解三角形典型例题

1 正弦、余弦定理

知识回忆：

1、直角三角形中，角与边的等式关系：在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，

根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc，从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABC．

2、当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，

有CD=sinsinaBbA，则sinsinabAB，同理可得sinsincbCB，

从而sinsinabABsincC．

3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sinsinabABsincC．

4、理解定理

〔1〕正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使sinakA， ，sinckC；

〔2〕sinsinabABsincC等价于 ，sinsincbCB，sinaAsincC．

〔3〕正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；b ．

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，

如sinsinaABb；sinC ．

〔4〕一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．

5、知识拓展

sinsinabAB2sincRC，其中2R为外接圆直径.

6、勾股定理：

7、余弦定理：三角形中 平方等于 减去

的两倍，即2a ；

1模型构建专题：“手拉手”模型

【考点导航】

目录

【典型例题】

【类型一共顶点的等边三角形】

【类型二共顶点的等腰直角三角形】

【类型三共顶点的一般等腰三角形】

【典型例题】

【类型一共顶点的等边三角形】

1(2023·全国·八年级假期作业)如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线

上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．

(1)求证：BD=CE；

(2)求证：△ABM≌△ACN；

(3)求证：△AMN是等边三角形．

【变式训练】

1(2023春·山西运城·八年级统考期中)如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角

形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连接MN，下列说法正确的个数有

个．

①MN∥AB；②∠DPM=60°；③∠DAP=∠PEC；④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE=30°，则∠AEB=

90°．

2

2(2023秋·四川凉山·八年级统考期末)如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧

分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结

PQ．

求证：(1)AD=BE；

(2)△CPQ为等边三角形；

3(2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习)已知图1是边长分别为a和ba>b的两个等边三角形纸

片ABC和三角形CDE叠放在一起(C与C重合)的图形．

(1)将△CDE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE．如图2：在图2中，线段BE与AD之间具有怎

样的大小关系？证明你的结论；(2)若将上图中的△CDE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD、BE，如图3：在图3中，线

段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：

(3)根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大，最大是多少？当α为多少度时，

线段AD的长度最小，最小是多少？请直接写出答案．

4(2023春·广东梅州·七年级校考期末)【初步感知】

专题02 正余弦定理在解三角形中的高级应用与最值问题

【命题规律】

解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．

【核心考点目录】

核心考点一：倍长定比分线模型

核心考点二：倍角定理

核心考点三：角平分线模型

核心考点四：隐圆问题

核心考点五：正切比值与和差问题

核心考点六：四边形定值和最值

核心考点七：边角特殊，构建坐标系

核心考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题

核心考点九：利用正、余弦定理求解三角形中的最值或范围

【真题回归】

1．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC中，点D在边BC上，120,2,2ADBADCDBD．当ACAB取得最小值时，BD________．

2．（2022·全国·高考真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为123,,SSS，已知12331,sin23SSSB．

（1）求ABC的面积；

（2）若2sinsin3AC，求b．

3．（2022·全国·高考真题（文））记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinsinsinsinCABBCA．

（1）若2AB，求C；

（2）证明：2222abc

4．（2022·全国·高考真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB．

（1）若23C，求B；

（2）求222abc的最小值．

【方法技巧与总结】

1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．

2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111sinsinsin222SabCacBbcA，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．

知识回顾:

4、理解定理

(1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即

存在正数 k 使 a ksinA， ________________ ， c ksinC ；

（2）」 b J等价于 ______________________

sin A sin B sin C

(3) 正弦定理的基本作用为: 正弦、余弦定理

1、直角三角形中，角与边的等式关系：在 Rt ABC中，设 BC=a，AG=b, AB=c,

根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 -sin A，- sin B，又sinC 1 -，从而在直角三 c c c

角形ABC中，-?-

sin A b

sin B c

si nC

2、当 ABC是锐角三角形时，设边 AB上的高是CD根据任意角三角函数的定义,

有 CD=asinB bsinA，则 一- b ，同理可得一

sin A sin B sin C b

sin B

从而」-

sin A b

sin B c

sin C

3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 ____ 的比相等，即旦

sin A b

sin B c

sin C

c b a c

sin C sin B ' sin A sin C ① 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a bsinA ； b

sin B

② 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，

如 sin A asin B ； sinC .

b

(4) 一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作 解三角形•

5、知识拓展

6、 勾股定理： ___________________________________

7、 余弦定理：三角形中 __________ 平方等于 _______________________ 减去 _____________

______________ 的两倍，即a2