2016中国西部数学邀请赛

四川 绵阳第一天 8月15日 上午 8:00~12:00每题15分1．设实数,,,a b c d 满足0abcd >．证明：存在,,,a b c d 的一个排列,,,x y z w ，使得()()()222222xz yw x y z w +>++．（刘诗雄供题）2．如图，设1O 与2O 相交于点,P Q ，它们的一条外公切线分别与12,O O 相切于点,A B ．过点,A B 的圆Γ分别与12,O O 交于点,D C ．证明：CP DPCQ DQ=．（张端阳供题）3．给定正整数,,2n k k n ≤-．设实数集{}12,,,n a a a 的任意k 元子集的元素和的绝对值不超过1．证明：若11a ≥，则对任意的2i n ≤≤，都有12i a a +≤．（冷岗松供题）4．定义n 元整数组的一次变换为：()()121122311,,,,,,,,n n n n n a a a a a a a a a a a a --→++++．求所有的正整数对(),,,2n k n k ≥，满足：对任意的n 元整数组()12,,,n a a a ，经过有限次变换后所得的数组中每一个数都是k 的倍数．（张新泽供题）四川 绵阳第二天 8月16日 上午 8:00~12:00每题15分5．证明：存在无穷多个正整数组(,,)a b c ，满足,,a b c 两两互素，且,,ab c bc a ++ca b +两两互素．（张端阳供题）6．设12,,,n a a a 是n 个非负实数，记1kk i i S a ==∑，1k n ≤≤．证明：()2211nn n i i j i i i j i i a S a a S ===⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑∑． （王广廷供题）7．如图，ABCD 为圆内接四边形，BAC DAC ∠=∠． 设12,I I 分别为,ABC ADC ∆∆的内切圆． 证明：12,I I 的某一条外公切线与BD 平行． （羊明亮供题）8．给定整数(),,2,,1m n m n m n ≤<=．求最小的整数k ，满足：对集合{}1,2,,n 的任意m 元子集I ，若i Ii k ∈>∑，则存在n 个实数12n a a a ≤≤≤，使得111ni i i I i a a m n ∈=>∑∑． （邹瑾供题）。

2016年全国高中数学联赛陕西省预赛试题及答案一、选择题（每小题6分，共48分）1.已知集合{}1,2,3,10M = ，A 是M 的子集，且A 中各元素的和为8，则满足条件的子集A 共有（ ）A ．8个B ．7个C ．6个D ．5个 答案：C ．解：元素和为8的子集A 有：{}{}{}{}{}{}8,1,7,2,6,3,5,1,2,5,1,3,4，共6个．2.在平面直角坐标系中，不等式组0200y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩表示的平面区域的面积是（ ）A．2BC ．2 D．答案：B ．解：不等式组表示的平面区域是一个三角形的内部（包括边界），其中三个顶点的坐标分别是()()(2,0,0,0,.A O B -易知，△AOB的面积122S =⨯= 3.设,,a b c是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥ ，则()()c a c b -⋅- 的最大值是（ ）A．1 B．1 CD ．1 答案：A ．解：方法1：因为,1a b a b c ⊥===，所有0,a b a b ⋅=+=设向量c 与a b +的夹角为θ，则()()()22cos 11c a c b c c a b a bc c a b θθ-⋅-=-⋅++⋅=-⋅+=≤当且仅当cos 1θ=-，即θπ=时，等号成立．故()()c a c b -⋅-的最大值为1+方法2：依题意，不妨设()()()1,0,0,1,cos ,sin a b c θθ===，则()()()()()22cos 1cos sin sin 1cos sin cos sin 1.4c a c b θθθθπθθθθθ-⋅-=-+-⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭故当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()()c a c b -⋅-取得最大值，最大值为1+4.从1,2,,20 这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为（ ） A ．15 B ．110 C ．319 D ．338答案：D ．解：从这20个数中任取3个数，不同的取法共有3201140C =种．若取出的3 个数,,a b c 成等差数列，则2a c b +=，所以a 、c 同为奇数，或同为偶数，且a 、c 确定后，b 随之而定．故所求的概率为2210103203.38C C p C +== 5.,A B 是抛物线23y x =-上关于直线0x y +=对称的相异两点，则AB 等于（ ） A ．3 B ．4 C． D．答案：C ．解：方法1：因为点A 、B 关于直线0x y +=对称，所以 1.AB k =设直线AB 的方程为y x b =+，代入23y x =-，得230.x x b ++-=……①由()1430b ∆=-->，得13.4b <设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点为()00,M x y ，则1201.22x x x +==-从而，001.2y x b b =+=-又点11,22M b ⎛⎫--⎪⎝⎭在直线0x y +=上，所以110,22b -+-=即 1.b = 将1b =代入①，得220x x +-=．解得122, 1.x x =-= 所以()()2,1,1,2.A B --故AB =6.如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为△BCD 的重心，M 是线段AG 的中点，则四棱锥M -BCD 的外接球的表面积为（ ） A ．π B ．32π CD解：如图，连结BG ．因为G 为正△BCD 的重心，所以AG ⊥平面BCD ，从而而.AG BG ⊥在Rt △AGB中，21,3AB BG ===AG ==于是，12MG AG ==在Rt △MGB 中，2MB =从而2MC MB ==所以22221.MB MC BC +==所以 .MB MC ⊥同理,.MC MD MD MB ⊥⊥所以三棱锥M -BCD 的外接球的直径等于以DAMDGBMB、MC、BD为棱的正方体的对角线的长．设三棱锥M-BCD的外接球半径为R，则2R B==故外接球的表面积234.2S Rππ==7.设函数()32f x x ax bx c=+++（,,a b c均为非零整数）．若()()33,f a a f b b==，则c的值是（）A．16-B．4-C．16答案：D．解：设()()32g x f x x ax bx c=-=++，则由()()33,f a a f b b==，得()()0.g a g b==所以a、b为方程()0g x=的两个根，则,.b ca b aba a+=-=消去b，得()()42111.11ac a aa a=-=-+--++因为c为整数，所以11a+=±，即0a=（舍去）或2a=-．故16.c=8.设非负实数,,a b c满足0ab bc ca a b c++=++>，则的最小值为（）A．2B．3CD．答案：A．解：不妨设a b c≥≥，由均值不等式，得()(((((((()2a b ca b b c c aa b b c c aab bc ca++=+++≥+++≥++当且仅当0c=且a b=时，等号成立．又0ab bc ca a b c++=++>2.≥由0,,c a b ab bc ca a b c==++=++，得2,0.a b c===故当a、b、c中有两个为2，一个为02.二、填空题（每小题8分，共32分）9.设数列{}n a中，4111,9a a==，且任意连续三项的和都是15，则2016a=．答案：5．解：依题意，对任意n N+∈，1212315.n n n n n na a a a a a+++++++=++=所以，3.n n a a +=从而，142113121,9,15 5.a a a a a a a =====--= 故201636723 5.a a a ⨯===10.设,m n 均为正整数，且满足424m n =，则m 的最小值是 ． 答案：54.解：由432423n m m ==⨯⨯，得m 的最小值为32354.⨯=11.设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x +=，若对[]1,2x ∈，不等式()()20af x g x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．答案：17,.6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭解：因为()()2.xf xg x += ①所以()()2,xf xg x --+-=即()()2.xf xg x --+= ②由①、②得()()2222,.22x x x xg x h x ---+== 由()()20af x g x +≥，得()2222220.x xx x a ---++≥ ③ 令22x xt -=-，则由[]1,2x ∈，得315,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且22222 2.x x t -+=+ 所以由③得2a t t -≤+对315,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立． 因为函数2t t +在315,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当32t =时，min 217.6t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以176a -≤，即17.6a ≥- 12.设x R ∈，则函数()21324354f x x x x x =-+-+-+-的最小值为 ． 答案：1．解：()12342345234514243234253541424232535414223 1.5253f x x x x x x x x x x x x x x =-+-+-+-⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥---+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+-=当且仅当142430,0,025354x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≤--≤-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即34x =时，等号成立． 故()min 3 1.4f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭第二试一、（本题满分20分）设,x y 均为非零实数，且满足sincos955tan .20cos sin 55x y x y πππππ+=-（1）求y x的值；（2）在△ABC 中，若tan yC x =，求sin 22cos A B +的最大值．解：（1）由已知得tan 95tan .201tan 5y x y x πππ+=- 令tan yxθ=，则tantan 95tan201tan tan5πθππθ+=-，即9tan tan .520ππθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以9520k ππθπ+=+，即().4k k Z πθπ=+∈ 故tan tan tan 1.44y k x ππθπ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭ （2）由（1）得tan 1.C = 因为0C π<<，所以4C π=．从而，4A B π3+=，则322.2A B π=-所以223sin 22cos sin 22cos 2cos 22cos 2cos 2cos 1132cos .22A B B BB B B B B π⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭=-+=-++⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当1cos 2B =，即3B π=时，sin 22cos A B +取得最大值3.2二、（本题满分20分）已知直线:4l y =+，动圆()222:12O x y r r +=<<，菱形ABCD 的一个内角为60 ，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上，当r 变化时，求菱形ABCD 面积S 的取值范围．解：因为菱形ABCD 有一个角为60，所以 △ACD 或△BCD 为等边三角形，不妨设△ACD 为等边三角形，如图所示．因为圆心O 到直线l 的距离为2r >，所以直线l 与圆相离． 设直线CD的方程为y b +，则直线l 与CD 的距离为4.2d d -=又圆心O 到直线CD 的距离为2b，所以CD =由d =，得42b -=化简得22243.b b r -+=因为12r <<，所以232412.b b <-+<解得21b -<<，或1 4.r <<又)22222224.46ACDS S d b ∆===⨯=-因为函数)246S b =-在()2,1-和()1,4上分别单调递减，所以菱形ABCD 的面积S 的取值范围为.⎛ ⎝三、（本题满分20分）如图，圆1O 与圆2O 相交于,P Q 两点，圆1O 的弦PA 与圆2O 相切，圆2O 的弦PB 与圆1O 相切，直线PQ 与△PAB 的外接圆O 交于另一点R ．求证：.PQ QR =证法1：如图，连结12O O ，分别交PQ 、PO 于点M 、N ，则12OO PQ ⊥，且M 为PQ 的中点．连结1PO 、2PO 、1OO 、2OO 、OQ 、OR ．因为PA 与圆2O 相切，所以2.PA PO ⊥ 又PA 为圆1O 与圆O 的公切线，所以1.PA O O ⊥ 所以21//.PO OO 同理，12//.PO O O所以四边形12PO OO 为平行四边形．从而，N 为PO 的中点． 又M 为PQ 的中点，所以//MN OQ ，即12//.OO OQ 因为12OO PQ ⊥，所以OQ PQ ⊥，即.OQ PR ⊥ 又OP OR =，故Q 为PR 的中点，即.PQ QR =证法2：如图，连结AQ 、BQ 、AR 、BR ．因为PA 与圆2O 相切，PB 与圆1O 相切，所以,.APQ PBQ PAQ BPQ ∠=∠∠=∠ 所以△PAQ ∽△BPQ ，所以,PQ AQBQ PQ=即2.PQ AQ BQ =⋅ 又,AQR APQ PAQ APQ BPQ APB ∠=∠+∠=∠+∠=∠,QRA PRA PBA ∠=∠=∠所以△QAR ∽△.PAB同理，△QRB ∽△.PAB 所以△QQR ∽△.QRB所以QR QAQB QR=，即2.QR QA QB =⋅ 故22PQ QR =，即.PQ QR =四、（本题满分30分）设函数()1ln 1,f x x a a R x ⎛⎫=+-∈⎪⎝⎭，且()f x 的最小值为0． （1）求a 的值；（2）已知数列{}n a 满足()()111,2n n a a f a n N ++==+∈，设[][][][]123n n S a a a a =++++ ，其中[]m 表示不超过m 的最大整数．求.n S解：（1）()221,0.a x af x x x x x-'=-=> 当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增，无最小值，不合题意．当0a >时，若0x a <<，则()0f x '<；若x a >，则()0f x '>．所以函数()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．所以()()min ln 1.f x f a a a ==-+设()()ln 10g a a a a =-+>，则()111.a g a a a-'=-= 若01a <<，则()0g a '>；若1a >，则()0g a '<．所以函数()g a 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．所以()()10g a g ≤=，当且仅当1a =时，等号成立．图当1a =时，()f x 取得最小值0.（2）由（1）知，()1ln 1f x x x =+-，所以()112ln 1.n n n na f a a a +=+=++由11a =得，2 2.a =从而，33ln 2.2a =+因为1ln 212<<，所以32 3.a << 下面用数学归纳法证明：当3n ≥时，2 3.n a <<（Ⅰ）当3n =时，结论已成立．（Ⅱ）假设当()3n k k =≥时，23k a <<．那么，当1n k =+时，有11ln 1k k ka a a +=++ 由（1）知，()()12ln 1h x f x x x=+=++在()2,3上单调递增． 所以()()()23k h h a h <<，即()31ln 2ln 3 1.23k h a +<<++ 因为15ln 2,ln 323><，所以()23k h a <<，即12 3.k a +<< 即当1n k =+时，结论也成立． 由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，对一切整数3n ≥，都有2 3.n a <<所以[][]()11,22.n a a n ==≥故[][][][]()1231212 1.n n S a a a a n n =++++=+-=-五、（本题满分30分）设,,a b c 为正实数，且满足1abc =，对任意整数2n ≥，证明：++≥证法1：不妨设a b c≤≤，则≤≤由切比雪夫不等式，得1.3a b c++=≤又由幂平均不等式，得≤=所以.a b c++≤所以.a b c++≤≥=由已知及均值不等式，得 3.a b c++≥=≥证法2：令A a b c=++，则0,,1a b cAA A<<，由幂级数展开式，得2121,a aA Aαα⎡⎤⎛⎫===+⋅++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦其中，1111121,1,2,.!kkn n n nkkα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==2121,b bA Aαα⎡⎤⎛⎫==+⋅++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2121.c cA Aαα⎡⎤⎛⎫==+⋅+⋅+⎥⎪⎝⎭⎥⎦所以()()212223122122333311133a b c a b ca b cA Aa b c a b ca b cA Aαααααα⎤++++=+++⋅+⋅+⎥⎦⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎥≥+++⋅+⋅+⎥⎥⎣⎦⎫=+⋅+⋅+⎪⎭==≥=注1：切比雪夫不等式设1212,,,,,,,n nx x x y y y为任意两组实数，若12nx x x≤≤≤且12ny y y≤≤≤或12nx x x≥≥≥且12ny y y≥≥≥，则111111n n ni i i ii i ix y x yn n n===⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（*）若12nx x x≤≤≤且12ny y y≥≥≥或12nx x x≥≥≥且12ny y y≤≤≤，则111111n n ni i i ii i ix y x yn n n===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（**）当且仅当12nx x x===或12ny y y===时，（*）和（**）中的等号成立．注2：幂平均不等式若αβ>，且0,0αβ≠≠，0,1,2,,ix i n>= ，则11.n ni ii ix xn nαβαβ11==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪≥⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑。

“第九届中国西部数学奥林匹克”在母校举行开幕式主会场1987年国际数学奥林匹克委员会决定“第31届国际数学奥林匹克(IMO)”于l990年7月在中国北京举行。

为了成功举办这项活动，国务院责成国家教委、中国科协、北京市政府、国家自然科学基金委员会和中国数学会联合举办。

要求以上机构组成领导机构和工作班子，积极进行筹备工作。

组委会主任由时任国务委员、国家教委主任的李铁映同志担任。

除工作机构外，还由众多著名数学家组成顾问委员会，在中国数学会麾下组建了中国数学会奥林匹克委员会。

中国西部数学奥林匹克(cwMO)是经中国科协批准的，由中国数学会奥林匹克委员会主持的一项数学竞赛活动。

其目的是鼓励更多的中西部地区的学生参加数学课外活动，促进西部地区数学教育事业的发展，为西部地区的学校提供相互学习和交流的机会，同时也为西部大开发做一些实事。

这项活动从一开始就受到中西部各省、市、自治区的领导和中学师生们的欢迎。

自2001年第一届中国西部数学奥林匹克由陕西省数学会和西北大学承办以来，到2008年已举办了8届，由于承办活动的省、市、自治区各级领导的重视和大力支持，承办学校的精心筹备和组织，这些活动都取得了很大的成功。

2008年第八届中国西部数学奥林匹克在贵州省师大附中举行，在这次活动期间，中国数学会奥林匹克委员会正式决定委托云南师大附中和云南省数学会承办2009年第九届中国西部数学奥林匹克。

云南师大附中和云南省数学会愉快地接受了中国数学会的委托并在各级领导的支持下做了大量的准备工作。

第九届中国西部数学奥林匹克于2009年10月28日～11月1 日在云南师大附中如期举行。

有来自我国中西部地区的15个省、市、自治区的20个学生代表队，共80名学生参加，也有来自香港、新加坡、菲律宾、哈萨克斯坦和罗马尼亚的30名境外学生代表参加了这次数学竞赛活动。

高中数学竞赛考试大纲及必备辅导书汇总，尖子生请收好！首先，强调一点：不是所有学生都可以学数学竞赛，要想学习数学竞赛必须同时具备以下条件：•高考数学可以轻松应对；•对数学竞赛有兴趣，自发选择学习数学竞赛；•具备自主学习能力；•高考涉及的其他学科不存在太大问题，或个人的竞赛前景远优于高考前景。

数学竞赛需要的时间和精力都是很大的，并且如果因为学习竞赛受挫而导致对数学产生负情绪是得不偿失的，因此，我从不提倡“全民竞赛”。

当然，如果你恰好符合以上的四个条件，那么你一定要学习竞赛。

为什么？因为学习数学竞赛的好处很多。

与其他学科竞赛一样，学习数学竞赛除了能在升入高校方面获得保送或降分的优惠外，还能培养学生的自主学习能力，这对学生的整个大学学习乃至今后的学术研究或是社会工作是尤为重要的。

当然，对于大部分学生来说，高校的吸引力是最大的。

而2016年新发布的高校自主招生政策中，其中的变化值得深思：•取消“校荐”，考生需自己报名；•“年级排名”不再是报名条件；•门槛抬高，审核更为严格；•报考专业一定要与特长匹配；•试点高校自主招生考核统一安排在高考结束之后、高考成绩公布前进行。

我们最需要关注的点有三个：① 由于校荐被取消，年级排名也被废除，原本校内成绩突出的学生很难走自招，而自招的报名人数会上升，竞争更加激烈；② 据了解，985高校自招的初审底线是竞赛拿到省二以上，而北清更是要求拿到省一，门槛的提高导致了28万申请自招的学生只有4万余人通过初审，8千余人获得资格，初审和复审的通过率均低于20%；③ 现在的自招考试要求不超过两科，考试的科目和专业是相匹配的，而绝大多数专业的考试科目都有数学，因此数学竞赛的比重是很高的。

总的来说，新的政策直接导致的是各高中年级排名较高的学生更难上清北（难以进入博雅领军，难以获得自招资格，裸考进清北的人更少），而间接导致的是更多的学生走上了竞赛这条道路。

因此，若你有足够的实力，精力和时间，那么竞赛将是你们的不二之选。

目录2001年西部数学奥林匹克 (2)2002年西部数学奥林匹克 (4)2003年西部数学奥林匹克 (6)2004年西部数学奥林匹克 (7)2005年西部数学奥林匹克 (8)2006年西部数学奥林匹克 (10)2007年西部数学奥林匹克 (12)2008年西部数学奥林匹克 (14)2009年西部数学奥林匹克 (16)2010年西部数学奥林匹克 (18)2011年西部数学奥林匹克 (21)2012年西部数学奥林匹克 (23)2001年西部数学奥林匹克1.设数列{x n}满足x1=12，x n+1=x n+x n2n2.证明：x2001<1001.（李伟固供题）2.设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△P AB的内切圆与边AB的切点.乘积PP⋅PP的值随着长方形ABCD及点P 的变化而变化，当PP⋅PP取最小值时，（1）证明：PP≥2PB；（2）求PQ⋅PQ的值.（罗增儒供题）3.设n、m是具有不同奇偶性的正整数，且n>m.求所有的整数x，使得x2n−1x m−1是一个完全平方数.（潘曾彪供题）4.设x、y、z为正实数，且x+y+z≥xyz.求x2+y2+z2xyz的最小值.（冯志刚供题）5.求所有的实数x，使得[x3]=4x+3.这里[y]表示不超过实数y的最大整数.（杨文鹏供题）6.P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B.设Q为PO与AB的交点，过Q作⊙O的任意一条弦CD.证明：△PAB与△PCD有相同的内心. （刘康宁供题）7.求所有的实数x∈�0,π2�，使得(2−sss2x)sss�x+π4�=1，并证明你的结论.（李胜宏供题）8.我们称P1,P2,⋯,P n为集合A的一个n分划，如果（1）P1∪P2∪⋯∪P n=P；（2）P i∩P j≠Φ,1≤s<j≤s.求最小正整数m，使得对P={1,2,⋯,m}的任意一个14分划P1,P2,⋯,P14，一定存在某个集合P i(1≤s≤14)，在P i中有两个元素a、b满足b<a≤43b. （冷岗松供题）2002年西部数学奥林匹克1.求所有的正整数n，使得s4−4s3+22s2−36s+18是一个完全平方数.2.设O为锐角△ABC的外心，P为△AOB内部一点，P在△ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：以FE、FD为邻边的平行四边形位于△ABC内.3.考虑复平面上的正方形，它的4个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x4+px3+qx2+rx+s=0的4个根.求这种正方形面积的最小值.4.设n为正整数，集合P1,P2,⋯,P n+1是集合{1,2,⋯,s}的n+1个非空子集.证明：存在{1,2,⋯,s+1}的两个不交的非空子集{s1,s2,⋯,s k}和{j1,j2,⋯,j m}，使得P i1∪P i2∪⋯∪P i k=P j1∪P j2∪⋯∪P j m.5.在给定的梯形ABCD中，AD∥BC，E是边AB上的动点，O1、O2分别是△AED、△BEC的外心.求证：O1O2的长为一定值.6.设s(s≥2)是给定的正整数，求所有整数组(a1,a2,⋯,a n)满足条件：（1）a1+a2+⋯+a n≥s2；（2）a12+a22++a n2≤s3+1.7.设α、β为方程x2−x−1=0的两个根，令a n=αn−βnα−β,s=1,2,⋯.（1）证明：对任意正整数n，有a n+2=a n+1+a n；（2）求所有正整数a、b，a<b，满足对任意正整数n，有b整除a n−2sa n.8.设S=(a1,a2,⋯,a n)是一个由0，1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续5项不同，即对任意1≤s<j≤s−4，a i,a i+1,a i+2,a i+3,a i+4与a j,a j+1,a j+2,a j+3,a j+4不相同.证明：数列S 最前面的4项与最后面的4项相同.1. 将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10.求每一个面上四个数之和的最小值.2. 设2n 个实数a 1,a 2,⋯,a 2n 满足条件∑(a i+1−a i )2=12n−1i=1.求(a n+1+a n+2+⋯+a 2n )−(a 1+a 2+⋯+a n )的最大值.3. 设n 为给定的正整数.求最小的正整数u n ，满足：对每一个正整数d ，任意u n 个连续的正奇数中能被d 整除的数的个数不少于奇数1,3,5,⋯,2s −1中能被d 整除的数的个数.4. 证明：若凸四边形ABCD 内任意一点P 到边AB 、BC 、CD 、DA 的距离之和为定值，则ABCD 是平行四边形.5. 已知数列{a n }满足：a 0=0，a n+1=ka n +�(k 2−1)a n 2+1,s =0,1,2,⋯,其中k 为给定的正整数.证明：数列{a n }的每一项都是整数，且2k |a 2n ,s =0,1,2,⋯. 6. 凸四边形ABCD 有内切圆，该内切圆切边AB 、BC 、CD 、DA 的切点分别为A 1、B 1、C 1、D 1，连结A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1，点E 、F 、G 、H 分别为A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1的中点.证明：四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是A 、B 、C 、D 四点共圆.7. 设非负实数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5满足∑11+x i =15i=1.求证：∑x i4+x i 25i=1≤1. 8. 1650个学生排成22行、75列.已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对.证明：男生的人数不超过928.1.求所有的整数n，使得s4+6s3+11s2+3s+31是完全平方数.2.四边形ABCD为一凸四边形，I1、I2分别为△ABC、△DBC的内心，过点I1、I2的直线分别交AB、DC于点E、F，分别延长AB、DC，它们相交于点P，且PE=PF.求证：A、B、C、D四点共圆.3.求所有的实数k，使得不等式a3+b3+c3+d3+1≥k(a+b+c+d)对任意a、b、c、d∈[−1,+∞)都成立.4.设s∈N+，用d(s)表示n的所有正约数的个数，ϕ(s)表示1,2,⋯,s 中与n互质的数的个数.求所有的非负整数c，使得存在正整数n，满足d(s)+ϕ(s)=s+c，且对这样的每一个c，求出所有满足上式的正整数n.5.设数列{a n}满足a1=a2=1，且a n+2=1a n+1+a n,s=1,2,⋯.求a2004.6.将m×s棋盘（由m行n列方格构成，m≥3,s≥3）的所有小方格都染上红蓝两色之一.如果2个相邻（有公共变）的小方格异色，则称这2个小方格为1个“标准对”.设期盼中“标准对”的个数为S.试问：S是奇数还是偶数有哪些方格的颜色确定？什么情况下S为奇数？什么情况下S为偶数？说明理由.7.已知锐角△ABC的三边长不全相等，周长为l，P是其内部一动点，点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：2（PB+PD+ BB）=l的充分必要条件是：点P在△ABC的内心与外心的连线上.8.求证：对任意正实数a、b、c，都有1<a√a2+b2+b√b2+c2+c√c2+a2≤3√22.1. 已知α2005+β2005可表示成以α+β、αβ为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.2. 如图1，过圆外一点P 作圆的两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，再过点P 作圆的一条割线分别与圆交于C 、D 两点，过切点B 作P A 的平行线分别交直线AC 、AD 于E 、F .求证：PB =PB .图13. 设S ={1,2,⋯,2005}.若S 中任意n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求n 的最小值.4. 已知实数x 1,x 2,⋯,x n (s >2)满足|∑x i n i=1|>1，|x i |≤1(s =1,2,⋯,s ).求证：存在正整数k ，使得�∑x i k i=1−∑x i n i=k+1�≤1 5. 如图2，⊙O 1、⊙O 2交于A 、B 两点.过点O 1的直线DC 交⊙O 1于点D 且切⊙O 2于点C ，CA 且⊙O 1于点A ，⊙O 1的弦AE 与直线DC 垂直.过点A 作AF 垂直于DE ，F 为垂足.求证：BD 平分线段AF .图2P6.在等腰Rt△ABC中，BP=BP=1，P是△ABC边界上任意一点.求PP⋅PP⋅PB的最大值.7.设正实数a、b、c满足a+b+c=1.证明：10(a3+b3+c3)−9(a5+b5+c5)≥1.8.设n个新生汇总，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不任何.试求n的最大值.2006年西部数学奥林匹克1. 设s (s ≥2)是给定的正整数，a 1,a 2,⋯,a n ∈(0,1).求∑�a i (1−a i+1)6n i=1的最大值，这里a n+1=a 1. 2. 求满足下述条件的最小正实数k ：对任意不小于k 的4个互不相同的实数a 、b 、c 、d ，都存在a 、b 、c 、d 的一个排列p 、q 、r 、s ，使得方程(x 2+px +q )(x 2+rx +s )=0有4个互不相同的实数根. 3. 如图1，在△ABC 中，∠PPB =60°，过点P 作△PBC 的外接圆⊙O 的切线，与CA 的延长线交于点A .点D 、E 分别在线段PA 和⊙O 上，使得∠DPB =90°，PD =PE .连结BE 与PC 相交于点F .已知AF 、BP 、CD 三线共点.（1） 求证：BF 是∠PPB 的角平分线；（2） 求tas ∠PBP 的值.图14. 设正整数a 不是完全平方数.求证：对每一个正整数n ，S n =�√a�+�√a�2+⋯+�√a�n的值都是无理数.这里{x }=x −[x ]，其中，[x ]表示不超过x 的最大整数.5. 设S =�s�s −1,s ,s +1都可以表示为两个正整数的平方和�.证明：若s ∈S ，则s 2∈S .C6. 如图2，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，过点C 作⊙O 的割线，与⊙O 交于点D 、E ，OF 是△BOD 的外接圆⊙O 1的直径，连结CF 并延长交⊙O 1于点G .求证：O 、A 、E 、G 四点共圆.图27. 设k 是一个不小于3的正整数，θ是一个实数.证明：如果cms (k −1)θ和cms kθ都是有理数，那么，存在正整数s (s >k )，使得cms (s −1)θ和cms sθ都是有理数. 8. 给定正整数s (s ≥2)，求|X |的最小值，使得对集合X 的任意n 个二元子集P 1,P 2,⋯,P n ，都存在集合X 的一个子集Y ，满足：(1)|Y |=s ;(2) 对s =1,2,⋯,s ，都有|Y ∩P i |≤1.这里，|P |表示有限集合A 的元素个数.A2007年西部数学奥林匹克1. 已知T ={1,2,⋯,8}.对于P ⊆T ,P ≠Φ，定义S (P )为A 中所有元素之和.问：T 有多少个非空子集A ，使得S (P )是3的倍数，但不是5的倍数？2. 如图1，⊙O 1、⊙O 2交于点C 、D ，过D 的一条直线分别与⊙O 1、⊙O 2交于点A 、B ，点P 在⊙O 1的AD 弧上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙O 2的BD 弧上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ，O 是△ABC 的外心.求证：OD ⊥MN 的充要条件为P 、Q 、M 、N 四点共圆.图13. 设实数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：15a −4a+11+15b −4b+11+15c −4c+11≤14. 4. 设O 是△ABC 内部一点.证明：存在正整数p 、q 、r ，使得|pOP +qOP +rOB |<12007.5. 是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？O6.求所有的正整数n，使得存在非零整数x1,x2,⋯,x n,y,满足�x1+x2+⋯+x n=0,x12+x22+⋯+x n2=sy2.7.设P是锐角△ABC内一点，AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB 交于点D、E、F，已知△DBB∼△PPB.求证：P是△ABC的重心. 8.将n枚白子与n枚黑子任意地放在一个圆周上.从某枚白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,⋯,s.在从某枚黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,⋯,s.证明：存在连续n枚棋子（不计黑白），它们的标号组成的集合为{1,2,⋯,s}.2008年西部数学奥林匹克1.实数数列{a n}满足a0≠0,1,a1=1−a0，a n+1=1−a n(1−a n)(s=1,2,⋯).证明：对任意的正整数n，都有a0a1⋯a n�1a0+1a1+⋯+1a n�=1.2.如图1，在△ABC中，AB=AC，其内切圆⊙I分别切边BC、CA、AB于点D、E、F，P为弧EF（不含点D的弧）上一点.设线段BP交⊙I于另一点Q，直线EP、EQ分别交BC于点M、N.证明：(1)P、F、B、M四点共圆；(2)EE EE=BB BB.图13.设整数m(m≥2)，a1,a2,⋯,a m都是正整数.证明：存在无穷多个正整数n，使得数a1×1n+a2×2n+⋯+a m×m n都是合数.4.设整数m(m≥2)，a为正实数，b为非零实数，数列{x n}定义如下：x1=b,x n+1=ax n m+b(s=1,2,⋯).证明：(1)当b<0且m为偶数时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≥−2；(2)当b<0且m为奇数，或b>0时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≤(m−1)m−1m m.5.在一直线上相邻的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008.6.设x、y、z∈(0,1)，满足�1−x yz+�1−y zx+�1−z xy=2.求xyz的最大值.7.设n为给定的正整数.求最大的正整数k，使得存在三个由非负整数组成的k元集P={x1,x2,⋯,x k}，P={y1,y2,⋯,y k}，B= {z1,z2,⋯,z k}满足对任意的j(1≤j≤k)，都有x j+y j+z j=s.8.设P为正n边形P1P2⋯P n内的任意一点，直线P i P(s=1,2,⋯s)交正n边形P1P2⋯P n的边界于另一点P i.证明：∑PP i n i=1≥∑PP i n i=1.2009年西部数学奥林匹克1.设M是一个由实数集R去掉有限个元素后得到的集合.证明：对任意正整数n，都存在n次多项式f(x)，使得f(x)的所有系数及n个实根都属于M.2.给定整数s≥3.求最小的正整数k，使得存在一个k元集合A和n 个两两不同的实数x1,x2,⋯,x n，满足x1+x2,x2+x3,⋯,x n−1+x n,x n+x1均属于A.3.设H为锐角△ABC的垂心，D为边BC的中点.过点H的直线分别交边AB、AC于点F、E，使得AE=AF，射线DH与△ABC的外接圆交于点P.求证：P、A、E、F四点共圆.4.求证：对任意给定的正整数k，总存在无穷多个正整数n，使得2n+3n−1,2n+3n−2,⋯,2n+3n−k均为合数.5.设数列{x n}满足x1∈{5,7}及当k≥1时，有x k+1∈{5x k,7x k}.试确定x2009的末两位数字的所有可能值.6.如图1，设D是锐角△ABC的边BC上一点，以线段BD为直径的圆分别交直线AB、AD于点X、P（异于点B、D），以线段CD为直径的元分别交直线AC、AD于点Y、Q（异于点C、D）.过点A作直线PX、QY的垂线，垂足分别为M、N.求证△PMN∼△PPB的充分必要条件是直线AD过△ABC的外心.图17. 有s (s >12)个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成，每答对一题得1分，不答或答错得0分.分析每一种可能的得分情况发现：只要其中任意12个人得分之和不少于36分，则这n 个人中至少有3个人答对了至少三道同样的题.求n 的最小可能值.8. 实数a 1,a 2,⋯,a n (s ≥3)满足a 1+a 2+⋯+a n =0，且2a k ≤a k−1+a k+1(k =2,3,⋯,s −1).求最小的λ(s )，使得对所有的k ∈{1,2,⋯s }，都有|a k |≤λ(s )⋅max {|a 1|,|a n |}.B2010年西部数学奥林匹克1. 设m 、k 为给定的非负整数，p =22m +1为质数.求证： (1) 22m+1p k ≡1(mmd p k+1);(2) 满足同余方程2n ≡1(mmdp k+1) 的最小正整数n 为2m+1p k . （靳 平 供题）2. 如图1，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆周上异于点A 、B 且在AB 同侧的两点，分别过点C 、D 作圆的切线，它们交于点E ，线段AD 与BC 的交点为F ，直线EF 与AB 交于点M .求证：E 、C 、M 、D 四点共圆.图1（刘诗雄 供题）3. 求所有的正整数n ，使得集合{1,2,⋯,s }有n 个两两不同的三元子集P 1,P 2,⋯,P n ，满足对任意的k (1≤s <j ≤s )，都有�P i ∩P j �≠1.（冯志刚 供题）4. 设非负实数a 1,a 2,⋯,a n 与b 1,b 2,⋯,b n 满足以下条件： （1） ∑a i +b i n i=1=1; （2） ∑s (a i −b i )n i=1=0; （3） ∑s 2(a i +b i )n i=1=10.求证：对任意的k(1≤k≤s)，都有max{a k,b k}≤1010+k2. （李胜宏供题）5.设k为大于1的整数，数列{a n}定义如下：a0=0,a1=1,a n+1=ka n+a n−1(s=1,2,⋯).求所以满足如下条件的k：存在非负整数l、m(l≠m)，及正整数p、q，使得a l+ka p=a m+ka q. （熊斌供题）6.如图2，在△ABC中，∠PBP=90°，以B为圆心、BC为半径作圆，点D在边AC上，直线DE切⊙B于点E，过点C垂直于AB的直线于直线BE交于点F，AF与DE交于点G，作AH∥BG于DE交于点H.求证GE=GH.图2（边红平供题）7.有s(s≥3)名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场且没有平局.若选手A的手下败将不都是B的手下败将，则称A不亚于B.试求所有可能的n，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都不亚于其他任何一名选手.（李秋生供题）8.求所有的整数k，使得存在正整数a和b，满足b+1a+a+1b=k.（陈永高供题）2011年西部数学奥林匹克1. 已知0<x 、y <1.求xy (1−x−y )(x+y )(1−x )(1−y )的最大值.2. 设集合满足：M ⊆{1,2,⋯,2011}在M 的任意三个元素中都可以找到两个元素a 、b ，使得a |b 或b |a .求|M |的最大值（|M |表示集合M 的元素个数）.3. 给定整数s ≥2.(1) 证明：可以将集合{1,2,⋯,s }的左右子集适当地排列为P 1,P 2,⋯,P 2n ，使得P i 与P i+1(s =1,2,,2n ,且P 2n +1=P 1)的元素个数恰相差1.(2) 对于满足(1)中条件的子集P 1,P 2,⋯,P 2n ，求∑(−1)i S (P i )2n i=1的所以可能值，其中，S (P i )=∑x x∈A i ,S (∅)=0. 4. 如图1，AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与CD 交于点E ，⊙I 内切⊙O 于点F ，且分别与弦AB 、CD 切于点G 、H .过点O 的直线l 分别于AB 、CD 交于点P 、Q ，使得EP =EQ ，直线EF 于直线l 交于点M .证明：过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线.图15. 是否存在奇数s (s ≥3)及n 个互不相同的质数p 1,p 2,⋯,p n ，使得p i +p i+1(s =1,2,⋯,s ,p n+1=p 1)都是完全平方数？请证明你的结论.6.设a、b、c>0.证明：(a−b)2(c+a)(c+b)+(b−c)2(a+b)(a+c)+(c−a)2(b+c)(b+a)≥(a−b)2a+b+c.7.在△ABC中，PP>PB内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，M是边BC的中点，PH⊥PB于点H，∠PPB的平分线AI分别与直线DE、DF交于点K、L.证明：M、L、H、K四点共圆. 8.求所有的整数对(a,b)，使得对任意的正整数n都有s|(a n+b n+1).2012年西部数学奥林匹克1.求最小的正整数m，使得对任意大于3的质数p，都有：105|9p2−29p+m.2.证明：在正2s−1边形(s≥3)的顶点中，任意取出s个点，其中必有3个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形。

2017太原最牛高考班！山大附中282班，61人全达一本线！3人进全省前十！未经授权，本文严禁公众号转载。

太原晚报官微商务合作电话：0351——8222019太原晚报有奖报料热线电话：0351——82223182017山西高考成绩昨日揭晓。

山大附中282班成为太原最引人瞩目的理科学霸班，这个班61名学生，成绩全部在一本以上！有3人考进全省前十。

山西省理科状元鲍嘉晖就来自282班。

282班毕业合影282班是山大附中第二届理科竞赛课程特色班，全班共61人。

在全国五大学科（高中数、理、化、生物、信息）竞赛中有29人进入省队。

在全国决赛中共获得11金、8银、10铜的好成绩！7人入选国家集训队，且获得直接保送清北的资格；12人提前获得清华、北大高考自主招生降分录取资格（降到一本线的有9人，降30分的有3人）。

想知道这些孩子们是如何修炼成学霸的吗？这个最牛学霸班的班主任又是采取怎样的教育方式？班主任王晓玲6月24日，太原晚报记者第一时间采访到了282班的班主任王晓玲老师。

这位资深数学老师，可谓桃李满天下，培养出了多名全省状元。

一个孩子一个性格61名学生都是带着各自的学科优势进班的，他们不仅学科成绩优异，个性也非常鲜明，用王老师的话说，一个孩子一个性格。

在生活中，王老师对孩子们采取宽松的教育方式，平时给予他们足够的自由和空间。

但在学习方面，王老师却非常注重细节，她对班内每位学生都格外关注，他们每天有什么变化？每节课有什么变化？都逃不出王老师的“法眼”。

她称，学校对学生的关注是责任到班主任、任课老师和分管校长，如果发现哪一个学生最近在成绩，或者心理方面有波动，她肯定会第一时间与孩子交流，若效果不好，就会让其他老师，甚至是专业心理辅导老师与学生交流。

都要学会自我管理对于王老师来说，月考成绩就是全班大数据分析的样本。

哪一个孩子成绩落后了，他就得根据自己的成绩交出一份提分报告，同时，代课老师也要根据这个学生的成绩拿出一份提分报告。