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解三角形三类经典类型类型一 判断三角形形状类型二 求范围与最值类型三 求值专题类型一 判断三角形形状
例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且,试判断三角形的形状．
C B A 2
2
2
sin sin sin +=解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin B=sin C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C
22
由 得 ∴三角形为等腰直角三角形．C B A 2
2
2
sin sin sin +=2
22c b a +=例２：在△ABC 中，若Ｂ=，２b=a+c,试判断△ABC 的形状.
60解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=得sinA+sinC=
603
由三角形内角和定理知sinA+sin()=,整理得 sin(A+)=1
A -
1203
30∴A+,所以三角形为等边三角形.
60,9030==A 即例3：在△ABC 中，已知，试判断△ABC 的形状．2
2
tan tan b a B A =
解：法1：由题意得 ，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即B
A
A B B A 22sin sin cos sin cos sin =
sin2A=sin2B
∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形．
2
π
=
+B A 法2：由已知得结合正、余弦定理得，22cos sin cos sin b a A B B A =
2
222222222b a bc
a c
b b a
c b c a a =-+⋅
-+⋅
整理得 ∴ 0))((2
2
2
2
2
=-+-c b a b a 2
2
222
c
b a b a =+=或即三角形为等腰三角形或直角三角形例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状；
（2）已知sinA=
，试判断三角形的形状．
C
B C
B cos cos sin sin ++解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC
整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形.(2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得
，化简整理得 c b ab
c b a a ac b c a a +=-+⋅+-+⋅222222220
))((222=+--c b c b a ∴即三角形为直角三角形．
2
2
2
c b a +=例5：在△ABC 中，（1）已知a －b=ccosB －ccosA ，判断△ABC 的形状．
（2）若b=asinC,c=acosB,判断△ABC 的形状．
解：（1）由已知结合余弦定理可得，整理得bc
a c
b
c ac b c a c b a 222
22222-+⋅
--+⋅=- ∴，∴三角形为等腰三角形或直角三角形
0))((222=-+-c b a b a 222c b a b a =+=或（2）由b=asinC 可知
，由c=acosB 可知整理得A B C a b sin sin sin ==ac
b c a a c 2222-+⋅=，即三角形一定是直角三角形，∠A=，∴sinC=sinB∴∠B=∠C，∴△ABC
222a c b =+ 90为等腰直角三角形．
例6：已知△ABC 中，，且，判断三角形的形状．5
4
cos =
A 3:2:1)2(::)2(=+-c b a 解：由题意令，则)0(32,2,2>=+==-k k c k b k a 23,2,2-==+=k c k b k a ∵,由余弦定理得 ∴ ∴ 即△ABC 为直5
4cos =
A 4=k 10,8,6===c b a 2
22c b a =+角三角形．
7.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，，则△ABC 的形状为c
c
b A 22cos 2
+=
______
8.在ABC 中，若
，则A= ∆tan 2,tan A c b
B b
-=类型二 求范围与最值
1、在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、满足
bc a c b =-+222，0>⋅BC AB ,2
3
=
a ,则c
b +的取值范围是 2、在△ABC 中，AD 为BC 边上的高线，AD ＝BC ，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，
c ，则＋的
b c c
b 最大值是________．
解析 因为AD ＝BC ＝a ，由a 2＝bc sin A ，解得sin A ＝，再由余弦定理得cos A ＝
1212a 2
bc
，得＋＝2cos A＋sin A，又b2＋c2－a2
2bc
2
11
(sin)
22
b c a b c
A
c b bc c b
⎛⎫
=+-=+-
⎪
⎝⎭
b
c
c
b
A∈(0，π)，最大值为5
解析几何或者几何法
1解析几何法：,BC2,AB,
ABC ABC
∆==∆
求面积的最大值。
2几何法：ABC
∆，知道B C=4，A C B的范围。
方程有解，利用判别式求范围。
附例：
4、已知中，B=，且有两解，则边a的取值范围是
ABC
∆3
,
3
=
b
π
ABC
∆
5、借力打力型求取值范围
附例：钝角三角形中，，若最大边和最小边长的比为m，则m的取值范围是
3
B
π
=
+-
33
ππ
αα
设钝角三角形的另外两个角是
6、已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是
7、在△ABC中若,则的取值范围
2
C B
∠=∠
AB
AC
8、已知中，B=，且有一解，则边a的取值范围是
ABC
∆3
,
3
=
b
π
ABC
∆
9、已知中,,若该三角形有两解,则的取值范围是
ABC
∆,2,45
a x
b B
=== x
10、钝角三角形ABC的三边长为a,a+1,a+2()，则a=
a N
∈
11、在锐角中，，，则的取值范围为 .
ABC
∆1
BC=2
B A
=AC
12、设的内角A，B，C所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，
ABC
∆c
b
a,
,
且，，则为
C
B
A>
>C
A2
=C
B
A sin
:
sin
:
sin
14、在锐角三角形中，，则的取值范围是
ABC
∆B
A2
=
c
b
b
+
)
2
1
,
3
1
( B
A
C
a
c
b
