2004年第4届中国西部数学奥林匹克竞赛试题

2004年数学四试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim 0=--®b x ae xxx ，则a =1，b =4-. 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim 0=--®b x ae xxx ，且0)(cos sin lim 0=-×®b x x x ，所以，所以0)(lim 0=-®a e x x ，得a = 1. 极限化为极限化为极限化为 51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--®®b b x x xb x a e x x x x ，得b = -4. 因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知)()(lim x g x f ＝ A ，(1) 若g (x ) ® 0，则f (x ) ® 0； (2) 若f (x ) ® 0，且A ¹ 0，则g (x ) ® 0. 完全类似的例题见《数学复习指南》P36例1.60，P43第1(3)题，P44第2(10)题、 第6题，《数学题型集粹与练习题集》P19例1.34，《数学四临考演习》P79第7题， 《考研数学大串讲》P12例17、19. (2) 设1lnarctan 22+-=xxxee e y ，则1121+-==e e dx dy x . 【分析】本题为基础题型，先求导函数即可. 【详解】因为)1ln(21arctan 2++-=xxex e y ，111222++-+=¢xx xx ee ee y ，所以，1121+-==e e dx dy x . 【评注】 本题属基本题型，主要考查复合函数求导. 类似例题在一般教科书上均可找到. (3) 设ïîïíì³-<£-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-òdx x f . 【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数，再利用对称区间上奇偶函数 的积分性质即可. 【详解】令x - 1 = t ， òòò--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f)}DX }DX }DX })2)2sin(||-3sin 2sin )(11(222)(21412+y x 22+++222222d y x d y x d y x òpp p22+y xdPdQ Q P dPdQ Q P dP dQ Q PdPQ dP dQ Q P -))e)(20) (本题满分本题满分13分) 设线性方程组设线性方程组ïîïíì=+++++=+++=+++,14)4()2(3,022,0432143214321x x μx λx x x x x x x μx λx 已知T T)1,1,1,1(--是该方程组的一个解，试求是该方程组的一个解，试求(Ⅰ) 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (Ⅱ) 该方程组满足32x x =的全部解．的全部解．【分析】 含未知参数的线性方程组的求解, 当系数矩阵为非方阵时一般用初等行变换法化增广矩阵为阶梯形, 然后对参数进行讨论. 由于本题已知了方程组的一个解, 于是可先由它来(部分)确定未知参数.【详解】 将T T)1,1,1,1(--代入方程组，得μλ=．对方程组的增广矩阵A 施以初等行变换, 得÷÷÷øöçççèæ------®÷÷÷øöçççèæ++=1212)12(2001131012011422302112011λλλλλλλλλλA ，(Ⅰ) 当21¹λ时，有时，有÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ--®2121100212101001001A ， 43)()(<==A r A r ，故方程组有无穷多解，且T ξ)0,21,21,0(0-=为其一个特解，为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为对应的齐次线性方程组的基础解系为 T Tη)2,1,1,2(--=，故方程组的全部解为，故方程组的全部解为T T k ηk ξξ)2,1,1,2()0,21,21,0(0--+-=+= (k 为任意常数)．当21=λ时，有时，有÷÷÷÷÷øöçççççèæ--®00000113102121101A ， 42)()(<==A r A r ，故方程组有无穷多解，且T ξ)0,0,1,21(0-=为其一个特解，为其一个特解，11111113求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布. 【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为因为 121)|()()(==A B P A P AB P ， 于是于是 61)|()()(==B A P AB P B P ，则有则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ，61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ，121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ，32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=È-=×===AB P B P A P B A P B A P Y X P ，( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P )，即),(Y X 的概率分布为：的概率分布为：YX0 1 0 1 32 12161121(Ⅱ) 方法一：因为方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ，41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ， 163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数的相关系数 1515151),(==×=DY DX Y X Cov ρXY ．X 0 1 Y 0 1 P 43 41 P 65 61, E(XY)=15×DY DX 4，121=，的概率分布为：的概率分布为：Z 0 1 2 P3241 121ïîïíì<<=其他，，，00,1)|(|x y xx y f X Y 当10<<<x y 时，随机变量X 和Y 的联合概率密度为的联合概率密度为xx y f x f y x f XY X 1)|()(),(|==在其它点),(y x 处，有0),(=y x f ，即，即ïîïíì<<<=．x y x y x f 其他，，010,1),( (Ⅱ) 当10<<y 时，Y 的概率密度为的概率密度为òò-===+¥¥-1ln 1),()(yY y dx xdx y x f y f ；当0£y 或1³y 时，0)(=y f Y．因此．因此îíì<<-=．y y y f Y 其他，，010,ln )((Ⅲ) òòòò->+==>+xxY X dy xdxdxdy y x f Y X P 112111),(}1{ 2ln 1)12(121-=-=òdx x ．【评注】本题考查了二维连续型随机变量的边缘概率密度, 条件概率密度, 联合概率密度的相互关系，以及二维连续型随机变量取值于一个区域的概率的计算，属于综合性题型．相互关系，以及二维连续型随机变量取值于一个区域的概率的计算，属于综合性题型． 原题可见《考研数学大串讲》(2002版, 世界图书出版公司)P.242例5, 以及文登数学辅导班上讲授的例子.。

2004年全国高中数学联赛试题及参考答案(同名14455)2004年全国高中数学联赛试题【第一试】一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角q 使关于x 的方程0cot cos 42=++θθx x 有重根，则q 的弧度数为A ．6πB 。

12512ππ或C 。

1256ππ或D 。

12π答：[ ]2、已知M={}32|),(22=+y xy x ，N={}b mx y y x +=|),(，若对于所有的R m ∈，均有,φ≠⋂N M 则b 的取值范围是A ．[26,26-] B 。

（26,26-）C 。

（332,332-） D 。

[332,332-] 答：[ ]3、不等式2log 211log 3212++-x x >0的解集是A ．[2，3]B 。

（2，3）C 。

[2，4]D 。

（2，4） 答：[ ]4、设O 点在△ABC 内部，且有032=++OC OB OA ，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为A ．2B 。

23C 。

3D 。

35答：[ ]5、设三位数abc n =，若以c b a ,,为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有A ．45个B 。

81个C 。

165个D 。

216个 答：[ ]6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 是PA 的中点，则当三棱锥O —HPC 的体积最大时，OB 的长是（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L 经过△ABC 的内心（设为D ），且与P 点的轨迹恰好有3个公共点，求L 的斜率k 的取值范围。

15、已知α、β是方程01442=--tx x （R t ∈）的两个不等实根，函数=)(x f122+-x tx 的定义域为[α，β]。

（Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -=（Ⅱ）证明：对于)2,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则643)(tan 1)(tan 1)(tan 1321〈++u g u g u g 。

2004年全国高中数学联赛试题【第一试】一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角q 使关于x 的方程0cot cos 42=++θθx x 有重根，则q 的弧度数为A ．6πB 。

12512ππ或C 。

1256ππ或D 。

12π答：[ ]2、已知M={}32|),(22=+y xy x ，N={}b mx y y x +=|),(，若对于所有的R m ∈，均有,φ≠⋂N M 则b 的取值范围是A ．[26,26-] B 。

（26,26-）C 。

（332,332-） D 。

[332,332-] 答：[ ]3、不等式2log 211log 3212++-x x >0的解集是A ．[2，3]B 。

（2，3）C 。

[2，4]D 。

（2，4） 答：[ ]4、设O 点在△ABC 内部，且有032=++OC OB OA ，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为A ．2B 。

23C 。

3D 。

35答：[ ]5、设三位数abc n =，若以c b a ,,为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有A ．45个B 。

81个C 。

165个D 。

216个 答：[ ]6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 是PA 的中点，则当三棱锥O —HPC 的体积最大时，OB 的长是A ．35B 。

352C 。

36D 。

362 答：[ ]二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系xoy 中，函数)0(cos sin )(〉+=a ax ax a x f 在一个最小正周期长的区间上的图像与函数1)(2+=a x g 的图像所围成的封闭图形的面积是_____________。

8、设函数,:R R f →满足1)0(=f ，且对任意的R y x ∈,，都有)1(+xy f =2)()()(+--x y f y f x f ，则________________)(=x f 。

2004年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角θ使关于x 的方程x 2+4x cos θ+cos θ=0有重根，则θ的弧度数为 ( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12D ．π122．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 3．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4]4．设点O 在∆ABC 的内部，且有→OA +2→OB +3→OC=→0，则∆ABC 的面积与∆AOC 的面积的比为( ) A ．2 B ．32 C ．3 D ．535．设三位数n=¯¯¯abc ，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 6．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且P A=4，C为P A 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为( ) A ．53 B ．253 C ．63 D ．263二．填空题(本题满分54分，每小题9分)7．在平面直角坐标系xOy 中，函数f (x )=a sin ax +cos ax (a >0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g (x )= a 2+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ；8．设函数f ：R →R ，满足f (0)=1，且对任意x ，y ∈R ，都有f (xy +1)=f (x )f (y )－f (y )－x +2，则f (x )= ； 9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1—A 1的度数是 ； 10．设p 是给定的奇质数，正整数k 使得k 2－pk 也是一个正整数，则k= ；11．已知数列a 0，a 1，a 2，…，a n ，…满足关系式(3－a n +1)(6+a n )=18，且a 0=3，则n∑i=01a i 的值是 ；12．在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M (－1，2)和N (1，4)，点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P 的横坐标为 ； 三．解答题(本题满分60分，每小题20分)13．一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数的和大于2n ，则算过关．问：B 1A 1BCD AC 1D 1⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？ ⑵ 他连过前三关的概率是多少？14．在平面直角坐标系xOy 中，给定三点A (0，43)，B (－1，0)，C (1，0)，点P 到直线BC 的距离是该点到直线AB 、AC 距离的等比中项．⑴ 求点P 的轨迹方程；⑵ 若直线L 经过∆ABC 的内心(设为D )，且与P 点轨迹恰好有3个公共点，求L 的斜率k 的取值范围．15．已知α，β是方程4x 2－4tx －1=0(t ∈R )的两个不等实根，函数f (x )=2x －tx 2+1的定义域为[α，β]．⑴ 求g (t )=max f (x )－min f (x )；⑵ 证明：对于u i ∈(0，π2)(i=1，2，3)，若sin u 1+sin u 2+sin u 3=1，则1g (tan u 1)+1g (tan u 2)+1g (tan u 3)<364．二试题一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K ，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长．二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY 中，y 轴正半轴上的点列{A n }与曲线y=2x (x ≥0)上的点列{B n }满足|OA n |=|OB n |=1n ，直线A n B n 在x 轴上的截距为a n ，点B n 的横坐标为b n ，n ∈N *．⑴ 证明a n >a n +1>4，n ∈N *；⑵ 证明有n 0∈N *，使得对∀n >n 0，都有b 2b 1+b 3b 2+…+b n b n －1+b n +1b n<n －2004．三．(本题满分50分)对于整数n ≥4，求出最小的整数f (n )，使得对于任何正整数m ，集合{m ，m +1，…，m+n －1}的任一个f (n )元子集中，均至少有3个两两互素的元素．EFBCDAGHK2004年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角θ使关于x 的方程x 2+4x cos θ+cot θ=0有重根，则θ的弧度数为 ( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12D ．π12解：由方程有重根，故14∆=4cos 2θ－cot θ=0，∵ 0<θ<π2，⇒2sin2θ=1，⇒θ=π12或5π12．选B ．2．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，⇒2b 2≤3，⇒b ∈[－62，62]．选A ． 3．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，⇒x ∈[2，4)，选C ．4．设点O 在∆ABC 的内部，且有→OA +2→OB +3→OC=→0，则∆ABC 的面积与∆AOC 的面积的比为( ) A ．2 B ．32 C ．3 D ．53解：如图，设∆AOC=S ，则∆OC 1D=3S ，∆OB 1D=∆OB 1C 1=3S ，∆AOB=∆OBD=1.5S ．∆OBC=0.5S ，⇒∆ABC=3S ．选C ．5．设三位数n=¯¯¯abc ，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．6．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且P A=4，C 为P A 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，⇒PB ⊥AB ，⇒AB ⊥面POB ，⇒面P AB ⊥面POB ． OH ⊥PB ，⇒OH ⊥面P AB ，⇒OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，1又，PC ⊥OC ，⇒PC ⊥面OCH ．⇒PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2． 而∆OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)． 当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30︒，OB=PO tan30︒=263．又解：连线如图，由C 为P A 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB 2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=α，则V P —AOB =16R 3sin αcos α=112R 3sin2α，V B －PCO =124R 3sin2α．PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2α=11+cos 2α=23+cos2α．⇒V O －PHC =sin2α3+cos2α⨯112R 3． ∴ 令y=sin2α3+cos2α，y '=2cos2α(3+cos2α)－(－2sin2α)sin2α(3+cos2α)2=0，得cos2α=－13，⇒cos α=33， ∴ OB=263，选D ．二．填空题(本题满分54分，每小题9分)7．在平面直角坐标系xOy 中，函数f (x )=a sin ax +cos ax (a >0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g (x )= a 2+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ；解：f (x )= a 2+1sin(ax +ϕ)，周期=2πa ，取长为2πa ，宽为2a 2+1的矩形，由对称性知，面积之半即为所求．故填2πaa 2+1．又解：∫ϕ1ϕ0a 2+1[1－sin(ax +ϕ)]dx=a 2+1a ∫π2(1－sin t )dt=2p a a 2+1． 8．设函数f ：R →R ，满足f (0)=1，且对任意x ，y ∈R ，都有f (xy +1)=f (x )f (y )－f (y )－x +2，则f (x )= ；解：令x=y=0，得，f (1)=1－1－0+2，⇒f (1)=2．令y=1，得f (x +1)=2f (x )－2－x +2，即f (x +1)=2f (x )－x ．①又，f (yx +1)=f (y )f (x )－f (x )－y +2，令y=1代入，得f (x +1)=2f (x )－f (x )－1+2，即f (x +1)=f (x )+1．② 比较①、②得，f (x )=x +1． 9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1—A 1的度数是 ； 解：设AB=1，作A 1M ⊥BD 1，AN ⊥BD 1，则BN ·BD 1=AB 2，⇒BN=D 1M=NM=33． ⇒A 1M=AN=63．∴ AA 12=A 1M 2+MN 2+NA 2－2A 1M ·NA cos θ，⇒12=23+23+13－2⨯23cos θ，⇒cos θ=12．⇒θ=60︒．10．设p 是给定的奇质数，正整数k 使得k 2－pk 也是一个正整数，则k= ；解：设k 2－pk=n ，则(k －p 2)2－n 2=p 24，⇒(2k －p +2n )(2k －p －2n )=p 2，⇒k=14(p +1)2．11．已知数列a 0，a 1，a 2，…，a n ，…满足关系式(3－a n +1)(6+a n )=18，且a 0=3，则n∑i=01a i 的值是 ；A B POH C MNB 1A1BC D AC 1D 1解：1a n +1=2a n +13，⇒令b n =1a n +13，得b 0=23，b n =2b n －1，⇒b n =23⨯2n ．即1a n =2n +1－13，⇒n∑i=1a i =13(2n +2－n －3)．12．在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M (－1，2)和N (1，4)，点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P 的横坐标为 ；解：当∠MPN 最大时，⊙MNP 与x 轴相切于点P (否则⊙MNP 与x 轴交于PQ ，则线段PQ 上的点P '使∠MP 'N 更大)．于是，延长NM交x 轴于K (－3，0)，有KM ·KN=KP 2，⇒KP=4．P (1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP 的半径小，从而点P 的横坐标=1． 三．解答题(本题满分60分，每小题20分) 13．一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数的和大于2n ，则算过关．问：⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？ ⑵ 他连过前三关的概率是多少？解：⑴ 设他能过n 关，则第n 关掷n 次，至多得6n 点， 由6n >2n ，知，n ≤4．即最多能过4关．⑵ 要求他第一关时掷1次的点数>2，第二关时掷2次的点数和>4，第三关时掷3次的点数和>8．第一关过关的概率=46=23；第二关过关的基本事件有62种，不能过关的基本事件有为不等式x+y ≤4的正整数解的个数，有C 24个 (亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计6种，过关的概率=1－662=56；第三关的基本事件有63种，不能过关的基本事件为方程x +y +z ≤8的正整数解的总数，可连写8个1，从8个空档中选3个空档的方法为C 38=8⨯7⨯63⨯2⨯1=56种，不能过关的概率=5663=727，能过关的概率=2027；∴连过三关的概率=23⨯56⨯2027=100243．14．在平面直角坐标系xOy 中，给定三点A (0，43)，B (－1，0)，C (1，0)，点P 到直线BC 的距离是该点到直线AB 、AC 距离的等比中项．⑴ 求点P 的轨迹方程；⑵ 若直线L 经过∆ABC 的内心(设为D )，且与P 点轨迹恰好有3个公共点，求L 的斜率k 的取值范围． 解：⑴ 设点P 的坐标为(x ，y )，AB 方程：x －1+3y4=1，⇒4x －3y +4=0， ①BC 方程：y=0， ②AC 方程：4x +3y －4=0， ③ ∴ 25|y |2=|(4x －3y +4)(4x +3y －4)|，⇒25y 2+16x 2－(3y －4)2=0，⇒16x 2+16y 2+24y －16=0， ⇒2x 2+2y 2+3y －2=0．或25y 2－16x 2+(3y －4)2=0，⇒16x 2－34y 2+24y －16=0， ⇒8x 2－17y 2+12y －8=0．∴ 所求轨迹为圆：2x 2+2y 2+3y －2=0， ④或双曲线：8x 2－17y 2+12y －8=0． ⑤ 但应去掉点(－1，0)与(1，0)．⑵ ∆ABC 的内心D (0，12)：经过D 的直线为x=0或y=kx +12． ⑥(a ) 直线x=0与圆④有两个交点，与双曲线⑤没有交点；(b ) k=0时，直线y=12与圆④切于点(0，12)，与双曲线⑤交于(±582，12)，即k=0满足要求．(c ) k=±12时，直线⑥与圆只有1个公共点，与双曲线⑤也至多有1个公共点，故舍去．(c ) k ≠0时，k ≠12时，直线⑥与圆有2个公共点，以⑥代入⑤得：(8－17k 2)x 2－5kx －254=0．当8－17k 2=0或(5k )2－25(8－17k 2)=0，即得k=±23417与k=±22．∴ 所求k 值的取值范围为{0，±23417，±22}．15．已知α，β是方程4x 2－4tx －1=0(t ∈R )的两个不等实根，函数f (x )= 2x －tx 2+1的定义域为[α，β]． ⑴ 求g (t )=max f (x )－min f (x )；⑵ 证明：对于u i ∈(0，π2)(i=1，2，3)，若sin u 1+sin u 2+sin u 3=1，则1g (tan u 1)+1g (tan u 2)+1g (tan u 3)<364．解：⑴ α+β=t ，αβ=－14．故α<0，β>0．当x 1，x 2∈[α，β]时，∴ f '(x )= 2(x 2+1)－2x (2x －t )(x 2+1)2=－2(x 2－xt )+2(x 2+1)2．而当x ∈[α，β]时，x 2－xt <0，于是f '(x )>0，即f (x )在[α，β]上单调增．∴ g (t )= 2β－t β2+1－2α－t α2+1=(2β－t )(α2+1)－(2α－t )(β2+1)(α2+1)(β2+1)=(β－α)[t (α+β)－2αβ+2]α2β2+α2+β2+1=t 2+1(t 2+52)t 2+2516=8t 2+1(2t 2+5)16t2+25 ⑵ g (tan u )= 8sec u (2sec 2u +3)16sec 2u +9=16+24cos 2u 16cos u +9cos 3u ≥16616+9cos 2u ， ∴1g (tan u 1)+1g (tan u 2)+1g (tan u 3)≤1166[16⨯3+9(cos 2u 1+cos 2u 2+cos 2u 3)]= 1166[75－9(sin 2u 1+sin 2u 2+sin 2u 3)]而13(sin 2u 1+sin 2u 2+sin 2u 3)≥(sin u 1+sin u 2+sin u 33)2，即9(sin 2u 1+sin 2u 2+sin 2u 3)≥3． ∴1g (tan u 1)+1g (tan u 2)+1g (tan u 3)≤1166(75－3)= 364．由于等号不能同时成立，故得证．二试题一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K ，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长．解：∵ BC=25，BD=20，BE=7，∴ CE=24，CD=15．∵ AC ·BD=CE ·AB ，⇒ AC=65AB ， ①∵ BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，⇒B 、E 、D 、C 共圆，⇒AC (AC －15)=AB (AB －7)，⇒65AB (65AB －15)=AB (AB －18)，∴ AB=25，AC=30．⇒AE=18，AD=15． ∴ DE=12AC=15．延长AH 交BC 于P ， 则AP ⊥BC ． ∴ AP ·BC=AC ·BD ，⇒AP=24． 连DF ，则DF ⊥AB ，∵ AE=DE ，DF ⊥AB ．⇒AF=12AE=9．∵ D 、E 、F 、G 共圆，⇒∠AFG=∠ADE=∠ABC ，⇒∆AFG ∽∆ABC ， ∴ AK AP =AF AB ，⇒AK=9⨯2425=21625．二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY 中，y 轴正半轴上的点列{A n }与曲线y=2x (x ≥0)上的点列{B n }满足|OA n |=|OB n |=1n，直线A n B n 在x 轴上的截距为a n ，点B n 的横坐标为b n ，n ∈N *．⑴ 证明a n >a n +1>4，n ∈N *；⑵ 证明有n 0∈N *，使得对∀n >n 0，都有b 2b 1+b 3b 2+…+b n b n －1+b n +1b n <n －2004．解：⑴ 点A n (0，1n )，B n (b n ，2b n )⇒由|OA n |=|OB n |，⇒b n 2+2b n =(1n )2，⇒b n =1+(1n)2－1(b n >0)． ∴ 0<b n <12n 2．且b n 递减，⇒n 2b n =n (n 2+1－n )= nn 2+1+n=11+(1n)2+1单调增．∴ 0<n b n <12．⇒令t n =1n b n>2且t n 单调减． 由截距式方程知，b n a n +2b n1n=1，(1－2n 2b n =n 2b n 2)∴ a n =b n 1－n 2b n =b n (1+n 2b n )1－2n 2b n =1+n 2b n n 2b n =(1n b n )2+2(1n b n )=t n 2+2t n =(t n +22)2－12≥(2+22)2－12=4． 且由于t n 单调减，知a n 单调减，即a n >a n+1>4成立．亦可由1n 2b n =b n +2．1n b n =b n +2，得 a n =b n +2+2b n +2，．∴ 由b n 递减知a n 递减，且a n >0+2+2⨯2=4．24187252015E FBC DAGHK P⑵ 即证n∑k=1(1－b k +1b k)>2004．1－b k +1b k =b k －b k +1b k=1+(1k )2－1+(1k +1)21+(1k)2－1=k 2((1k )2－(1k +1)2)1+(1k )2+11+(1k)2+1+(1k +1)2≥2k +1(k +1)21+(1k )2+121+(1k)2>2k +1(k +1)2⨯12>1k +2．∴n∑k=1(1－b k +1b k )>n∑k=11k +2>(13+14)+(15+16+17+18)+…+>12+12+12+…．只要n 足够大，就有n∑k=1(1－b k +1b k)>2004成立．三．(本题满分50分)对于整数n ≥4，求出最小的整数f (n )，使得对于任何正整数m ，集合{m ，m +1，…，m+n －1}的任一个f (n )元子集中，均至少有3个两两互素的元素．解：⑴ 当n ≥4时，对集合M (m ，n )={m ，m +1，…，m+n －1}，当m 为奇数时，m ，m +1，m +2互质，当m 为偶数时，m +1，m +2，m +3互质．即M 的子集M 中存在3个两两互质的元素，故f (n )存在且f (n )≤n ． ①取集合T n ={t |2|t 或3|t ，t ≤n +1}，则T 为M (2，n )={2，3，…，n +1}的一个子集，且其中任3个数无不能两两互质．故f (n )≥card (T )+1．但card(T )=[n+12]+[n+13]－[n+16]．故f (n )≥[n+12]+[n+13]－[n+16]+1． ②由①与②得，f (4)=4，f (5)=5．5≤f (6)≤6，6≤f (7)≤7，7≤f (8)≤8，8≤f (9)≤9．现计算f (6)，取M={m ，m +1，…，m +5}，若取其中任意5个数，当这5个数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数k ，k +2，k +4(k ≡0(mod 2))时，其中至多有1个被5整除，必有1个被3整除，故至少有1个不能被3与5整除，此数与另两个奇数两两互质．故f (6)=5．而M (m ，n +1)=M (m ，n )∪{m +n }，故f (n +1)≤f (n )+1． ③ ∴ f (7)=6，f (8)=7，f (9)=8．∴ 对于4≤n ≤9，f (n )= [n+12]+[n+13]－[n+16]+1成立． ④设对于n ≤k ，④成立，当n=k +1时，由于M (m ，k +1)=M (m ，k －5)∪{m +k －5，m +k －4，…，m +k }．在{m +k －5，m +k －4，…，m +k }中，能被2或3整除的数恰有4个，即使这4个数全部取出，只要在前面的M (m ，k －5)中取出f (n )个数就必有3个两两互质的数．于是当n ≥4时，f (n +6)≤f (n )+4=f (n )+f (6)－1．故f (k +1)≤f (k －5)+f (6)－1=[k+22]+[k+23]－[k+26]+1，比较②，知对于n=k +1，命题成立．∴对于任意n ∈N *，n ≥4，f (n )= [n+12]+[n+13]－[n+16]+1成立．又可分段写出结果：f(n)=4k+1，(n=6k，k∈N*)，4k+2，(n=6k+1，k∈N*)，4k+3，(n=6k+2，k∈N*)，4k+4，(n=6k+3，k∈N*)，4k+4，(n=6k+4，k∈N*)，4k+5，(n=6k+5，k∈N*)．。

目录2001年西部数学奥林匹克 (2)2002年西部数学奥林匹克 (4)2003年西部数学奥林匹克 (6)2004年西部数学奥林匹克 (7)2005年西部数学奥林匹克 (8)2006年西部数学奥林匹克 (10)2007年西部数学奥林匹克 (12)2008年西部数学奥林匹克 (14)2009年西部数学奥林匹克 (16)2010年西部数学奥林匹克 (18)2011年西部数学奥林匹克 (21)2012年西部数学奥林匹克 (23)2001年西部数学奥林匹克1.设数列{x n}满足x1=12，x n+1=x n+x n2n2.证明：x2001<1001.（李伟固供题）2.设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△P AB的内切圆与边AB的切点.乘积PP⋅PP的值随着长方形ABCD及点P 的变化而变化，当PP⋅PP取最小值时，（1）证明：PP≥2PB；（2）求PQ⋅PQ的值.（罗增儒供题）3.设n、m是具有不同奇偶性的正整数，且n>m.求所有的整数x，使得x2n−1x m−1是一个完全平方数.（潘曾彪供题）4.设x、y、z为正实数，且x+y+z≥xyz.求x2+y2+z2xyz的最小值.（冯志刚供题）5.求所有的实数x，使得[x3]=4x+3.这里[y]表示不超过实数y的最大整数.（杨文鹏供题）6.P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B.设Q为PO与AB的交点，过Q作⊙O的任意一条弦CD.证明：△PAB与△PCD有相同的内心. （刘康宁供题）7.求所有的实数x∈�0,π2�，使得(2−sss2x)sss�x+π4�=1，并证明你的结论.（李胜宏供题）8.我们称P1,P2,⋯,P n为集合A的一个n分划，如果（1）P1∪P2∪⋯∪P n=P；（2）P i∩P j≠Φ,1≤s<j≤s.求最小正整数m，使得对P={1,2,⋯,m}的任意一个14分划P1,P2,⋯,P14，一定存在某个集合P i(1≤s≤14)，在P i中有两个元素a、b满足b<a≤43b. （冷岗松供题）2002年西部数学奥林匹克1.求所有的正整数n，使得s4−4s3+22s2−36s+18是一个完全平方数.2.设O为锐角△ABC的外心，P为△AOB内部一点，P在△ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：以FE、FD为邻边的平行四边形位于△ABC内.3.考虑复平面上的正方形，它的4个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x4+px3+qx2+rx+s=0的4个根.求这种正方形面积的最小值.4.设n为正整数，集合P1,P2,⋯,P n+1是集合{1,2,⋯,s}的n+1个非空子集.证明：存在{1,2,⋯,s+1}的两个不交的非空子集{s1,s2,⋯,s k}和{j1,j2,⋯,j m}，使得P i1∪P i2∪⋯∪P i k=P j1∪P j2∪⋯∪P j m.5.在给定的梯形ABCD中，AD∥BC，E是边AB上的动点，O1、O2分别是△AED、△BEC的外心.求证：O1O2的长为一定值.6.设s(s≥2)是给定的正整数，求所有整数组(a1,a2,⋯,a n)满足条件：（1）a1+a2+⋯+a n≥s2；（2）a12+a22++a n2≤s3+1.7.设α、β为方程x2−x−1=0的两个根，令a n=αn−βnα−β,s=1,2,⋯.（1）证明：对任意正整数n，有a n+2=a n+1+a n；（2）求所有正整数a、b，a<b，满足对任意正整数n，有b整除a n−2sa n.8.设S=(a1,a2,⋯,a n)是一个由0，1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续5项不同，即对任意1≤s<j≤s−4，a i,a i+1,a i+2,a i+3,a i+4与a j,a j+1,a j+2,a j+3,a j+4不相同.证明：数列S 最前面的4项与最后面的4项相同.1. 将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10.求每一个面上四个数之和的最小值.2. 设2n 个实数a 1,a 2,⋯,a 2n 满足条件∑(a i+1−a i )2=12n−1i=1.求(a n+1+a n+2+⋯+a 2n )−(a 1+a 2+⋯+a n )的最大值.3. 设n 为给定的正整数.求最小的正整数u n ，满足：对每一个正整数d ，任意u n 个连续的正奇数中能被d 整除的数的个数不少于奇数1,3,5,⋯,2s −1中能被d 整除的数的个数.4. 证明：若凸四边形ABCD 内任意一点P 到边AB 、BC 、CD 、DA 的距离之和为定值，则ABCD 是平行四边形.5. 已知数列{a n }满足：a 0=0，a n+1=ka n +�(k 2−1)a n 2+1,s =0,1,2,⋯,其中k 为给定的正整数.证明：数列{a n }的每一项都是整数，且2k |a 2n ,s =0,1,2,⋯. 6. 凸四边形ABCD 有内切圆，该内切圆切边AB 、BC 、CD 、DA 的切点分别为A 1、B 1、C 1、D 1，连结A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1，点E 、F 、G 、H 分别为A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1的中点.证明：四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是A 、B 、C 、D 四点共圆.7. 设非负实数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5满足∑11+x i =15i=1.求证：∑x i4+x i 25i=1≤1. 8. 1650个学生排成22行、75列.已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对.证明：男生的人数不超过928.1.求所有的整数n，使得s4+6s3+11s2+3s+31是完全平方数.2.四边形ABCD为一凸四边形，I1、I2分别为△ABC、△DBC的内心，过点I1、I2的直线分别交AB、DC于点E、F，分别延长AB、DC，它们相交于点P，且PE=PF.求证：A、B、C、D四点共圆.3.求所有的实数k，使得不等式a3+b3+c3+d3+1≥k(a+b+c+d)对任意a、b、c、d∈[−1,+∞)都成立.4.设s∈N+，用d(s)表示n的所有正约数的个数，ϕ(s)表示1,2,⋯,s 中与n互质的数的个数.求所有的非负整数c，使得存在正整数n，满足d(s)+ϕ(s)=s+c，且对这样的每一个c，求出所有满足上式的正整数n.5.设数列{a n}满足a1=a2=1，且a n+2=1a n+1+a n,s=1,2,⋯.求a2004.6.将m×s棋盘（由m行n列方格构成，m≥3,s≥3）的所有小方格都染上红蓝两色之一.如果2个相邻（有公共变）的小方格异色，则称这2个小方格为1个“标准对”.设期盼中“标准对”的个数为S.试问：S是奇数还是偶数有哪些方格的颜色确定？什么情况下S为奇数？什么情况下S为偶数？说明理由.7.已知锐角△ABC的三边长不全相等，周长为l，P是其内部一动点，点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：2（PB+PD+ BB）=l的充分必要条件是：点P在△ABC的内心与外心的连线上.8.求证：对任意正实数a、b、c，都有1<a√a2+b2+b√b2+c2+c√c2+a2≤3√22.1. 已知α2005+β2005可表示成以α+β、αβ为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.2. 如图1，过圆外一点P 作圆的两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，再过点P 作圆的一条割线分别与圆交于C 、D 两点，过切点B 作P A 的平行线分别交直线AC 、AD 于E 、F .求证：PB =PB .图13. 设S ={1,2,⋯,2005}.若S 中任意n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求n 的最小值.4. 已知实数x 1,x 2,⋯,x n (s >2)满足|∑x i n i=1|>1，|x i |≤1(s =1,2,⋯,s ).求证：存在正整数k ，使得�∑x i k i=1−∑x i n i=k+1�≤1 5. 如图2，⊙O 1、⊙O 2交于A 、B 两点.过点O 1的直线DC 交⊙O 1于点D 且切⊙O 2于点C ，CA 且⊙O 1于点A ，⊙O 1的弦AE 与直线DC 垂直.过点A 作AF 垂直于DE ，F 为垂足.求证：BD 平分线段AF .图2P6.在等腰Rt△ABC中，BP=BP=1，P是△ABC边界上任意一点.求PP⋅PP⋅PB的最大值.7.设正实数a、b、c满足a+b+c=1.证明：10(a3+b3+c3)−9(a5+b5+c5)≥1.8.设n个新生汇总，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不任何.试求n的最大值.2006年西部数学奥林匹克1. 设s (s ≥2)是给定的正整数，a 1,a 2,⋯,a n ∈(0,1).求∑�a i (1−a i+1)6n i=1的最大值，这里a n+1=a 1. 2. 求满足下述条件的最小正实数k ：对任意不小于k 的4个互不相同的实数a 、b 、c 、d ，都存在a 、b 、c 、d 的一个排列p 、q 、r 、s ，使得方程(x 2+px +q )(x 2+rx +s )=0有4个互不相同的实数根. 3. 如图1，在△ABC 中，∠PPB =60°，过点P 作△PBC 的外接圆⊙O 的切线，与CA 的延长线交于点A .点D 、E 分别在线段PA 和⊙O 上，使得∠DPB =90°，PD =PE .连结BE 与PC 相交于点F .已知AF 、BP 、CD 三线共点.（1） 求证：BF 是∠PPB 的角平分线；（2） 求tas ∠PBP 的值.图14. 设正整数a 不是完全平方数.求证：对每一个正整数n ，S n =�√a�+�√a�2+⋯+�√a�n的值都是无理数.这里{x }=x −[x ]，其中，[x ]表示不超过x 的最大整数.5. 设S =�s�s −1,s ,s +1都可以表示为两个正整数的平方和�.证明：若s ∈S ，则s 2∈S .C6. 如图2，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，过点C 作⊙O 的割线，与⊙O 交于点D 、E ，OF 是△BOD 的外接圆⊙O 1的直径，连结CF 并延长交⊙O 1于点G .求证：O 、A 、E 、G 四点共圆.图27. 设k 是一个不小于3的正整数，θ是一个实数.证明：如果cms (k −1)θ和cms kθ都是有理数，那么，存在正整数s (s >k )，使得cms (s −1)θ和cms sθ都是有理数. 8. 给定正整数s (s ≥2)，求|X |的最小值，使得对集合X 的任意n 个二元子集P 1,P 2,⋯,P n ，都存在集合X 的一个子集Y ，满足：(1)|Y |=s ;(2) 对s =1,2,⋯,s ，都有|Y ∩P i |≤1.这里，|P |表示有限集合A 的元素个数.A2007年西部数学奥林匹克1. 已知T ={1,2,⋯,8}.对于P ⊆T ,P ≠Φ，定义S (P )为A 中所有元素之和.问：T 有多少个非空子集A ，使得S (P )是3的倍数，但不是5的倍数？2. 如图1，⊙O 1、⊙O 2交于点C 、D ，过D 的一条直线分别与⊙O 1、⊙O 2交于点A 、B ，点P 在⊙O 1的AD 弧上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙O 2的BD 弧上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ，O 是△ABC 的外心.求证：OD ⊥MN 的充要条件为P 、Q 、M 、N 四点共圆.图13. 设实数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：15a −4a+11+15b −4b+11+15c −4c+11≤14. 4. 设O 是△ABC 内部一点.证明：存在正整数p 、q 、r ，使得|pOP +qOP +rOB |<12007.5. 是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？O6.求所有的正整数n，使得存在非零整数x1,x2,⋯,x n,y,满足�x1+x2+⋯+x n=0,x12+x22+⋯+x n2=sy2.7.设P是锐角△ABC内一点，AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB 交于点D、E、F，已知△DBB∼△PPB.求证：P是△ABC的重心. 8.将n枚白子与n枚黑子任意地放在一个圆周上.从某枚白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,⋯,s.在从某枚黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,⋯,s.证明：存在连续n枚棋子（不计黑白），它们的标号组成的集合为{1,2,⋯,s}.2008年西部数学奥林匹克1.实数数列{a n}满足a0≠0,1,a1=1−a0，a n+1=1−a n(1−a n)(s=1,2,⋯).证明：对任意的正整数n，都有a0a1⋯a n�1a0+1a1+⋯+1a n�=1.2.如图1，在△ABC中，AB=AC，其内切圆⊙I分别切边BC、CA、AB于点D、E、F，P为弧EF（不含点D的弧）上一点.设线段BP交⊙I于另一点Q，直线EP、EQ分别交BC于点M、N.证明：(1)P、F、B、M四点共圆；(2)EE EE=BB BB.图13.设整数m(m≥2)，a1,a2,⋯,a m都是正整数.证明：存在无穷多个正整数n，使得数a1×1n+a2×2n+⋯+a m×m n都是合数.4.设整数m(m≥2)，a为正实数，b为非零实数，数列{x n}定义如下：x1=b,x n+1=ax n m+b(s=1,2,⋯).证明：(1)当b<0且m为偶数时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≥−2；(2)当b<0且m为奇数，或b>0时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≤(m−1)m−1m m.5.在一直线上相邻的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008.6.设x、y、z∈(0,1)，满足�1−x yz+�1−y zx+�1−z xy=2.求xyz的最大值.7.设n为给定的正整数.求最大的正整数k，使得存在三个由非负整数组成的k元集P={x1,x2,⋯,x k}，P={y1,y2,⋯,y k}，B= {z1,z2,⋯,z k}满足对任意的j(1≤j≤k)，都有x j+y j+z j=s.8.设P为正n边形P1P2⋯P n内的任意一点，直线P i P(s=1,2,⋯s)交正n边形P1P2⋯P n的边界于另一点P i.证明：∑PP i n i=1≥∑PP i n i=1.2009年西部数学奥林匹克1.设M是一个由实数集R去掉有限个元素后得到的集合.证明：对任意正整数n，都存在n次多项式f(x)，使得f(x)的所有系数及n个实根都属于M.2.给定整数s≥3.求最小的正整数k，使得存在一个k元集合A和n 个两两不同的实数x1,x2,⋯,x n，满足x1+x2,x2+x3,⋯,x n−1+x n,x n+x1均属于A.3.设H为锐角△ABC的垂心，D为边BC的中点.过点H的直线分别交边AB、AC于点F、E，使得AE=AF，射线DH与△ABC的外接圆交于点P.求证：P、A、E、F四点共圆.4.求证：对任意给定的正整数k，总存在无穷多个正整数n，使得2n+3n−1,2n+3n−2,⋯,2n+3n−k均为合数.5.设数列{x n}满足x1∈{5,7}及当k≥1时，有x k+1∈{5x k,7x k}.试确定x2009的末两位数字的所有可能值.6.如图1，设D是锐角△ABC的边BC上一点，以线段BD为直径的圆分别交直线AB、AD于点X、P（异于点B、D），以线段CD为直径的元分别交直线AC、AD于点Y、Q（异于点C、D）.过点A作直线PX、QY的垂线，垂足分别为M、N.求证△PMN∼△PPB的充分必要条件是直线AD过△ABC的外心.图17. 有s (s >12)个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成，每答对一题得1分，不答或答错得0分.分析每一种可能的得分情况发现：只要其中任意12个人得分之和不少于36分，则这n 个人中至少有3个人答对了至少三道同样的题.求n 的最小可能值.8. 实数a 1,a 2,⋯,a n (s ≥3)满足a 1+a 2+⋯+a n =0，且2a k ≤a k−1+a k+1(k =2,3,⋯,s −1).求最小的λ(s )，使得对所有的k ∈{1,2,⋯s }，都有|a k |≤λ(s )⋅max {|a 1|,|a n |}.B2010年西部数学奥林匹克1. 设m 、k 为给定的非负整数，p =22m +1为质数.求证： (1) 22m+1p k ≡1(mmd p k+1);(2) 满足同余方程2n ≡1(mmdp k+1) 的最小正整数n 为2m+1p k . （靳 平 供题）2. 如图1，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆周上异于点A 、B 且在AB 同侧的两点，分别过点C 、D 作圆的切线，它们交于点E ，线段AD 与BC 的交点为F ，直线EF 与AB 交于点M .求证：E 、C 、M 、D 四点共圆.图1（刘诗雄 供题）3. 求所有的正整数n ，使得集合{1,2,⋯,s }有n 个两两不同的三元子集P 1,P 2,⋯,P n ，满足对任意的k (1≤s <j ≤s )，都有�P i ∩P j �≠1.（冯志刚 供题）4. 设非负实数a 1,a 2,⋯,a n 与b 1,b 2,⋯,b n 满足以下条件： （1） ∑a i +b i n i=1=1; （2） ∑s (a i −b i )n i=1=0; （3） ∑s 2(a i +b i )n i=1=10.求证：对任意的k(1≤k≤s)，都有max{a k,b k}≤1010+k2. （李胜宏供题）5.设k为大于1的整数，数列{a n}定义如下：a0=0,a1=1,a n+1=ka n+a n−1(s=1,2,⋯).求所以满足如下条件的k：存在非负整数l、m(l≠m)，及正整数p、q，使得a l+ka p=a m+ka q. （熊斌供题）6.如图2，在△ABC中，∠PBP=90°，以B为圆心、BC为半径作圆，点D在边AC上，直线DE切⊙B于点E，过点C垂直于AB的直线于直线BE交于点F，AF与DE交于点G，作AH∥BG于DE交于点H.求证GE=GH.图2（边红平供题）7.有s(s≥3)名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场且没有平局.若选手A的手下败将不都是B的手下败将，则称A不亚于B.试求所有可能的n，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都不亚于其他任何一名选手.（李秋生供题）8.求所有的整数k，使得存在正整数a和b，满足b+1a+a+1b=k.（陈永高供题）2011年西部数学奥林匹克1. 已知0<x 、y <1.求xy (1−x−y )(x+y )(1−x )(1−y )的最大值.2. 设集合满足：M ⊆{1,2,⋯,2011}在M 的任意三个元素中都可以找到两个元素a 、b ，使得a |b 或b |a .求|M |的最大值（|M |表示集合M 的元素个数）.3. 给定整数s ≥2.(1) 证明：可以将集合{1,2,⋯,s }的左右子集适当地排列为P 1,P 2,⋯,P 2n ，使得P i 与P i+1(s =1,2,,2n ,且P 2n +1=P 1)的元素个数恰相差1.(2) 对于满足(1)中条件的子集P 1,P 2,⋯,P 2n ，求∑(−1)i S (P i )2n i=1的所以可能值，其中，S (P i )=∑x x∈A i ,S (∅)=0. 4. 如图1，AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与CD 交于点E ，⊙I 内切⊙O 于点F ，且分别与弦AB 、CD 切于点G 、H .过点O 的直线l 分别于AB 、CD 交于点P 、Q ，使得EP =EQ ，直线EF 于直线l 交于点M .证明：过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线.图15. 是否存在奇数s (s ≥3)及n 个互不相同的质数p 1,p 2,⋯,p n ，使得p i +p i+1(s =1,2,⋯,s ,p n+1=p 1)都是完全平方数？请证明你的结论.6.设a、b、c>0.证明：(a−b)2(c+a)(c+b)+(b−c)2(a+b)(a+c)+(c−a)2(b+c)(b+a)≥(a−b)2a+b+c.7.在△ABC中，PP>PB内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，M是边BC的中点，PH⊥PB于点H，∠PPB的平分线AI分别与直线DE、DF交于点K、L.证明：M、L、H、K四点共圆. 8.求所有的整数对(a,b)，使得对任意的正整数n都有s|(a n+b n+1).2012年西部数学奥林匹克1.求最小的正整数m，使得对任意大于3的质数p，都有：105|9p2−29p+m.2.证明：在正2s−1边形(s≥3)的顶点中，任意取出s个点，其中必有3个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形。

2004年全国小学奥林匹克预赛试卷（A）1. 计算：＝________.2. 计算：＝________.3. 在下面的数之间适当填上＋、－、×、÷运算符号及括号，使算式的结果等于2004.2 2 2 2 2 2 2 2 2 2＝20044. 自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有________个.5. 在算式A×（B＋C）＝110＋C中，A、B、C是三个互不相等的质数，那么B＝________.6. 在12＝1、22＝4、32＝9、42＝16、……中，1、4、9、16、……叫做“完全平方数”.从1到500这500个整数中，去掉所有“完全平方数”，剩下的整数的和是多少________.7. 下面各数的和是________.8. 有一次考试中，甲、乙两人考试结果如下：甲答错了全部试题的1/3，乙答错了7题，甲、乙答错的试题占全部试题的1/5，那么甲、乙答对的试题至少有________题.9. 如图，设AD＝1/3AB、BE＝1/4BC、FC＝1/5AC.如果三角形DEF的面积是19平方厘米，那么三角形ABC的面积是________.10. 张先生以标价的95％买下一套房子，经过一段时间后，他又以超出原标价的40％的价格将房子卖出.这段时间物价的总涨幅为20％，张先生买进和卖出这套房子所得的利润为________％.11. 某人到商店买红蓝两种笔，红笔定价5元，蓝笔定价9元，由于购买量较多，商店给予优惠：红笔85折，蓝笔8折，结果此人付的钱比原来节省了18％，已知他买了蓝笔30支，那么红笔买了________支.12. 一位富豪有350万元遗产，在临终前，他对怀孕的妻子写下这样的一份遗嘱：如果生下来是个男孩，就把遗产的三分之二给儿子，母亲拿三分之一；如果生下来是个女孩，就把遗产的三分之一给女儿，三分之二给母亲.结果他的妻子生了双胞胎（一男一女），按遗嘱的要求，母亲可以得到________万元.1、 2、 3、[(2222－222)÷2＋2]×2＝2004或(2222÷2＋2)×2－222＝2004 4、4 5、2 6、121455 7、122500 8、6 9、10、22.8％ 11、36 12、1001．【解】原式＝()×65＝×65＝2．【解】原式＝()×＝3××＝3．【解】 [(2222－222)÷2＋2]×2＝2004或(2222÷2＋2)×2－222＝20044．【解】一位质数有：2，3，5，7，所以N为23，37，53，73共4个。

目录2005年北方数学奥林匹克 (2)2006年北方数学奥林匹克 (4)2007年北方数学奥林匹克 (6)2008年北方数学奥林匹克 (7)2009年北方数学奥林匹克 (10)2010年北方数学奥林匹克 (13)2011年北方数学奥林匹克 (15)2012年北方数学奥林匹克 (17)2005年北方数学奥林匹克1.AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D作⊙O的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点.求证：P A=QB.（裘宗沪供题）2.定义在R上的函数f(x)满足：（1）f(0)=0;（2）对任意xx∈(−∞,−1)∪(1,+∞)，都有f�1x�+f�1y�=f(x+y1+xy)；（3）当x∈(−1,0)时，都有f(x)>0.求证：f�119�+f�129�+⋯+ f�1n2+7n+11�>f(12)，其中n∈N+. （刘贵谭祖春供题）3.在公差为d(d>0)的整数等差数列a1,a2,⋯,a3n(n≥2)中，任取n+2个数.证明：其中必存在两个数a i、a j(i≠j)，满足不等式1<�a i−a j�nn<2. （刘康宁安振平供题）4.已知n位数的各位数字只能取集合{1,2,3,4,5}中的元素，设含有数字5且在5的前面不含3的n位数的个数为f(n).求f(n).（蒋西明供题）5.如果三个正实数x、y、z满足x2+xx+x2=254，x2+xy+y2=36，y2+yx+x2=1694.求xx+xy+yx的值. （张同君供题）6.设0≤α、β、γ≤π2，ccc2α+ccc2β+ccc2γ=1.求证：2≤（1+ccc2α）2cin4α+（1+ccc2β）2cin4β+（1+ccc2γ）2cin4γ≤(1+ccc2α)(1+ccc2β)(1+ccc2γ)（谭祖春供题）2006年北方数学奥林匹克1. 如图1，AB 为⊙O 的直径，非直径的弦CC ⊥AA ，E 是OC 的中点，连结AE 并延长交⊙O 于点P ，连结DP 交BC 于点F .求证：F 是BC 的中点.图12. 设p 是大于2的质数，数列{a n }满足na n+1=(n +1)a n −(p 2)4.求证：当a 1=5时，16|a 81. 3. 已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，且AC +AC =AA +AC .求∠A 的取值范围.4. 设函数f (x )=x 2+ax +b (a 、b ∈R ).若存在实数m ，使得|f (m )|≤14，且|f (m +1)|≤14，求Δ=a 2−4b 的最大值和最小值.5. 已知正数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：a 2+92a +(b+c )+b 2+92b +(c+a )+c 2+92c 2+(a+b )2≤5. 6. 组委会说明试题有误.7. 是否可以将正整数1,2,⋯,64分别填入8×8的64个方格 ，使得凡具备“”形的四个方格（方向课以任意转置）内的数之和都能被5整除？8. 已知数列{a n }满足a k+1=a k +12006a k 2，a 0=12，k ∈N .求证：A1−12008<a2006<1.1.在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高.以AB为直径作圆交CE于M，在BD上取点N是AN=AM.证明：AN⊥CN.2.设△ABC三边长分别为a、b、c，且a+b+c=3.求f(a,b,c)=a2+ b2+c2+43abc的最小值.3.在数列{a n}中，a n+1=a n2a n+1(n∈N).求证：当0≤n≤1004时，有[a n]=2007−n（其中[x]表示不超过x的最大整数）.4.平面上每个点被染为n中颜色之一，同时满足：（1）每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上；（2）至少有一条直线上所有的点恰为两种颜色.求n的最小值，使得存在互不同色的4个点共圆.5.设α,β∈(0,π2)，求A=(1−�tanα2tanβ2)2cctα+cctβ的最大值.6.已知f(x)=ll(x+1)−12lcl3x.（1）解方程f(x)=0；（2）求集合M={n|f(n2−214n−1998)≥0,n∈Z}.7.设n是正整数，a=�√n�（其中[x]表示不超过x的最大整数），求同时满足下列条件的n的最大值：（1）n不是完全平方数；（2）a3|n28.设△ABC的内切圆半径为1，三边长AC=a，CA=b，AA=c.若a、b、c都是整数，求证：△AAC为直角三角形.1. 如图1，⊙O 是梯形ABCD 的内切圆，切点分别为E 、F 、G 、H ，AB ∥CD .作BP ∥AD 交DC 的延长线于点P ，AO 的延长线交CP 于点Q .若AD =AD ，求证：∠CAQ =∠PAQ .图1 （张利民 供题）2. 已知∠A 、∠A 、∠C 是△AAC 的三个内角.证明：tan A 2+tan B 2+tan C 2√3≥�tan 2A 2+tan 2A 2+tan 2C 26 （张 雷 供题）3. 给定三角形数表如图2：1 2 3 4 ⋯ 97 98 99 100 3 5 7 ⋯ 195 197 199 8 12 ⋯ 392 396 20 ⋯ 788 ⋱ ⋯ ⋰ ⋱ ⋰ M图2其中，第一行各数依次是1,2,⋯,100，从第二行起，每个数分别等于它上面一行左、右两数的和.求M 的值.（焦和平 供题）4.证明：（1）存在无穷个正整数n，使n2+1的最大质因子小于n；（2）存在无穷个正整数n，使n2+1|n!. （张雷供题）5.如图3，已知□ABCD，过A、B、C三点的⊙O1分别交AD、BD 于点E、F，过C、D、F三点的⊙O2交AD于点G，设⊙O1、⊙O2R222.的半径分别为R1、R2.求证：AG图3（吕建恒刘康宁供题）6.设a、b、c为直角三角形的三边长，其中，c为斜边长.求使得a3+b3+c3abc≥k成立的k的最大值.（李铁汉供题）7.设n是正整数，整数a是方程x4+3ax2+2ax−2×3n=0的根.求所有满足条件的数对(n,a).（李铁汉供题）8.给定由n(n+1)2个点组成的正三角形点阵（如图4），记以点阵中三个点为顶点的所有正三角形的个数为f(n)，求f(n)的表达式.图4（张利民供题）2009年北方数学奥林匹克1. 设数列{x n }满足x 1=1，x n =�x n−12+x n−1+x n−1(n ≥2).求数列{x n }的通项公式. （张 雷 供题）2. 如图1，在锐角△ABC 中，已知AA >AC ，cccA +cccC =1，E 、F 分别是AB 、AC 延长线上的点，且满足∠AAF =∠ACD =90°.（1） 求证：AD +CF =DF ；（2） 设∠DAC 的平分线与EF 交于点P ，求证：CP 平分∠ACF .图1（刘康宁 吕建恒 徐庆金 供题）3. 已知有26个互不相等的正整数，其中任意六个数中都至少有两个数，一个数整除另一个数.证明：一定存在六个数，其中一个数能被另外五个数整除.（张同君 供题）4. 船长和三位水手共得到2009枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配：水手1、水手2、水手3每人写下一个正整E数分别为b 1、b 2、b 3，满足b 1≥b 2≥b 3，且b 1+b 2+b 3=2009；船长在不知道水手写的数的情况下，将2009枚金币分成3堆，各堆数量分别为a 1、a 2、a 3，且a 1≥a 2≥a 3.对于水手k (k =1,2,3)，当b k <a k 时，可以从第k 堆拿走b k 枚金币，否则不能拿.最后所有余下的金币归船长所有.若无论三位水手怎样写数，船长总可以确保自己拿到n 枚金币.试确定n 的最大值，并证明你的结论. （张 利 供题）5. 如图2，在给定的扇形AOB 中，圆心角为锐角.在弧AB 上取异于A 、B 的一点C ，在线段OC 上取一点P ，连结AP ，过点B 作直线BQ ∥AP 交射线OC 于点Q .证明：封闭图形OAQPBO 的面积与点C 、P 的选取无关.图2 （徐庆金 供题）6. 设x 、y 、z >0，且x 2+x 2+y 2=3，求证：∑x 2009−2008(x−1)y+z ≥12(x +x +y ). （杨海滨 贾应红 供题）7. 记[m ]为不超过实数m 的最大整数.设x 、y 均为正实数，且对所有的正整数n ，都有[x [nx ]]=n −1成立.证明xy =1，且y 是大于1的无O理数.（刘康宁供题）8.求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.（张雷供题）2010年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}满足a1=2，a n=22n a n−1+2n2n(n=2,3,⋯).求通项a n(n=1,2,⋯). （吴树勋供题）2.已知PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，PCD是⊙O的一条割线，过点C作PA的平行线，分别交弦AB、AD于点E、F.求证：CD=DF.（李新焕供题）3.求所有的正整数(x,x,y)，使得1+2x×3y=5z成立.（张雷供题）4.在7×7的方格表的64个网格线交点（称为“结点”）处放棋子，每点至多放1枚，一共放了k枚棋子.若无论怎样放，总存在4枚棋子，它们所在的结点构成一个矩形（矩形的边平行于棋盘网格线）的四个顶点.试求k的最小值.（张利民供题）5.设正实数a、b、c满足(a+2b)(b+2c)=9.求证：�a2+b22+2�b3+c323≥3.（张雷供题）6.已知⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，连结NO并延长交DE于点K，连结AK并延长交BC于点M.求证：M是BD的中点.（康春波供题）7.求[x,x,y]=(x,x)+(x,y)+(y,x)满足x≤x≤y,(x,x,y)=1的所以正整数解，其中，[m,n]和(m,n)分别表示正整数m、n的最小公倍数和最大公约数.（王全供题）8.设x、x、y∈[0,1]，且|x−x|≤12，|x−y|≤12，|y−x|≤12.试求W=x+x+y−xx−xy−yx的最小值和最大值.（刘康宁安振平供题）2011年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}的通项a n=(√3+√2)2n(n∈N+)，设b n=a n+1a n. （1）试求b n+2、b n+1、b n之间的递推关系；（2）求a2011整数部分的个位数字.（刘洪柱供题）2.如图1，△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB、于点D、E、F，P 为内切圆内一点，线段PA、PB、PC分别于内切圆交于点X、Y、Z.证明：XD、YE、ZF三线共点.图1（徐庆金供题）3.求不定方程1+2x×7y=y2的全部正整数解(x,x,y). （翁世有供题）4.设n个集合A1,A2,⋯,A n是集合A={1,2,⋯,29}的一个分划，且A i(i=1,2,⋯,n)中任意个元素之和都不等于30.求n的最小可能值. 【注】若集合A的非空子集A1,A2,⋯,A n(n∈N+,n≥2)满足A i∩A j=∅(i≠j)，A1∪A2∪⋯∪A n=A，则称A1,A2,⋯,A n是集合A的一个分划.（张雷供题）5. 若正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称(a ,b ,c )为勾股数组.求含有30的所有勾股数组. （杨春宏 供题）6. 如图2，过点P 引的切线P A 和割线PBC ，AC ⊥PP ，垂足为D .证明：AC 是△ABD 外接圆的切线.图2（吕建恒 供题） 7. 在△ABC 中，证明：11+ccs 2A+ccs 2A +11+ccs 2A+ccs 2C +11+ccs 2C+ccs 2A ≤2.（安振平 供题） 8. 已知n 是正整数，实数x 满足�1−|2−⋯|(n −1)−|n −x ||⋯|�=x .求x 的值. （张利民供题）P2012年北方数学奥林匹克1.如图1，在△ABC中，∠C=90°，I是内心.直线BI交AC于D，作DE平行于AI交BC于E，直线EI交AB于F.证明：DF垂直于AI.图12.正整数x1,x2,⋯,x n(n∈ℕ+)，满足x12+x22+⋯+x n2=111，求S=x1+x2+⋯+x n n的最大可能值.3.设S={x|x=a2+ab+b2,a,b∈ℤ}.求证：(1)若m∈S,3|m，则3m∈S；(2)若m,n∈S，则m⋅n∈S.4.平面上有n(n≥4)条直线，对于直线a，b，在余下的n-2条直线中，如果至少存在两条直线与直线a，b都相交，则称直线a，b是相合的直线对，否则称其是相离的直线对.若n条直线中相合直线对的个数比相离直线对的个数多2012.求n的最小可能值（直线对中的两条直线不计顺序）.5.已知数列{a n}:a0=0,a n=1a n−1−2,n∈ℕ+，在数列{a n}中任意取定一项a k，构造数列{b n}:b0=a k,b n=2b n−1+1b n−1,n∈ℕ+.试判断数列{b n}是有限数列还是无穷数列？并给出证明.6.设n是正整数，证明�1+13��1+13�⋯�1+13�<2.7.如图2在五边形ABCDE中，BC=DE，CD平行于BE，AB>AE，AA AA，求证：AC平分线段BE.若∠AAC=∠CAD，且图28.设p是奇素数，如果存在正整数a使p!|a p+1，证明：(1)�a+1,a p+1a+1�=p.(2)a p+1a+1没有小于ｐ的素因子.p!|a+1.。

目录2001年西部数学奥林匹克 (2)2002年西部数学奥林匹克 (4)2003年西部数学奥林匹克 (6)2004年西部数学奥林匹克 (7)2005年西部数学奥林匹克 (8)2006年西部数学奥林匹克 (10)2007年西部数学奥林匹克 (12)2008年西部数学奥林匹克 (14)2009年西部数学奥林匹克 (16)2010年西部数学奥林匹克 (18)2011年西部数学奥林匹克 (21)2012年西部数学奥林匹克 (23)2001年西部数学奥林匹克1.设数列{x n}满足x1=12，x n+1=x n+x n2n2.证明：x2001<1001.（李伟固供题）2.设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△P AB的内切圆与边AB的切点.乘积PP⋅PP的值随着长方形ABCD及点P 的变化而变化，当PP⋅PP取最小值时，（1）证明：PP≥2PB；（2）求PQ⋅PQ的值.（罗增儒供题）3.设n、m是具有不同奇偶性的正整数，且n>m.求所有的整数x，使得x2n−1x2m−1是一个完全平方数.（潘曾彪供题）4.设x、y、z为正实数，且x+y+z≥xyz.求x2+y2+z2xyz的最小值.（冯志刚供题）5.求所有的实数x，使得[x3]=4x+3.这里[y]表示不超过实数y的最大整数.（杨文鹏供题）6.P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B.设Q为PO与AB的交点，过Q作⊙O的任意一条弦CD.证明：△PAB与△PCD有相同的内心. （刘康宁供题）7.求所有的实数x∈�0,π2�，使得(2−sss2x)sss�x+π4�=1，并证明你的结论.（李胜宏供题）8.我们称P1,P2,⋯,P n为集合A的一个n分划，如果（1）P1∪P2∪⋯∪P n=P；（2）P i∩P j≠Φ,1≤s<j≤s.求最小正整数m，使得对P={1,2,⋯,m}的任意一个14分划P1,P2,⋯,P14，一定存在某个集合P i(1≤s≤14)，在P i中有两个元素a、b满足b<a≤43b. （冷岗松供题）2002年西部数学奥林匹克1.求所有的正整数n，使得s4−4s3+22s2−36s+18是一个完全平方数.2.设O为锐角△ABC的外心，P为△AOB内部一点，P在△ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：以FE、FD为邻边的平行四边形位于△ABC内.3.考虑复平面上的正方形，它的4个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x4+px3+qx2+rx+s=0的4个根.求这种正方形面积的最小值.4.设n为正整数，集合P1,P2,⋯,P n+1是集合{1,2,⋯,s}的n+1个非空子集.证明：存在{1,2,⋯,s+1}的两个不交的非空子集{s1,s2,⋯,s k}和{j1,j2,⋯,j m}，使得P i1∪P i2∪⋯∪P i k=P j1∪P j2∪⋯∪P j m.5.在给定的梯形ABCD中，AD∥BC，E是边AB上的动点，O1、O2分别是△AED、△BEC的外心.求证：O1O2的长为一定值.6.设s(s≥2)是给定的正整数，求所有整数组(a1,a2,⋯,a n)满足条件：（1）a1+a2+⋯+a n≥s2；（2）a12+a22++a n2≤s3+1.7.设α、β为方程x2−x−1=0的两个根，令a n=αn−βnα−β,s=1,2,⋯.（1）证明：对任意正整数n，有a n+2=a n+1+a n；（2）求所有正整数a、b，a<b，满足对任意正整数n，有b整除a n−2sa n.8.设S=(a1,a2,⋯,a n)是一个由0，1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续5项不同，即对任意1≤s<j≤s−4，a i,a i+1,a i+2,a i+3,a i+4与a j,a j+1,a j+2,a j+3,a j+4不相同.证明：数列S 最前面的4项与最后面的4项相同.1. 将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10.求每一个面上四个数之和的最小值.2. 设2n 个实数a 1,a 2,⋯,a 2n 满足条件∑(a i+1−a i )2=12n−1i=1.求(a n+1+a n+2+⋯+a 2n )−(a 1+a 2+⋯+a n )的最大值.3. 设n 为给定的正整数.求最小的正整数u n ，满足：对每一个正整数d ，任意u n 个连续的正奇数中能被d 整除的数的个数不少于奇数1,3,5,⋯,2s −1中能被d 整除的数的个数.4. 证明：若凸四边形ABCD 内任意一点P 到边AB 、BC 、CD 、DA 的距离之和为定值，则ABCD 是平行四边形.5. 已知数列{a n }满足：a 0=0，a n+1=ka n +�(k 2−1)a n 2+1,s =0,1,2,⋯,其中k 为给定的正整数.证明：数列{a n }的每一项都是整数，且2k |a 2n ,s =0,1,2,⋯. 6. 凸四边形ABCD 有内切圆，该内切圆切边AB 、BC 、CD 、DA 的切点分别为A 1、B 1、C 1、D 1，连结A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1，点E 、F 、G 、H 分别为A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1的中点.证明：四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是A 、B 、C 、D 四点共圆.7. 设非负实数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5满足∑11+x i =15i=1.求证：∑x i4+x i 25i=1≤1. 8. 1650个学生排成22行、75列.已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对.证明：男生的人数不超过928.1.求所有的整数n，使得s4+6s3+11s2+3s+31是完全平方数.2.四边形ABCD为一凸四边形，I1、I2分别为△ABC、△DBC的内心，过点I1、I2的直线分别交AB、DC于点E、F，分别延长AB、DC，它们相交于点P，且PE=PF.求证：A、B、C、D四点共圆.3.求所有的实数k，使得不等式a3+b3+c3+d3+1≥k(a+b+c+d)对任意a、b、c、d∈[−1,+∞)都成立.4.设s∈N+，用d(s)表示n的所有正约数的个数，ϕ(s)表示1,2,⋯,s 中与n互质的数的个数.求所有的非负整数c，使得存在正整数n，满足d(s)+ϕ(s)=s+c，且对这样的每一个c，求出所有满足上式的正整数n.5.设数列{a n}满足a1=a2=1，且a n+2=1a n+1+a n,s=1,2,⋯.求a2004.6.将m×s棋盘（由m行n列方格构成，m≥3,s≥3）的所有小方格都染上红蓝两色之一.如果2个相邻（有公共变）的小方格异色，则称这2个小方格为1个“标准对”.设期盼中“标准对”的个数为S.试问：S是奇数还是偶数有哪些方格的颜色确定？什么情况下S为奇数？什么情况下S为偶数？说明理由.7.已知锐角△ABC的三边长不全相等，周长为l，P是其内部一动点，点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：2（PB+PD+ BB）=l的充分必要条件是：点P在△ABC的内心与外心的连线上.8.求证：对任意正实数a、b、c，都有1<a√a2+b2+b√b2+c2+c√c2+a2≤3√22.1. 已知α2005+β2005可表示成以α+β、αβ为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.2. 如图1，过圆外一点P 作圆的两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，再过点P 作圆的一条割线分别与圆交于C 、D 两点，过切点B 作P A 的平行线分别交直线AC 、AD 于E 、F .求证：PB =PB .图13. 设S ={1,2,⋯,2005}.若S 中任意n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求n 的最小值.4. 已知实数x 1,x 2,⋯,x n (s >2)满足|∑x i n i=1|>1，|x i |≤1(s =1,2,⋯,s ).求证：存在正整数k ，使得�∑x i k i=1−∑x i n i=k+1�≤1 5. 如图2，⊙O 1、⊙O 2交于A 、B 两点.过点O 1的直线DC 交⊙O 1于点D 且切⊙O 2于点C ，CA 且⊙O 1于点A ，⊙O 1的弦AE 与直线DC 垂直.过点A 作AF 垂直于DE ，F 为垂足.求证：BD 平分线段AF .图2P6.在等腰Rt△ABC中，BP=BP=1，P是△ABC边界上任意一点.求PP⋅PP⋅PB的最大值.7.设正实数a、b、c满足a+b+c=1.证明：10(a3+b3+c3)−9(a5+b5+c5)≥1.8.设n个新生汇总，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不任何.试求n的最大值.2006年西部数学奥林匹克1. 设s (s ≥2)是给定的正整数，a 1,a 2,⋯,a n ∈(0,1).求∑�a i (1−a i+1)6n i=1的最大值，这里a n+1=a 1. 2. 求满足下述条件的最小正实数k ：对任意不小于k 的4个互不相同的实数a 、b 、c 、d ，都存在a 、b 、c 、d 的一个排列p 、q 、r 、s ，使得方程(x 2+px +q )(x 2+rx +s )=0有4个互不相同的实数根. 3. 如图1，在△ABC 中，∠PPB =60°，过点P 作△PBC 的外接圆⊙O 的切线，与CA 的延长线交于点A .点D 、E 分别在线段PA 和⊙O 上，使得∠DPB =90°，PD =PE .连结BE 与PC 相交于点F .已知AF 、BP 、CD 三线共点.（1） 求证：BF 是∠PPB 的角平分线；（2） 求tas ∠PBP 的值.图14. 设正整数a 不是完全平方数.求证：对每一个正整数n ，S n =�√a�+�√a�2+⋯+�√a�n的值都是无理数.这里{x }=x −[x ]，其中，[x ]表示不超过x 的最大整数.5. 设S =�s�s −1,s ,s +1都可以表示为两个正整数的平方和�.证明：若s ∈S ，则s 2∈S .C6. 如图2，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，过点C 作⊙O 的割线，与⊙O 交于点D 、E ，OF 是△BOD 的外接圆⊙O 1的直径，连结CF 并延长交⊙O 1于点G .求证：O 、A 、E 、G 四点共圆.图27. 设k 是一个不小于3的正整数，θ是一个实数.证明：如果cms (k −1)θ和cms kθ都是有理数，那么，存在正整数s (s >k )，使得cms (s −1)θ和cms sθ都是有理数. 8. 给定正整数s (s ≥2)，求|X |的最小值，使得对集合X 的任意n 个二元子集P 1,P 2,⋯,P n ，都存在集合X 的一个子集Y ，满足：(1)|Y |=s ;(2) 对s =1,2,⋯,s ，都有|Y ∩P i |≤1.这里，|P |表示有限集合A 的元素个数.A2007年西部数学奥林匹克1. 已知T ={1,2,⋯,8}.对于P ⊆T ,P ≠Φ，定义S (P )为A 中所有元素之和.问：T 有多少个非空子集A ，使得S (P )是3的倍数，但不是5的倍数？2. 如图1，⊙O 1、⊙O 2交于点C 、D ，过D 的一条直线分别与⊙O 1、⊙O 2交于点A 、B ，点P 在⊙O 1的AD 弧上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙O 2的BD 弧上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ，O 是△ABC 的外心.求证：OD ⊥MN 的充要条件为P 、Q 、M 、N 四点共圆.图13. 设实数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：15a 2−4a+11+15b 2−4b+11+15c 2−4c+11≤14. 4. 设O 是△ABC 内部一点.证明：存在正整数p 、q 、r ，使得|pOP +qOP +rOB |<12007.5. 是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？O6.求所有的正整数n，使得存在非零整数x1,x2,⋯,x n,y,满足�x1+x2+⋯+x n=0,x12+x22+⋯+x n2=sy2.7.设P是锐角△ABC内一点，AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB 交于点D、E、F，已知△DBB∼△PPB.求证：P是△ABC的重心. 8.将n枚白子与n枚黑子任意地放在一个圆周上.从某枚白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,⋯,s.在从某枚黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,⋯,s.证明：存在连续n枚棋子（不计黑白），它们的标号组成的集合为{1,2,⋯,s}.2008年西部数学奥林匹克1.实数数列{a n}满足a0≠0,1,a1=1−a0，a n+1=1−a n(1−a n)(s=1,2,⋯).证明：对任意的正整数n，都有a0a1⋯a n�1a0+1a1+⋯+1a n�=1.2.如图1，在△ABC中，AB=AC，其内切圆⊙I分别切边BC、CA、AB于点D、E、F，P为弧EF（不含点D的弧）上一点.设线段BP交⊙I于另一点Q，直线EP、EQ分别交BC于点M、N.证明：(1)P、F、B、M四点共圆；(2)EE EE=BB BB.图13.设整数m(m≥2)，a1,a2,⋯,a m都是正整数.证明：存在无穷多个正整数n，使得数a1×1n+a2×2n+⋯+a m×m n都是合数.4.设整数m(m≥2)，a为正实数，b为非零实数，数列{x n}定义如下：x1=b,x n+1=ax n m+b(s=1,2,⋯).证明：(1)当b<0且m为偶数时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≥−2；(2)当b<0且m为奇数，或b>0时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≤(m−1)m−1m m.5.在一直线上相邻的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008.6.设x、y、z∈(0,1)，满足�1−x yz+�1−y zx+�1−z xy=2.求xyz的最大值.7.设n为给定的正整数.求最大的正整数k，使得存在三个由非负整数组成的k元集P={x1,x2,⋯,x k}，P={y1,y2,⋯,y k}，B= {z1,z2,⋯,z k}满足对任意的j(1≤j≤k)，都有x j+y j+z j=s.8.设P为正n边形P1P2⋯P n内的任意一点，直线P i P(s=1,2,⋯s)交正n边形P1P2⋯P n的边界于另一点P i.证明：∑PP i n i=1≥∑PP i n i=1.2009年西部数学奥林匹克1.设M是一个由实数集R去掉有限个元素后得到的集合.证明：对任意正整数n，都存在n次多项式f(x)，使得f(x)的所有系数及n个实根都属于M.2.给定整数s≥3.求最小的正整数k，使得存在一个k元集合A和n 个两两不同的实数x1,x2,⋯,x n，满足x1+x2,x2+x3,⋯,x n−1+x n,x n+x1均属于A.3.设H为锐角△ABC的垂心，D为边BC的中点.过点H的直线分别交边AB、AC于点F、E，使得AE=AF，射线DH与△ABC的外接圆交于点P.求证：P、A、E、F四点共圆.4.求证：对任意给定的正整数k，总存在无穷多个正整数n，使得2n+3n−1,2n+3n−2,⋯,2n+3n−k均为合数.5.设数列{x n}满足x1∈{5,7}及当k≥1时，有x k+1∈{5x k,7x k}.试确定x2009的末两位数字的所有可能值.6.如图1，设D是锐角△ABC的边BC上一点，以线段BD为直径的圆分别交直线AB、AD于点X、P（异于点B、D），以线段CD为直径的元分别交直线AC、AD于点Y、Q（异于点C、D）.过点A作直线PX、QY的垂线，垂足分别为M、N.求证△PMN∼△PPB的充分必要条件是直线AD过△ABC的外心.图17. 有s (s >12)个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成，每答对一题得1分，不答或答错得0分.分析每一种可能的得分情况发现：只要其中任意12个人得分之和不少于36分，则这n 个人中至少有3个人答对了至少三道同样的题.求n 的最小可能值.8. 实数a 1,a 2,⋯,a n (s ≥3)满足a 1+a 2+⋯+a n =0，且2a k ≤a k−1+a k+1(k =2,3,⋯,s −1).求最小的λ(s )，使得对所有的k ∈{1,2,⋯s }，都有|a k |≤λ(s )⋅max {|a 1|,|a n |}.B2010年西部数学奥林匹克1. 设m 、k 为给定的非负整数，p =22m +1为质数.求证： (1) 22m+1p k ≡1(mmd p k+1);(2) 满足同余方程2n ≡1(mmdp k+1) 的最小正整数n 为2m+1p k . （靳 平 供题）2. 如图1，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆周上异于点A 、B 且在AB 同侧的两点，分别过点C 、D 作圆的切线，它们交于点E ，线段AD 与BC 的交点为F ，直线EF 与AB 交于点M .求证：E 、C 、M 、D 四点共圆.图1（刘诗雄 供题）3. 求所有的正整数n ，使得集合{1,2,⋯,s }有n 个两两不同的三元子集P 1,P 2,⋯,P n ，满足对任意的k (1≤s <j ≤s )，都有�P i ∩P j �≠1.（冯志刚 供题）4. 设非负实数a 1,a 2,⋯,a n 与b 1,b 2,⋯,b n 满足以下条件： （1） ∑a i +b i n i=1=1; （2） ∑s (a i −b i )n i=1=0; （3） ∑s 2(a i +b i )n i=1=10.求证：对任意的k(1≤k≤s)，都有max{a k,b k}≤1010+k2. （李胜宏供题）5.设k为大于1的整数，数列{a n}定义如下：a0=0,a1=1,a n+1=ka n+a n−1(s=1,2,⋯).求所以满足如下条件的k：存在非负整数l、m(l≠m)，及正整数p、q，使得a l+ka p=a m+ka q. （熊斌供题）6.如图2，在△ABC中，∠PBP=90°，以B为圆心、BC为半径作圆，点D在边AC上，直线DE切⊙B于点E，过点C垂直于AB的直线于直线BE交于点F，AF与DE交于点G，作AH∥BG于DE交于点H.求证GE=GH.图2（边红平供题）7.有s(s≥3)名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场且没有平局.若选手A的手下败将不都是B的手下败将，则称A不亚于B.试求所有可能的n，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都不亚于其他任何一名选手.（李秋生供题）8.求所有的整数k，使得存在正整数a和b，满足b+1a+a+1b=k.（陈永高供题）2011年西部数学奥林匹克1. 已知0<x 、y <1.求xy (1−x−y )(x+y )(1−x )(1−y )的最大值.2. 设集合满足：M ⊆{1,2,⋯,2011}在M 的任意三个元素中都可以找到两个元素a 、b ，使得a |b 或b |a .求|M |的最大值（|M |表示集合M 的元素个数）.3. 给定整数s ≥2.(1) 证明：可以将集合{1,2,⋯,s }的左右子集适当地排列为P 1,P 2,⋯,P 2n ，使得P i 与P i+1(s =1,2,,2n ,且P 2n +1=P 1)的元素个数恰相差1.(2) 对于满足(1)中条件的子集P 1,P 2,⋯,P 2n ，求∑(−1)i S (P i )2n i=1的所以可能值，其中，S (P i )=∑x x∈A i ,S (∅)=0. 4. 如图1，AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与CD 交于点E ，⊙I 内切⊙O 于点F ，且分别与弦AB 、CD 切于点G 、H .过点O 的直线l 分别于AB 、CD 交于点P 、Q ，使得EP =EQ ，直线EF 于直线l 交于点M .证明：过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线.图15. 是否存在奇数s (s ≥3)及n 个互不相同的质数p 1,p 2,⋯,p n ，使得p i +p i+1(s =1,2,⋯,s ,p n+1=p 1)都是完全平方数？请证明你的结论.6.设a、b、c>0.证明：(a−b)2(c+a)(c+b)+(b−c)2(a+b)(a+c)+(c−a)2(b+c)(b+a)≥(a−b)2a2+b2+c2.7.在△ABC中，PP>PB内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，M是边BC的中点，PH⊥PB于点H，∠PPB的平分线AI分别与直线DE、DF交于点K、L.证明：M、L、H、K四点共圆. 8.求所有的整数对(a,b)，使得对任意的正整数n都有s|(a n+b n+1).2012年西部数学奥林匹克1.求最小的正整数m，使得对任意大于3的质数p，都有：105|9p2−29p+m.2.证明：在正2s−1边形(s≥3)的顶点中，任意取出s个点，其中必有3个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形。