席位分配问题公平最大化探讨

美国联邦政府每年进行一次全国人口普查，各州在联邦众
议院的代表名额也据此重新确定，2000 年人口普查后，犹他州
向联邦政府提出控诉，说分配给北卡罗来纳州的名额应该是他
们的。事实上，过去 200 年来，美国国会在名额分配上打过多起
法律官司，后来把此问题交给了哈佛一著名教授，由此诞生了席
位分配问题。
一、问题的提出
二、模型的假设及符号说明
（1）假设模型的公平定义相同，模型的公平是严格意义上绝
对的公平；（2）分配到各系的名额数目均为整数；（3）每个单位的
每个人都具有相同的选举权利；（4） 每个单位至少应该分配到一
个名额，否则应将该单位剔除在分配之外；（5）在名额分配的过程
中，分配是稳定的，不受其他任何因素所干扰；（6）符号说明：①P
每单位“尽可能”地接近它应得份额—— —按比例分配原则，
第 i 单位按学生数比例应分得的席位为
如果对一切的 i=1，2，3，...，m，上式有严格的比值且恰好是整 数，则第 i 个单位分得 ni 个名额，且是绝对公平的，计算结果如表 1。
表 1 20 席位按比例加惯例法的分配方案
席位为 21 席时，继续使用比例加惯例法，得出结果如表 2 表 2 21 席位按比例加惯例法的分配方案
配的方案，最终结果为：甲 11 席，乙 6 席，丙 4 席。
四、模型评价
综合以上五种模型，现将 21 席位各模型的分配方案放在一
起作以比较，如表 4。
表 4 21 席位各模型分配方案比较
模型二：Q 值法 Q 值法就是通过定义相对不公平程度，推得在原分配名额
·高 教 论 坛·
席位分配问题公平最大化探讨
仓韬 （江苏师范大学连云港校区，江苏 连云港 222006）
摘 要 由美国国会名额分配争端而诞生的席位分配问题，一直以来是人们研究的问题，名额在单位间的分配就是要实现最大限
度的公平，为此，人们根据不同的标准给出了席位分配的很多方法。针对一个问题，就几种席位分配模型进了求解和比较，分析阐述了
的基础上每次再分配一个名额都要计算出各参与分配方的 Q 值公式，将多余的名额分配给 Q 值最大的一方；每分配一个名额都 要重新计算 Q 值，再按 Q 值的大小进行分配，直到将多余的名额分
配完为止。运用的 Q 值计算公式为：
对于本题第 20 席的分配，计算 Q 值 Q1=1032/(10×11)=96.45，Q2=632/(6×7)=94.5，Q3=342/(3×4)=96.33 因为 Q1最大，因此第 20席应该给甲系；对第 21席的分配，计算 Q 值 Q1=1032/(11×12)=80.37，Q2=632/(6×7)=94.5，Q3=342/(3×4)=96.33 因为 Q3 最大，因此第 21 席应该给丙系。 最后的席位分配为：甲分得 11 席，乙分得 6 席，丙分得 4 席。 模型三：d’Hond（t 汉丁顿）方法 方法介绍：有 k 个单位，每个单位的人数为 Pi，总席位数为 n，用自然数 1，2，3，...，分然数去除各个单位人数的 结果），这 n 个数中哪个单位有几个，所得席位就为几个。21 席 位按该种方法的分配方案如表 3。
显然在此题中运用最席位分配问题公平最大化探讨仓韬江苏师范大学连云港校区江苏连云港222006摘要由美国国会名额分配争端而诞生的席位分配问题一直以来是人们研究的问题名额在单位间的分配就是要实现最大限度的公平为此人们根据不同的标准给出了席位分配的很多方法
N 2016 年 第 45 期（总 第 309 期）
议共 20 席，按比例分配，三个系分别为 10，6，4 席。
对于问题 2，构建以下模型。
模型一：比例加惯例分配法（最大剩余法）。如果按比例参与
分配的一些单位席位分配数出现小数，则先按席位分配数的整
数分配席位，余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小
依次分配之。
每个席位代表的学生数记为：b=
P N
；
表示学生总人数，②Pi 表示 i 系的学生人数 i=1，2，3，...，m，③N 表示总的学生代表会议席位，④ni 表示 i 系所占的学生代表会 议席位 i=1，2，...，m。
三、模型的建立与求解
对于问题 1，我们运用常见的比例分配法能实现公平的最
优化，达到绝对公平。
三个系学生共 200 名（甲系 100，乙系 60，丙系 40），代表会
表 3 21 席位 d’Hond（t 汉丁顿）方法的分配方案
最后的分配结果为：甲 11 席，乙 7 席，丙 3 席。 模型四：S 值法
方法介绍：将 p/n 看作平均数，要求使
的值最小，
这种方法类似于求方差最小值的计算。现设三系分别得到了
10，6，3 个席位，再用该法分配第 21 个席位，最终所得结果为：
各种模型方法的优缺点及适用情况，为能根据不同情况运用相应模型获得最大限度公平的席位分配方案提供了借鉴。
关键词 席位分配问题；比例加惯例分配法；Q 值法；d’Hondt(汉丁顿）法；S 值法；d’Hondt 方法 +Q 值法；公平最大化
中图分类号：G420
文献标识码：A
文章编号：1002-7661（2016）45-0016-02
甲 11 席，乙 6 席，丙 4 席（与 Q 值法结果相同）。
模型五：d'Hondt 方法 +Q 值
用 d'Hondt 方法和 Q 值法二者结合起来，确定“分配资格”
以解决“不公平”问题，这一方法称为 d'Hond 方法 +Q 值法。
（1）第一个人数给人数最多的部门，本例为甲部门；（2）根据
d'Hondt 方法中 x/m 值，依次确定第 2，3...个名额的“分配资格”
部门，直到已有两个部门有名额分配；（3）下面每增加一个名额，
则重复进行判断比较，直至丙部门具有“分配资格”为止；（4）当
丙部门也具备分配资格时，余下名额则按 Q 值法分配。
需要说明的是，仅用 Q 值法时，先假设各部门已经有一个
名额，接着计算剩下的第 4~21 个名额的分配方案，因此不难看
出，D+Q 法中 Q 值应采用修正式：根据 D+Q 值法 21 个名额分
某学校有 3 个系共 200 名学生，其中甲系 100 名，乙系 60
名，丙系 40 名。
问题 1：若学生代表会议设 20 个席位，如何公平席位分配？
问题 2：丙系有 6 名学生转入甲乙两系，其中甲系转入 3
人，乙系转入 3 人，又将如何公平的分配 20 个学生代表会议席
位？若席位增加为 21 席呢，如何分配？