人教版数学必修四：2.3.1平面向量基本定理(作业纸)

桑水2.3.1 2.3.2 平面向量的基本定理及坐标表示学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题1、若向量)1 , ( n a =与) , 4( n b =共线且方向相同，则=n （ ） A ．21 B ．1 C ．2 D ．2±2、如图，空间四边形C OAB 中，a OA =u u u r r ，b OB =u u u r r ，C c O =u u u r r ，点M 在OA 上，且23OM =OA u u u u r u u u r ，点N 为C B 中点，则MN u u u u r 等于（ ）A ．121232a b c -+r r rB ．211322a b c -++r r rC ．111222a b c +-r r r D ．221332a b c +-r r r 3、下列各组平面向量中，可以作为基底的是（ ）（A ）()()120,0,1,2e e ==-u r u u r （B ）()()121,2,5,7e e =-=u r u u r（C ）()()123,5,6,10e e ==u r u u r （D ）()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭u r u u r 4、与向量a =r)5,12(平行的单位向量为（ ）.A.125(,)1313-B.125(,)1313--C.125,1313()或125,1313--()D.125,1313-()或125,1313-()5、ABC ∆中，点E 为AB 边的中点，点F 为AC 边的中点，BF 交CE 于点G ，若AG xAE yAF =+u u u r u u u r u u u r ，则x y +等于 （ ）A. 32B. 1C. 43D. 23G F E A BC桑水 二、填空题6、已知向量(1,2),(,2)x ==a b ，且⊥a b ，则实数x 的值为 ．7、已知向量)1,3(=a ，)1,0(-=b ，)3,(k c =，若b a 2+与c 共线，则=k ___________．8、已知(2,3)A ，(3,0)B ，且2AC CB =-u u u r u u u r ，则点C 的坐标为 ．9、已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c ．若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = ．10、下列命题中：（1）如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么b a ρρ+的方向必与a ρ、b ρ之一的方向相同；（2）如果a 、b 均为非零向量，则b a ρρ+与b a ρρ+一定相等； （3）2x =时，向量)1,(x a =ρ , ),4(x b =ρ共线且方向相同； （4）,,0c a b a a ρρρρρρ•=•≠则c b ρϖ= 其中假命题是 ．三、简答题11、已知=（2，3），=（﹣1，2）当k 为何值时，（Ⅰ）k +与﹣3垂直？（Ⅱ）k +与﹣3平行？平行时它们是同向还是反向？12、在ABC ∆中，已知(3,1),(1,0),(2,3)A B C ，（1）判断ABC ∆的形状；（2）设O 为坐标原点，BC OC m AB R m OC m OD //),(）且（-∈=,求||OD ．13、平面内给定三个向量()()()1,4,2,1,2,3=-==c b a（1）求满足c n b m a +=的实数m 、n ；（2）设()y x d ,=满足()()b acd +-//且1=-c d ，求d .。

已知向量 e1、e2 求做向量-2.5 e1+3 e2
C
e2
A 3e2
e1 2.5e1
·O
例1.如图梯形ABCD中，AB / /CD，AB 2CD， E、F是DC，BA中点，AD a，AB b, 试以a , b为基底表示DC, BC, EF
DEC
a
A
Fb B
能力提升：
例3设e1,e2是两个不共线向量，a e1 e2 ， b 2e1 3e2
e e e e e (2)定理的代数表达形式：若
1e2 ,不共线， 1

1
a b
22
1
2
则
a且 =b
1
2
e （3） 设 1e2,
是平面内的一组基底，当 1e1 2e2 0
恒有1 2 0,
思考 若基底选取不同，则表示同一
向量的实数 1 、2 是否相同？
122 1 1 32 2
解得，1


1 5
,
2

3 5
c 1 a 3b 55
变式训练
设e1,e2是两个不共线向量，请根据平面向量基本定理，
以 a ，b为基底表示 c .
a 2e1 e2 , b e1 e2 , c 4e1 e2
c 3a 2b
B
c
e2
O
A
e1 a
C
c 1e1 2 e2
平面内任一向量是否都可以用形如 1e1 2 e2 的向量表示呢？
N
C
e2
a
B
O
M e1
A
a OM ON
a 1e1 2 e2

必修四第二章 平面向量2．3.1平面向量基本定理1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．162.已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b3.已知向量a ＝()1，k ，b ＝()2，2，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44.若向量),3(),5,2(),1,1(x ===满足条件==⋅-x 则,30)8(( )A ．6B ．5C ．4D ．35.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．26.已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = （）A ．77(,)93B ．77(,)39--C ．77(,)39D ．77(,)93--7.已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－5，－1)，若m a ＋n b (m ≠0)与a 垂直，则n m 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．28.已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=r r r r r ||b =r ( )A. B. C.5 D. 259. 设a r 、b r 、c r 是单位向量，且a r ·b r ＝0，则()()a c b c -•-r r r r 的最小值为 ( )（A ）2- （B 2 （C ）1- (D)110.已知平面向量(,1)a x =，2(,)b x x =-， 则向量+a b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线参考[答案]：1.如图，AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝AC →2＋CB →·AC →＝42＋0＝16.【[答案]】D2.两边平方求解．由|a ＋b |＝|a －b |，两边平方并化简得a ·b ＝0，又a ，b 都是非零向量，所以a ⊥b .【[答案]】B3.a ＋b ＝()1，k ＋()2，2＝()3，k ＋2.∵a ＋b 与a 共线，∴k ＋2－3k ＝0，解得k ＝1.∴a ·b ＝()1，1·()2，2＝4. 【[答案]】D 4.)3,6()5,2()8,8()8(=-=-b a430336)8(=⇒=+⨯=⋅-x x c b a【[答案]】C5.因为(1,1),(2,)a b x ==，所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=-由于a b +与42b a -平行，得6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =。

行四边形？
B
N
PC
O
MA
思考3：在下列两图中，向量 OA,OB,OC 不共线，能否在直线OA、OB上分别找一
点M、N，使 OM ON OC ？
B
N
C
B
N
C
OA M
AO
M
B
N
C
B
N
C
OA M
AO
M
思考4：在上图中，设 OA=e1，OB=e2，
OC =a，则向量OM,ON 分别与e1，e2的
关系如何？从而向量a与e1，e2的关系如
探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
ab
B
b [0°，180°]
O aA
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则 称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
►Living without an aim is like sailing without a compass. 生活没有目标，犹如航海没有罗盘。