实用文档之解三角形经典练习题集锦(附答案)

第一章解三角形一、选择题1．己知三角形三边之比为5∶7∶8,则最大角与最小角的和为( ）．A．90°B．120°C．135°D．150°2．在△ABC中，下列等式正确的是( )．A．a∶b＝∠A∶∠B B．a∶b＝sin A∶sin BC．a∶b＝sin B∶sin A D．a sin A＝b sin B3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为（ )．A．1∶2∶3 B．1∶3∶2C．1∶4∶9 D．1∶2∶34．在△ABC中，a＝5,b＝15，∠A＝30°，则c等于( )．A．25B．5C．25或5D．10或55．已知△ABC中,∠A＝60°，a＝6，b＝4,那么满足条件的△ABC的形状大小（ )．A．有一种情形B．有两种情形C．不可求出D．有三种以上情形6．在△ABC中，若a2＋b2－c2＜0，则△ABC是( ）．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状不能确定7．在△ABC中，若b＝3，c＝3，∠B＝30°，则a＝（）．A．3B．23C．3或23D．28．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B,∠C的对边．如果a，b，c成等差数列,∠B＝30°,△ABC的面积为23,那么b＝（ )．A．231+B．1＋3C．232+D．2＋39．某人朝正东方向走了x km后,向左转150°，然后朝此方向走了3 km，结果他离出发点恰好3km,那么x的值是（）．A．3B．23C．3或23D．310．有一电视塔,在其东南方A处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B处看塔顶时仰角为60°,若AB＝120米，则电视塔的高度为( )．A ．603米B ．60米C ．603米或60米D ．30米 二、填空题11．在△ABC 中，∠A ＝45°,∠B ＝60°,a ＝10，b ＝ ．12．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°,c ＝2，则b ＝ ．13．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝3,则C B A c b a sin sin sin ++++＝ ． 14．在△ABC 中，若a 2＋b 2＜c 2，且sin C ＝23，则∠C ＝ ． 15．平行四边形ABCD 中，AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°，那么AD ＝ ．16．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值＝ ．三、解答题17． 已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2,c ＝6，解此三角形．18．在△ABC 中,已知b ＝3，c ＝1，∠B ＝60°，求a 和∠A ，∠C ．19． 根据所给条件，判断△ABC 的形状．(1)a cos A ＝b cos B ;（2）A a cos ＝B b cos ＝Cc cos ．20．△ABC 中,己知∠A ＞∠B ＞∠C ,且∠A ＝2∠C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．第一章 解三角形参考答案一、选择题1．B解析:设三边分别为5k ，7k ，8k (k ＞0），中间角为， 由cos ＝k k k k k 85249－64＋25222⨯⨯＝21，得 ＝60°，∴最大角和最小角之和为180°－60°＝120°．2．B3．B4．C5．C6．C7．C8．B解析：依题可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒︒30cos 2－＋＝23＝30sin 212＝＋222ac c a b ac b c a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧ac ac c a b ac b c a 3－2－)＋(＝6＝2＝＋22 代入后消去a ,c ，得b 2＝4＋23，∴b ＝3＋1，故选B ．9．C10．A二、填空题11．56．12．2．13．23．解析：设A a sin ＝B b sin ＝C c sin ＝k ，则C B A c b a ＋sin ＋sin sin ＋＋＝k ＝A a sin ＝︒60sin 3＝23． 14．32π．15．43．16．－41．三、解答题17．解析：解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小．解法1：由正弦定理得sin C ＝26sin 45°＝26·22＝23． ∵c sin A ＝6×22＝3，a ＝2,c ＝6，3＜2＜6， ∴本题有二解，即∠C ＝60°或∠C ＝120°，∠B ＝180°－60°－45°＝75°或∠B ＝180°－120°－45°＝15°．故b ＝Aa sin sin B ，所以b ＝3＋1或b ＝3－1, ∴b ＝3+1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°,∠B ＝15°．解法2：由余弦定理得b 2＋（6)2－26b cos 45°＝4，∴b 2－23b ＋2＝0，解得b ＝3±1． 又（6）2＝b 2＋22－2×2b cos C ，得cos C ＝±21，∠C ＝60°或∠C ＝120°，所以∠B ＝75°或∠B ＝15°．∴b ＝3＋1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°．18．解析：已知两边及其中一边的对角，可利用正弦定理求解． 解：∵B b sin ＝Cc sin ， ∴sin C ＝b B c sin ⋅＝360sin 1︒⋅＝21． ∵b ＞c ,∠B ＝60°，∴∠C ＜∠B ，∠C ＝30°，∴∠A ＝90°．由勾股定理a ＝22＋c b ＝2，即a ＝2，∠A ＝90°，∠C ＝30°．19．解析：本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．(1)解法1:由余弦定理得a cos A ＝b cos B ⇒a ·（bc a c b 2222-+)＝b ·（acc b a 2222+-）⇒a 2c 2－a 4－b 2c 2＋b 4＝0， ∴(a 2－b 2）(c 2－a 2－b 2）＝0，∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0，∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2．∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法2：由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B⇒sin 2A ＝sin 2B⇒2∠A ＝2∠B 或2∠A ＝－2∠B ，∠A ，∠B ∈(0，）⇒∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝2π， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．（2)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入已知等式,得A A R cos sin 2＝BB R cos sin 2＝C C R cos sin 2, ∴A A cos sin ＝B B cos sin ＝CC cos sin ， 即tan A ＝tan B ＝tan C ．∵∠A ，∠B ，∠C ∈(0，π）,∴∠A ＝∠B ＝∠C ，∴△ABC 为等边三角形．20．解析:利用正弦定理及∠A ＝2∠C 用a ，c 的代数式表示cos C ；再利用余弦定理，用a ，c 的代数式表示cos C ,这样可以建立a ，c 的等量关系；再由a ＋c ＝8，解方程组得a ，c ．解:由正弦定理A a sin ＝Cc sin 及∠A ＝2∠C ，得 C a 2sin ＝C c sin ，即C C a cos sin 2⋅＝Cc sin ， ∴cos C ＝ca 2． 由余弦定理cos C ＝abc b a 2222-+， ∵b ＝4,a ＋c ＝8，∴a ＋c ＝2b ，∴cos C ＝)()(c a a c c a a ＋－4＋＋222＝)())((c a a c a c a ＋4＋3－5＝a c a 43－5， ∴c a 2＝ac a 43－5， 整理得(2a －3c )（a －c ）＝0，。

解三角形一、选择题1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -即是（ ）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 13．在△ABC 中，角,A B均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 即是（ ）A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或6．边长为5,7,8的三角形的最年夜角与最小角的和是（ ）A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最年夜值是_______________。

2．在△ABC中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。

4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则 C =_____________。

5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最年夜值是________。

三、解答题1.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aAb Bc a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。

第一章 解三角形一、选择题1．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )．A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°2．在△ABC 中，下列等式正确的是( )．A ．a ∶b ＝∠A ∶∠B B ．a ∶b ＝sin A ∶sin BC ．a ∶b ＝sin B ∶sin AD ．a sin A ＝b sin B3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )．A ．1∶2∶3B ．1∶∶23C ．1∶4∶9D ．1∶∶234．在△ABC 中，a ＝，b ＝，∠A ＝30°，则c 等于( )．515A ．2B ．C ．2或D ．或55551055．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( 6)．A ．有一种情形B ．有两种情形C ．不可求出D ．有三种以上情形6．在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＜0，则△ABC 是( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．形状不能确定7．在△ABC 中，若b ＝，c ＝3，∠B ＝30°，则a ＝( )．3A ．B ．2C ．或2D ．233338．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边．如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为，那么b ＝( )．23A ．B ．1＋C ．D ．2＋231+3232+39．某人朝正东方向走了x km 后，向左转150°，然后朝此方向走了3 km ，结果他离出发点恰好km ，那么x 的值是()．3A ．B ．2C ．或2D ．3333310．有一电视塔，在其东南方A 处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B 处看塔顶时仰角为60°，若AB ＝120米，则电视塔的高度为()．A ．60米B ．60米C ．60米或60米D ．30米33二、填空题11．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝10，b ＝ ．12．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，c ＝，则b ＝ ．213．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝3，则＝ ．CB A cb a sin sin sin ++++14．在△ABC 中，若a 2＋b 2＜c 2，且sin C ＝，则∠C ＝ ．2315．平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AC ＝4，∠BAC ＝45°，那么AD ＝ 63．16．在△ABC 中，若sin A ∶sinB ∶sinC ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值＝．三、解答题17． 已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝，解此三角形．618．在△ABC 中，已知b ＝，c ＝1，∠B ＝60°，求a 和∠A ，∠C ．319． 根据所给条件，判断△ABC 的形状．(1)a cos A ＝b cos B ；(2)＝＝．A a cos B b cos Cccos 20．△ABC 中，己知∠A ＞∠B ＞∠C ，且∠A ＝2∠C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．第一章 解三角形参考答案一、选择题1．B解析：设三边分别为5k ，7k ，8k (k ＞0)，中间角为 α，由cos α＝＝，得 α＝60°，kk k k k 85249＋64＋25222⨯⨯21∴最大角和最小角之和为180°－60°＝120°．2．B 3．B 4．C 5．C 6．C 7．C 8．B解析：依题可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒︒30cos 2＋＋＋23＋30sin 212＋＋222ac c a b ac bc a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧ac ac c a b ac b c a 3＋2＋)＋(＋6＋2＋＋22代入后消去a ，c ，得b 2＝4＋2，∴b ＝＋1，故选B ．339．C 10．A 二、填空题11．5．612．2．13．2．3解析：设＝＝＝k ，则＝k ＝＝＝2A asin B b sin Cc sin C B A c b a ＋sin ＋sin sin ＋＋A a sin ︒60sin 3．314．．32π15．4．316．－．41三、解答题17．解析：解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小．解法1：由正弦定理得sin C ＝sin 45°＝·＝．26262223∵c sin A ＝×＝，a ＝2，c ＝，＜2＜，6223636∴本题有二解，即∠C ＝60°或∠C ＝120°，∠B ＝180°－60°－45°＝75°或∠B ＝180°－120°－45°＝15°．故b ＝sin B ，所以b ＝＋1或b ＝－1，Aasin 33∴b ＝+1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°．33解法2：由余弦定理得b 2＋()2－2b cos 45°＝4，66∴b 2－2b ＋2＝0，解得b ＝±1．33又()2＝b 2＋22－2×2b cos C ，得cos C ＝±，∠C ＝60°或∠C ＝120°，621所以∠B ＝75°或∠B ＝15°．∴b ＝＋1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°．3318．解析：已知两边及其中一边的对角，可利用正弦定理求解．解：∵＝，B b sin Ccsin ∴sin C ＝＝＝．b Bc sin ⋅360sin 1︒⋅21∵b ＞c ，∠B ＝60°，∴∠C ＜∠B ，∠C ＝30°，∴∠A ＝90°．由勾股定理a ＝＝2，22＋c b即a ＝2，∠A ＝90°，∠C ＝30°．19．解析：本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．(1)解法1：由余弦定理得a cos A ＝b cos B a ·()＝b ·()a 2c 2－a 4－b 2c 2＋b 4＝0，⇒bc a c b 2222-+acc b a 2222+-⇒∴(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0，∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0，∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2．∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法2：由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B sin 2A ＝sin 2B⇒2∠A ＝2∠B 或2∠A ＝π－2∠B ，∠A ，∠B ∈(0，π) ⇒∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝，⇒2π∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．(2)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入已知等式，得＝＝，A A R cos sin 2B BR cos sin 2C C R cos sin 2∴＝＝，A A cos sin B Bcos sin CC cos sin 即tan A ＝tan B ＝tan C ．∵∠A ，∠B ，∠C ∈(0，π)，∴∠A ＝∠B ＝∠C ，∴△ABC 为等边三角形．20．解析：利用正弦定理及∠A ＝2∠C 用a ，c 的代数式表示cos C ；再利用余弦定理，用a ，c 的代数式表示cos C ，这样可以建立a ，c 的等量关系；再由a ＋c ＝8，解方程组得a ，c ．解：由正弦定理＝ 及∠A ＝2∠C ，得A asin Cc sin ＝，即＝，C a 2sin C c sin C C a cos sin 2⋅C csin ∴cos C ＝．ca2由余弦定理cos C ＝，abc b a 2222-+∵b ＝4，a ＋c ＝8，∴a ＋c ＝2b ，∴cos C ＝＝＝，)()(c a a c c a a ＋＋4＋＋222)())((c a a c a c a ＋4＋3＋5a c a 43＋5∴＝，c a2ac a 43＋5整理得(2a －3c )(a －c )＝0，∵a ≠c ，∴2a ＝3c ．又∵a ＋c ＝8，∴a ＝，c ＝．524516。

专题七：解三角形（例、练及答案）1．解三角形中的要素例1：ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c =b ，60B =o ，则C =_____． 2．恒等式背景例2：已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边， 且有cos sin 0a C C b c --=． （1）求A ；（2）若2a =，且ABC △b ，c ．专项训练一、单选题1．在ABC △中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（）A B C D ．22．在ABC △中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅uu u v uu u v等于（）A ．19B ．19-C ．18D ．18-3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若2cos c a B =，则三角形一定是（）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形4．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3C π=，c 3b a =，则ABC △的面积为（）AB C D 5．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b bc -=，sin C B =，则A =（） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．设ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果()()3a b c b c a bc +++-=，且a =ABC △外接圆的半径为（） A ．1BC ．2D ．47．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC △的形状是（） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足cos cos a B b A c -=，则ABC △是（） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为（）A ．8B ．16C ．32D ．6410．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若()sin cos 0b a C C +-=， 则A =（） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 11．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos cos cos a b cA B C==，则ABC △是（） A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形12．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =，c =，tan 21tan A cB b+=， 则C ∠=（） A ．6π B ．4π C ．4π或34π D ．3π二、填空题13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c =2216b a -=，则角C 的最大值为_____；14．已知ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是_________．15．在ABC △中三个内角A ∠，B ∠，C ∠，所对的边分别是a ，b ，c ，若()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，且a =ABC △面积的最大值是________16．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，b ABC △面积的取值范围是__________．三、解答题17．己知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C cos 2sin A C+=． （1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，且ABC △a 的值．18．如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，AB =4BD =．．（1）求ABD △的面积．（2）若120BAC ∠=o ，求AC 的长．参考答案1．【答案】30C =o【解析】（1）由已知B ，b ，c 求C 可联想到使用正弦定理：sin sin sin sin b c c BC B C b=⇒=， 代入可解得：1sin 2C =．由c b <可得：60C B <=o ，所以30C =o ． 2．【答案】（1）3π；（2）2，2． 【解析】（1）cos sin 0a C C b c --=sin cos sin sin sin 0A C A C B C ⇒--=()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C ⇒-+-=sin cos sin sin cos sin cos sin 0A C A C A C C A C ⇒---=，1cos 12sin 1sin 662A A A A ππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴66A ππ-=或566A ππ-=（舍），∴3A π=； （2）1sin 42ABC S bc A bc =⇒=△，222222cos 4a b c bc A b c bc =+-⇒=+-，∴22224844b c bc b c bc bc ⎧⎧+-=+=⇒⎨⎨==⎩⎩，可解得22b c =⎧⎨=⎩．练习答案一、单选题 1．【答案】A【解析】由正弦定理sin sin a bA B =可得1sinsin 4sin sin 6a Bb A π⨯===π，且()()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=--=由余弦定理可得：c ==．故选A ．【解析】∵三边长7AB =，5BC =，6AC =，∴22222275619cos 227535AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯，()19cos 751935AB BC AB BC B ⎛⎫⋅=⋅π-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭uu u v uu u v ．故选B ．3．【答案】C【解析】∵2cos c a B =，由正弦定理2sin c R C =，2sin a R A =，∴sin 2sin cos C A B =， ∵A ，B ，C 为ABC △的内角，∴()sin sin C A B =+，A ，()0,B ∈π，∴()sin 2sin cos A B A B +=，sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，整理得()sin 0A B -=， ∴0A B -=，即A B =．故ABC △一定是等腰三角形．故选C ． 4．【答案】A 【解析】已知3C π=，c =3b a =， ∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得：2222227937a b ab a a a a =+-=+-=， 解得：1a =，3b =，∴11sin 1322ABC S ab C ==⨯⨯V A ． 5．【答案】A【解析】根据正弦定理由sin C B =得：c =，所以222a b =-，即227a b =，则222222cos 2b c a A bc +-===， 又()0,A ∈π，所以6A π=．故选A ． 6．【答案】A【解析】因为()()3a b c b c a bc +++-=，所以()223b c a bc +-=，化为222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，又因为()0,A ∈π，所以3A π=，由正弦定理可得22sin aR A===，所以1R =，故选A ．【解析】因为2sin sin sin B C A ⋅=，所以2222b c a R R R ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭， 也就是2a bc =，所以222b c bc +=，从而b c =， 故a b c ==，ABC △为等边三角形．故选C ． 8．【答案】B【解析】利用正弦定理sin sin sin a b cA B C==化简已知的等式得： sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()sin sin A B C -=， ∵A ，B ，C 为三角形的内角，∴A B C -=，即2A B C π=+=， 则ABC △为直角三角形，故选B ． 9．【答案】A【解析】因为0A <<π，所以sin A =，又1sin 2ABCS bc A ===V ，∴24bc =，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6b =，4c =， 由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =．故选A ．10．【答案】C【解析】()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，∵()sin cos 0b a C C +-=，可得：()sin sin sin cos 0B A CC +=﹣， ∴sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，∴cos sin sin sin 0A C A C +=， ∵sin 0C ≠，∴cos sin A A =-，∴tan 1A =-， ∵2A π<<π，∴34A =π．故答案为C ． 11．【答案】D 【解析】∵cos cos cos a b cA B C==，由正弦定理得：2sin a R A =⋅，2sin b R B =⋅，2sin c R C =⋅代入，得sin sin sin cos cos cos A B CA B C==，∴进而可得tan tan tan A B C ==， ∴A B C ==，则ABC △是等边三角形．故选D ． 12．【答案】B【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：sin cos 2sin 1cos sin sin A B CA B B+=，去分母移项得：sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=， 所以()sin sin 2sin cos A B C C A +==，所以1cos 2A =．由同角三角函数得sin A =， 由正弦定理sin sin a c A C =，解得sin 2C =所以4C π∠=或34π（舍）．故选B ．二、填空题 13．【答案】6π 【解析】在ABC △中，由角C 的余弦定理可知22222222232cos 224b a a b a b c a b C ab ab ab -+-+-+===≥， 又因为0C <<π，所以max π6C =．当且仅当a =b = 14．【答案】(【解析】∵ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列， ∴2222cos 22cos ac b a c ac B ac ac B ==+-≥-，得1cos 2B ≥， 又∵0B <<π，∴03B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，74412B πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，，可得(sin cos 4B B B π⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，故答案为(． 15．【解析】∵()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，∴()()cos 2sin cos sin cos 2sin 2sin b A C A A C A C B =-+=-+=-，则2sin cos b B A -=，结合正弦定理得2cos sin a A A -==，即tan A =，23A ∠=π 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，化简得22122b c bc bc +=-≥，故4bc ≤，11sin 422ABC S bc A =≤⨯=△16．【答案】⎝⎦【解析】∵ABC △中A ，B ，C 成等差数列，∴3B π=．由正弦定理得2sin sin sin sin 3a c b A C B ====，∴2sin a A =，2sin c C =，∴12sin sin sin 23ABC S ac B A C A A π⎛⎫====- ⎪⎝⎭△21331cos 2sin sin cos sin 22242AA A A A A A A ⎫-=+=+=+⎪⎪⎝⎭3sin 22246A A A π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， ∵ABC △为锐角三角形，∴022032A A π⎧<<⎪⎪⎨ππ⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<．∴52666A πππ<-<，∴1sin 2126A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，26A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，故ABC △面积的取值范围是⎝⎦．三、解答题 17．【答案】（1）23π；（2【解析】（1cos 2sin A C+=， ∵sin 0C ≠cos 2A A -=，即sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．∵0A <<π∴666A ππ5π-<-<，∴62A ππ-=，∴23A π=．（2）由ABC S =△1sin 2S bc A =4bc =，∵5b c +=，∴由余弦定理得：()22222cos 21a b c bc A b c bc =+-=+-=，∴a =18．【答案】（1）（2【解析】（1）由题意，120BDA ∠=︒在ABD △中，由余弦定理可得2222cos120AB BD AD BD AD =+-⋅⋅︒ 即2281642AD AD AD =++⇒=或6AD =-（舍），∴ABD △的面积11sin 4222S DB DA ADB =⋅⋅⋅∠=⨯⨯=． （2）在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD ABB BDA=∠，代入得sin B =B为锐角，故cos B ， 所以()sin sin 60sin 60cos cos60sin C B B B =︒-=︒-︒=， 在ADC △中，由正弦定理得sin sin AD ACC CDA=∠，，解得AC =。

A .直角三角形B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角解三角形2. _______________________________________________ 在厶 ABC 中，若 a 2b 2bc c 2,则A _____________________________ 。

3. _____________________________________________________ 在厶 ABC 中，若 b 2,B 30°,C 135°,则a _______________________ 。

4. 在厶 ABC 中，若 si nA : sin B : si nC 7 : 8 : 13，贝UC _____________ 。

°5. 在厶ABC 中，AB .、62, C 30°，则AC BC 的最大值是。

三、解答题一、选择题1. 在厶 ABC 中，A: B: C 1:2:3，则 a:b:c 等于（ ）A . 1: 2:3B . 3:2:1C . 1: .3:2D . 2^ 3 :1 2.在厶ABC 中，若角B 为钝角，则si nB si nA 的值（ ） A.大于零 B.小于零 C.等于零 D .不能确定 3. 在厶ABC 中，若A 2B ，则a 等于（）A . 2b si nAB . 2b cosAC . 2bsi nBD . 2b cosB 4. 在厶 ABC 中，若 Ig si nA Ig cos B Ig sin C Ig 2，则△ ABC 的形状是（ ） A.直角三角形B .等边三角形C .不能确定D .等腰三角形A B a b7.在厶ABC 中，若tan ，则△ ABC 的形状是（ ）2 a b形或直角三角形二、填空题解三角形一、选择题 1.在厶 ABC 中，若 C 900,a 6, B 300，则 c b 等于（ ）2.在厶ABC 中，求证:,cos B cos A 、A. 1B. 1C. 2.3D. 2.32. 若A ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） 1 A. sin A B. cosA C . tanA D .- tan A3. 在厶ABC 中，角A, B 均为锐角，且cos A sinB,则厶ABC 的形 状是（ ） A.直角三角形 B .锐角三角形C •钝角三角形D .等腰 三角形 4. 等腰三角形一腰上的高是 3，这条高与底边的夹角为 600，则底 边长为（ ）、,3 — A . 2 B . C . 3 D. 2.3 25. 在厶ABC 中，若b 2asin B ，则A 等于（ ）A . 300或60°B . 450或60° C . 120°或60° D . 30°或 150° 3.在锐角△ ABC 中，求证：si nA si nB sinC cosA cosB cosC 。

解三角形练习题一、选择题1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120° 2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3103、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ． 30°或150° 4、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ）A ．无解B ．一解C ． 二解D ．不能确定 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（）A ．3π B ．6πC ．32πD ． 3π或32π 6、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,108、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形9、在△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围是()A ．2>xB ．2<xC ．3342<<x D ． 3342≤<x 10、在△ABC 中，周长为7.5cm ，且sinA ：sinB ：sinC ＝4：5：6,下列结论：①6:5:4::=c b a ②6:5:2::=c b a ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④6:5:4::=C B A 其中成立的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 11、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ ）A ．23B ．43C ．23或3 D ．43 或23 12、已知△ABC 的面积为23，且3,2==c b ，则∠A 等于 （ ）A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°13、已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为 （ ）A ． 14B ．142C ．15D ．15214、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）A ． 450a 元B ．225 a 元C ． 150a 元D ． 300a 元15、甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A ．7150分钟 B ．715分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟16、飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为（ ） A ． 5000米B ．50002 米C ．4000米D ．24000 米17、在△ABC 中，10sin =a °，50sin =b °，∠C ＝70°，那么△ABC 的面积为（ ）A ．641B ．321 C ．161 D ．81 18、若△ABC 的周长等于20，面积是310，A ＝60°，则BC 边的长是（ ） A ． 5 B ．6 C ．7 D ．819、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ） A ．51<<x B ．135<<x C ．50<<x D ．513<<x20、在△ABC 中，若cCb B a A sin cos cos ==，则△ABC 是（ ） A ．有一内角为30°的直角三角形 B ．等腰直角三角形C ．有一内角为30°的等腰三角形D ．等边三角形 二、填空题21、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 22、在△ABC 中，===B c a ,2,33150°，则b ＝23、在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则a ＝ ；b ＝ 24、已知△ABC 中，===A b a ,209,181121°，则此三角形解的情况是25、已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 26、在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是20米30米150°三、解答题27、在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应角C 。

第一章解三角形正弦定理：1•正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径,2）化边为角：a : :b: csin A: sin B :sin C ；a sin Ab sin B a sin Ab sin B 'c sin C Jc sin C '）化边为角： a 2Rsin A, b2Rsin B, c 2Rsin Csin Aasin B b si nA a 4）化角为边：sin BJb sin CJ Jc sin C cab csin Asin B,sin C - 5）化角为边：2R2R2R.•三角形面积11 1S ABCabsinC -bcsi nA 一 acsin B 2 2 2三•余弦定理1•余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的2倍，即a 2b 2c 2 2bccosA 2 2 2b ac 2ac cos B 2 2 2 cab 2abcosC ,2 2 2 b c a2bc 2 2 . 2 a c b2ac 2 , 2 2a b c2aba即 sin Ab c 2R sin B sin Ca b c2•变形：1） sin sin sin C（其中R 是三角形外接圆的半径）a b c sinsinsinC .cos A2•变形：cosBcosC利用余弦定理判断三角形形状:A 4■护 n 屮 O COSJ 4 = “ Z ——> 0 o J 4 u 90°2bc ，所以/为锐角②若c 2 b 2 a 2 A 为直角< Ott .4 >90° .，所以上为钝角，贝卩一上―是钝角三角形三角形中常见的结论三角形三角关系：A+B+C=180 ° ; C=180 ° — (A+B); 三角形三边关系：两边之和大于第三边:4)三角形内的诱导公式:7)三角形的五心：垂心 --- 三角形的三边上的高相交于一点重心一一三角形三条中线的相交于一点 外心 -- 三角形三边垂直平分线相交于一点 内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点注意整体代入，如:a 2c 2b 2accosB 12设a 、b 、c 是 C 的角、C 的对边，则:①若,c 1<a 2匚os- ③若 两边之差小于第三边:a — c <b二-：：■在同一个三角形中大边对大角:sin A sin Bsin(A B) sinC, cos(A B)cosC, tan (A B)tan C,sm ------- 二 £intan~ tan(-2 2cos --------- = cos2c=sin —解三角形一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1 .在△ ABC 中，a = 2, b =』3, c = 1,则最小角为（）nnnA.正B.6C.42. A ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是 a 、b 、c ,设向量p = （a + c , b ）, q = （b — a , c -a ）,若p // q ,则角C 的大小为（ ） n n n 2 n A .6 B3 Dp 3. 在△ ABC 中，已知 |AB | = 4, |AC|= 1, S SBC = 3,则 AB AC 等于（ ）A . — 2B . 2C . ±4D .戈4. A ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,若 c=J 2, b = Q 6, B = 120 ° 贝U a 等于（）A. . 6B . 2C. .3D. 25. 在△ ABC 中，A = 120 ° AB = 5, BC = 7,则的值为（ ）sin C&下列判断中正确的是 （ ）A . △ ABC 中，a = 7, b = 14, A = 30 ° 有两解B . △ ABC 中，a = 30, b = 25, A = 150 ° 有一解a = 6,b = 9, A = 45° 有两解 b = 9,c = 10, B = 60° 无解° AB = ■ 3, AC = 1,则厶ABC 的面积是（ ）B^2^C. .3或于D.-^或11. 在△ ABC 中，如果 sin As in B + sin Acos B + cos Asin B + cos Acos B = 2,则厶 ABC 是 （ ）A .等边三角形B .钝角三角形C .等腰直角三角形D .直角三角形 12.A ABC 中，若 a 4+ b 4+c 4= 2c 2（a 2 + b 2）,则角 C 的度数是（）A . 60 °B . 45。