题组层级快练(六十)
1．(2020·衡水中学月考)若直线ax＋by＝1与圆x2
＋y2
＝1相交，则P(a，b)与圆x2
＋y2
＝1
的关系为( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都有可能
答案 B
解析 ∵<1，∴a2
＋b2>1，∴P(a，b)在圆外． |a×0＋b×0－1|
a2＋b2
2．如果圆的方程为x2
＋y2
＋kx＋2y＋k2
＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( )
A．(－1，1) B．(1，－1)
C．(－1，0) D．(0，－1)
答案 D
解析 r＝＝， 1
2k2＋4－4k21
24－3k2
当k＝0时，r最大，此时圆面积最大，圆的方程为x2
＋(y＋1)2
＝1，圆心坐标为(0，－1)．
3．圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2
＋y2
＋10y＝0 B．x2
＋y2
－10y＝0
C．x2
＋y2
＋10x＝0 D．x2
＋y2
－10x＝0
答案 B
解析 圆心在y轴上，排除C、D，过点(3，1)，排除A，选B.
4．过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2
＋(y＋1)2
＝4 B．(x＋3)2
＋(y－1)2
＝4
C．(x－1)2
＋(y－1)2
＝4 D．(x＋1)2
＋(y＋1)2
＝4
答案 C
解析 设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.
∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a.
∵|CA|2
＝|CB|2
，∴(a－1)2
＋(2－a＋1)2
＝(a＋1)2
＋(2－a－1)2.
∴a＝1，b＝1.∴r＝2.
∴方程为(x－1)2
＋(y－1)2
＝4.
5．(2020·保定模拟)过点P(－1，0)作圆C：(x－1)2
＋(y－2)2
＝1的两条切线，设两切点分别
为A，B，则过点A，B，C的圆的方程是( )
A．x2
＋(y－1)2
＝2 B．x2
＋(y－1)2
＝1
C．(x－1)2
＋y2
＝4 D．(x－1)2
题组层级快练(五十三)
1．(2020·湖北襄阳模拟)设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )
A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直
B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直
C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行
D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直
答案 B
解析 对于A，在平面α内可能有无数条直线与直线m垂直，这些直线是互相平行的，A错误；对于B，只要m⊄α且与α不垂直，过直线m必有并且也只有一个平面与平面α垂直，B正确；对于C，类似于A，在平面α外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面α，C错误；对于D，与直线m平行且与平面α垂直的平面有无数个，D错误．故选B.
2．(2020·江西南昌模拟)如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在( )
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
答案 A
解析 由AB⊥AC，BD⊥AC，又AB∩BD＝B，则AC⊥平面ABD，而AC⊂平面ABC，则平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上．故选A.
3．(2020·江西临安一中期末)三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
①CC1与B1E是异面直线；
②AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；
③AC⊥平面ABB1A1；
④A1C1∥平面AB1E.
A．② B．①③
C．①④ D．②④
答案 A 解析 对于①，CC1，B1E都在平面BB1C1C内，故错误；对于②，AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以AE与B1C1是异面直线，且AE⊥BC，又B1C1∥BC，故AE⊥B1C1，故正确；对于③，上底面ABC是一个正三角形，不可能存在AC⊥平面ABB1A1，故错误；对于④，A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故错误．故选A.
题组层级快练(六十六)
1．(2020·广东中山第一次统测)过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝( )
A．6 B．8
C．9 D．10
答案 B
解析 |AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝8.故选B.
2．若抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是( )
A.12，1 B．(0，0)
C．(1，2) D．(1，4)
答案 A
解析 设与直线y＝4x－5平行的直线为y＝4x＋m，由平面几何的性质可知，抛物线y＝4x2上到直线y＝4x－5的距离最短的点即为直线y＝4x＋m与抛物线相切的点．而对y＝4x2求导得y′＝8x，又直线y＝4x＋m的斜率为4，所以8x＝4，得x＝12，此时y＝4×122＝1，即切点为12，1，故选A.
3．(2020·安徽芜湖模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2x1x2的值一定等于( )
A．－4 B．4
C．p2 D．－p2
答案 A
解析 ①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝p2，则x1x2＝p24，y1y2＝－p2，则y1y2x1x2＝－4.②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设直线AB：y＝kx－p2，联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋p2k24＝0，则x1x2＝p24.∵y12＝2px1，y22＝2px2，∴y12y22＝4p2x1x2＝p4.又∵y1y2<0，∴y1y2＝－p2.故y1y2x1x2＝－4.故选A.
4．(2020·广东汕头第三次质检)已知抛物线C：y2＝4x与直线y＝2x－4交于A，B两点，焦点为F，则cos∠AFB＝( )
A.45 B.35
C．－35 D．－45
题组层级快练(六)
1．若函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，则实数b的取值范围是( )
A．b≥0 B．b≤0
C．b>0 D．b<0
答案 A
2．下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( )
A．y＝－2x＋1 B．y＝1x
C．y＝lgx D．y＝x3
答案 B
解析 y＝－2x＋1在定义域上为单调递减函数；y＝lgx在定义域上为单调递增函数；y＝x3在定义域上为单调递增函数；y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为单调递减函数，但在定义域上不是单调函数，故选B.
3．函数f(x)＝1－1x－1( )
A．在(－1，＋∞)上单调递增 B．在(1，＋∞)上单调递增
C．在(－1，＋∞)上单调递减 D．在(1，＋∞)上单调递减
答案 B
解析 f(x)图象可由y＝－1x图象沿x轴向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，如图所示．
4．函数f(x)＝x|x－2|的单调减区间是( )
A．[1，2] B．[－1，0]
C．[0，2] D．[2，＋∞)
答案 A
解析 由于f(x)＝x|x－2|＝x2－2x，x≥2，－x2＋2x，x<2，结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]，故选A.
5．(2019·沧州七校联考)函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是( )
A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
答案 A
解析 由已知易得x＋1>0，x－3>0，即x>3，又0<0.5<1，∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．
6．函数y＝x＋1－x－1的值域为( )
A．(－∞，2] B．(0，2]
C．[2，＋∞) D．[0，＋∞)
答案 B
解析 方法一：求导y′＝12(1x＋1－1x－1)＝x－1－x＋12x＋1·x－1，
