[人教A版]高中数学必修一(全册)导学案及答案汇总

高中数学必修1导学案§1.1.1集合的含义及其表示[自学目标]1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合.[知识要点]1． 集合和元素(1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉.2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性.3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图.4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作*N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R .[预习自测]例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.（1）小于5的自然数;（2）某班所有高个子的同学;（3）不等式217x +>的整数解;（4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1．下列说法正确的是（ ）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合（B ）0与 {}0的意义相同（C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集（D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素2．下列四个集合中，是空集的是 （）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．}01|{2=+-x x x3．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B= .[归纳反思]1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。

1.3.1 函数的基本性质课堂导学三点剖析一、函数单调性【例1】 证明函数y=x-x1在(0,+∞)上单调递增. 思路分析:作为证明单调性的要求,不能只作简单定性分析,还要用定义严格证明.证明:设任意x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=x 1-11x -(x 2-21x )=(x 1-x 2)+21x -11x =(x 1-x 2)+2121)(x x x x -=(x 1-x 2)(1+211x x ). ∵0<x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1x 2>0,1+211x x >0. 因此（x 1-x 2）(1+1x 1x 2)<0,∴f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).∴f(x)=x-x1在（0，+∞）上单调递增. 温馨提示1.函数单调性的证明不同于对它判断，应严格按单调性定义加以证明.2.利用定义证明单调性，一般要遵循：(1)取值(任取给定区间上两个自变量);(2)作差变形〔将f(x 1)-f(x 2)进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式，且有(x 1-x 2)的因式〕;(3)判断符号(根据条件判断差式的正负);(4)得出结论.3.有时需要通过观察函数的图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这是研究函数性质的一种常用方法.【例2】 f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，又f(2)<f(π),试判断f(-2)与f(2)的大小.思路分析：解决此题的关键是将f(-2)与f(2)置于某一单调区间内再进行比较大小. 解：由于f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，因此x=1是二次函数的对称轴.又∵1<2<π,f(2)<f(π),可以得f(x)在［1,+∞)上单调递增，∴二次函数的图象开口方向向上，f(x)在(-∞,1)上单调递减.由于0与2关于x=1对称，∴f(2)=f(0).∵-2<0,∴f(-2)>f(0),即f(-2)>f(2).温馨提示利用函数的单调性比较两函数值的大小，关键是将所比较的数值对应的自变量转化到同一单调区间上，才能进行比较.二、函数的最值【例3】 求f(x)=x+1-x 的最小值.思路分析：该题函数f(x)由x 与1-x 相加构成，x 与1-x 具有相同的单调性，因此该题可借助单调性直接解决，同时由于x 的次数不一致，出现了相当于2倍的关系，因此该题也可先转化为二次函数再利用二次函数的单调性解决.解法一：f(x)=x+1-x 的定义域为［1,+∞］,在［1,+∞］上x 、1-x 同时单调递增，因此f(x)=x+1-x 在［1,+∞］上单调递增，最小值为f(1)=1+11-=1.解法二：f(x)=x+1-x 的定义域为［1,+∞］，令1-x =t ≥0,x=t 2+1, ∴f(x)=g(t)=t 2+1+t=t 2+t+1=(t+21)2+43(t ≥0).由于g(t)的对称轴t=-21在［0,+∞)的左侧，g(t)的开口方向向上，如右图所示.二次函数在［0,+∞)上单调递增，当t=0时,g(t)min =1，∴f(x)的最小值为1.温馨提示1.本题的两种解法都是利用函数的单调性求最值，其中解法二是利用换元法，将原函数转化为已知二次函数在给定区间上的最值问题，该方法要特别注意正确确定中间变量的取值范围.2.利用单调性求最值，其规律为：若f(x)在［a,b ］上单调递增，则f(a)≤f(x)≤f(b)，即最大值为f(b),最小值为f(a);若f(x)在［a,b ］上单调递减，则f(b)≤f(x)≤f(a)，即最大值为f(a),最小值为f(b).三、函数单调性的应用【例4】 (1)若函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4］上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)y=kx 2-32x+1在［0,+∞)上单调递减，求实数k 的取值范围. 思路分析：(1)二次函数的单调区间依赖于其对称轴的位置，处理二次函数的单调性问题需对对称轴进行讨论.(2)y=kx 2-32x+1中的k 是否为零要注意讨论. 解：(1)f(x)=x 2+2(a-1)x+2，其对称轴为x=12)1(2⨯--a =1-a ，若要二次函数在(-∞,4］上单调递减，必须满足1-a ≥4,即a ≤-3.如图所示.(2)k=0时，y=-32x+1满足题意；k>0时，抛物线开口向上，在［0,+∞)上不可能单调递减；k<0时，对称轴x=k31<0在［0,+∞］上单调递减. 综上，k ≤0.温馨提示f(x)在（-∞,4］上是减函数，只说明区间（-∞,4］是函数f(x)在定义域上单调递减区间的一个子集.各个击破类题演练1证明二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a<0)在区间（-∞，-a b 2）上是增函数. 证明：设x 1、x 2∈(-∞,-ab 2)，且x 1<x,则f(x 1)-f(x 2)=ax 12+bx 1-ax 22-bx 2=(x 1-x 2)［a(x 1+x 2)+b ］. ∵x 1,x 2∈(-∞,-ab 2), ∴x 1+x 2<-ab ，∴a(x 1+x 2)>-b, ∴a(x 1+x 2)+b>0.∵x 1-x 2<0，∴f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).∴y=ax 2+bx+c 在（-∞,-a b 2］上单调递增. 变式提升1若函数f(x)=x+x1定义在(0,+∞)上，试讨论函数的单调区间. 解析：设任意x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2, 则f(x 1)-f(x 2)=x 1+11x -(x 2+21x ) =(x 1-x 2)+2112x x x x - =(x 1-x 2)(1-211x x ) =(x 1-x 2)·21211x x x x -. 由于x 1-x 2<0,x 1x 2>0,只有x 1x 2-1>0或x 1x 2-1<0时，f(x)才具有单调性，而显然0<x 1<x 2≤1时，有x 1x 2<1,x 1x 2-1<0,f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2).∴f(x)在(0,1)上单调递减.当1≤x 1<x 2时，则有x 1x 2>1,从而x 1x 2-1>0,f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).∴f(x)在［1,+∞］上单调递增.当0<x 1<1<x 2时，x 1x 2与1的大小关系无法确定，在(0,+∞)上不具备单调性.综上，f(x)在(0,1)上单调递减，在［1，+∞］上单调递增.类题演练2f(x)在(0,+∞)上单调递减，那么f(a 2-a+1)与f(21)的大小关系是_______________. 解析：∵a 2-a+1=(a-21)2+43>21, 又∵f(x)在（0，+∞）上单调递减，∴f(a 2-a+1)<f(21). 答案：f(a 2-a+1)<f(21) 变式提升2如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f(2-t)，比较f(1),f(2),f(4)的大小.解析：∵f(2+t)=f(2-t),∴f(x)的对称轴为x=2.故f(x)在［2，+∞］上是增函数，且f(1)=f(3).∴f(2)<f(3)<f(4),即f(2)<f(1)<f(4).类题演练3已知函数f(x)=x x x 2122++,x∈［1,+∞］，求函数f(x)的最小值.解析：f(x)=x+x 21+2, 设1≤x 1<x 2,f(x 2)-f(x 1)=(x 2-x 1)(1-2121x x ). 2x 1x 2>1,0<2121x x <1,得1-2121x x >0, 又x 2-x 1>0,∴f(x 2)-f(x 1)>0,f(x 1)<f(x 2),∴f(x)在区间［1，+∞］上为增函数，∴f(x)在区间［1，+∞］上的最小值为f(1)=27. 变式提升3求函数f(x)=-x 2+2ax+1在［0,2］上的最大值.解析：f(x)=-x 2+2ax+1=-(x 2-2ax+a 2)+a 2+1=-(x-a)2+a 2+1.由于f(x)的对称轴x=a 对于［0,2］有三种位置关系，如下图所示.当a<0时，f(x)在［0,2］上单调递减，则最大值为f(0)=1;当0≤a≤2时，x=a∈［0,2］，则最大值在顶点处取得，为f(a)=a 2+1;当a>2时，f(x)在［0,2］上单调递增，则最大值为f(2)=4a-3.综上，f(x)在［0,2］上的最大值为 g(a)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤+<.2,34,20,1,0,12a a a a a 类题演练4二次函数y=x 2+mx+4在(-∞,-1］上是减函数，在［-1,+∞)上是增函数，则：（1）m 的值是多少？（2）此函数的最小值是多大？解析：（1）由于y=x 2+mx+4在（-∞,-1］上是减函数，在［-1，+∞）上是增函数，∴其对称轴为x=-1，故m=2.(2)y min =3.变式提升4已知f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上单调递增，求a 的取值范围. 解析：f(x)=21++x ax =221)2(+-++x a x a =a+221+-x a . ∴y-a=221+-x a 与y ′='x k 比较，知f （x ）要在区间（-2，+∞）上单调递增只须1-2a<0即可.∴a>21. 温馨提示本题关键是将它化为y=m+cx n +型，再根据函数y=x k 的单调性来考虑a 应满足的条件，从而求出a 的取值.。

1.1 集合知识导学集合是一个原始的、不加定义的概念.我们现在刚开始接触集合的概念,最好还是要通过一些实例了解集合的含义.了解集合的含义时要考虑集合元素的三个性质即确定性、互异性和无序性,这有助于我们对集合概念的理解.元素、集合的字母表示,以及元素与集合之间的属于或不属于关系,可在具体运用中逐渐熟悉.集合语言是现代数学的基本语言,也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言.集合语言通常可以分为文字语言、符号语言和图形语言,将集合的三种语言之间进行相互的转化,或将集合语言转化为自然语言、几何语言,有助于弄清楚集合是由哪些元素构成的,有助于提高分析和解决问题的能力.要辩证理解集合和元素这两个概念:(1)集合和元素是两个不同的概念,符号∈和∉是表示元素和集合之间关系的,不能用来表示集合之间的关系.例如{1}∈{1,2,3}的写法就是错误的,而{1}∈{{1},{2},{3}}的写法才是正确的.(2)一些对象一旦组成了集合,那么这个集合的元素就是这些对象的全体,而非个别现象.例如对于集合{x∈R |x≥0},就是指所有不小于0的实数,而不是指“x可以在不小于0的实数范围内取值”,不是指“x是不小于0的一个实数或某些实数,”也不是指“x是不小于0的任一实数值”……(3)集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符合条件.在集合的表示方法上,有列举法和描述法,应在正确表示的基础上牢固把握两种方法的模式,深入理解问题的本质,根据具体问题选用合理简洁的表示方法.此外,还要会用Venn图的方法直观形象地表示集合.在用描述法表示集合时,对元素公共属性准确理解是关键.只有准确抓住代表元素的意义及其公共属性才能简化集合,从而将集合语言转化为文字语言、图形语言.习惯上借助数轴来表示数的集合,借用平面直角坐标系来表示有序实数对集合,从而实现数与形的结合,有助于我们思路解析和解决数学问题.子集:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a ∈B),则称集合A为集合B的子集,记作:A⊆B或B⊇A,读作:“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”,即便有了子集的定义两个集合间也不一定是包含关系.如A={x|x为高一(1)班的男生},B={x|x为高一(1)班的女生},则A与B不具有包含关系,此时可记作:A B 或B A.子集的有关性质:①A=B⇔A⊆B且B⊆A.②A B,B⊆C⇒A C;A⊆B,B C⇒A C.③若集合A有n个元素,则A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1个,非空子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.并集:x∈A∪B,则x∈A或x∈B,这里的“或”是指x∈A;x∈B;x同时属于A与B,这三种情况.三个集合的交、并运算应遵循“按顺序计算”“有括号先算括号”的原则.如A∪B∩C,应先算“∪”再算“∩”.一般说,A∪B∩C≠A∪(B∩C).另外,(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C).A⊆B⇔A⊇ Bcard(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C).(card(A)表示有限集合A元素的个数)交集:要从x∈A∩B,则x∈A且x∈B理解,要理解这里的“且”;①A∩B是一个新集合的表达式,是由A与B的所有的公共元素组成的;②当A与B没有公共元素时,不能说它们没有交集,而是交集为∅,同时结合集合的一些特征去理解.补集:由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A的补集.理解补集的概念首先要在全集的基础上理解,没有全集就谈不上补集,另一个要注意的是一个集合与它的补集的交集是∅.记忆口诀:集合平时很常用,数学概念有不同.理解集合并不难,三个要素是关键.元素确定和互异,还有无序要牢记.集合不论空不空,总有子集在其中.集合用图很方便,子交并补很明显.图1-1-4疑难导析列举法:①有些无穷集合亦可用列举法表示,如所有正奇数组成的集合:{1,3,5,7,…};②a与{a}不同:a表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只有一个元素.描述法:①在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分.如:{直角三角形};{大于10上标4的实数};②错误表示法:把R写成{实数集}或{全体实数};③在用描述法表示集合时,对元素公共属性准确理解是关键.当用列举法和描述法表示集合时,应在正确表示的基础上牢固把握两种表示方法的模式,深入理解问题的本质,根据具体问题选用合理简洁的表示方法.此外,还要会用Venn图的方法直观形象地表示集合.习惯上借助数轴来表示数的集合,借用平面直角坐标系来表示有序实数对集合,从而实现数与形的结合，有助于我们分析和解决数学问题.明确集合中元素的特征及元素和集合的关系.集合元素的确定性,是指集合中的元素是确定的,即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素,两者必具其一,它是判断一组对象是否形成集合的标准;互异性是指给定的一个集合的元素中,任何两个元素都是不同的,因而在同一个集合中,不能重复出现同一元素,这一点常被我们所忽略;元素和集合的关系是∈和∉,二者有且只有一种成立.对于集合与集合相等,可与实数中的结论“若a ≥b,且b ≥a,则a=b ”相类比,这种由某类事物已有的性质,通过类比、联想的方式猜想另一类相似事物的性质,是数学逻辑思维的重要思维方法.集合相等可从元素完全相同的角度去理解,若从子集的角度去理解,可提升对集合相等的理解.证明两个集合相等,分清元素的性质及构成情况是关键.问题导思教科书中的解释是根据集合论的创始人德国数学家康托尔关于集合的论述而来的.康托尔的一些见解至今仍然是很严谨的,但也有某些观点或解释被后来的数学家们作了修正.现在看来,“对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的”(通常称为集合中元素的确定性)这句话,最好解释为:“对于一个给定的集合,它的元素的意义是明确的”.列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法.要注意,一般无限集,不宜采用列举法,因为不能将无限集中的元素一一列举出来,而没有列举出来的元素往往难以确定.使用描述法时,应注意六点:①写清集合中元素的代号;②说明该集合中元素的性质;③不能出现未被说明的字母;④多层描述时,应当准确使用“且”“或”;⑤所有描述的内容都要写在大括号内;⑥用于描述的语句力求简明、确切.用描述法表示集合,要特别注意这个集合中的元素是什么,它应该符合什么条件,从而准确理解集合的意义.补集具有相对性,它是相对于全集而言的,全集改变了,补集也相应地改变.典题导考绿色通道集合中的元素是确定的,某一元素a 要么a ∈A,要么a ∉A,两者必居其一,这也是判断一组对象能否构成集合的依据.此题是生活中的实例,说明生活处处皆学问.典题变式 下列对象不能构成集合的是…( )①方程x 2-9=0的实数根②我国近代著名的数学家③联合国常任理事国④空气中密度大的气体A.①②B.①④C.①②④D.②④答案:D黑色陷阱在做关于集合的基本概念的辨析题时应严密,紧扣概念,对每个概念不仅要记住,而且要理解其本质.另外要注意的是:对于错误的说法,举一个反例即可.典题变式1.下列说法正确的是( )①任意集合必有子集②1,0.5,23,21组成的集合有四个元素③若集合A 是集合B 的子集,集合B 是集合C 的子集,则集合A 是集合C 的子集④若不属于集合A 的元素也一定不属于集合B,则B 是A 的子集A.①②③B.①③④C.①③D.①②③④ 答案:B2.下面六种表示法:①{x=-1,y=2};②{(x,y)|x=-1,y=2};③{-1,2};④(-1,2);⑤{(-1,2)};⑥{(x,y)|x=-1或y=2}.能正确表示方程组⎩⎨⎧=+-=+03,02y x y x 的解集的是( )A.①②③④⑤⑥B.①②④⑤C.②⑤D.②⑤⑥ 答案:C黑色陷阱在用列举法表示集合时,容易发生的错误:一是列举出来的元素不完整,如将(1)中的答案写成{1,4,9,16};二是列举的元素有重复,如把第(2)小题答案写成{1,1,2};三是不明确集合中的元素,把第(3)小题的答案写成{3,2}等.典题变式 用列举法表示下列集合:(1){自然数中五个最小的完全平方数};(2){x|(x-1) 2 (x-2)=0};(3){(x,y)|⎩⎨⎧=-=+182y x y x }. 答案:(1){0,1,4,9,16};(2){1,2};(3){(3,2)}.黑色陷阱对于集合中元素的求法,要看清原来是用什么方法表示出的,有时要分类讨论.如果不注意分类讨论将导致思维的不严密.典题变式已知全集I=R,集合A={x|x 2+ax+12b=0},B={x|x 2-ax+b=0},满足(A)∩B={2},(B)∩A={4},求实数a 、b 的值.答案:a=78,b=-712. 绿色通道集合是由元素构成的,要确定一个集合,一是把集合中的元素一一找出来,用列举法去表示;二是明确集合中元素的范围及其满足的性质,用描述法去表示.典题变式已知集合A={0,2,3,4},B={0,1,2,3},非空集合M 满足M ⊆A 且M ⊆B,则满足条件的集合M 的个数为( )A.7B.8C.15D.16答案:A绿色通道此题考查分类讨论思想,以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换,及集合之间的关系,可以把相关问题化归为解方程的问题.这称为数学的化归思想,是数学思想的常用方法,在高考中重点考查.典题变式设集合A={A|2x 2+3px+2=0},B={x|2x 2+x+q=0},其中p 、q 、x ∈R ,当A ∩B={21}时,求p 的值和A ∪B.答案:p=-35,A ∪B={-1, 21,2}. 黑色陷阱本题可能会有如下解法:由题设易知B={2,3},C={2,-4}.由A ∩B ≠∅,且A ∩C=∅知3∈A.把x=3代入方程x 2-ax+a 2-19=0,得9-3a+a 2-19=0.解得a=5或a=-2.这里由条件推知3∈A,进而推出a 的值,并不能肯定反过来都符合题设条件.典题变式 已知A={x|x 2-ax+a 2-19=0},B={x|x 2-5x+6=0},是否存在a,使A 、B 满足下列三个条件:①A ≠B;②A ∪B=B;③∅(A ∩B).若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由. 答案:不存在实数a,使得满足条件.黑色陷阱本题容易出现以下错误:由A ∩B ≠∅,知方程组⎩⎨⎧+=+=153,2x y b ax y 有解,即方程3x 2-ax+15-b=0有解.∴Δ=a 2-4×3×(15-b)=a 2+12b-180≥0. ①由(a,b)∈C,得144≥a 2+b 2.②(以上二元二次不等式组难以求解,故可能半途而废,不了了之)①+②,得a 2+12b-36≥a 2+b 2,即(b-6) 2≤0⇒b=6.把b=6代入①,得a 2≥108;把b=6代入②,得a 2≤108.∴a 2=108,即a=±63. 故存在实数a 、b 满足条件.典题变式 方程x 2-ax+b=0的两根为α、β,方程x 2-bx+c=0的两根为γ、δ,其中α、β、γ、δ互不相等,设集合M={α,β,γ,δ},且集合S={x|x=u+υ,u ∈M,υ∈M,u ≠υ},P={x|x=u υ,u ∈M,υ∈M,u ≠υ},若S={5,7,8,9,10,12},P={6,10,14,15,21,35},求a 、b 、c.答案:b=10,a=7,c=21.。

§1.1.1集合的含义及其表示[自学目标]1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合.[知识要点]1．集合和元素(1)如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a A∈;(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作a A∉.2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性.3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn图.4.集合的分类:有限集;无限集;空集.,整5.常用数集及其记法:自然数集记作N,正整数集记作*N或N+数集记作Z,有理数集记作Q,实数集记作R.[预习自测]例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.（1）小于5的自然数;（2）某班所有高个子的同学;（3）不等式217x+>的整数解;（4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合{}=中的三个元素可构成某一个三角形的三,,M a b c边的长,那么此三角形一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A. 例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1．下列说法正确的是（）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合（B ）0与{}0的意义相同（C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集（D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素2．下列四个集合中，是空集的是（）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．}01|{2=+-x x x3．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B=.[归纳反思]1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。

§1.1.1集合的含义及其表示欧阳歌谷（2021.02.01）[自学目标]1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合.[知识要点]1． 集合和元素(1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈;(2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉.2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性.3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图.4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作*N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R .[预习自测]例 1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.（1）小于5的自然数;（2）某班所有高个子的同学;（3）不等式217x +>的整数解;（4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例 3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1．下列说法正确的是（）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合（B ）0与{}0的意义相同（C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集（D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素2．下列四个集合中，是空集的是（）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．}01|{2=+-x x x3．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B=.[归纳反思]1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。

人教A版必修第一册全册学案第一章集合与常用逻辑用语................................................................................................ - 1 -1.1集合的概念 ............................................................................................................ - 1 -1.2集合间的基本关系................................................................................................. - 9 -1.3集合的基本运算...................................................................................................... - 18 -1.4充分条件与必要条件.............................................................................................. - 32 -1.5全称量词与存在量词.............................................................................................. - 43 -第二章一元二次函数、方程和不等式.............................................................................. - 51 -2.1等式性质与不等式性质....................................................................................... - 51 -2.2基本不等式 .......................................................................................................... - 58 -2.3二次函数与一元二次方程、不等式(1) ................................................................. - 70 -2.3二次函数与一元二次方程、不等式(2) ................................................................. - 79 -第三章函数的概念与性质.................................................................................................. - 86 -3.1函数的概念及其表示........................................................................................... - 86 -3.2函数的基本性质................................................................................................. - 110 -3.3幂函数 ................................................................................................................ - 134 -3.4函数的应用(一) .................................................................................................. - 143 -第四章指数函数与对数函数............................................................................................ - 153 -4.1 指数 ...................................................................................................................... - 153 -4.2 指数函数 .............................................................................................................. - 161 -4.3对数 .................................................................................................................... - 173 -4.4对数函数 ............................................................................................................ - 186 -4.5函数的应用(二) .................................................................................................. - 210 -第五章三角函数................................................................................................................ - 233 -5.1任意角和弧度制................................................................................................. - 233 -5.2三角函数的概念................................................................................................. - 250 -5.3诱导公式(1) ........................................................................................................ - 268 -5.3诱导公式(2) .........................................................................................................- 276 -5.4三角函数的图象与性质..................................................................................... - 283 -5.5三角恒等变换..................................................................................................... - 333 -5.6函数y＝A sin(ωx＋φ) ......................................................................................... - 348 -5.7三角函数的应用................................................................................................. - 367 - 第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．数学抽象数学建模2.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题.授课提示：对应学生用书第1页[教材提炼]知识点一集合的概念预习教材，思考问题(1)方程x2－3x＋2＝0的所有实数根；(2)所有的正方形；(3)某班所有的“帅哥”．上述问题中的元素可否看成一个“集合”？知识梳理(1)一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)．(2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．知识点二元素与集合的关系预习教材，思考问题设方程x2－3x＋2＝0的所有实根构成集合A.1是否在集合A里面？2是否在里面？0是否在里面？知识梳理(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作a ∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作a∉A.(2)常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R知识点三集合的表示预习教材，思考问题我们可以用自然语言描述一个集合．除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？知识梳理(1)列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．“方程x2－3x＋2＝0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1,2}．(2)描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x 所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．“方程x2－3x＋2＝0的所有实数根”组成的集合用描述法可表为{x∈R|x2－3x ＋2＝0}．知识点四相等集合预习教材，思考问题A＝{方程x2－3x＋2＝0的实数根}B＝{1,2}C＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}A、B、C可否说为相等集合？知识梳理只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．[自主检测]1．(教材P5练习1改编)下列给出的对象中，能组成集合的是()A．与定点A，B等距离的点B．高中学生中的游泳能手C．无限接近10的数D．非常长的河流答案：A2．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D3．下列结论中，不正确的是()A．若a∈N，则1a∉N B．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则3a∈R答案：A4．(教材P4例2改编)分别用描述法、列举法表示大于0小于6的自然数组成的集合．解析：描述法：{x∈N|0＜x＜6}，列举法：{1,2,3,4,5}．授课提示：对应学生用书第2页探究一集合的概念[例1]下列对象中可以构成集合的是()A．大苹果B．小橘子C．中学生D．著名的数学家[解析]选项正误原因A ×大苹果到底以多重算大，标准不明确B ×小橘子到底以多重算小，标准不明确C √中学生标准明确，故可构成集合D ד著名”的标准不明确[答案]判断一个“全体”是否能构成一个集合，其关键是对标准的“确定性”的把握，即根据这个“标准”，可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素．给出下列元素①学习成绩较好的同学；②方程x 2－1＝0的解；③漂亮的花儿；④大气中直径较大的颗粒物．其中能组成集合的是( ) A ．② B ．①③ C ．②④ D ．①②④答案：A探究二 元素与集合的关系 [例2] 集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． [解析] 由63－x ∈N ，x ∈N 知x ≥0，63－x ＞0，且x ≠3，故0≤x ＜3.又x ∈N ，故x ＝0,1,2.当x ＝0时，63－0＝2∈N ；当x ＝1时，63－1＝3∈N ；当x ＝2时，63－2＝6∈N .故集合A 中的元素为0,1,2.[答案] 0,1,21．若本例2中集合A 是由形如2m ＋n (m ∈Z ，n ∈Z )(例如数22－1)的数构成的，判断12－1是不是集合A 中的元素． 解析：12－1＝2＋1＝1×2＋1， 而1,1∈Z ，所以2＋1∈A ，即12－1∈A . 2．若本例2集合A 是由正整数构成的且满足“若x ∈A ，则10－x ∈A ”，则集合A 中元素个数至多有多少个？解析：由x ∈A ，则10－x ∈A 可得：x ＞0,10－x ＞0，解得：0＜x ＜10，x ∈N *.若1∈A，则9∈A.同理可得：2,3,4,5,6,7,8，都属于集合A.因此集合A中元素个数至多有9个．答案：9探究三集合的表示[例3]教材给出了奇数集合{x∈Z|x＝2k＋1，k∈Z}．(1)用这样的方法表示偶数集．(2)用这样的方法表示除以3余1的整数集合．(3)当x∈Z，y∈Z点(x，y)称为整点，如何表示坐标系中第一象限内的整点？[解析](1)偶数集{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．(2){x∈Z|x＝3k＋1，k∈Z}(3){(x，y)|x＞0，y＞0，x∈Z，y∈Z}1．对于含有有限个元素且个数较少的集合，采用列举法表示集合较合适；对于元素个数较多的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，在不发生误解的情况下，可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如N*＝{1,2,3，…}．2．一般地，元素较多的无限集用描述法表示集合．用另一种方法表示下列集合：(1){绝对值不大于2的整数}；(2){能被3整除，且小于10的正数}；(3){x|x＝|x|，x∈Z且x＜5}；(4){－3，－1,1,3,5}．解析：(1){－2，－1,0,1,2}．(2){3,6,9}．(3)因为x＝|x|，所以x≥0.又因为x∈Z且x＜5，所以x＝0,1,2,3,4.所以集合可以表示为{0,1,2,3,4}．(4){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．探究四集合元素的特性及应用[例4]已知集合A由元素a－3,2a－1，a2－4构成，且－3∈A，求实数a的值．[解析]因为－3∈A，A＝{a－3,2a－1，a2－4}，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3.若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A＝{－3，－1，－4}，符合题意．若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A＝{－4，－3，－3}，不满足集合中元素的互异性．若a2－4＝－3，则a＝1或a＝－1(舍去)，当a＝1时，集合A＝{－2,1，－3}，符合题意．综上可知，a＝0，或a＝1.利用集合中元素的互异性求参数问题(1)根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验；(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．如果集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则实数a的值是()A．0 B．0或1C．1 D．不能确定解析：集合A中只有一个元素，有两种情况：当a≠0时，由Δ＝0，解得a＝1，此时A＝{－1}，满足题意；当a＝0时，x＝－12，此时A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，满足题意．故集合A中只有一个元素时，a＝0或a＝1.答案：B授课提示：对应学生用书第3页一、“天下谁人不识君”——集合中描述法的认识►直观想象、逻辑推理 1．两步认识描述法表示的集合(1)一看代表元素：例如{x |p (x )}表示数集，{(x ，y )|y ＝p (x )}表示点集． (2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特征)． 2．四个集合的区别(1)A ＝{x |y ＝x 2＋1}表示使函数y ＝x 2＋1有意义的自变量x 的取值范围，且x 的取值范围是R ，因此A ＝R .(2)B ＝{y |y ＝x 2＋1}表示使函数y ＝x 2＋1有意义的函数值y 的取值范围，而y 的取值范围是y ＝x 2＋1≥1，因此，B ＝{y |y ≥1}．(3)C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}表示满足y ＝x 2＋1的点(x ，y )组成的集合，因此C 表示函数y ＝x 2＋1的图象上的点组成的集合．(4)P ＝{y ＝x 2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y ＝x 2＋1.[典例] 1.已知A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，定义集合A ，B 间的运算A *B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，则集合A *B 等于( )A ．{1,2,3}B ．{2,3}C ．{1,3}D ．{2}[解析] x ＝1∈A,1∉B ； x ＝2∈A,2∈B ； x ＝3∈A,2∉B ； ∴A *B ＝{1,3}． [答案] C2．二次函数y ＝x 2－1上的图象上纵坐标为3的点的集合为________． [解析] 点可看作由⎩⎨⎧y ＝x 2－1y ＝3组成的解集可用描述法．令y ＝3得：x 2－1＝3，所以x ＝－2或x ＝2.所以在y ＝x 2－1的图象上且纵坐标为3的点的集合为：{(－2,3)，(2,3)}．[答案] {(－2,3)，(2,3)}或⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧ y ＝x 2－1y ＝3 二、集合相等的误区——都是元素惹的“祸”►数学运算、逻辑推理 [典例] 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，B ＝{a 2，a ＋b,0}，若A ＝B ，则a 2 018＋b 2 018的值为________．[解析]因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，ba ，1＝(a 2，a ＋b,0)， 又因为a ≠0,1≠0，所以ba ＝0， 所以b ＝0，所以{a,0,1}＝{a 2，a,0}， 所以a 2＝1，即a ＝±1， 又当a ＝1时，A ＝{1,0,1}不满 足集合中元素的互异性，舍去， 所以a ＝－1， 即集合A ＝{－1,0,1}， 此时a ＝－1，b ＝0，故a 2 018＋b 2 018 ＝(－1)2 018＋02 018＝1＋0＝1. [答案] 1纠错心得 解答根据集合相等求字母的值的问题时，首先要认真审题明确集合中元素有哪些，找准“突破口”；其次要注意解出字母的值之后，检验元素的互异性．如本例中通过审题找到ba ＝0这一突破口，求出a ＝±1后，检验a ＝1时不满足互异性舍去.1.2 集合间的基本关系内容标准学科素养1.理解集合之间的包含与相等的含义．数学抽象、直观想象数学运算能识别给定集合的子集．2.针对具体集合，利用集合包含关系求参数．3.在具体情境中了解空集的含义.授课提示：对应学生用书第4页[教材提炼]知识点一子集的定义预习教材，思考问题A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}；A与B之间有什么关系？能说A比B小吗？知识梳理(1)Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．(2)子集一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集(subset)，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．(3)一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.知识点二真子集预习教材，思考问题如果A⊆B，那么A与B有可能相等吗？知识梳理如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B 的真子集(proper subset)，记作A B(或B A)．例如，A⊆B，但a∈B，且a∉A，所以集合A是集合B的真子集．知识点三空集的定义预习教材，思考问题方程x2＋1＝0的解集是什么？知识梳理空集及表示一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集．是任何非空集合的真子集．知识点四子集的性质预习教材，思考问题A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，C＝{1,2,3,4,5}，A、B、C之间有什么关系？知识梳理(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.(3)对于集合A、B、C，如果A B，且B C，那么A C.[自主检测]1．(教材P8练习2题改编)下列关系式正确的是()A．{0}⊆{0}B．{0}∈{0}C．0＝{0} D．0∉{0}答案：A2．下列集合中是空集的是()A．{∅} B．{x∈R|x2＋1＝0}C．{x|x＜4或x＞8} D．{x|x2＋2x＋1＝0}答案：B3．集合{a、b}的非空真子集为________．答案：{a}，{b}4．用适当的符号填空：(1)a________{a，b，c}；(2)∅________{x∈R|x2＋7＝0}；(3){0}________(x|x2＝x)．答案：(1)∈(2)＝(3)授课提示：对应学生用书第4页探究一 集合关系的判断 [例1] 已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m ＋16，m ∈Z，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n 2－13，n ∈Z，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝p 2＋16，p ∈Z.试确定M ，N ，P 之间的关系．[解析] 集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m ＋16，m ∈Z . 关于集合N ：①当n 是偶数时，令n ＝2m (m ∈Z )， 则N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m －13，m ∈Z； ②当n 是奇数时，令n ＝2m ＋1(m ∈Z )， 则N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2m ＋12－13，m ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m ＋16，m ∈Z . 从而，得M N .关于集合P ：①当p ＝2m (m ∈Z )时，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m ＋16，m ∈Z； ②当p ＝2m －1(m ∈Z )时， P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2m －12＋16，m ∈Z＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m －13，m ∈Z . 从而，得N ＝P .综上，知M N ＝P .判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．(2)集合元素特征法先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．(3)数形结合法利用数轴或Venn 图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．1．集合A ＝{x |(x －3)(x ＋2)＝0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －3x ＋2＝0，则A 与B 的关系是( ) A ．A ⊆B B ．A ＝B C ．A BD ．BA解析：∵A ＝{－2,3}，B ＝{3}，∴B A . 答案：D2．已知集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞0}，B ＝{x |0＜x ＜1}，则( ) A ．A ＝B B ．ABC ．B AD ．A ⊆B解析：在数轴上分别画出集合A ，B ，如图所示，由数轴知B A .答案：C探究二 子集、真子集及个数问题[例2] [教材P 8例1探究](1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈N |0＜x ＜5}，则满足条件A CB 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2,4}．[答案] B(2)写出集合{a、b、c}的所有子集，并指出它的真子集有多少个？[解析]子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，∅共8个．真子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，∅共7个．(3)若集合A中有5个元素，不具体写出子集．可猜到有多少个子集吗？[解析]25＝32个．1．元素个数与集合子集个数的关系(1)探究.集合A中元素的个数集合A子集个数集合An∅0 1{a}1 2{a，b}2 4{a，b，c}38{a，b，c，d}416(2)①A的子集的个数有2n个．②A的非空子集的个数有(2n－1)(n≥1)个．③A的非空真子集的个数有(2n－2)(n≥1)个．2．求给定集合的子集的两个关注点(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写．(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身．提醒：真子集个数是在子集的基础上去掉集合本身，做题时看清是真子集还是子集．1．已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2的a的值为() A．－2B．4C．0 D．以上答案都不是解析：由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.答案：C2．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为()A．3 B．6C．7 D．8解析：由题意A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6,8,12}，所以集合B的非空真子集个数为：23－2＝6.答案：B探究三由集合间的关系求参数的取值范围[例3]设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝15，试判定集合A与B的关系．(2)若B⊆A，求实数a的取值集合．[解析](1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3,5}，当a＝15时，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以B A.(2)当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅时，a≠0，集合B＝{1 a}，由B⊆A得1a＝3或1a＝5，所以a＝13或a＝15.综上所述，实数a的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15.根据集合的包含关系求参数的两种方法(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用；(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}，若A B，求a的取值范围．解析：由题意，在数轴上表示出集合A，B，如图所示：若A B，由图可知，a＞2.授课提示：对应学生用书第6页一、相逢又相识——∈、⊆、及0、{0}、∅、{∅}的区别与联系►逻辑推理、数学抽象1．元素与集合、集合与集合的关系．“∈”是“元素”与“集合”之间的从属关系，如a∈{a}．“⊆或”是两个集合之间的包含关系．2．0、{0}、∅、{∅}的关系(1)区别：0不是一个集合，而是一个元素，而{0}，∅，{∅}都为集合，其中{0}是包含一个元素0的集合；∅为不含任何元素的集合；{∅}为含有一个元素∅的集合，此时∅作为集合{∅}的一个元素．(2)联系：0∈{0},0∉∅，0∉{∅}，∅⊆{0}，∅{0}，∅⊆{∅}，∅{∅}．[典例]已知集合A＝{1,3，x2}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得集合B 是A的子集？若存在，求出A，B，若不存在，说明理由．[解析]因为B⊆A，所以当x＋2＝3，即x＝1时，A＝{1,3,1}不满足互异性，所以x ＝1(舍)．当x ＋2＝x 2，即x ＝2或x ＝－1，若x ＝2时，A ＝{1,3,4}，B ＝{1,4}，满足B ⊆A ； 若x ＝－1时，A ＝{1,3,1}不满足互异性． 综上，存在x ＝2使得B ⊆A . 此时，A ＝{1,3,4}，B ＝{1,4}．二、∅的呐喊——勿忘我►逻辑推理、直观想象[典例] 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．[解析] 当B ＝∅时，B ⊆A 显然成立，此时有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，即⎩⎨⎧m ≥－3m ≤4，m ＞2，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为{m |m ≤4}． [答案] {m |m ≤4}纠错心得 空集是任何集合的子集，忽视这一点会导致漏解，产生错误结论．对于形如{x |a ＜x ＜b }一类的集合，当a ≥b 时，它表示空集，解题中要十分注意．1.3集合的基本运算第一课时 并集、交集内 容 标 准学 科 素 养1.理解两个集合的并集的含义，会求两个简单集合的并集．数学抽象、数学运算直观想象 2.理解两个集合的交集的含义，会求两个简单集合的交集．3.能使用Venn 图表达集合的并集、交集授课提示：对应学生用书第6页[教材提炼]知识点一 并集 预习教材，思考问题对于A ＝{1,3,5}，B ＝{2,4,6}，C ＝{1,2,3,4,5,6}；类比实数的加法运算，你能说出集合C 与集合A ，B 之间的关系吗？知识梳理 (1)定义一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集(union set)，记作A ∪B (读作“A 并B ”)，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }，如图，可用Venn 图表示．(2)性质①A ∪B ＝B ∪A ； ②A ∪A ＝A ； ③A ∪∅＝∅∪A ＝A ；④A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)；⑤A∪B＝A⇔B⊆A，A∪B＝B⇔A⊆B.知识点二交集预习教材，思考问题A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}；集合A，B与集合C之间有什么关系？知识梳理(1)定义一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B 的交集(intersection set)，记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，可用Venn图表示．(2)性质①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；③A∩∅＝∅；④若A⊆B，则A∩B＝A；⑤(A∩B)⊆A；⑥(A∩B)⊆B.[自主检测]1．(教材P10例1改编)若集合M＝{－1,0,1}，集合N＝{0,1,2}，则M∪N＝() A．{0,1}B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}答案：D2．(教材P10例2改编)已知集合P＝{x|x＜3}，集合Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∩Q ＝()A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}答案：A3．满足条件{0,1}∪A＝{0,1}的所有集合A的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案：D4．(教材P12练习3题改编)设A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，则A∩B＝_________________________________________________________ 答案：{x|x是等腰直角三角形}授课提示：对应学生用书第7页探究一并集概念及简单应用[例1](1)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|0＜x≤1}，则M∪N＝()A．{x|0≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x＜1} D．{x|x≤1}[解析]M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|0＜x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}．[答案] A(2)点集A＝{(x，y)|x＜0}，B＝{(x，y)|y＜0}，则A∪B中的元素不可能在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限．[答案] A求集合并集的两种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析求解．1．若集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,3，x}，则满足条件的实数x 的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：∵A∪B＝{1,3，x}，A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，∴A∪B＝A，即B⊆A.∴x2＝3，或x2＝x.当x2＝3时，得x＝±3，若x＝3，则A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，符合题意；若x＝－3，则A＝{1,3，－3}，B＝{1,3}，符合题意．当x2＝x时，得x＝0，或x＝1，若x＝0，则A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；若x＝1，则A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不符合集合中元素的互异性，舍去．综上知，x＝±3，或x＝0.故满足条件的实数x有3个．答案：C2．已知M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}．则M∪N＝________.解析：将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示，可知M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．答案：{x|x＜－5或x＞－3}探究二交集概念及简单应用[例2](1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝()A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}[解析]由题意知A∩B＝{0,2}．[答案] A(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}[解析]由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．[答案] C(3)若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________.[解析] 借助数轴可知：A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |－1＜x ≤1，或4≤x ＜5}． [答案] R {x |－1＜x ≤1，或4≤x ＜5}求集合交集的两种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用交集的定义求解； (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＜2}，B ＝{x |3－2x ＞0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32D ．A ∪B ＝R解析：由3－2x ＞0，得x ＜32， 所以B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32， 又因为A ＝{x |x ＜2}， 所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32， A ∪B ＝{x |x ＜2}． 答案：A2.已知集合U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x ＜2}和N ＝{y |y ＝2k －1，k ∈Z }的关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：由题意得，阴影部分所示的集合为M ∩N ，由N ＝{y |y ＝2k －1，k ∈Z }知N 表示奇数集合，又由M ＝{x |－2≤x ＜2}得，在－2≤x ＜2内的奇数为－1,1.所以M ∩N ＝{－1,1}，共有2个元素． 答案：B探究三 集合交、并集运算及应用[例3] 已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |a ＜x ＜3a (a ＞0)}． (1)若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围． (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围． [解析] (1)因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，观察数轴可知，⎩⎨⎧2≥a ，4≤3a ，所以43≤a ≤2.(2)A ∩B ＝∅有两类情况：B 在A 的左边和B 在A 的右边，如图． 观察数轴可知，a ≥4或3a ≤2，又a ＞0，所以0＜a ≤23或a ≥4.由集合的运算性质求参数值(范围)的注意事项(1)要考虑因参数的影响是否需要分类讨论；(2)要有数形结合思想的意识，借助于数轴会更方便直观； (3)对于A ∩B ＝A 的情况要考虑到A 是否为∅的情况．1．本例条件下，若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的取值范围． 解析：画出数轴如图．观察图形可知⎩⎨⎧a ＝3，3a ≥4，即a ＝3.2．若本例题变为：已知A ＝{x |a ＜x ≤a ＋8}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}．若A ∪B ＝R ，求a 的取值范围．解析：由a ＜a ＋8，又B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}， 在数轴上标出集合A ，B ，如图．∴⎩⎨⎧a ＋8≥5a ＜－1， ∴－3≤a ＜－1.授课提示：对应学生用书第8页一、并集元素个数何其多►直观想象、逻辑推理(1)“或”的理解：“x ∈A 或x ∈B ”这一条件，包括下列三种情况：①x ∈A 但x ∉B ；②x ∈B 但x ∉A ；③x ∈A 且x ∈B .(2)一般地，对任意两个有限集合A ，B ，有card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )－card(A ∩B )．[典例] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．[解析] 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A ，B ，C ，同时参加数学和化学小组的有x 人，由题意可得如图所示的Venn 图．由全班共36名同学可得(26－6－x )＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x )＋x ＝36， 解得x ＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人． [答案] 8二、“有”与“无”，“虚”与“实”的对立与统一——集合交、并运算的端点值的选用►直观想象、逻辑推理[典例] 集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}． (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝A ，求a 的取值范围．[解析] (1)由A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}， 画出数轴如图所示．由图可知，若A ∩B ＝∅，则 ⎩⎨⎧a ≥－1，a ＋3≤5，解得－1≤a ≤2. (2)由A ∩B ＝A ，得A ⊆B .则a ＋3＜－1或a ＞5，即a ＜－4或a ＞5.纠错心得 由于A 中含端点a 、a ＋3，而B 中不含端点－1及5.根据A ∩B ＝∅的含义，a ＝－1，a ＋3＝5时，也成立．而A ⊆B 时，则不能取“＝”．对于是否取端点．可单独验证．第二课时 全集、补集内 容 标准学 科 素 养1.在具体情境中，了解全集的含义．数学抽象 数学运算 直观想象 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．3.能使用Venn 图表达补集的运算.授课提示：对应学生用书第8页[教材提炼]知识点一 全集与补集 预习教材，思考问题(1)方程(x －2)(x 2－3)＝0，在有理数范围内的解是什么？在实数集内的解是什么？(2)集合{2}与集合{3，－3}之间有什么关系？ 知识梳理 (1)全集一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(universe set)，通常记作U .(2)补集对于一个集合A ，由全集中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set)，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }，可用Venn 图表示．知识点二 补集的性质 预习教材，思考问题A∩∁U A＝________，A∪∁U A＝________.知识梳理(1)A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅.(2)∁U(∁U A)＝A，∁U U＝∅，∁U∅＝U.[自主检测]1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则∁U M＝()A．{2,4,6}B．{1,3,5}C．{1,2,4} D．U答案：A2．设集合U＝R，M＝{x|x＞2或x＜0}，则∁U M＝()A．{x|0≤x≤2} B．{x|0＜x＜2}C．{x|x＜0，或x＞2} D．{x|x≤0，或x≥2}答案：A3．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(∁U A)∩B ＝________.答案：{c，d}4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁U A＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.答案：2授课提示：对应学生用书第9页探究一补集的运算[例1](1)已知U＝R，集合A＝{x|x＜－2，或x＞2}，则∁U A＝()A．{x|－2＜x＜2}B．{x|x＜－2，或x＞2}C．{x|－2≤x≤2} D．{x|x≤－2，或x≥2}[解析]依题意，画出数轴，如图所示：观察数轴可知，∁U A＝{x|－2≤x≤2}．[答案] C(2)已知全集U，M，N是U的非空子集，且∁U M⊇N，则必有()A．M⊆∁U N B．M∁U NC．∁U M＝∁U N D．M⊆N[解析]依据题意画出Venn图，观察可知，M⊆∁U N.[答案] A(3)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，求集合B. [解析]因为A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．求集合补集的两种方法(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．若集合A＝{x|－1≤x＜1}，当S分别取下列集合时，求∁S A.(1)S＝R；(2)S＝{x|x≤2}；(3)S＝{x|－4≤x≤1}．解析：(1)把集合S和A表示在数轴上如图所示：由图知∁S A＝{x|x＜－1，或x≥1}．(2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示：由图易知∁S A＝{x|x＜－1，或1≤x≤2}．(3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示：由图知∁S A＝{x|－4≤x＜－1，或x＝1}．探究二 集合交、并、补的综合运算[例2] (1)(2019·长沙高一检测)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}[解析] 因为U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B ＝{1,3,4,6,7}，所以∁U B ＝{2,5,8}． 又A ＝{2,3,5,6}， 所以A ∩(∁U B )＝{2,5}． [答案] A(2)已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤0，或x ≥52，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．[解析] 将集合A ，B ，P 分别表示在数轴上，如图所示．因为A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}， 所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}． ∁U B ＝{x |x ≤－1，或x ＞3}， 又P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0，或x ≥52， 所以(∁U B )∪P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0，或x ≥52. 又∁U P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜52， 所以(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1＜x ＜2}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜52， ＝{x |0＜x ＜2}．解决集合交、并、补综合运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn 图来求解．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算，解答过程中要注意边界问题．1．在本例(2)的条件下，求(∁U A )∩(∁U P )． 解析：画出数轴，如图所示：观察数轴可知，(∁U A )∩(∁U P )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2≤x ＜52. 2．将本例(2)中的集合P 改为{x |x ≤5}，且全集U ＝P ，A ，B 不变，求A ∪(∁U B )． 解析：画出数轴，如图所示：∴A ∪(∁U B )＝{x |x ＜2，或3＜x ≤5} 探究三 根据补集的运算求参数的值或 范围[例3] 设全集U ＝{3,6，m 2－m －1}，A ＝{|3－2m |,6}，∁U A ＝{5}，求实数m . [解析] 因为∁U A ＝{5}，所以5∈U 但5∉A ， 所以m 2－m －1＝5， 解得m ＝3或m ＝－2. 当m ＝3时，|3－2m |＝3≠5，此时U ＝{3,5,6}，A ＝{3,6}，满足∁U A ＝{5}； 当m ＝－2时，|3－2m |＝7≠5，此时U ＝{3,5,6}，A ＝{6,7}，不符合题意舍去． 综上，可知m ＝3.由集合的补集求参数的方法(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解；(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素为无限个时，一般利用数轴分析法求解．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解析：因为A ＝{x |x ≥－m }，所以∁U A ＝{x |x ＜－m }．又B ＝{x |－2＜x ＜4}，(∁U A )∩B ＝∅，结合数轴(图略)分析可知－m ≤－2，即m ≥2，所以m 的取值范围是m ≥2.授课提示：对应学生用书第10页一、“柳暗花明，正难则反”——补集思想的应用►数学运算、逻辑推理 “正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，可先求∁U A ，再由∁U (∁U A )＝A 求A .补集的思想作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路．今后我们要有意识地去体会并运用补集思想，在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．[典例] 已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0，x ∈R }，B ＝{x |x ＜0，x ∈R }，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．[解析] 当A ＝∅时不符合题意，∴A ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}U ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≤－1，或m ≥32. 若A ∩B ＝∅，则方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，解得m ≥32.x 1x 2＝2m ＋6≥0，因为m ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≥32关于U 的补集为∁U M ＝{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围为m ≤－1.二、找全集，认子集，求补集——求补集的程序与条件►数学运算、逻辑推理 [典例] 设全集S ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁S A ＝{5}，求实数a 的值．[解析] 由题意得a 2＋2a －3＝5， 即a 2＋2a －8＝0， ∴a ＝－4或a ＝2，当a ＝2时，|2a －1|＝3∈S ，符合题意，当a ＝－4时，|2a －1|＝9∉S ，不符合题意，故a ＝2.纠错心得 求一个集合A 的子集，首先A 是全集的子集，如本题当a ＝－4时A ＝{9,2}不是S 的子集，故求出a 值还需检验．1.4充分条件与必要条件1.4.1 充分条件与必要条件内 容 标 准学 科 素 养1.根据具体命题，明确条件与结论的关系． 数学抽象、逻辑推理2.针对具体命题理解必要条件、充分条件的意义.授课提示：对应学生用书第11页[教材提炼]知识点充分条件与必要条件预习教材，思考问题下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等．知识梳理(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件(sufficient condition)，q是p的必要条件(necessary condition)．如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p⇒q.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．(2)一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．[自主检测]1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．无法判断答案：A2．“a＝b”是“ac＝bc”的________条件．(充分，必要)答案：充分3．“x2＝1”是“x＝1”的________条件．(充分，必要)答案：必要授课提示：对应学生用书第11页。

§1.1.1集合的含义及其表示[自学目标]1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点]1． 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作*N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测]例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数;（2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值. [课内练习]1．下列说法正确的是（）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合（B ）0与{}0的意义相同（C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n nx x A ,1是有限集（D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素2．下列四个集合中，是空集的是（）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．}01|{2=+-x x x3．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B=. [归纳反思]1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。

（人教版）高中数学必修一（全册）精品导学案汇总第一章§1.1.1 任意角【学习目标】1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系讨论任意角.2.能在0º到360º范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角.3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合.【学习重点】任意角的概念，终边相同的角的表示.【知识链接】问题1：在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？问题2：（1）手表慢了5分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？（2）手表快了10分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？【基础知识】一、任意角的概念1．任意角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角α，点O 是角的顶点，射线,OA OB 分别是角α的终边、始边. 说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可以简记为α． 2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角. 说明：零角的始边和终边重合. 3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则 （1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30,390,330-都是第一象限角；300,60-是第四象限角.（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90,180,270等等.说明：角的始边“与x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”.因为x 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线. 二、终边相同的角的集合由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成30360k +⋅()k Z ∈的形式；反之，所有形如30360k +⋅()k Z ∈的角都与30角的终边相同. 从而得出一般规律：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}|360,S k k Z ββα==+⋅∈，即：任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.三、等分角若α是第三象限角，那么2α是第几象限角？你能用作图表示吗？规律是什么？【例题讲解】例1 在0与360范围内，找出与/12950-终边相同的角，并判断它们是第几象限角？例2 写出终边在y 轴上的角的集合.例3 写出终边在直线x y =上的角的集合S ，并把S 中适合不等式0720360-<≤β的元素β写出来.例4如图所示，试分别表示出终边落在阴影区域内的角．说明：区间角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步：(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；(2)按由小到大分别标出起始、终止边界对应的0°到360°范围内的角α，β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}；(3)再加上起始、终止边界对应角α，β出现的k 倍的周期，即得区间角的集合． 【达标检测】1. 若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？2. 下列命题正确的是： （ ）（A ）终边相同的角一定相等。

§1.1.1集合的含义及其表示[自学目标]1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合.[知识要点]1．集合和元素(1)如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a A∈;(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作a A∉.2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性.3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn图.4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N,正整数集记作*N或N+,整数集记作Z,有理数集记作Q,实数集记作R.[预习自测]例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.（1）小于5的自然数;（2）某班所有高个子的同学;（3）不等式217x+>的整数解;（4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1．下列说法正确的是（）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合（B ）0与{}0的意义相同（C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集（D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素2．下列四个集合中，是空集的是（）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．}01|{2=+-x x x3．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B=.[归纳反思]1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。