(完整版)特殊平行四边形典型例题解析题
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1 一、参考例题
［例1］如下图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：EO=FO
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论.
分析：(1)要证明OE=OF，可借助第三条线段OC，即证：OE=OC，OF=OC，这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证△OEC、△OCF是等腰三角形，由已知条件即可证明.
(2)假设四边形AECF是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角.
由已知可得到：∠ECF=90°，由(1)可证得OE=OF，所以要使四边形AECF是矩形,只需OA=OC.
证明：(1)∵CE、CF分别是∠ACB、∠ACD的平分线.
∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF
∵MN∥BC ∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD
∴∠ACE=∠OEC，∠ACF=∠OFC
∴OE=OC，OF=OC ∴OE=OF
(2)当点O运动到AC的中点时，即OA=OC
又由(1)证得OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
由(1)知：∠ECA+∠ACF=21∠ACB+21∠ACD=21 (∠ACB+∠ACD)=90°
即∠ECF=90°
∴四边形AECF是矩形.
因此：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.
［例2］如下图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，OF⊥AD于F，OF=3 cm，AE⊥BD于E，且BE∶ED=1∶3，求AC的长. 2
分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算.即：由矩形的对角线互相平分且相等；可导出BE=OE，进而得出AB=AO，即得出BE=OF=3 cm，求出BD的长，即AC的长.
解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC=BD,OB=OD=OA=OC
又∵BE∶ED=1∶3 ∴BE∶BO=1∶2 ∴BE=EO
又∵AE⊥BO
∴△ABE≌△ADE ∴AB=OA即AB=AO=OB
∴∠BAE=∠EAO=30°，∠FAO=30° ∴△ABE≌△AOF
∴BE=OF=3 cm,∴BD=12 cm ∴AC=BD=12 cm
二、参考练习
1.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6 cm,BC=8 cm，将纸片沿EF折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长.
解：连结BD、BE、DF 由折叠的意义可知：EF⊥BD，EF平分BD.
∴BE=ED,BF=FD
∵四边形ABCD为矩形 ∴AB=CD，AD=BC，∠C=90°，AD∥BC
∴∠EDO=∠FBO
∵点B和D重合 ∴BO=DO，∠BOF=∠DOE
∴△BOF≌△DOE ∴ED=BF，∴ED=BF=FD=BE
∴四边形BFDE是菱形 S菱形=21×BD×EF=BF×CD
∵BF=DF，∴可设BF=DF=x 则FC=8－x
在Rt△FCD中，根据勾股定理得： x2=(8－x)2+62 3 x=425 ∴6425682122EF EF=7.5
因此，折痕EF的长为7.5 cm.
2.当平行四边形ABCD满足条件_________时，它成为矩形(填上你认为正确的一个条件即可). 答案：∠BAC=90°或AC=BD或OA=OB或∠ABC+∠ADC=180°或∠BAD+∠BCD= 180°等条件中的任一个即可.
典型例题 例1 如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且，求：
（1）的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积．
分析 （1）由E为AB的中点，，可知DE是AB的垂直平分线，从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而，利用勾股定理可以求出AC．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知
解 （1）连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴
是AB的中点，且，∴
∴是等边三角形，∴也是等边三角形．
∴
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，
∴
∴，∴ 4 （3）菱形ABCD的面积
说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．
例2 已知：如图，在菱形ABCD中，于于 F．
求证：
分析 要证明，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论．
证明 ∵四边形ABCD是菱形，∴，且，∴，∴，
， ∴， ∴
例3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，，，求的度数.
解答：连结AC. ∵四边形ABCD为菱形，
∴，.
∴与为等边三角形. ∴
∵， ∴ ∴
∴ 5 ∵， ∴为等边三角形. ∴
∵，
∴ ∴
说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC，证.
例4 如图，已知四边形和四边形都是矩形，且．
求证：垂直平分．
分析 由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分．
证明：∵四边形、都是矩形
∴，，，
∴四边形是平行四边形
∵，∴ 在△和△中
∴△≌△ ∴，
∵四边形是平行四边形 ∴四边形是菱形
∴平分 ∴平分 ∵
∴垂直平分． 6 例5 如图，中，，、在直线上，且．
求证：．
分析 要证，关键是要证明四边形是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．
证明 ∵四边形是平行四边形
∴，，，∴
∵，∴
在△和△中 ∴△≌△ ∴
∵ ∴ 同理： ∴
∵ ∴四边形是平行四边形
∵ ∴四边形是菱形 ∴．
典型例题
例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？
分析 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数．
解 设平行四边形的一个内角的度数为x，则它的邻角的度数为3x，根据题意，得，解得，∴
∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°． 7 例2 已知：如图，的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长比的周长多8cm，求这个平行四边形各边的长．
分析 由平行四边形对边相等，可知平行四边形周长的一半＝30cm，又由的周长比的周长多8cm，可知cm，由此两式，可求得各边的长．
解 ∵四边形为平行四边形，∴
，∴
，∴
∴
答：这个平行四边形各边长分别为19cm，11cm，19cm，11cm．
说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半．（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差．
例 3 已知：如图，在中，交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由．
分析 观察图形，，从而可说明
证明 在中，交于O，∴
，∴，
∴，∴ 8 例4 已知：如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且，垂足为F。求证：
分析 观察图形，与都是直角三角形，且锐角，斜边，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE，则与全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。
证明 ∵四边形ABCD是矩形，∴，∴
，∴，
又，∴。∴
例5 O是ABCD对角线的交点，的周长为59，，，则________，若与的周长之差为15，则______，ABCD的周长=______.
解答：ABCD中，，.
∴ 的周长
∴ .
在ABCD中，. ∴
的周长－的周长
∴
∴ ABCD的周长 9 说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将与的周长的差转化为两条线段的差.
例6 已知：如图，ABCD的周长是，由钝角顶点D向AB，BC引两条高DE，DF，且，. 求这个平行四边形的面积.
解答：设.
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ .
又∵四边形ABCD的周长为36，∴ ①
∵ ，
∴
∴ ②
解由①，②组成的方程组，得.
∴.
说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题.
