公平的席位分配等四个数学模型例子

数学建模论文席位的公平分配问题姓名：学号：18 15 20公平的委员分配问题摘要:1.我们首先是用惯例分配法来解决这委员分配问题的,由于方法来解决存在很大的缺陷,因此,通过组内的讨论,我们想出了Q值法来解决此问题，发现这样能作到相对公平。

我们这一组开始就考虑到了该怎样分配能作到相对公平，就这个问题，我们开始了研讨。

我们采用惯例分配法分析发现：各楼所得到的委员数A 、B 、C楼分别为：3、3、4人，而Q值法其结果为：A、B、C楼分别为：2、3、5人。

2.“取其精华，去其糟粕”我们发现Q值法能很好的解决委员分配问题，Q 值法：我们用Qi=(Pi*Pi)/[n(n+1)],其中i=A、B、C,Pi为第i楼的人数，n 为分配到的委员数，我们采用将剩下的一位委员名额分给Q值最大的一方。

通过计算得到Qa=9204.16、Qb=9240.75、Qc=9331.2比较得到：Qa>Qb>Qc,所以我们决定把剩下的一名委员分给C楼。

3.我们用惯例分配法发现有一名委员不好分配，不知道分给谁更公平些。

建议：我们的思维不能太单一了，在考虑问题方面要做到全面些，这样才会少走弯路。

（无论在哪方面都一样。

）关键字：委员分配、比例法、Q值法1.1问题的重述分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中.分配问题涉及的内容十分广泛，例如：学校共有1000学生，235人住在A楼，333人住B楼，432人住C楼，学校要组织一个10人委员会，试用惯例分配法和Q值方法分配各楼的委员数并比较结果。

1.2问题的分析数学中通常人们用比例的方法来分配各个楼要派出几个人来组建委员会，当比例中有小数时人们有按照惯例使得各组中小数最大的组拥有更多的人数。

然而人们是怎样分配的呢？又因为没栋楼所占比例不是整数，可以会出现不公平的现象。

为了让席位分配更加公平我们不应该采用比例法，要引用不比例法更好的Q值法对其进行求解。

常用经济管理数学模型应用数学方法解决实际问题时，首先必须建立数学模型。

本节将结合高等数学知识介绍一些常用的经济管理数学模型，学习和了解综合运用数学知识和数学工具解决实际问题的过程和方法，达到运用数学模型为现实生活服务的目的。

一、优秀研究成果评选的公平性模型 1. 问题的提出设有N 个评委组成的评选委员会，有M 项研究成果，评委会要从中选出()m m M <项优秀成果，但有些评委是某些成果的完成者，问应如何处理此问题才是公平的？2.模型的构成与求解方案1 按得票多少顺序，得票较多的前m 项成果为优秀成果。

分析评价：这个方案对非评委的研究成果的完成者不够公平。

因为评委对自己完成的成果投赞成票的可能性最大。

方案2 对方案1做如下修改：评委不参加对自己的研究成果投票，按得票率多少排序，取得票率较大的前m 项成果为优秀成果.分析评价：下面来分析一下方案2是否公平。

设某项成果涉及C 个评委，他们回避后该项成果得x 票，x N C ≤-，则该项成果的得票率为1()xr x N C=- （1）上述结果似乎可以接受。

因为得票虽然少了，但作为分母的总人数也少了，所以似乎是公平的。

参与完成该项成果的C 个评委仍不大满意，他们认为：若他们也参加投票，则投票率为2()x Cr x N+= (2)通过比较1()r x 与2()r x 的大小可知上述两个公式的差别。

因为当x N C <-时，恒有1()r x <2()r x .综合上述讨论，按照相对公平的原则，应采取对1()r x 和2()r x 的折衷方案，即度量得票多少的函数()y x 应满足以下三个条件：（1）()y x 是x 的单调递增函数;（2）1()r x ()y x <<2()r x ，0,0;x N C C <<-> （3）(0)0,() 1.y y N C =-=由上述三个条件还不能唯一确定函数()y x ，但可据此定出一个相对公平、且比较简单实用的度量函数()y x 。

公平的席位分配模型《数学模型》实验报告实验名称:公平的席位分配成绩:___________ 实验日期 : 2009 年 5 月 4 日实验报告日期: 2009 年 5 月 18 日一、实验目的制定相对公平的席位分配方案～使席位分配尽可能的公平～此为设计型实验。

解决一些实例～比如:甲系同学103名～乙系同学63名～丙系同学34名～共200名同学～有21个席位需进行分配～求方案如何时才最为公平, 二、实验内容根据席位的相对不公平度Qi,pi^2 /ni(ni+1),i=1,2……～席位应分配给Q值较大的一方～按此方法进行分配可以求出各个系所得的席位ni。

三、实验环境MATLAB6.5四、实验步骤为了实现多方的席位分配利用了多重循环的方法～程序如下: p=input('输入各系人数:');N=input('输入总席位数:');[x,y]=size(p);n=ones(1,y);while(N>sum(n))for i=1:yQ(i)=p(i)*p(i)/(n(i)*(n(i)+1));end[i,j]=max(Q);n(j)=n(j)+1;endn五、实验结果结果为n=11,6,4。

六、实验讨论、结论寻求公平分配席位方法的关键～是建立衡量公平程度的即合理又简明的数量指标～此模型提出的指标是相对不公平度～在这个前提下得到的Q值方法应该是公平的～实验结果是成功的。

七、参考资料20个席位的分配 21个席位的分配学生人数系别学生人数的比例比例分参照惯比例分参照惯,,, 配的席位例的结果配的席位例的结果甲 103 51.5 10.3 10 10.81511 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3 总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21。

公平的席位分配问题席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。

通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。

符号设定：N ：总席位数 i n ：分配给第i 系席位数 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系）P ：总人数 i P ：第i 系数 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系）iQ ：第i 系Q 值 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系）Z ：目标函数方法一，比例分配法：即：某单位席位分配数 = 某单位总人数比例⨯总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。

这种分配方法公平吗？由书上给出的案例，我们可以很清楚的知道该方法是有缺陷的，是不公平的。

方法二，Q 值法： 采用相对标准，定义席位分配的相对不公平标准公式：若2211n p n p >则称11221222211-=-n p np n p n p n p 为对A 的相对不公平值， 记为 ),(21n n r A ，若 2211n p n p < 则称 12112111122-=-n p n p n p n p n p 为对B 的相对不公平值 ，记为 ),(21n n r B 由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。

确定分配方案：使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设11n p >22n p ，即对单位A 不公平，再分配一个席位时，关于11n p ,22n p 的关系可能有 1. 111+n p >22n p ,说明此一席给A 后,对A 还不公平;2. 111+n p <22n p ,说明此一席给A 后,对B 还不公平,不公平值为1)1(11),1(212111112221-⋅+=++-=+n p p n n p n p n p n n r B3. 11n p >122+n p ,说明此一席给B 后,对A 不公平,不公平值为1)1(11)1,(121222221121-⋅+=++-=+n p p n n p n p n p n n r A4.11n p <122+n p ,不可能上面的分配方法在第1和第3种情况可以确定新席位的分配，但在第2种情况时不好确定新席位的分配。

席位公平分配的比例极差法及其改进方法
座位公平分配比例极差法作为一种在座位分配时所采用的策略，它将每一位参
与者被分配到相同比例的座位上。

例如：A、B、C三人有80个座位可以分配，则A 获得80/3=26.7%的座位数、B获得80/3=26.7%与C获得80/3=26.7%。

传统的比例极差法存在一定的问题，例如座位数为80，比例可能会分成80/3、80/4、80/5等不同的份额，使参与者出现无中生有的状况，容易引起争端，因此，为了改变这种情况，人们提出了比例极差法的改进方法。

其一是将座位分成多个不同的比例份额，以增加参与者的分配数量，同时提供
精确的分配细节，使不同参与者分配到不同程度的座位数量。

例如，同样有80个
座位总数，通过多比例份额的分配，则可以将这80个座位分成四个比例：A：20％、B：30％、C：25％、D：25％，以此来更精确地分配该座位。

其二是采用多层次座位分配策略。

这种方法将参与者按照职业、年龄或其他标
准进行分组，以便相同的参与者可以获得相同程度的座位分配比例。

例如，A、B、
C三个群体，其中A群体有80/3=26.7%的座位，B群体有80/3=26.7%且C群体有
80/3=26.7%；而经过多层次座位分配策略处理，A群体在原有的26.7%的比例上可
以再次分配成20%、30%、30%，如此，不同参与者可以获得不同程度的分配权，也
可以有效地避免出现某种参与者突然受益的情况。

以上是座位公平分配比例极差法及其改进方法的简介，此法虽然可以很好的解
决座位分配的问题，但其也可能某些情况下产生偏差，如果要进一步改善，可以考虑采取机器学习、人工智能或者更高级的策略。

公平的席位分配问题提出：某学校有3个系⼀共200名学⽣，其中甲系100名，⼄系60名，丙系40名。

如果学校代表会议设置20个席位，怎样公平地分配席位？思考：按照传统的思维⽅式，按照每个系的⽐例进⾏席位的分配。

在该问题中，甲⼄丙三个系的⼈数⽐例为100:60:40=5:3:2。

因此按照这个⽐例进⾏席位的分配可以公平简单的实现席位分配。

但是上⾯的例⼦有些特殊，因为每个系的⼈数⽐例正好是整数，并且能够恰好分配所有的席位。

现在将问题进⼀步⼀般化。

假设甲系学⽣103⼈，⼄系学⽣63⼈，丙系学⽣34⼈。

此时甲⼄丙学⽣⼈数所占⽐例分⽐为51.5%、31.%、17.0%。

仍然分配20个席位，此时甲⼄丙按⽐例分配的席位个数分别为：10.3、6.3、3.4三个系进过协商同意将最后⼀个席位分配给⽐例中⼩数部分最⼤的丙系。

此时甲⼄丙席位分别为10、6、4现在问题进⼀步复杂。

由于决策过程可能出现10:10的现象，会议决定将增加⼀个席位。

依旧按照上述的将最后⼀个席位分配给⼩数⽐例最⼤的那个系。

见下⾯表格不过现在通过表格可以看出：总席位的增加，反⽽导致丙系由4个席位减少⾄3个席位，这样的分配⽅法（将最后⼀个席位分配给⼩数⽐例最⼤的那个系）对丙系不公平。

因此问题出现在分配席位的⽅法上⾯。

该分配席位的⽅法称为最⼤剩余法或者最⼤分数法最⼤分数法明显的缺陷：⼈⼝悖论，某⽅⼈⼝增加反⽽导致该⽅席位数⽬减少。

例如上述三系学⽣变为114,64,34.按照最⼤剩余法，21个席位的分配结果应该是：11、6、4，⼄系学⽣⼈数增加席位反⽽⽐原来少1席，丙系学⽣数量不变席位反⽽多了1席。

为了寻找新的公平的席位分配⽅法，先讨论衡量公平的数量指标不公平度指标为了简单，只考虑A，B两⽅分配席位的情况。

设两⽅⼈数分别为p1,p2,占有席位分别为n1,n2.则⽐例p1/n1,p2/n2为两⽅每个席位所代表的⼈数。

显然只有当p1/n1=p2/n2时，分配才公平。

§1. 代表席位分配模型一、问题：代表大会的召开，如何分配各单位的代表各方是最公平，最合理？ 例1．分配席位为整数某学校200学生：甲方：100名，乙方：60名，丙方40名，学生代表设20席，公平又简单的办法：按人数比例分配。

1、模型1（比例模型）： 代表名额分配：ii ip n p ⨯=⨯∑∑各单位学生人数代表席位学生总数甲方：()1002002050%2010⨯=⨯=席 乙方：()602002030%206⨯=⨯=席 乙方：()402002020%204⨯=⨯=席 2、模型2（惯例模型）分配席位为小数时——剩余席位分配结余最大的单位： 如：学生总数200人（丙方有6名学生转入甲、乙方各3人）即 甲：103人 乙：63人 丙：34人代表总数仍为20人，则：仍按上述方案分配就出现小数。

按惯例将席位整数19席分配完毕之后，剩余一席按照惯例分配给比例余数最大的丙席，于是分配结果似乎合理，是否合理看下例。

但若总数变化时所出3．惯例模型的问题----增加一席代表后的分配情况 增加一席代表后的分配结果：若学生总人数200，分布同2（甲103，乙6，丙34）学生代表人数21人（避免出现表决提案成平面）分配办法：仍按比例和惯例分配：分配结果：使人吃惊，总席为增加1席，丙方反而减少1席，显然“不公平”。

为此，要寻找更加“公平”的分配办法：问题：寻求更好的分配模型，使得分配结果更合理，于是，要解决此问题必须要弄清楚，该问题中什麽是“合理”？或者说我们应在该问题中如何去理解和定义“合理”的 概念。

即有以下的分析。

二．建模分析：席位分配模型——Q 值分配方案1、公平的定义：定义1：设：A 方人数 1p 人，若分配给 1n 个席位，则每席代表人数11p n B 方人数 2p 人，若分配给 2n 个席位，则每席代表人数22p n 则公平的定义为：若：有1212p p n n =成立，则席位分配是公平的，否则是不公平的。

公平席位分配问题数学建模数学建模,公平席位问题所在系别:地球科学与资源系专业班级:10级土管6班姓名:刘强1一、摘要本文就是席位分配公平与否的问题。

需要联系生活想象。

它就是在达到所有系最公平的条件下寻求最好的方法，通过对各个合理的计算和研究，总结找出最佳方案。

首先用比例分配法求出本题的答案，然而考虑到实际的多重因素下，在假设一组数据进行检验，然后便发现了问题，即:很多时候根本没有公平的分配方法，我需要另寻其他方法。

找到了以下关于分配的方法:Hamilton (哈密顿)方法、d’Hondt 接着我(汉丁顿)方法、Q值方法、d’Hondt(汉丁顿)方法+Q值法。

将对这些方法进行逐一分析与检验，使得得出一套最佳的合理方案。

即:使得各系席位分配最公平。

关键词:公平分配、最佳方案、最公平二、问题的重述某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各有多少个席位,三、问题的提出与分析分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中。

它涉及的内容十分广泛。

此题一个自然的问题是如何分配席位名额才是公平的呢,反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。

即:mi / xi当各系每席位代表的人数相等时，则就是最公平的分配方法。

此题公平的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲、乙、丙三系分别占有10、6、4个席位。

但是比例分配在实际生活中的应用并不广泛，原因是当所得结果并非整数时，就难以解决了。

此时就需要另寻其他方法了。

Hamilton (哈密顿)方法、d’Hondt(汉丁顿)方法、Q值方法均是求如何分配所总结的方法。

那么什么方法使得能够更大的获得公平呢,四、符号的约定• N 表示总席位数• s 表示系数• ni(i=1.2.3……s) 表示第i个系• mi(i=1.2.3……s) 表示各系中的人数• xi(i=1.2.3……s) 表示各系所获得的席位数?、采用比例分配法xi=(mi/N)*总席数20个席位的分配结果如下表人数系别ni 所占比例分配方案席位数xi mi甲 100 100/200 (50/100)*20=10 102乙 60 60/200 (30/100)*20=6 6丙 40 40/200 (20/100)*20=4 4• 但是我发现实际生活中结果是整数的情况少之又少，• 所以对此我们假设下面这种情况作为参考。