高一数学必修5第一章导学案
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高一数学必修5第一章导学案
课题：§1.1.1 正弦定理
编写：高一数学组 审核： 时间：2014年7月
一、学习目标：
1. 掌握正弦定理的内容；
2. 掌握正弦定理的证明方法；
3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．
教学重点：正弦定理的内容及其应用。
教学难点：弦定理的证明方法及其应用。
二、问题导学：
1、复习： 固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动． C的大小与它的对边AB的长度之间的数量关系______________ ，用一个等式_________把这种关系精确地表示出来。
2、正弦定理内容内：__________________________ _____________ 表达式：_____________
三、问题探究：
1、探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc，从而在直角三角形ABC中，_____________ ．
2、那么对于任意的三角形，以上关系式_________ 仍然成立。
当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，
有CD=sinsinaBbA，则sinsinabAB， 同理可得sinsincbCB，从而____________。
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，__________________________________________。
3、正弦定理
（1）定理内容：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sinsinabABsincC
试试：（1）在ABC中，一定成立的等式是（ ）．
A．sinsinaAbB B.coscosaAbB C. sinsinaBbA D.coscosaBbA
（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于 ．
（2）定理理解：
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使sinakA， ，sinckC；
（2）sinsinabABsincC等价于 ，sinsincbCB，sinaAsincC．
（3）正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；b ．
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，
如sinsinaABb；sinC ．
（4）__________________________ 叫作解三角形．
4、典型例题 例1. 在ABC中，已知45A，60B，42acm，解三角形．
例2. 在6,45,2,,ABCcAabBC中，求和．
四、课堂练习：
1. 在ABC中，若coscosAbBa，则ABC是（ ）.
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
2. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，
则a∶b∶c等于（ ）.
A．1∶1∶4 B．1∶1∶2 C．1∶1∶3
D．2∶2∶3
3. 在△ABC中，若sinsinAB，则A与B的大小关系为（ ）.
A. AB B. AB
C. A≥B D. A、B的大小关系不能确定
4. 已知ABC中，sin:sin:sin1:2:3ABC，则::abc= ．
5. 已知ABC中，A60，3a，则
sinsinsinabcABC= ．
6、在ABC中，已知45B，60C，12acm，解三角形．
7、在3,60,1,,ABCbBcaAC中，求和．
五、自主小结： 1. 正弦定理： ．
2. 正弦定理的证明方法：① ． ② ． ③ ．④ ．
3．应用正弦定理解三角形：① ． ② ．
六、 知识拓展
sinsinabAB2sincRC，其中2R为外接圆直径.
课后作业：
1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120，解此三角形．
2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求实数k的取值范围为．
课题：§1.1.2 余弦定理
编写：高一数学组 审核： 时间：2014年7月
一、教学目标：
1. 掌握余弦定理的两种表示形式；
2. 证明余弦定理的向量方法；
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
教学重点：掌握余弦定理的两种表示形式并会用。
教学难点：定理证明及熟练应用。
二、问题导学：
1、复习：（1）在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 =
= ．
（2）在△ABC中，已知10c，A=45，C=30，解此三角形．
2、（1）在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b.
∵AC ，∴ACAC
同理： 2222cosabcbcA， 2222coscababC．
3、余弦定理：三角形中任何一边的
等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．而222cos2bcaAbc， ，
．
4、余弦定理理解： （1）若C=90，则cosC ，这时222cab
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
（2）余弦定理及推论的基本作用：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角．
5、应用（1）△ABC中，33a，2c，150B，求b．
（2）△ABC中，2a，2b，31c，求A．
三、问题探究：
例1. 在△ABC中，已知3a，2b，45B，求,AC和c．
例2. 在△ABC中，已知三边长3a，4b，37c，求三角形的最大内角．
变式（1）：在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝910，则BC＝________．
变式（2）：在ABC中，若222abcbc，求角A．
cabABC四、课堂练习：1. 已知a＝3，c＝2，B＝150°，则边b的长为（ ）.
A. 342 B. 34 C. 222 D. 22
2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）.
A．60 B．75 C．120 D．150
3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）.
A．513x B．13＜x＜5
C． 2＜x＜5 D．5＜x＜5
4.
在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________．
5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足222bacab，则∠C等于
．
6 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝1314，求最大角的余弦值．
7. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求ABBC的值.
五、知识拓展
在△ABC中，若222abc，则角C是直角；若222abc，则角C是钝角；
若222abc，则角C是锐角．
六、自主小结
1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
2. 余弦定理的应用范围：① 已知三边，求三角；② 已知两边及它们的夹角，求第三边．
课题：§1.1 正弦定理和余弦定理（练习）
编写：高一数学组 审核： 时间：2014年7月
一、教学目标：
1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；
2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．
教学重点：熟练应用。
二、问题导学：
1、正弦定理 表达式 。
2、余弦定理 表达式 。
3、在解三角形时：已知三边求角，用 定理；
已知两边和夹角，求第三边，用 定理；已知两角和一边，用 定理．
4、在△ABC中，已知 A＝6，a＝252，b＝502，解此三角形．
三、问题探究：
1、在△ABC中，已知下列条件，解三角形.
① A＝6，a＝25，b＝502；
② A＝6，a＝5063，b＝502；
③ A＝6，a＝50，b＝502.
解的个数情况会发生变化原因
2、用如下图示分析解的情况（A为锐角时）．
babababaa已知边a,b和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解abCH=bsinA
试试：
（1）、 用图示分析（A为直角时）解的情况
（2）用图示分析（A为钝角时）解的情况
3、典型例题
例1. 在ABC中，已知80a，100b，45A，试判断此三角形的解的情况．
变式：在ABC中，若1a，12c，40C，则符合题意的b的值有_____个．
例2. 在ABC中，60A，1b，2c，求sinsinsinabcABC的值．
