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高二数学下：13.6《实系数一元二次方程》教案(2)(沪教版)

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用心 爱心 专心
13.6（2）实系数一元二次方程
一、教学内容分析
本节课是“实系数一元二次方程”的第二节课，上一节课主要讨论了实系数一元二次方
程在复数集中解的情况.学生会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三
项式进行因式分解；能理解实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数的关系，并会进行简
单应用.本节课将通过练习巩固以上知识，并检验学生对以上知识的掌握程度.
课本中的例题3是“实系数一元二次方程”这一节的重点和难点，本节课将引导学生进
行重点探究.
二、教学目标设计
进一步掌握在复数集中解实系数一元二次方程和对二次三项式进行因式分解；掌握实系
数一元二次方程有虚数根时的根与系数的关系及其应用.
三、教学重点及难点
对实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数关系的灵活应用.

四、教学用具准备

电脑、实物投影仪
五、教学流程设计

六、教学过程设计
课堂小结并布置作业
复习旧知
巩固练习
例题精析
课堂练习
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（一）复习旧知
上一节课我们主要学习了哪些内容？我们一起来回顾一下.

1.实系数一元二次方程20axbxc在复数集C中解的情况：
（1）当240bac时，原方程有两个不相等的实数根
2
42bbacxa


；

（2）当240bac时，原方程有两个相等的实数根
2bxa

；

（3）当240bac时，原方程有一对共轭虚根
21422bacbxiaa，2
2
422bacbxiaa


.

2、二次三项式2axbxc在复数范围内分解因式：
2
12
()()axbxcaxxxx

.

3、实系数一元二次方程20axbxc的韦达定理：

12bxxa，12
c
xxa
.

特别地，当240bac时，12xx和为一对共轭虚根，即21xx—，∴2121||xxx，
121
2Rexxx
.

[说明]以上三点可以让学生回答，而第3点中的“2121||xxx，1212Rexxx”可以
让学生在老师的引导下发现.
（二）巩固练习
1.已知1-i是实系数一元二次方程20xpxq的一个根，则pq= .
2.若两个数之和为2，两个数之积为3，则这两个数分别为 .
3.在复数集中分解因式：2321xx= .
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4.若方程220()xaxaR有虚数根z，则|z|= .
参考答案：
1. -4

2. 12i和12i

3. 12123()()3333xixi
4. 2
（三）例题精析
例1、已知方程210()xpxpR的两根为1x、2x，若121xx，求实数p的值.
分析：要求实数p的值，即要利用已知条件121xx，从而应考虑1x、2x为实根还是虚
根，因此，应对0和0讨论.
解：（见课本P92例3）
[说明]对于△<0的情形，也可考虑设1(,)xabiabR，

则2xabi，由1221xxbi得12b，

又由2221211||xxxab，得32a，所以1223pxxa.
设问①：若将题设中的“两根”改为“两虚根”，则如何作答？
设问②：我们知道：当1x、2x为实数时，
22
12121212
()()4xxxxxxxx

，而当1x、2x为虚数时，上式是否仍然成

立？请说明理由.
[说明]可以给点时间让学生思考和讨论.

因为当z为虚数时，22zz,所以当1x、2x为虚数时，上式不成立.可以适当修改为
222
1212121212
|||()||()4|xxxxxxxxxx

(*)

该结论显然成立.
设问③：大家尝试一下，能否利用上述结论(*)来解答本例？
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因为2222121212121()()44xxxxxxxxp，
所以3p或5p.
[说明]在已知12xx的值时，利用结论(*)可以避免对0与0的讨论.
设问④：本例删除已知条件“121xx”后，请用m来表示12xx.
将例1的“两根之差的绝对值”改为“两根的绝对值之和”，可以有以下例题.
例2、已知关于x的方程222440xaxaa()aR的两根为、，且
3
，求实数a的值.

解：2244(44)16(1)aaaa.
当0，即1a时，、为实数，且
22
44(2)0aaa

，

所以23a，又1a，所以32a.
当0，即1a时，、为一对共轭虚数，所以23
得294，所以94，所以29444aa得72a或12a，
因为1a，所以12a. 故32a或12a.
[说明]（1）前面有例1的分析与探讨，例题2可考虑让学生自己完成.
（2）提醒学生注意：对0与0的讨论.
（3）例2删除已知条件“3”后，也可用a来表示.

例3、已知关于x的方程2(12)2(1)0axixai()aR有实数根，求实数a的值.
解：设x0是原方程的两个根，则200(12)2(1)0axixai，即
2
000
(2)(22)0axxaxai

，所以200020220axxaxa，

解该方程组得0a或3a.
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[说明]补充例3主要是考虑到练习册第58页习题13．6 B组第5题与例3属同一类问题，可
以视情况选用.若时间允许，例3还可以考虑在求出a的值后，解该方程.
（四）课堂练习

1.若、是方程270xx的两个根，则2= .
2.见课本P93练习13.6（2）T4.
[说明] 练习第1题可以直接用求根公式，也可以使用结论(*).其答案是27.
（五）课堂小结
本节课是在复习与巩固上节课主要内容“实系数一元二次方程解的情况和韦达定理”的
基础上，通过例题1和例题2，进一步探讨实系数一元二次方程有虚数根时的韦达定理的应用，

应灵活利用2121||cxxxa，1212Rebxxxa.
注意分类讨论这一数学思想的应用，例题1和例题2都对0与0（即实根与虚
根）进行了讨论，但合理利用以下等式：
222
1212121212
|||()||()4|xxxxxxxxxx

，可以避免分类讨论.

（六）课后作业
1．书面作业：练习册P55 习题13．6 A组 T6.8.
P57 习题13．6 B组 T4.5.
2．思考题：（补充题及备选题）

（1）若方程22810()xxaaR有一个虚根的模为5，则实数a的值
为 .
（2）已知关于x的方程220()xxmmR的两根为、，求.
（3）已知关于x的方程2(2)20()xkixkikR有实根，求实数k的值，并解
方程.
参考答案：（1）9

（2）2,0121,02,1mmmmm
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（3）当22k时，原方程的两根为2,22i；
当22k时，原方程的两根为2,22i.
[说明]补充的思考题，可作为学有余力的同学的能力训练题，也可作为教师的备选题．

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沪教版高中数学高二下册第十三章13.1复数的基本概念 教案

沪教版高中数学高二下册第十三章13.1复数的基本概念 教案

§13.1复数的基本概念[教学目标]1、知道数集扩展的意义及扩展的基本原理；掌握虚数单位i 的意义，掌握复数及其有关概念；掌握两复数相等的充要条件；2、从一元二次方程中引出复数的概念，介绍数集的发展。

3、体会数学内部的矛盾和运动对数学发展的作用。

[教学重点和难点] 虚数单位i 的意义 [教学过程]一、数集的扩展在自然数集中，方程a x b +=并不总能求解，添加负数成为整数集Z ； 在整数集Z 中，方程ax b =并不总能求解，添加分数成为有理数集Q ；在有理数集Q 中，方程220x -=没有解，添加无理数成为实数集R ； 在实数集R 中，方程210x +=没有解，添加虚数单位i 成为复数集C ，使得此方程有解。

i 叫做虚数单位，并规定： （1）21i =- ； （特定的字母 i R ∉）（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立 2()1i -=-Q ，所以-1的平方根为i ±i =±）二、对i 与实数的运算（同x 的运算）三、复数的引入及相关概念 1、形如(,)z a bi a b R =+∈的数，我们把它们叫做复数． 复数a +bi (a , b ∈R )由两部分组成，实数a 称为复数z 的实部，记作Re z a =；实数b 称为复数z 的虚部，记作Im z b =例1、指出下列复数的实部和虚部 （1）134z i =-;（2）2z =;(3) 3cos sin z i θθ=+;(4)4z 2、对于复数(,)z a bi a b R =+∈当b =0时，z a =就是实数， 当b ≠0时，z a bi =+是虚数，其中a =0且b ≠0时z bi =称为纯虚数。

例2、已知复数22(1)(2)()z m m m i m R =-+--∈，当m 取何值时，z 是：（1）实数；（2）虚数；（3）春虚数；（4）0？解：（1）2201,2m m m orm --=⇒=-= （2）2101m m -=⇒=±(,)z a bi a b R =+∈ 叫做代数式实部和虚部都是实数注意：a =0仅是复数z a bi =+ 为纯虚数的必要条件，若a =b =0，则a +bi =0是实数（3）2210120m m m m ⎧-=⇒=⎨--≠⎩ （4）2210120m m m m ⎧-=⇒=-⎨--=⎩ 练习1．当m 为何实数时，复数z ＝2223225m m m ---+(m 2+3m －10)i ；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．解：（1）即223100250m m m ⎧+-=⎨-≠⎩，解得m =2，∴ m =2时，z 为实数。

高二数学解题技巧：判别式法讲解

高二数学解题技巧：判别式法讲解

高二数学解题技巧：判别式法讲解
查字典数学网为大家提供高二数学解题技巧：判别式法讲解一文，供大家参考使用：高二数学解题技巧：判别式法讲解实系数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0) ①的判别式△=b2-4ac 具有以下性质：0，当且仅当方程①有两个不相等的实数根△ =0，当且仅当方程①有两个相等的实数根;0，当且仅当方程②没有实数根。

对于二次函数y=ax2+bx+c (a0)②它的判别式
△=b2-4ac具有以下性质：0，当且仅当抛物线②与x轴有两个公共点;△ =0，当且仅当抛物线②与x轴有一个公共点;0，当且仅当抛物线②与x轴没有公共点。

利用判别式是中学数学的一种重要方法，在探求某些实变数之间的关系，研究方程的根和函数的性质，证明不等式，以及研究圆锥曲线与直线的关系等方面，都有着广泛的应用。

在具体运用判别式时，①②中的系数都可以是含有参数的代数式。

从总体上说，解答数学题，即需要富有普适性的策略作宏观指导，也需要各种具体的方法和技巧进行微观处理，只有把策略、方法、技巧和谐地结合起来，创造性地加以运用，才能成功地解决面临的问题，获取良好的效果。

以上就是高二数学解题技巧：判别式法讲解的所有内容，希望对大家有所帮助！。

(沪科版)八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程的根与系数的关系

(沪科版)八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程的根与系数的关系

（沪科版）八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程的根与系数的关系一. 教材分析《一元二次方程的根与系数的关系》是沪科版八年级数学下册的一章节，主要介绍了如何通过一元二次方程的根来确定方程的系数，以及根的判别式、根与系数之间的关系。

这一章节的内容是整个初中数学的重要基础，对于学生理解一元二次方程的性质，以及解决相关问题具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本章节之前，已经掌握了一元二次方程的解法，对代数式、方程式的基本概念有一定的了解。

但部分学生对于根与系数之间的关系理解不够深入，对于如何运用根的判别式解决实际问题还不够熟练。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，引导学生通过实际问题来理解根与系数的关系，提高学生的解题能力。

三. 教学目标1.理解一元二次方程的根与系数之间的关系；2.学会运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况；3.能够运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系，根的判别式的运用；2.教学难点：如何引导学生通过实际问题来理解根与系数的关系，提高学生的解题能力。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生通过实际问题来探索一元二次方程的根与系数的关系，提高学生的解题能力。

六. 教学准备1.准备相关的一元二次方程案例；2.准备与本章节相关的练习题；3.准备PPT，用于展示案例和讲解知识点。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考一元二次方程的根与系数之间的关系。

例如，已知一个一元二次方程的两个根分别为2和-3，求该方程的系数。

2.呈现（15分钟）通过PPT展示一元二次方程的根与系数之间的关系，讲解根的判别式的运用。

结合案例，让学生理解并掌握如何通过一元二次方程的根来确定方程的系数。

3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，运用一元二次方程的根与系数的关系来解决实际问题。

2023-2024学年(沪科版)八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程

2023-2024学年(沪科版)八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程

2023-2024学年（沪科版）八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程一. 教材分析2023-2024学年沪科版八年级数学下册的教材以一元二次方程为主题，通过本节课的学习，让学生掌握一元二次方程的定义、解法及其应用。

教材内容主要包括：一元二次方程的定义、解法（因式分解法、求根公式法）、一元二次方程的应用等。

本节课的教学内容是学生学习二次函数、不等式等知识的基础，对于学生形成完整的数学体系具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、代数式、方程等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力。

但对于一元二次方程的解法及应用，部分学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，针对性地进行教学。

三. 教学目标1.理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法（因式分解法、求根公式法）；2.能够应用一元二次方程解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力；4.激发学生的学习兴趣，提高学生对数学学科的认同感。

四. 教学重难点1.一元二次方程的定义；2.一元二次方程的解法（因式分解法、求根公式法）；3.一元二次方程的应用。

五. 教学方法采用问题驱动、案例教学、分组讨论、自主探究等教学方法，以学生为主体，教师为指导，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习兴趣和积极性。

六. 教学准备1.教学课件；2.相关练习题；3.教学素材（如实际问题案例等）。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，引出一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的定义，通过示例让学生理解一元二次方程的形式。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，探索一元二次方程的解法（因式分解法、求根公式法），教师巡回指导。

4.巩固（10分钟）让学生自主解决一些一元二次方程的实际问题，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：一元二次方程有哪些应用场景？如何解决实际问题？6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，让学生复述一元二次方程的定义、解法及应用。