边长，再结合三角形面积公式及向量数量积公式可得,,a b c 的关系式，即求.解：依题意，得OB AB ⊥， ∴点A 到直线c y x b =的距离22||AB c b c==+， 在Rt OAB 中，∵OA a =，AB c =， ∴OB b =， ∵S AB AF =⋅，∴1sin ()cos 2bc BOA c a c BAO ∠=-∠，其中sin cos BOA BAO ∠=∠， ∴()2b a c =-，∴()224b a c =-，即225830c ac a -+=， 得2583e e -+=(53)(1)0e e --=，∴35e =或1e =（舍）∴离心率为35.故选：D.12．下列结论正确的个数为（ ）①已知1F ，2F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则12PF F △的重心G 的轨迹方程为()2293104x y y +=≠②若动点(),P x y2，则点P 的轨迹为双曲线；③动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差是2，则点P 的轨迹是抛物线；④点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点P 为椭圆上任意一点，点()1,3M ，则2PF PM+的最小值为5；⑤斜率为2的直线与椭圆()222210x y a b a b+=>>交于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，直线OM 的斜率为14-（O 为坐标原点）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D设()G x y ,，由重心坐标公式可得(3,3)P x y ，代入椭圆方程化简即可判断①，根据两点间的距离公式及双曲线的定义可判断②，由抛物线的定义判断③，根据椭圆的定义转化为动点到两定点间距离差的最大值，数形结合求解即可判断④，由点差法建立,a b 关系，求出离心率判断⑤.解：设椭圆的动点坐标00(,)P x y ，12PF F △的重心()G x y ,，则003003x c c x y y +-⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩， 所以03x x =，030y y =≠，代入椭圆方程可得()2293104x y y +=≠，故①正确； 动点(),P xy24<，即动点到定点(2,0)-与(2,0)的距离之差为定值且小于两定点间的距离，所以动点轨迹为双曲线一支，故②错误； 动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差是2，即动点P 到直线20x +=的距离与P 到()2,0M 的距离相等，所以点P 的轨迹是抛物线，故③正确； 由M 在椭圆内，如图，22211||||10(||||)10||10(13)(30)1055PM PF PF PM F M ∴+=--≥-=++-=-=当且仅当1,,P F M 共线时，2||||PM PF +取得最小值，即最小值为5成立，故④正确；设1122,,()()A x y B x y ，，可得22221122222211,，x y x y a b a b+=+=两式相减可得1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=-，由题意可得12122y y x x --=，且1212(,)22x x y y M ++，121214y y x x +=-+，所以22112(),42b a -=⨯-=-则22121122c b e a a ==--=故⑤正确. 所以正确的结论有4个， 故选：D 二、填空题13．下列各结论中，正确的是______．①“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件； ②“p q ∧为假”是“p q ∨为假”的充分不必要条件； ③“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的必要不充分条件； ④“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的必要不充分条件． 答案：①③利用充分条件和必要条件结合复合命题的真假判断方法分析判断即可解：对于①，当p q ∧为真时，,p q 都为真，所以p q ∨为真，当p q ∨为真时，,p q 至少有一个为真，则p q ∧不一定为真，所以“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件，所以①正确，对于②，当p q ∧为假时，,p q 中至少有一个为假，则p q ∨不一定为假，当p q ∨为假时，,p q 都为假，则p q ∧一定为假，所以“p q ∧为假”是“p q ∨为假”的必要不充分条件，所以②错误，对于③，当p q ∨为真时，,p q 至少有一个为真，所以p ⌝不一定为假，而当p ⌝为假时，p 为真，所以p q ∨一定为真，所以“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的必要不充分条件，所以③正确，对于④，当p ⌝为真时，p 为假，则p q ∧为假，当p q ∧为假时，,p q 中至少有一个为假，所以p 不一定为假，则p ⌝不一定为真，所以“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的充分不必要条件， 所以④错误， 故答案为：①③14．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线,且经过点()3,23-的双曲线方程是______. 答案：224194x y -=解：设22916x y λ-=,将()3,23-代入求得14λ=. 双曲线方程是224 1.94x y -= 15．在平面直角坐标系xoy 中，点M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P 、Q 两点．若MPQ 为锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是____________． 答案：6251,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】解：试题分析：∵△PQM 是锐角三角形， ∴∴2222cos cos 4MD c QMD ac a c b QMaπ∠==>=<- 22222,ac a c ac a c >-<- ∴22210,10e e e e +->+-< 解得6251e e --><∴该椭圆离心率的取值范围是6251--⎝⎭ 故答案为6251--⎝⎭16．已知抛物线C ：2y 2px(p 0)=>的焦点为F ，过F 且倾斜角为60的直线l 与抛物线C在第一、四象限分别交于A 、B 两点，与它的准线交于点P ，则AB PB=_____．答案：2：1设出A 、B 坐标，利用焦半径公式求出|AB |，结合x 1x 2＝24p ，求出A 、B 的坐标，然后求其比值．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 12＝2px 1，y 22＝2px 2， |AB |＝x 1+x 2+p ＝2028sin 603p p =，即有x 1+x 2＝53p ， 由直线l 倾斜角为60°，则直线l 的方程为：y ﹣0x ﹣2p ）， 联立抛物线方程，消去y 并整理，12x 2﹣20px +3p 2＝0， 则x 1x 2＝24p ，可得x 1＝32p ，x 2＝16p ，则|AP |＝4p ， ∴AB PB=2.故答案为:2:1.点评：本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 三、解答题17．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{}14B x x =<<． (1)当3a =时，求A B ；(2)“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 答案：(1){}15A B x x ⋃=-≤≤ (2){}1a a <（1）由3a =，得到{}15A x x =-≤≤，再利用并集的运算求解； （2）根据 “x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，得到AB ，然后分A =∅，A ≠∅讨论求解. (1)解：当3a =时，{}15A x x =-≤≤． 因为{}14B x x =<<， 所以{}15A B x x ⋃=-≤≤． (2)因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件， 所以AB ．当A =∅时，符合题意，此时有22a a +<-，解得：0a <．当A ≠∅时，要使AB ，只需22,24,21,a a a a +≥-⎧⎪+<⎨⎪->⎩解得：01a ≤<，综上：1a <．所以实数a 的取值范围{}1a a <． 18．已知命题p ：方程表示焦点在x 轴上的双曲线．命题:q 曲线2(23)1y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围． 答案：522m <≤或12m <. 分别求出命题p 、q 为真命题时m 的范围，根据复合命题真值表可得命题p ，q 命题一真一假，分p 真q 假和p 假q 真求出m 的范围，再求并集． 解：解：方程22122x y m m -=-表示焦点在x 轴上的双曲线， ∴20220m m m >⎧⇒>⎨->⎩若p 为真时：2m >，曲线2(23)1y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点， 则△25(23)402m m =-->⇒>或12m <， 若q 真得：52m >或12m <， 由复合命题真值表得：若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，p ，q 命题一真一假若p 真q 假：522m <； 若p 假q 真：12m <∴实数m 的取值范围为：522m<或12m <． 19．设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，113AF BF =（1）若24,AB ABF =∆的周长为16，求2AF ； （2）若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率.答案：（1）5；（2）2. 【解析】解：试题分析：（1）由题意113,4AF F B AB ==可以求得113,1AF F B ==，而2ABF ∆的周长为16，再由椭圆定义可得12416,28a AF AF a =+==.故212835AF a AF =-=-=.（2）设出1F B k =，则0k >且13,4AF k AB k ==.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出,a k 的关系()(3)0a k a k +-=，从而3a k =，2123,5AF k AF BF k ===，则22222||||BF F A AB =+，故12F A F A ⊥，12AF F ∆为等腰直角三角形.从而2c a =，所以椭圆E 的离心率2c e a ==. （1）由113,4AF F B AB ==，得113,1AF F B ==.因为2ABF ∆的周长为16，所以由椭圆定义可得12416,28a AF AF a =+==.故212835AF a AF =-=-=.（2）设1F B k =，则0k >且13,4AF k AB k ==.由椭圆定义可得2223,2AF a k BF a k =-=-.在2ABF ∆中，由余弦定理可得22222222||||2cos AB AF BF AF BF AF B =+-⋅∠，即2226(4)(23)(2)(23)(2)5k a k a k a k a k =-+---⋅-，化简可得()(3)0a k a k +-=，而0a k +>，故3a k =.于是有2123,5AF k AF BF k ===.因此22222||||BF F A AB =+，可得12F A F A ⊥，故12AF F ∆为等腰直角三角形.从而c =，所以椭圆E 的离心率c e a ==. 【解析】1.椭圆的定义；2.椭圆的离心率求解.20．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，椭圆的左、右焦点分别是12F F 、，点M 为椭圆上的一个动点，12MF F △（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）P 为椭圆上一点，1PF 与y 轴相交于Q ，且112F P FQ =，若1PF 与椭圆相交于另一点R ， 求2PRF △的面积 .答案：（1）22143x y +=（2）157 【解析】解：试题分析：（Ⅰ）由已知条件：12c e a ==，122c b bc ⋅⋅==椭圆C 的方程；（Ⅱ） 由112F P FQ =，知Q 为1F P 的中点，设()0,Q y ，则()1,2P y ，由此利用韦达定理、弦长公式能求出2PRF ∆的面积. 试题解析：解：（I )由已知条件：12c e a ==，122c b bc ⋅⋅=∴2,1a b c === ∴椭圆C 的方程为22143x y += . (Ⅱ)由112F P FQ =，知Q 为1F P 的中点，所以设()0,Q y ，则()1,2P y , 又P 满足椭圆的方程，代入求得34y =. ∴直线1PF 方程为()314y x =+ . 由()22314{143y x x y =++= 得 276130x x +-= . 设()11,P x y ，()22,R x y ，则 1212613,77x x x x +=-=- .∴1212627,728y y y y +==- ，∴212115227PRF S c y y c ∆=⋅⋅-==. 说明：各题如有其它解法可参照给分.点睛：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式的合理运用；当直线与圆锥曲线相交时，将三角形的面积转化为求弦长问题，即联立直线的方程与圆锥曲线的方程构成方程组，结合韦达定理12y y -=.21．已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线222:142x y C -=有相同的渐近线，且点(P 在1C 上. （1）求1C 的标准方程；（2）过点()1,1M 的直线l 与双曲线1C 交于,A B 两点，且M 恰好是线段AB 的中点，求直线l 的方程.答案：（1）2212x y -=；（2）210x y -+=.（1）设()221:042x y C λλ-=≠，将(P 代入可得λ，进而可得1C 的标准方程； （2）设直线():11l y k x =-+，将其与1C 联立得到关于x 的方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式可解得k ，进而可得直线l 的方程.解：（1）因为1C 与2C 的渐近线相同，可设()221:042x y C λλ-=≠将(P 代入得831422λ=-=，所以1C 的标准方程为2212x y -=. （2）直线l 的斜率显然存在，设直线():11l y k x =-+， 联立方程组()221211x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩，消去y 可得()()()22212412120k x k k x k -+----=，由221208(22)0k k k ⎧->⎨∆=-+->⎩得11k <<且2≠±k . 设()1122(),,,A x y B x y ，则()1224121k k x x k -+=-因为M 是线段AB 的中点，所以()122211221k k x xk -+==-，解得12k =，满足题意.所以直线l 的方程为()1112y x =-+，即210x y -+=.22．已知F 为抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为94π. （1）求抛物线C 的方程；（2）设A (2，1)，B 是抛物线C 上异于A 的一点，直线AB 与直线y =x -2交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ，证明：直线BN 恒过一定点，并求出该定点的坐标.答案：（1）x 2=4y ；（2）证明见解析，定点(2，2).(1)由题意知圆心必在4p y =，由相切即可知34pr =，结合已知圆的面积即可求出p =2，进而可求出抛物线的方程.(2) 设211(,)4x B x ，写出直线AB 的方程与y =x -2联立，求出P 的横坐标，即可知N 的横坐标，进而可求出N 的坐标，由直线的点斜式可写出直线BN 的方程，从而可求出所过定点.解：解：（1）设△OFM 外接圆的半径为r ，由题知圆心必在4py =， 且圆心到准线的距离3424p p p r +==，所以239()44p π⋅=π，解得p =2， 所以抛物线C 的方程为：x 2=4y .（2）设211(,)4xB x ，由题意知，12x ≠，则直线AB 的方程：211141(2)2x y x x --=--，化简得：121(2)4x y x +-=-，与y =x -2联立得121(2)42x y x y x +⎧-=-⎪⎨⎪=-⎩， 解得11282p x x x -=-，把112(4)2p x x x -=-代入x 2=4y 得：2114()2N x y x -=-， 即211112(4)4(,())22x x N x x ----，则直线BN 的方程：221121111114()42()2(4)42x x x x y x x x x x ----=----， 约分得：11211142()2()44x x x x y x x -+--=-，化简得111141()()422x x x y x x x --+--， 因为与x 1无关，所以当x =2，y =2时恒成立，所以直线BN 恒过定点(2，2).点评：关键点睛:本题第二问的关键是联立直线和直线求出P 的横坐标，写出N 的坐标后，写出直线BN 的方程.。

兰州一中2019-2020-1学期高二年级期中考试试题化学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分100分，考试时间100 分钟。

答案写在答题卡，交卷时只交答题卡。

可能使用的相对原子质量：H—1 N—14 O—16第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题2分，共48分）1．下列物质属于强电解质且能导电的是①氯化钠溶液②氯化铵固体③铜④石墨⑤熔融的NaOH ⑥稀硫酸⑦乙酸A．⑤ B．①②⑥ C．②⑤⑥⑦ D．①③④⑤⑥2．250℃和1.01×105 Pa时， 2N2O5(g) = 4NO2(g) + O2(g) △H= +56.76 kJ/mol，该反应能自发进行的原因是A．是吸热反应 B．是放热反应 C．是熵减少的反应 D．熵增大效应大于焓效应3．下列说法或表示方法正确的是A．等质量的硫蒸气和硫固体分别在氧气中完全燃烧，后者放出的热量多B．由C(石墨)=C(金刚石) ΔH= +11.9 kJ/mol，可知金刚石比石墨稳定C．水力（水能）按不同的分类可看成可再生能源和一级能源D．可表示氢气燃烧热的热化学方程式为H2(g)+1/2O2(g)=H2O(g) ΔH= -241.8 kJ/mol4．下列关于电解质溶液的叙述正确的是A． pH＝4. 5的番茄汁中c(H+)是pH＝6.5的牛奶中c(H+)的100倍B． pH相同的盐酸和醋酸溶液，加水稀释100倍后两溶液pH仍相同C．中和pH与体积均相同的盐酸和醋酸溶液，消耗NaOH的物质的量相同D．25 ℃,将pH = 5的盐酸稀释1000倍后，溶液的pH=85．已知分解1 mol H2O2放出热量98kJ，在含少量I－的溶液中，H2O2的分解机理为：H 2O2＋ I－→H2O ＋IO－（慢） H2O2＋ IO－→H2O ＋O2＋ I－（快）下列有关反应的说法正确的是A．反应的速率与I－的浓度有关 B． IO－也是该反应的催化剂C．反应活化能等于98k J·mol－1 D．v (H2O2)= v (H2O)= v (O2)6．下图曲线a表示放热反应X(g)＋Y(g)Z(g)＋M(g)＋N(s)进行过程中X的转化率随时间变化的关系。

2.某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上（ ）
A.快、新、乐B.乐、新、快
C.新、乐、快D.乐、快、新
【答案】A
【解析】
【分析】
根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，即可得出结论．
设点 坐标为 ，则 ，
即 ，
由于点 在圆 上，则 ，所以， ，
整理得 对任意的 恒成立，
，解得 或 （舍去），
所以，存在点 ，对于圆 上任意一点 ，都使得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查动点的轨迹方程，涉及两点间距离公式的应用，同时也要注意到点在圆上这一条件的应用，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
19.如图所示，矩形 中， ⊥平面 ， ， 为 上的点，且 ⊥平面 .
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
试题分析：解:(1)∵ 平面 ， ∥ ，
∴ 平面 ，∴ ，
又∵ 平面 ，∴ ，
又∵ ，∴ 平面 .
(2)由题意可得， 是 的中点，连接 ，
∵ 平面 ，∴1）求弦 的垂直平分线方程；
（2）求弦 的长.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将圆 方程化为标准式，可得出圆心坐标，由垂径定理可知，线段 的垂直平分线为过圆心且与直线 垂直的直线，由此可得出线段 的垂直平分线方程；
（2）计算出圆心到直线 的距离 ，然后利用勾股定理可计算出弦 的长.
∴ 是 的中点，

甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列角中终边与330°相同的角是（）A．﹣30°B．30°C．﹣630°D．630°2．下列说法正确的个数是（）①小于90°的角是锐角；②钝角一定大于第一象限角；③第二象限的角一定大于第一象限的角；④始边与终边重合的角为0°．A．0 B．1 C．2 D．33．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2 B．C．2sin1 D．sin24．已知tan x，且x在第三象限，则cos x＝（）A．B．C．D．5．已知角α的终边经过点（，），若α，则m 的值为（ ）A ．27B ．C ．9D ．6．下列能使cos θ＜sin θ＜tan θ成立的θ所在区间是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知sin α•cos α，且0＜α，则sin α﹣cos α＝（ ）A ．B ．C ．D ．﹣8．已知sin （α+75°），则cos （α﹣15°）＝（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数y ＝A sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则 （ ）A ．ω＝1，φB ．ω＝1，φC ．ω＝2，φD ．ω＝2，φ10．根据如下样本数据，得到回归方程a x b yˆˆˆ+=，则（ ）x 3 4 5 6 7 8 y4.02.5﹣0.50.5﹣2.0﹣3.0A ．0ˆ,0ˆ>>b aB ．0ˆ,0ˆ<>b aC ．0ˆ,0ˆ><b aD ．0ˆ,0ˆ<<b a 11．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y ＝f （x ）的图象（ ）A ．关于点（，0）对称B ．关于直线x 对称C ．关于点（，0）对称D ．关于直线x 对称12．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|）的图象过点B （0，﹣1），且在（，）上单调，同时f （x ）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当x 1，x 2∈（，），且x 1≠x 2时，f （x 1）＝f （x 2），则f （x 1+x 2）＝（ ）A ．B ．﹣1C ．1D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．315°＝ 弧度，弧度＝ ．14．当0＜x ＜π时，使tan x ＜﹣1成立的x 的取值范围为 ．15．函数的定义域是．16．函数在上单调递减，则正实数ω的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）△ABC中，，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设，，用、分别表示向量、．18．（本小题12分）已知角α的终边经过点，且α为第二象限角．（1）求实数m和tanα的值；（2）若，求的值．19．（本小题12分）如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝8，M、N、P是将半圆圆周四等分的三个分点（1）从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；（2）在半圆内任取一点S，求三角形SAB的面积大于8的概率．20．（本小题12分）某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：t0 3 6 9 12 15 18 21 24 y10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 经过长期观测，y＝f（t）可近似的看成是函数y＝A sinωt+b（1）根据以上数据，求出y＝f（t）的解析式；（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？21．（本小题12分）为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产品为一等品．（1）求图中a的值；（2）求综合评分的中位数；（3）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中至多有一个一等品的概率．22．（本小题12分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象过点M（）（1）求f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k＝0，在区间[0，]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．兰州一中2019-2020-2学期高一年级期中考试试题数学命题：张璐颖审题：谢艳敏本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．A 2．B 3．A 4．C 5．D 6．B 7．C 8．A 9．C 10．D 11．D 12．B二、填空题（共4小题）13．，105° 14．（，） 15．[﹣4，﹣π]∪[0，π] 16．[，]三、解答题（共6小题）17．△ABC中，，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设，，用、分别表示向量、．【解答】解：如图，△ABC中，∵，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，∴，．∵，，，．18．已知角α的终边经过点，且α为第二象限角．（1）求实数m和tanα的值；（2）若，求的值．【解答】解：（1）由三角函数定义可知，解得m＝±1，∵α为第二象限角，∴m＝﹣1，所以．（2）原式．19．如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝8，M、N、P是将半圆圆周四等分的三个分点（1）从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；（2）在半圆内任取一点S，求三角形SAB的面积大于8的概率．【解答】解：（1）从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM、ABN、ABP、AMN、AMP、ANP、BMN、BMP、BNP、MNP，其中是直角三角形的只有ABM、ABN、ABP3个，所以这3个点组成直角三角形的概率P．（2）连接MP，取线段MP的中点D，则OD⊥MP，易求得OD＝2，当S点在线段MP上时，S△ABS28＝8，所以只有当S点落在阴影部分时，三角形SAB面积才能大于8，而S阴影＝S扇形OMP﹣S△OMP4242＝4π﹣8，所以由几何概型公式得三角形SAB的面积大于8的概率P．20．某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：t0 3 6 9 12 15 18 21 24 y10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 经过长期观测，y＝f（t）可近似的看成是函数y＝A sinωt+b（1）根据以上数据，求出y＝f（t）的解析式；（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？【解答】解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，∴10，且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12，因此，，故（0≤t≤24）（2）要想船舶安全，必须深度f（t）≥11.5，即∴，解得：12k+1≤t≤5+12k k∈Z又0≤t≤24当k＝0时，1≤t≤5；当k＝1时，13≤t≤17；故船舶安全进港的时间段为（1：00﹣5：00），（13：00﹣17：00）．21．为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产品为一等品．（1）求图中a的值；（2）求综合评分的中位数；（3）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中至多有一个一等品的概率．【解答】解：（1）由频率和为1，得（0.005+0.010+0.025+a+0.020）×10＝1，a＝0.040；（2）设综合评分的中位数为x，则（0.005+0.010+0.025）×10+0.040×（x﹣80）＝0.5，解得x＝82.5所以综合评分的中位数为82.5．（3）由频率分布直方图知，一等品的频率为（0.040+0.020）×10＝0.6，即概率为0.6；所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3：2；所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为a、b、c，非一等品2个，记为D、E；从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE 共10种；抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE共7种，所以所求的概率为P．22．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象过点M（）（1）求f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k＝0，在区间[0，]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意：图象与x轴的交点，相邻两个交点之间的距离为，即，即T；∵T，解得：ω＝4，那么：f（x）＝sin（4x+φ）．∵0＜φ．图象过点M（）带入可求得φ，∴解析式；（2）由正弦函数的性质可知：∈[2kπ，2kπ]，（k∈Z）是单调递增区间，即：2kπ2kπ]，解得：kπx kπ]，（k∈Z）∴函数f（x）的单调递增区间为：；（3）由（1）可知：；将f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．即g（x）＝sin（2x）∵∴2xg（x）+k＝0在[0，]上只有一个实数解，即图象g（x）与y＝﹣k，只有一个交点，当x时，g（x）图象取得最低点，即g（）．由正弦函数图象可知：时只有一个交点，以及k＝﹣1时，也有一个交点．即实数k的取值范围为：或k＝﹣1．。