2014中国西部数学邀请赛解答

有两个数都小于 0 ,或都大于 0 ,即
- 7 ≤k ≤- 1 或 k ≥9. 又当 k ≥10 时 ,f ( k) ≥10 ×2 ×18 > 256 ,矛盾. 故 k ∈{ - 7 , - 6 , …, - 1 ,9}. 分别计算 ,可知满足 ①的 k 只有两个 ,即
k = - 4 , - 5.
从而 , x = -
b ,且 a - b ≥14. 故 b ≤a - 14 < 42.
于是
,
a b
=1+
ab
b
≥1
+
14 b
>
1
+
14 42
=
4 3
.
故正整数 m ≥56.
(ii) 若 m = 56 , 则 对 A 的 任 意 划 分 A1 , A2 , …,
A14 ,数 42 ,43 , …,56 中 ,必有两个数属于同一个 Ai ,它
n- 1
∏ A2 =
( x2 i + 1) .
i= m
注意到对 i ≠j , ( x2i + 1 , x2j + 1) = 1 , 2 | x , 2 , 2 x.
情形 1 2| x ,可知 Π m ≤i ≤n - 1 ,数 x2i + 1 都 是完全平方数 ,于是 ,只能是 x = 0 ;
情形 2 2
4) , xj = 13 yj ( j = 5 ,6 ,7) . 由 y1 + y2 + y3 + y4 = 20 有 C319 组正整数解 ,以及 y5 + y6 + y7 = 10 有 C29 组正整 数解 ,可知此时 ①有满足条件的 C319 ·C29 = 34 884 组 正整数解.

2014年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分.） 1.已知x 、y 、z 满足2x =3y-x =5z+x ，则5x-yy+2z的值为（ ）（A ）1 （B ）13 （C ）-13 （D ）12【答】B ．解：设 2x =3y-x =5z+x =1k 则x=2k ，y-z=3k ，z+x=5k ，即x=2k ，y=6k ，z=3k 。

所以5x-y y+2z =5·2k-6k 6k+6k =13，故选B.2.已知等腰三角形的周长为12，则腰长a 的取值范围是（ ）（A ）a ＞3 （B ）a ＜6 （C ）3＜a ＜6 （D ）4＜a ＜7 【答】C.解：腰长为a ，则底长为12-2a ，由2a ＞12-2a 及12-2a ＞0可得3＜a ＜6 故选C. 3.设 21x x 、 是一元二次方程032=-+x x的两根，则 1942231+-x x 等于（ ）（A ）-4 （B ）8 （C ）6 （D ）0 【答】D.解：将21x x 、代入方程，将目标整式降次，利用两根之和求解.4．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ） （A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D ）14【答】D.解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=， 中位数为 (1)(1)44224a ab a b++++++=， 于是 4423421444a b a b ++++-=. 故选D.5. 如图，正方形A BCD 和EFGC 中，正方形EFGC 的边长为a ，用a 的代数式表示阴影部分△AEG 的面积为（ ）（A ）232a （B ）223a （C ）212a （D ）2a【答】C ．6.若△ABC 的三条边a,b,c 满足关系式a 4+b 2c 2- a 2c 2-b 4=0，则△ABC 的形状是（ ） （A ）等腰三角形 （B ）等边三角形（C ）直角三角形 （D ）等腰三角形或直角三角形 【答】D.解法一：原方程左边变形为 （a 4-b 4）+（b 2c 2-a 2c 2）=0， （a 2+b 2）（a 2-b 2）+（b 2-a 2+）c 2=0，∴（a 2-b 2）（a 2+b 2-c 2）=0， ∴a=b 或c 2=a 2+b 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 解法二：应用配方法a 4+b 2c 2- a 2c 2-b 4=0， （a 4-a 2c 2）-（-b 2c 2+b 4）=0 （a 2-22c ）2 -（22c -b 2）2=0 ∴（a 2-b 2）（a 2+b 2-c 2）=0， ∴a 2-b 2=0,或a 2+b 2-c 2=0. ∴a=b 或c 2=a 2+b 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选D.7．一批志愿者组成了一个“爱心团队”，以募集爱心基金.第一个月他们就募集到资金1万元，随着影响的扩大，第n (n ≥2)个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%，则当该月所募集到的资金首次突破10万元时(参考数据: 51.22.5≈，61.2 3.0≈，71.2 3.6≈)，相应的n 的值为（ ）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 【答】D.8．如图：点D 是△ABC 的边BC 上一点，若∠CAD = ∠DAB = 60°，AC = 3 ，AB = 6，则AD 的长度是（ ）（A ）2 （B ）2.5 （C ）3 （D ）3.5 【答】A.解：如图，作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ，在Rt △ABE 中， ∠BAE= 60° ∴∠ABE= 30° ∴AE=21AB = 3 由勾股定理得BE =33∴21BCA s △AC ·BE =329 ∵∠CAD = ∠DAB = 60°同理得△ADC 和△ABD 中AD 边上的高分别是323和33 ∴=CD A s △343AD ,=B DA s △323AD 又CD A s △+B DA s △=BC A s △ ∴343AD + 323AD =329 ∴AD = 2 故选A9.若m=20132+20132×20142+20142，则m ( )（A ）是完全平方数，还是奇数 （B ）是完全平方数，还是偶数 （C ）不是完全平方数，但是奇数 （D ）不是完全平方数，但是偶数 【答】A.解 ：原式=20132-2×2013×2014+20142+2×2013×2014+20132×20142=(2013-2014)2+2×2013×2014+(2013×2014)2=1+2×2013×2014+(2013×2014)2=(2013×2014+1)2所以(2013×2014+1)2是一个完全平方数，末尾数字是9，所以也是奇数. 故选A. 10、设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ） （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1 【答】A.解：由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故 2()0a b c ++=．于是 2221()2ab bc ca a b c ++=-++， 所以22212ab bc ca a b c ++=-++．故选A.二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）11.已知整数1234a a a a ⋅⋅⋅，，，，满足下列条件：10a =，21|1|a a =-+，32|2|a a =-+，43|3|a a =-+，…，依次类推，则2012a 的值为 ．【答】1006-12.如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°， BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝ ．【答】解：.如图，可以通过旋转变换将△ABE 绕点B 逆时针旋转90°，得到△CBF.证明出四边形BFDE 是正方形,且它的面积是8，则边长是或者过点B 作BF ⊥BE ，交DC 延长线于F. 证明△ABE ≌△CBF ，其余思路同上。

2014 年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（竞赛时间：2014年3月2日上午9:00--11:00）一、选择题（共 6 小题，每小题 6 分，共36 分）以下每小题均给出了代号为A ，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）1．若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，则（A）2013 答】D．B)2014的值为【】C）2015 （D）0解：最大的负整数是－1，1；绝对值最小的有理数是0, •••=0；倒数等于它本身的自然数是1=1.=0.2. 已知实数满足则代数式的值是【A ）（B）3 （C）（D）7 答】A．解：两式相减得3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2 所示摆放，那么，图1 中的线段MN 在图 2 中的对应线段是【】A) B)C)D)【答】C . 解：将图1中的平 面图折成正方体，MN 和线段c 重合.不妨设 图1中完整的正方形 为完整面，△ AMN 和 △ ABM 所在的面为组 合面，则△ AMN 和与AM 重合，MN 与线段c 重合.△ ABM 所在的面为两个相邻的组合面，比较图 2,首先确定B 点，所以线段d4. 已知二次函数的图象如图所示，则下列7 个代数式12 / 75)3个 (C ) 4个】 (D) 4个以上答】C．解：由图象可得：抛物线与轴有两个交点，=118 /75即21 / 75. 从图象可得，抛物线对称轴在直线=1 的左边.因此7 个代数式中，其值为正的式子的个数为 4 个.5.如图，Rt A OAB的顶点O与坐标原点重合，/ AO=90°,AO=2BQ当A(x>0)的图象上移动点在反比例函数时， B 点坐标满足的函数解析式为【】x<0)B) x<0)C) x<0)D)x<0)答】B．轴的垂线那么28 / 756．如图，四边形ABHK 是边长为6 的正方形，点C、D 在边AB 上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP, E、F分别为MN、QR的中点，连接EF,设EF 的中点为G,则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为【】（A）1 （B）2 （C）3 （D）6【答】B.解：设KH 中点为S ,连接PE 、ES SF 、PF 、PS ,可证明四边形 PESF 为平行四边形，••• G 为PS 的中点，即在点P 运动过程中，G 始终为PS 的中点，所 以G 的运行轨迹为△ CSD 的中位线，••• CD=AB — AC — BD=6 — 1 — 1 = 4 , •••点 G 移动的路径长为=2.、填空题（共6小题，每小题6分，共36 分）A【答】原式=8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为个为红色玻璃球的概率为___________ ，那么，随机摸出一答】解：设口袋中蓝色玻璃球有个，依题意，得=10,所以P （摸出一个红色玻璃球）9. 若【答】8.10. _______________________________________ 如图，在Rt A OAB 中，/ AOB=30° AB=2,将Rt△ OAB 绕O 点顺时针旋转90°得到Rt△ OCD，则AB扫过的面积为______________________________________ .【答】解：T Rt A OAB 中，/ AOB=30°, AB=2,，BO=DO=4，AO=CO=阴影部分面11. 如图，在矩形ABCD中，AB=3, BC=4，点E是AD上一个动点，把△ BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A i恰落在/ BCD的平分线上时, CA i= __________答】．解：过A i 作A i M 丄BC,垂足为M，设CM=A i M=x,贝U BM=4 —X, 在Rt△ A i BM 中，E=A i M =•••在等腰Rt△ A i CM 中，C A i =12. 已知a、b、c、d是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5,若m是关于x 的方程(x—a)(x—b)(x—c)(x —d) =2014 中大于a、b、c、d 的一个整数根，贝U m的值为_______ .【答】20.解：•••( m—a)( m—b)( m—c)( m—d) =2014,且a、b、c、d 是四个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，二(m—a)、( m—b)、( m—c)、( m —d)是四个不同的正整数. v2014=1 >2X19>53, /•( m—a) + (m—b) + (m—c) + (m—d) =1+2+19+53=75.又v a+b+c+d =5，二m =20.三、解答题(第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分)13. 某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，易知0< x w 69, 0< y w 49, 0< z w 34,••• x, y, z均为正整数，>0，即0V z< 14••• z只能取14,9和4. (8)分① 当z 为14 时，=2，=28.② 当z 为9 时，=26，=18.③ 当z 为 4 时，=50 ，=8.综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支• ............................................................ 14分14. 如图，在矩形ABCD中, AD=8,直线DE交直线AB于点E,交直线BC于F，AE=6.(1)若点P是边AD上的一个动点(不与点A、D重合)，设DP为x,四边形AEHP勺面积为y,试求y与x的函数解析式；(2) 若AE=2EB①求圆心在直线BC上，且与直线DE AB都相切的。

（也可以猜出通项，用数学归纳法证明）
2014B 10、（本题满分 20 分）设 x1, x2 , x3 是多项式方程 x3 10x 11 0 的三个根.
⑴已知 x1, x2 , x3 都落在区间 5,5 之中，求这三个根的整数部分；（5 分）
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（B 卷） 第 4 页 共 10 页
以得到 an3 an 12 ，说明 a3k1,a3k ,a3k1分别是公差为12 的等差数列，首先分别为 a2 5 ， a3 9 ， a4 13 。又 a1, a2 , a3 , a4 成公差为 4 的等差数列，所有 an 也是公差为 4 的等差数列，
an 4n 3。
由过
AD
，
BE
交点的直线系方程为
x0 (x 2) 2(2 x0 2 y0
)

y



x 2

2y0 ( 2 x0
y 1) 2y0


0
，
把 C(2,1)
代入可得


1，此时直线系就变为
x0 (x 2(2 x0
2) 2y0
)

y

x

2

件 A 共包含 45 C153 。由于在 52 张牌随机抽取 5 张的基本事件个数为 C552 ，于是事件 A 发生的概率
为 45 C153
C
5 52
0.5071，从而 P( A) 1 0.5071 0.4929 。
2014B 8、设 g(x) x(1 x) ，是定义在区间[0,1]上的函数，则函数 y xg (x) 的图像与 x