2009长沙 数学中考试卷(含第26题答案)

人教版数学九年级下册第26章测试题一．选择题1． y=（m2﹣m）是反比例函数，则（）A．m≠0 B．m≠0且m≠1 C．m=2 D．m=1或22．下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y=B．yx=﹣C．y=5x+6 D．=3．设函数y=（k≠0，x＞0）的图象如图所示，若z=，则z关于x的函数图象可能为（）A． B．C． D．4．如图，边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y 轴，反比例函数y=与y=﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之和是（）A．2 B．4 C．6 D．85．反比例函数是y=的图象在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限6．已知反比例函数y=，当1＜x＜3时，y的最小整数值是（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知反比例函数y=﹣，下列结论不正确的是（）A．图象必经过点（﹣1，2）B．y随x的增大而增大C．图象在第二、四象限内D．若x＞1，则0＞y＞﹣28．如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（）A．减小B．增大C．先减小后增大D．先增大后减小9．已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．无法确定10．如图，已知点P是双曲线y=（k≠0）上一点，过点P作PA⊥x轴于点A，且S△PAO=2，则该双曲线的解析式为（）A．y=﹣B．y=﹣C．y=D．y=11．正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞212．某工厂现有原材料100吨，每天平均用去x吨，这批原材料能用y天，则y与x之间的函数表达式为（）A．y=100x B．y=C．y=+100 D．y=100﹣x二．填空题13．已知反比例函数y=的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，请写一个符合条件的反比例函数解析式．14．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，点A的坐标为（2，1），BO=2，反比例函数y=的图象经过点B，则k的值为．15．如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m．（1）b= （用含m的代数式表示）；（2）若S△OAF +S四边形EFBC=4，则m的值是．16．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是．三．解答题17. 画出的图象．18．证明：任意一个反比例函数图象y=关于y=±x轴对称．19．如图，已知等边△ABO在平面直角坐标系中，点A（4，0），函数y=（x＞0，k为常数）的图象经过AB的中点D，交OB于E．（1）求k的值；（2）若第一象限的双曲线y=与△BDE没有交点，请直接写出m的取值范围．20．平面直角坐标系中，点A在函数y1=（x＞0）的图象上，y1的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为y2=，B在y2的图象上，设A的横坐标为a，B 的横坐标为b：（1）当AB∥x轴时，求△OAB的面积；（2）当△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且AB与x轴不平行时，求ab的值．21．如图，在平面直径坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象上有一点A （m，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位长度得到点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，CD=（1）点D的横坐标为（用含m的式子表示）；（2）求反比例函数的解析式．22．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的 1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？答案解析一．选择题1．函数y=（m2﹣m）是反比例函数，则（）A．m≠0 B．m≠0且m≠1 C．m=2 D．m=1或2【考点】反比例函数．【分析】依据反比例函数的定义求解即可．【解答】解：由题意知：m2﹣3m+1=﹣1，整理得m2﹣3m+2=0，解得m1=1，m2=2．当m=l 时，m2﹣m=0，不合题意，应舍去．∴m的值为2．故选C．【点评】本题主要考查的是反比例函数的定义，依据反比例函数的定义列出关于m的方程是解题的关键．需要注意系数k≠0．2．下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y=B．yx=﹣C．y=5x+6 D．=【考点】反比例函数．【分析】直接利用反比例函数的定义分析得出答案．【解答】解：A、y=，是y与x2成反比例函数关系，故此选项错误；B、yx=﹣，y是x的反比例函数，故此选项正确；C、y=5x+6是一次函数关系，故此选项错误；D、=，不符合反比例函数关系，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．3．设函数y=（k≠0，x＞0）的图象如图所示，若z=，则z关于x的函数图象可能为（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象特点．【分析】根据反比例函数解析式以及z=，即可找出z关于x的函数解析式，再根据反比例函数图象在第一象限可得出k＞0，结合x的取值范围即可得出结论．【解答】解：∵y=（k≠0，x＞0），∴z===（k≠0，x＞0）．∵反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象在第一象限，∴k＞0，∴＞0．∴z关于x的函数图象为第一象限内，且不包括原点的正比例的函数图象．故选D．【点评】本题考查了反比例函数的图象以及正比例函数的图象，解题的关键是找出z关于x的函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据分式的变换找出z关于x的函数关系式是关键．4．如图，边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y 轴，反比例函数y=与y=﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之和是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】反比例函数图象特点．【分析】根据反比例函数的对称性可得阴影部分的面积等于长是8，宽是2的长方形的面积，据此即可求解．【解答】解：阴影部分的面积是4×2=8．故选D．【点评】本题考查了反比例函数的图象的对称性，理解阴影部分的面积等于长是8，宽是2的长方形的面积是关键．5．反比例函数是y=的图象在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限【考点】反比例函数的性质．【分析】直接根据反比例函数的性质进行解答即可．【解答】解：∵反比例函数是y=中，k=2＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限．故选B．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键．6．已知反比例函数y=，当1＜x＜3时，y的最小整数值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数系数k＞0，结合反比例函数的性质即可得知该反比例函数在x＞0中单调递减，再结合x的取值范围，可得出y的取值范围，取其内的最小整数，本题得解．【解答】解：在反比例函数y=中k=6＞0，∴该反比例函数在x＞0内，y随x的增大而减小，当x=3时，y==2；当x=1时，y==6．∴当1＜x＜3时，2＜y＜6．∴y的最小整数值是3．故选A．【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是找出反比例函数y=在1＜x＜3中y的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的系数结合反比例函数的性质得出该反比例函数的单调性是关键．7．已知反比例函数y=﹣，下列结论不正确的是（）A．图象必经过点（﹣1，2）B．y随x的增大而增大C．图象在第二、四象限内D．若x＞1，则0＞y＞﹣2【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数的性质：当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大进行分析即可．【解答】解：A、图象必经过点（﹣1，2），说法正确，不合题意；B、k=﹣2＜0，每个象限内，y随x的增大而增大，说法错误，符合题意；C、k=﹣2＜0，图象在第二、四象限内，说法正确，不合题意；D、若x＞1，则﹣2＜y＜0，说法正确，不符合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质：（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x 的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x 的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．8．如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（）A．减小B．增大C．先减小后增大D．先增大后减小【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】首先利用m和n表示出AC和AQ的长，则四边形ACQE的面积即可利用m、n表示，然后根据函数的性质判断．【解答】解：AC=m﹣1，CQ=n，则S=AC•CQ=（m﹣1）n=mn﹣n．四边形ACQE∵P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，∴mn=k=4（常数）．=AC•CQ=4﹣n，∴S四边形ACQE∵当m＞1时，n随m的增大而减小，=4﹣n随m的增大而增大．∴S四边形ACQE故选B．【点评】本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用n表示出四边形ACQE的面积是关键．9．已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．无法确定【考点】反比例函数的性质．【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．【解答】解：∵点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，∴每个象限内，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故选：B．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键．10．如图，已知点P是双曲线y=（k≠0）上一点，过点P作PA⊥x轴于点A，且S△PAO=2，则该双曲线的解析式为（）A．y=﹣B．y=﹣C．y=D．y=【考点】确定反比例函数表达式；反比例函数系数k的几何意义．【分析】先判断出k的符号，再由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数的图象在二四象限，∴k＜0．=2，∵PA⊥x轴于点A，且S△PAO∴k=﹣4，∴反比例函数的解析式为y=﹣．故选A．【点评】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键．11．正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2【考点】反比例函数与一次函数的综合应用．【分析】由正、反比例函数的对称性结合点B的横坐标，即可得出点A的横坐标，再根据两函数图象的上下关系结合交点的横坐标，即可得出结论．【解答】解：∵正比例和反比例均关于原点O对称，且点B的横坐标为﹣2，∴点A的横坐标为2．观察函数图象，发现：当x＜﹣2或0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．故选B．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数的性质以及正比例函数的性质，解题的关键是求出点A的横坐标．本题属于基础题，难度不大，根据正、反比例的对称性求出点A的横坐标，再根据两函数的上下位置关系结合交点坐标即可求出不等式的解集．12．某工厂现有原材料100吨，每天平均用去x吨，这批原材料能用y天，则y与x之间的函数表达式为（）A．y=100x B．y=C．y=+100 D．y=100﹣x【考点】反比例函数在实际问题中的应用．【分析】利用工厂现有原材料100吨，每天平均用去x吨，这批原材料能用y 天，即xy=100，即可得出答案．【解答】解：根据题意可得：y=．故选：B．【点评】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数解析式，正确运用xy=100得出是解题关键．二．填空题13．已知反比例函数y=的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，请写一个符合条件的反比例函数解析式y=﹣．【考点】反比例函数的性质．【专题】开放型．【分析】由反比例函数的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，结合反比例函数的性质即可得出k＜0，随便写出一个小于0的k值即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，∴k＜0．故答案为：y=﹣．【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是找出k＜0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质得出k的取值范围是关键．14．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，点A的坐标为（2，1），BO=2，反比例函数y=的图象经过点B，则k的值为﹣8．【考点】反比例函数图象的特点．【专题】数形结合．【分析】根据∠AOB=90°，先过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，构造相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行计算，求得点B的坐标，进而得出k的值．【解答】解：过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，则∠OCA=∠BDO=90°，∴∠DBO+∠BOD=90°，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∴∠DBO=∠AOC，∴△DBO∽△COA，∴，∵点A的坐标为（2，1），∴AC=1，OC=2，∴AO==，∴，即BD=4，DO=2，∴B（﹣2，4），∵反比例函数y=的图象经过点B，∴k的值为﹣2×4=﹣8．故答案为：﹣8【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形，注意：反比例函数图象上的点（x ，y ）的横、纵坐标的积是定值k ，即xy=k ，这是解决问题的关键．15．如图，一次函数y=﹣x +b 与反比例函数y=（x ＞0）的图象交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点，连结OA ，OB ，过A 作AE ⊥x 轴于点E ，交OB 于点F ，设点A 的横坐标为m ．（1）b= m + （用含m 的代数式表示）；（2）若S △OAF +S 四边形EFBC =4，则m 的值是 ．【考点】反比例函数与一次函数的综合应用．【分析】（1）根据待定系数法点A 的纵坐标相等列出等式即可解决问题．（2）作AM ⊥OD 于M ，BN ⊥OC 于N ．记△AOF 面积为S ，则△OEF 面积为2﹣S ，四边形EFBC 面积为4﹣S ，△OBC 和△OAD 面积都是6﹣2S ，△ADM 面积为4﹣2S=2（2﹣s ），所以S △ADM =2S △OEF ，推出EF=AM=NB ，得B （2m ，）代入直线解析式即可解决问题．【解答】解：（1）∵点A 在反比例函数y=（x ＞0）的图象上，且点A 的横坐标为m ，∴点A 的纵坐标为，即点A 的坐标为（m ，）．令一次函数y=﹣x +b 中x=m ，则y=﹣m +b ，∴﹣m +b=即b=m +．故答案为：m +．（2）作AM ⊥OD 于M ，BN ⊥OC 于N ．∵反比例函数y=，一次函数y=﹣x +b 都是关于直线y=x 对称，∴AD=BC ，OD=OC ，DM=AM=BN=CN ，记△AOF 面积为S ，则△OEF 面积为2﹣S ，四边形EFBC 面积为4﹣S ，△OBC 和△OAD 面积都是6﹣2S ，△ADM 面积为4﹣2S=2（2﹣s ），∴S △ADM =2S △OEF ，由对称性可知AD=BC ，OD=OC ，∠ODC=∠OCD=45°，△AOM ≌△BON ， ∴AM=NB=DM=NC ，∴EF=AM=NB ，∴点B 坐标（2m ，）代入直线y=﹣x +m +， ∴=﹣2m=m +，整理得到m 2=2，∵m ＞0，∴m=． 故答案为．【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点、对称等知识，解题的关键是利用对称性得到很多相等的线段，学会设参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是R≥3.6．【考点】反比例函数在物理学中的应用．【分析】根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流不能超过10A列不等式，求出结论，并结合图象．【解答】解：设反比例函数关系式为：I=，把（9，4）代入得：k=4×9=36，∴反比例函数关系式为：I=，当I≤10时，则≤10，R≥3.6，故答案为：R≥3.6．【点评】本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题．三．解答题17．画出的图象．【考点】反比例函数图象的画法．【分析】从正数，负数中各选几个值作为x的值，进而得到y的值，描点，连线即可．【解答】解：列表得：x﹣4﹣2﹣11 24y0.512﹣2﹣1﹣0.5描点，连线得：【点评】本题主要考查反比例函数图象；注意自变量的取值为不为0的任意实数，反比例函数的图象为双曲线．18．证明：任意一个反比例函数图象y=关于y=±x轴对称．【考点】反比例函数图象的特点．【专题】证明题．【分析】利用反比例函数图象上任意一点关于y=±x轴对称点还在反比例函数y=图象上进行证明．【解答】证明：设P（a，b）为反比例函数图象y=上任意一点，则ab=k，点P关于直线y=x的对称点为（b，a），由于b•a=ab=k，所以点（b，a）在反比例函数y=的图象上，即反比例函数图象y=关于y=x轴对称；点P关于直线y=﹣x的对称点为（﹣b，﹣a），由于﹣b•（﹣a）=ab=k，所以点（﹣b，﹣a）在反比例函数y=的图象上，即反比例函数图象y=关于y=﹣x 轴对称，即任意一个反比例函数图象y=关于y=±x轴对称．【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=﹣x；②一、三象限的角平分线y=x；对称中心是坐标原点．19．如图，已知等边△ABO在平面直角坐标系中，点A（4，0），函数y=（x＞0，k为常数）的图象经过AB的中点D，交OB于E．（1）求k的值；（2）若第一象限的双曲线y=与△BDE没有交点，请直接写出m的取值范围．【考点】反比例函数的性质．【分析】（1）过点B作BM⊥OA于点M，由等边三角形的性质结合点A的坐标找出点B的坐标，再利用中点坐标公式即可求出点D的坐标，最后利用待定系数法即可得出结论；（2）设过点B的反比例函数的解析式为y=，由点B的坐标利用待定系数法求出n的值，根据反比例函数的性质即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）过点B作BM⊥OA于点M，如图所示．∵点A（4，0），∴OA=4，又∵△ABO为等边三角形，∴OM=OA=2，BM=OA=6．∴点B的坐标为（2，6）．∵点D为线段AB的中点，∴点D的坐标为（，）=（3，3）．∵点D为函数y=（x＞0，k为常数）的图象上一点，∴有3=，解得：k=9．（2）设过点B的反比例函数的解析式为y=，∵点B的坐标为（2，6），∴有6=，解得：n=12．若要第一象限的双曲线y=与△BDE没有交点，只需m＜k或m＞n即可，∴m＜9或m＞12．答：若第一象限的双曲线y=与△BDE没有交点，m的取值范围为m＜9或m＞12．【点评】本题考查了反比例函数的性质、中点坐标公式、等边三角形的性质以及待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是：（1）求出点D的坐标；（2）求出过点B的反比例函数的系数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用等边三角形的性质结合中点坐标公式求出反比例函数图象上一点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的系数即可．20．平面直角坐标系中，点A在函数y1=（x＞0）的图象上，y1的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为y2=，B在y2的图象上，设A的横坐标为a，B 的横坐标为b：（1）当AB∥x轴时，求△OAB的面积；（2）当△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且AB与x轴不平行时，求ab的值．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】（1）AB交y轴于C，由于AB∥x轴，根据题意知道两个函数图象关于y轴对称，则点A、B关于y轴对称，由此求得可以得到a=﹣b，则易求点O到直线AB的距离，所以根据三角形的面积公式进行解答即可；（2）根据函数图象上点的坐标特征得A、B坐标分别为：（a，），（b，﹣），根据两点间的距离公式得到OA2=a2+（）2，OB2=b2+（﹣）2，则利用等腰三角形的两腰相等的性质易得a2+（）2=b2+（﹣）2，即（a2﹣b2）（1﹣）=0．由此可以求得ab的值．【解答】解：（1）如图1，设A（a，），B（b，﹣），当AB∥x轴时，=﹣，∴a=﹣b，∴S=×（a﹣b）×=×2a×=2；△OAB（2）如图2，设A（a，），B（b，﹣），∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，OA=OB，由OA2=a2+（）2，OB2=b2+（﹣）2，∴a2+（）2=b2+（﹣）2，整理得：（ a2﹣b2）（1﹣）=0．∵AB与x轴不平行，∴|a|≠|b|，∴1﹣=0，∴ab=±2．∵a＞0，b＜0，∴ab＜0．∴ab=﹣2．【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、图形与坐标的性质，三角形的面积公式．注意：根据两个反比例函数的解析式可以得到这两个函数图象关于y轴对称，可以省去不少的计算过程．21．如图，在平面直径坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象上有一点A（m，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位长度得到点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，CD=（1）点D的横坐标为m+2（用含m的式子表示）；（2）求反比例函数的解析式．【考点】确定反比例函数表达式．【分析】（1）由点A（m，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位长度得到点C，可求得点C的坐标，又由过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，CD=，即可表示出点D的横坐标；（2）由点D的坐标为：（m+2，），点A（m，4），即可得方程4m=（m+2），继而求得答案．【解答】解：（1）∵A（m，4），AB⊥x轴于点B，∴B的坐标为（m，0），∵将点B向右平移2个单位长度得到点C，∴点C的坐标为：（m+2，0），∵CD∥y轴，∴点D的横坐标为：m+2；故答案为：m+2；（2）∵CD∥y轴，CD=，∴点D的坐标为：（m+2，），∵A，D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴4m=（m+2），解得：m=1，∴点A的坐标为（1，4），∴k=4m=4，∴反比例函数的解析式为：y=．【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及平移的性质．注意准确表示出点D的坐标是关键．22．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的 1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？【考点】反比例函数在实际问题中的应用．【分析】（1）分情况讨论：①当0≤x≤3时，设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b；把A（0，10），B（3，4）代入得出方程组，解方程组即可；②当x＞3时，设y=，把（3，4）代入求出m的值即可；（2）令y==1，得出x=12＜15，即可得出结论．【解答】解：（1）分情况讨论：①当0≤x≤3时，设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b；把A（0，10），B（3，4）代入得，解得：，∴y=﹣2x+10；②当x＞3时，设y=，把（3，4）代入得：m=3×4=12，∴y=；综上所述：当0≤x≤3时，y=﹣2x+10；当x＞3时，y=；（2）能；理由如下：令y==1，则x=12＜15，故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．【点评】本题考查了扬州市的应用、反比例函数的应用；根据题意得出函数关系式是解决问题的关键．人教版数学九年级下册第27章测试题一、选择题1．已知xy=mn，则把它改写成比例式后，错误的是（）A．=B．=C．=D．=2．已知，那么的值是（）A．3 B．4 C．5 D．63．下列两个图形一定相似的是（）A．两个矩形B．两个等腰三角形C．两个五边形D．两个正方形4．如果两个相似多边形面积的比是4：9，那么这两个相似多边形对应边的比是（）A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：45．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的延长线上一点，AE与CD相交于F，与△CEF相似的三角形有（）个．A．1 B．2 C．3 D．46．如图，D为△ABC边BC上一点，要使△ABD∽△CBA，应该具备下列条件中的（）A．=B．=C．=D．=7．如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=3cm，则BC的长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm8．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B．C． D．9．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB，则端点B的坐标为（）A．（6，6）B．（6，8）C．（8，6）D．（8，2）10．关于对位似图形的表述，下列命题正确的有（）①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP=k•OP′．A．①②③④B．②③④C．②③D．②④11．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（）A．B．C．D．二、填空题12．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，反比例函数在第四象限经过点B，若OA2﹣AB2=8，则k的值为．13．已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，且AC＜CB，则AC的长度为．14．）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=．15．一块矩形绸布的宽AB=a m，长AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是．16．如图，小亮在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点C时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点D时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小亮的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m．当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长是m．三、解答题17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．（1）证明：△ACD∽△CBD；（2）已知AD=2，BD=4，求CD的长．18．如图，AD是△ABC的高，点E，F在边BC上，点H在边AB上，点G在边AC上，AD=80cm，BC=120cm．（1）若四边形EFGH是正方形，求正方形的面积．（2）若四边形EFGH是长方形，长方形的面积为y，设EF=x，则y= ．（含x 的代数式），当x=时，y最大，最大面积是．19．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8，点P是AB上一个动点．（1）当AP=3时，△DAP与△CBP相似吗？请说明理由．（2）求PD+PC的最小值．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．（1）证明：BE2=AE•DE；（2）若=1，=；并说明理由．答案解析一、选择题1．已知xy=mn，则把它改写成比例式后，错误的是（）A ．=B ．=C ．=D ．=【考点】比例的性质．【分析】熟练掌握比例的性质是解题的关键．【解答】解：A、两边同时乘以最简公分母ny得xy=mn，与原式相等；B、两边同时乘以最简公分母mx得xy=mn，与原式相等；C、两边同时乘以最简公分母mn得xn=my，与原式不相等；D、两边同时乘以最简公分母my得xy=mn，与原式相等；故选C．【点评】解答此题应把每一个选项乘以最简公分母后与原式相比较看是否相同．2．已知，那么的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】比例的性质．【分析】根据和比性质：=⇒=，可得答案．【解答】解：由=2，得==3．故选：A．【点评】本题考查了比例的性质，利用和比性质是解题关键．3．下列两个图形一定相似的是（）A．两个矩形B．两个等腰三角形。

2009年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）含答案数学（文史类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.2log 的值为 【 D 】A ． B.C. 12-D. 122. 抛物线2y =-8x 的焦点坐标是 【 B 】A ．（2，0） B. （- 2，0） C. （4，0） D. （- 4，0） 3．设n s 是等差数列｛n a ｝的前n 项和，已知1a =3，5a =11，则7s 等于 【 C 】 A ．13 B. 35 C . 49 D . 634．如图1 D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 【 A 】A ．AD + BE + CF=0 B ．BD CE DF -+ =0C ．AD CE CF +- =0D ．BD BE FC --=0 图15．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】 A ．14 B. 16 C. 20 D. 486．平面六面体ABCD - 1A 1B 1C 1D 中，既与AB 共面也与1CC 共面的棱的条数为【 C 】 A ．3 B. 4 C.5 D. 67．若函数y=f(x)导函数在区间［a,b ］是增函数，则函数y=f(x)在区间［a,b ］上的图象可能是（A ）8. 设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数{(),(),()()f x f x kk k f x kf x ≤>=取函数()2xf x -=。

当K =12时，函数()k f x 的单调递增区间为 【C 】 A (,0)-∞ B (0,)+∞ C (,1)-∞- D (1,)+∞二 填空题：本大题共七小题，没小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

高一第一学期第一次单元测试数学试卷（本试卷共21个题,满分100分.时量:120分钟）一、选择题（每小题3分，共24分） 1．下列集合中表示同一集合的是（ ） A ．M = {(3，2)}，N = {(2，3)}B ．M = {(x ，y )|x + y = 1}，N = {y |x +y = 1}C ．M = {4，5}，N = {5，4}D ．M = {1，2}，N = {(1，2)}2．下列四组函数中，f (x )与g (x )表示同一个函数的是（ ） A ．f (x ) = |x |，g (x)2B ．f (x ) = 2x ，g (x ) =22x xC ．f (x ) = x ，g (xD ．f (x ) = x ，g (x3．函数x x y 22+-= ( )A. 在)2,0(上为增函数 B 在),2(+∞上为增函数 C 在)1,(-∞上为增函数 D 在),1(+∞上为增函数4. 函数f (x ) = 4 + a x –1 (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是（ ）A ．(1，4)B ．(1，5)C ．(0，5)D ．(4，0)5.已知函数2211)(xx x f -+=,则有( ) A.)(x f 是偶函数,且)()1(x f x f -= B.)(x f 是偶函数,且)()1(x f x f = C.)(x f 是奇函数,且)()1(x f xf -=D.)(x f 是奇函数,且)()1(x f xf =6．设集合A = {y |y = x 2 + 1，x ∈N *}，B = {y |y = t 2 – 4t + 5，t ∈N *}，则下述关系中正确的是（ ）A ．A = BB ．A BC ．B AD ．A ∩B =∅7．设全集为R ，M = {x ||x |≥3}，N = {x |0≤x ＜5}，则C R (M ∪N )等于（ ） A ．{x |–3＜x ＜0}B ．{x |x ＜3，或x ≥5}C ．{x |x ＜0，或x ＞3，且x ≠–3}D ．{x |x ＜3，或x ≥5，且x ≠0}8.已知函数()f x 满足对所有的实数,x y 都有2()(2)5(3)21f x f x y xy f x y x +++=-++,则(10)f 的值为( )⊂ ≠ ⊂ ≠A ．0B ． 25C ．1-D ．49-二、 填空题（每小题4分，共28分）9．函数y =126x -的定义域是 ． 10．函数f (x ) = 21x -的递减区间是 ． 11．函数f (x ) =21ax b x ++是定义在(–1，1)上的奇函数，且f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=25，则a = ，b = ． 12．已知函数f (x ) = x 2 + (a – 1)x + 2在(–∞，4]上是减函数，则常数a 的取值范围是 ． 13．已知函数f (x ) = x |1 – x | (x ∈R)，则不等式f (x )＞14的解集为 ．14．已知f (x )在R 上是单调递增函数，且对任何x ∈R ，都有f {f [f (x )]} = x ，则f (100) = ． 15.设x ∈R ，则函数f (x ) =16)12(122+-++x x 的最小值为 ． 三．解答题16．（本题7分）设全集I = {2，3，x 2 + 2x – 3}，A = {5}，I C A = {2，y }，求x ，y 的值．17．（本题7分）已知A = {x |3≤2x + 3≤11}，B ={y |y = –x 2 – 1，–1≤x ≤2}，求)(B A C R ⋂．18．（本题8分）求下列各式的值：（1）2211322(528--⎛⎫+- ⎪⎝⎭（2）(lg2)2 + lg2·lg50 + lg2519．（本题8分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为每辆1万元，出厂价为每辆1.2万元，年销售量为1000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润= （出厂价–投入成本）×年销售量（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？20．（本题9分）已知f (x) =2() 2x x aa aa---(a＞0，且a≠1)是R上的增函数，求实数a的取值范围．21．（本题9分）二次函数f (x ) = ax 2 + bx + c (a ，b ∈R ，a ≠0)满足条件：①当x ∈R 时,)(x f 的图象关于直线1-=x 对称; ② 1)1(=f ;③f (x )在R 上的最小值为0； （1）求函数f (x )的解析式；（2）求最大的m (m ＞1)，使得存在t ∈R ，只要x ∈[1，m ]，就有f (x + t )≤x ．参考答案一、选择题（每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CDCBABAD二、 填空题（每小题4分，共28分）9． {|2,3}x x x ≥-≠且． 10． (,1),(1,)-∞+∞． 11． a = 1 ，b = 0 ．12． (–∞，–3] ． 13．⎫+∞⎪⎪⎝⎭． 14． 100 ． 15. 13 ． 三．解答题16． 【解析】∵A I ，∴5∈I ，∴x 2 + 2x – 3 = 5即x 2 + 2x – 8 = 0，解得x = –4或x = 2． ∴I = {2，3，5}，∵y ∈A C I ，∴y ∈I ，且y ∉A ，即y ≠5， ∴y = 2或y = 3．又知I C A 中元素的互异性知：y ≠2， 综上知：x = –4或x = 2；y = 3为所求．17．【解析】由3≤2x + 3≤11，得0≤x ≤4，∴A = [0，4]由y = –x 2 – 1，–1≤x ≤2得x = 0时y max = –1；x = 2时，y min = –5，∴–5≤y ≤–1，即B = [–5，–1] ∴A ∩B =∅， ∴)(B A C R ⋂ = R ．18． （1）【解析】原式= 11423263(3)8⎡⎤+⎣⎦=4343(2)216==．（2）【解析】原式 = lg2 (lg2 + lg50) + 2lg5 = lg2·lg100 + 2lg5 = 2lg2 + 2lg5 = 2 (lg2 + lg5)= 2lg10 = 219．【解析】（1）依题意，得y = [1.2×(1 + 0.75x ) – 1×(1 + x )] ×1000 (1 + 0.6x ) 整理得y = –60x 2 + 20x + 200 (0＜x ＜1)（2）依题意，得2(1.21)10000602001001301y x x x x x --⨯>⎧-+>⎧⇒⇒<<⎨⎨<<<<⎩⎩ 答：（略）20．【解析】设x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2．∵f (x )在R 上为增函数，∴f (x 1) – f (x 2)＜0． 又f (x 1) – f (x 2) =22a a -11222()()2x x x x a a a a a a ------ ⊂ ≠=12212()2x x x x aa a a a a ---+-- ①当0＜a ＜1时，由x 1＜x 2得1221,x x x x a a a a -->>∴12220x x x x a a a a ---+->，由f (x 1) – f (x 2)＜0，得22a a -＜0，而0＜a ＜1时22aa -＜0恒成立，∴0＜a ＜1符合题意．②当a ＞1时，由x 1＜x 2得12210x x x x a a a a ---+-<，由f (x 1) – f (x 2)＜0得22a a -＞0，∵a ＞1，∴a 2– 2＞0，从而a a综上知：所求a 的范围是(0，1)∪+∞)． 21． 【解析】（1）∵f (x )的对称轴为x = –1，∴2ba-= –1即b = 2a ． 又f (1) = 1，即a + b + c = 1．由条件③知：a ＞0，且244ac b a-= 0，即b 2 = 4ac ．由上可求得111,,424a b c === ∴2111()424f x x x =++． （2）由（1）知：f (x ) =14(x + 1)2，图象开口向上．而y = f (x + t )的图象是由y = f (x )平移t 个单位得到，要x ∈[1，m ]时，f (x + t )≤x ， 即y = f (x + t )的图象在y = x 的图象的下方，且m 最大． ∴1，m 应该是y = f (x + t )与y = x 的交点横坐标， 即1，m 是14(x + t + 1)2 = x 的两根，由1是14(x + t + 1)2 = x 的一个根，得(t + 2)2 = 4，解得t = 0，或t = -4， 把t = 0代入原方程得x 1 = x 2 = 1(这与m ＞1矛盾)把t = –4代入原方程得x 2 – 10x + 9 = 0，解得x 1 = 1，x 2 = 9．∴m = 9． 综上知：m 的最大值为9．高一第一学期第一次月单元测试数学试卷（教师用卷）（本试卷共21个题,满分100分.时量:120分钟） 制卷人：舒良利 审核人：罗欲晓一、选择题（每小题3分，共24分） 1．下列集合中表示同一集合的是（ C ） A ．M = {(3，2)}，N = {(2，3)}B ．M = {(x ，y )|x + y = 1}，N = {y |x +y = 1}C ．M = {4，5}，N = {5，4}D ．M = {1，2}，N = {(1，2)}2．下列四组函数中，f (x )与g (x )表示同一个函数的是（ D ） A ．f (x ) = |x |，g (x)2B ．f (x ) = 2x ，g (x ) =22x xC ．f (x ) = x ，g (xD ．f (x ) = x ，g (x3．函数x x y 22+-= (C)A. 在)2,0(上为增函数 B 在),2(+∞上为增函数 C 在)1,(-∞上为增函数 D 在),1(+∞上为增函数4. 函数f (x ) = 4 + a x –1 (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是（ B ）A ．(1，4)B ．(1，5)C ．(0，5)D ．(4，0)5.已知函数2211)(xx x f -+=,则有(A) A.)(x f 是偶函数,且)()1(x f x f -= B.)(x f 是偶函数,且)()1(x f x f = C.)(x f 是奇函数,且)()1(x f xf -=D.)(x f 是奇函数,且)()1(x f xf =6．设集合A = {y |y = x 2 + 1，x ∈N *}，B = {y |y = t 2 – 4t + 5，t ∈N *}，则下述关系中正确的是（ B ）A ．A = BB ．A BC ．B AD ．A ∩B =∅7．设全集为R ，M = {x ||x |≥3}，N = {x |0≤x ＜5}，则C R (M ∪N )等于（ A ） A ．{x |–3＜x ＜0}B ．{x |x ＜3，或x ≥5}C ．{x |x ＜0，或x ＞3，且x ≠–3}D ．{x |x ＜3，或x ≥5，且x ≠0}8.已知函数()f x 满足对所有的实数,x y 都有2()(2)5(3)21f x f x y xy f x y x +++=-++,则(10)f 的值为(D) A ．0B ． 25C ．1-D ．49-二、 填空题（每小题4分，共28分）⊂ ≠ ⊂ ≠9．函数y= 126x -的定义域是{|2,3}x x x ≥-≠且． 10．函数f (x ) = 21x -的递减区间是(,1),(1,)-∞+∞． 11．函数f (x ) =21ax bx ++是定义在(–1，1)上的奇函数，且f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭=25，则a = 1 ，b = 0 ． 【解析】依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧==52)21(0)0(f f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=5241120b a b 解得⎩⎨⎧==01b a 12．已知函数f (x ) = x 2 + (a – 1)x + 2在(–∞，4]上是减函数，则常数a 的取值范围是 (–∞，–3] ．【解析】∵f (x ) = x 2 + 2 (a – 1)x + 2的对称轴为x = 1 – a ，且抛物线开口向上又f (x )在(–∞，4]上是减函数，∴1 – a ≥4解得a ≤–3． 13．已知函数f (x ) = x |1 – x | (x ∈R)，则不等式f (x )＞14的解集为⎫+∞⎪⎪⎝⎭． 【解析】f (x ) = x |1 – x | =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+-1,1,22x x x x x x 由图象知，在区间(1，=，+∞)上存在x 0，使f (x 0) =14，令x 2 – x =14解得x又x ∈(1，+∞)，因此x 0 =221+， 故f (x )＞14的解集为+∞) ． 14．已知f (x )在R 上是单调递增函数，且对任何x ∈R ，都有f {f [f (x )]} = x ，则f (100) = 100 ． 【解析】若f (100)＜100，则由f (x )在R 上单调递增，有f [f (100)]＜f (100)，同理f {f [f (100)]}＜f [f (100)]＜f (100)＜100．而由已知等式得f {f [f (100)]}= 100，∴f (100)＜100不成立． 若f (100)＞100，则f [f (100)]＞f (100)＞100． f {f [f (x )]}＞f [f (100)]＞f (100)＞100不成立． 综上知：f (100) = 100．15.设x ∈R ，则函数f (x ) =16)12(122+-++x x 的最小值为 13 ．【解析】如图，取A 为数轴原点，AB = 12，再作AB 的垂线AC 、BD ，使AC = 1，BD = 4，在数轴上取点P ，使AP = x ，则f (x ) = |CP| + |DP|，当C 、P 、D 三点共线时，f (x )的值最小．此时f (x )min = |CD|= |AE| = 13=． 三．解答题16．（本题7分）设全集I = {2，3，x 2 + 2x – 3}，A = {5}，I C A = {2，y }，求x ，y 的值．【解析】∵A I ，∴5∈I ，∴x 2 + 2x – 3 = 5即x 2+ 2x – 8 = 0，解得x = –4或x = 2．∴I = {2，3，5}，∵y ∈A C I ，∴y ∈I ，且y ∉A ，即y ≠5， ∴y = 2或y = 3．又知I C A 中元素的互异性知：y ≠2， 综上知：x = –4或x = 2；y = 3为所求．17．（本题7分）已知A = {x |3≤2x + 3≤11}，B ={y |y = –x 2 – 1，–1≤x ≤2}，求)(B A C R ⋂．【解析】由3≤2x + 3≤11，得0≤x ≤4，∴A = [0，4]由y = –x 2 – 1，–1≤x ≤2得x = 0时y max = –1；x = 2时，y min = –5，∴–5≤y ≤–1，即B = [–5，–1] ∴A ∩B =∅， ∴)(B A C R ⋂ = R ． 18．（本题8分）求下列各式的值：（1）2211322(528--⎛⎫+- ⎪⎝⎭【解析】原式= 11423263(3)8⎡⎤+⎣⎦=4343(2)216==．（2）(lg 2)2 + lg2·lg50 + lg25【解析】原式 = lg2 (lg2 + lg50) + 2lg5 = lg2·lg100 + 2lg5 = 2lg2 + 2lg5 = 2 (lg2 + lg5)= 2lg10 = 219．（本题8分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为每辆1万元，出厂价为每辆1.2万元，年销售量为1000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ．已知年利润 = （出厂价 – 投入成本）×年销售量（1）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；⊂ ≠（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 【解析】（1）依题意，得y = [1.2×(1 + 0.75x ) – 1×(1 + x )] ×1000 (1 + 0.6x ) 整理得y = –60x 2 + 20x + 200 (0＜x ＜1)（2）依题意，得2(1.21)10000602001001301y x x x x x --⨯>⎧-+>⎧⇒⇒<<⎨⎨<<<<⎩⎩ 答：（略）20．（本题9分）已知f (x ) =2()2x x aa a a ---(a ＞0，且a ≠1)是R 上的增函数，求实数a 的取值范围． 【解析】设x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2． ∵f (x )在R 上为增函数，∴f (x 1) – f (x 2)＜0． 又f (x 1) – f (x 2) = 22a a -11222()()2x x x x a a a a a a ------ =12212()2x x x x aa a a a a ---+-- ①当0＜a ＜1时，由x 1＜x 2得1221,x x x x a a a a -->>∴12220x x x x a a a a ---+->，由f (x 1) – f (x 2)＜0，得22a a -＜0，而0＜a ＜1时22aa -＜0恒成立，∴0＜a ＜1符合题意．②当a ＞1时，由x 1＜x 2得12210x x x x a a a a ---+-<，由f (x 1) – f (x 2)＜0得22aa -＞0，∵a ＞1，∴a 2 – 2＞0，从而a a综上知：所求a 的范围是(0，1)∪+∞)．21．（本题9分）二次函数f (x ) = ax 2 + bx + c (a ，b ∈R ，a ≠0)满足条件：①当x ∈R 时,)(x f 的图象关于直线1-=x 对称; ② 1)1(=f ;③f (x )在R 上的最小值为0； （1）求函数f (x )的解析式；（2）求最大的m (m ＞1)，使得存在t ∈R ，只要x ∈[1，m ]，就有f (x + t )≤x ． 【解析】（1）∵f (x )的对称轴为x = –1，∴2ba-= –1即b = 2a ． 又f (1) = 1，即a + b + c = 1．由条件③知：a ＞0，且244ac b a-= 0，即b 2 = 4ac ．由上可求得111,,424a b c ===∴2111()424f x x x =++． （2）由（1）知：f (x ) =14(x + 1)2，图象开口向上．而y = f (x + t )的图象是由y = f (x )平移t 个单位得到，要x ∈[1，m ]时，f (x + t )≤x ， 即y = f (x + t )的图象在y = x 的图象的下方，且m 最大．∴1，m 应该是y = f (x + t )与y = x 的交点横坐标，即1，m 是14(x + t + 1)2 = x 的两根，由1是14(x + t + 1)2 = x 的一个根，得(t + 2)2 = 4，解得t = 0，或t = -4，把t = 0代入原方程得x 1 = x 2 = 1(这与m ＞1矛盾)把t = –4代入原方程得x 2 – 10x + 9 = 0，解得x 1 = 1，x 2 = 9．∴m = 9．综上知：m 的最大值为9．。

2009年湖南省长沙市某校高考数学模拟试卷（2）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，答案请填在题后表格内）1. 函数f(x)=√x−1x−2的定义域为( ) A [1, 2)∪(2, +∞) B (1, +∞) C [1, 2) D [1, +∞)2. 过点(−1, 3)且垂直于直线x −2y +3=0的直线方程为（ ）A 2x +y −1=0B 2x +y −5=0C x +2y −5=0D x −2y +7=03. 某礼堂的座椅第一排有5个座位，第二排有7个座位，第三排有9个座位，依此类推，那么第十五排的座位个数是（ ）A 27B 33C 45D 514.若函数f(x)=x 3+x 2−2x −2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：A 1.2B 1.3C 1.4D 1.5 5. 在△ABC 中，若b =2，B =30∘，C =135∘，则a =( )A √6−√2B √6+√2C √3+√2D √3−√26.如图中所示的是一个算法的流程图，输出表达式为（ ） A 11+2+3+⋯+99 B 11+2+3+⋯+100 C 199 D 11007. 下列结论正确的是（ ）A 若ac >bc ，则a >bB 若a 2>b 2，则a >bC 若a >b ，c <0，则 a +c <b +cD 若√a <√b ，则a <b8. 若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是（ ）A 18B 2√34C 2√3D 69. 函数y =2cos(2x +π2)是（ ）A .周期为π的偶函数B .周期为2π的偶函数C .周期为π的奇函数D 周期为2π的奇函数．10. 三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA →⋅PB →=PB →⋅PC →=PC →⋅PA →，那么P 是三角形ABC 的（ ）A 重心B 垂心C 外心D 内心二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）11. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n // α，则m ⊥n ；②若α // β，β // γ，m ⊥α，则m ⊥γ；③若m ⊥α，n ⊥α，则m // n ；④若α⊥γ，β⊥γ，则α // β；其中正确命题的序号是________．12. 以下程序输入2，3，4运行后，输出的结果是________．13. 若a 是从区间[0, 10]中任取的一个实数，则方程x 2−ax +1=0无实解的概率是________．14. sin163∘⋅sin223∘+sin253∘⋅sin313∘=________．15. 已知a →=(1,2)，b →=(−2,k)，若a →⊥b →，则实数k 的值为________．三、解答题（本大题共5小题，每题8分，共40分） 16. 设f(x)={x +2(x ≤−1)x 2(−1<x <2)2x(x ≥2)，（1）在如图直角坐标系中画出f(x)的图象；（2）若f(t)=3，求t 值；（3）用单调性定义证明函数f(x)在[2, +∞)时单调递增．17. 某几何体的三视图如图所示，P 是正方形ABCD 对角线的交点，G 是PB 的中点．（1）根据三视图，画出该几何体的直观图；（2）在直观图中，①证明：PD // 面AGC；②证明：面PBD⊥AGC．18. 已知圆C和y轴相切，圆心在直线x−3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为2√7，求圆C的方程．19. 已知函数f(x)=asinx⋅cosx−√3acos2x+√32a+b(a>0).(1)写出函数的单调递减区间；(2)设x∈[0, π2]，f(x)的最小值是−2，最大值是√3，求实数a，b的值．20. 若S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．（1）求等比数列S1，S2，S4的公比；（2）若S2=4，求{a n}的通项公式；（3）设b n=3a n a n+1，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n>m20对所有n∈N∗都成立的最大正整数m．2009年湖南省长沙市某校高考数学模拟试卷（2）答案1. A2. A3. B4. C5. A6. A7. D8. D9. C10. B11. ①②③12. 3，4，313. 1514. 1215. 116. 解：（1）如图（2）由函数的图象可得：f(t)=3即t2=3且−1<t<2．∴ t=√3..（3）设2≤x1<x2，则f(x1)−f(x2)=2x1−2x2=2(x1−x2)∵ x1<x2，∴ x1−x2<0，f(x1)<f(x2)，f(x)在[2, +∞)时单调递增．17. 解：（1）根据三视图，可得该几何体为正四棱锥P−ABCD，正方形ABCD的边长为2，正四棱锥的高为√2，该几何体的直观图如图所示：（2），①证明：在直观图中，设正方形ABCD的中心为O，∵ G是PB的中点，∴ OG是△PAD的中位线，故有OG // PD．而OG⊂面AGC，PD⊄面AGC，∴ PD // 面AGC．②证明：正方形ABCD中，AC⊥BD，再由正四棱锥P−ABCD的性质可得PO⊥平面ABCD，而PO⊂平面PBD，∴ 平面PBD⊥平面ABCD，且平面PBD∩平面ABCD=BD，∴ AC⊥平面PBD．而GO⊂平面PBD，∴ AC⊥GO．根据BD和GO是平面AGC内的两条相交直线，可得AC⊥面PBD．由AC⊂平面AGC，可得面PBD⊥平面AGC．18. 解：设圆心为(3t, t)，半径为r=|3t|，则圆心到直线y=x的距离d=√2=|√2t|，由勾股定理及垂径定理得：(2√72)2=r2−d2，即9t2−2t2=7，解得：t=±1，∴ 圆心坐标为(3, 1)，半径为3；圆心坐标为(−3, −1)，半径为3，则(x−3)2+(y−1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9．19. 解：(1)f(x)=asinx⋅cosx−√3a cos2x+√32a+b=a2sin2x−√32a(1+cos2x)+√3a2+b=a2sin2x−√32a⋅cos2x+b=asin(2x−π3)+b．由2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+3π2，k∈Z，解得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12，k∈Z，故函数的单调递减区间为[kπ+5π12, kπ+11π12]，k∈Z．(2)∵ x ∈[0, π2]， ∴ −π3≤2x −π3≤2π3， ∴ −√32≤sin(2x −π3)≤1．∴ f(x)min =−√3a 2+b =−2，f(x)max =a +b =√3，解得 a =2，b =−2+√3．20. 解：（1）∵ 数列{a n }为等差数列，∴ S 1=a 1，S 2=2a 1+d ，S 4=4a 1+6d ，∵ S 1，S 2，S 4成等比数列，∴ S 1⋅S 4=S 22∴ a 1(4a 1+6d)=(2a 1+d)2，∴ 2a 1d =d 2 ∵ 公差为d 不等于0，∴ d =2a 1，∴ q =S 2S 1=4a 1a 1=4，（2）∵ S 2=4，∴ 2a 1+d =4，∵ d =2a 1，∴ a 1=1，d =2，∴ a n =2n −1（3）∵ b n =3(2n−1)(2n+1)=32(12n−1−12n+1) ∴ T n =32[(1−13)+(13−15)+...+(12n−1−12n+1)]=32(1−12n+1)∴ (T n )min =1使得T n >m 20对所有n ∈N ∗都成立，等价于1>m 20，∴ m <20∴ m 的最大值为19．。