2013年中国西部数学邀请赛

ａ ６ ｃ＋２、 ａ ｂ ｃ＋２、 ａ ｂ ｃ ＋２
表示集合 Ａ的元素个数 ，
表示集合Ａ的
最小元素． 记ａ 为 ｎ级好集合的个数． 证明： 对 一切 正整 数 ｎ ， 均有 ａ ＋ ２ ＝ ａ 川 ＋ ａ ＋１ ． （ 李伟固 供题 ）
６ ．如 图 ｌ ， Ｐ Ａ、
４ ． 对 硬币 的 每一 种 摆 放 方 式 ， 定 义 相 对
从而， 原不等式得证． ３ ． 辅助线如图 ２ ． 设边 Ｂ Ｃ上的旁切圆圆： 若从左到右第 ｉ 枚硬 币正
面朝上 ， 则Ｃ ＝ １ ； 否则， Ｃ ｉ ＝ ０ ． 于是 ， 开始时对应的数列为 ．
（ 冷 岗松 供题 ）
点 、 ） ， 过 点 ｃ作
Ｐ Ｃ 的 垂 线 Ｚ ，与 Ａ Ｏ Ｃ的 角 平 分 线
交 于点 Ｄ， 与 Ｂ Ｏ Ｃ
３ ． 在△ Ａ Ｂ Ｃ中， 已知 ： 是边 Ａ Ｃ上旁切
圆圆心 曰 。 关于 Ａ Ｃ中点的对称 点， Ｃ ： 是 边
Ａ Ｂ上旁切圆圆心 ｃ ， 关于Ａ Ｂ中点 的对称点 ， 边Ｂ Ｃ上旁切圆切边 Ｂ Ｃ于点 Ｄ ． 证明 ：
Ｂ１ Ｃ ｌ Ａ１ Ａ
ＢＣ ’ Ａｔ Ｄ ’
因为 ＝Ｃ ｌ ｌ ， Ａ ｌ Ａ上 ｌ Ｃ １ ， 所以 ，
Ｂ Ｐ
： ，
故３ ∑ ｋ ｘ ＝ ∑ ３ ｋ ｘ
１《 ‘ ｆ 《ｎ Ｉ《 ＜ ≤ ｎ
≤
（ ＋２ ｋ ｘ ｆ ） ．
Ｊ ￣ ． Ｂ Ｐ＿ Ｌ Ａ Ｉ Ａ， Ｂ Ｃ
在这 几一３条对 角线 上各 标上 一个 整数 ， 满 足
（ 边红平 供题 ）
４ ． 把Ｉ ｔ （ ｔ Ｉ ≥２ ） 枚硬 币排成一行 若存在 正面朝上的硬币， 则可以从中选取一枚 ， 将以

题两部分，满分120分。其中填空题8道，0分。 加试（二试）考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解
答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平
面几何、代数、数论、组合数学等。 根据最新消息，2011年数学联赛的试题规则与2010年相同。
道题，每天三道，每个得分点三分，每题21分；第8天：阅卷（学生参观
考察），主试委员会根据分数确定一、二、三等奖获奖名单；前20至30 名选手进入国家集训队；第9天：闭幕式。 国家集训队3、4月份集训，通过考试选出6人进入国家队，国家队的 考试由平时测验和最后考试两部分组成；平时测验成绩和最后考试成绩 各占一半。六月份进行为期3周的集训，7月份参加IMO，过程同CMO。 中国数学奥林匹克（CMO）：省一和国家一二三等奖有保送高校资格。 省二有自主招生资格，通过自主招生后自动保送。
中国西部数学奥林匹克概述
简介 中国西部数学奥林匹克（Chinese Western Mathematical Olympiad，缩 写为CWMO），是为位于中国西部省份（包括江西）的中学生举办的数学 竞赛，由中国数学奥林匹克委员会举办，一般定于每年11月份举行。目的 是为了鼓励西部地区中学生学习数学的兴趣。自从2001年举办第一届竞赛
东道主。按IMO的规定，每一届的东道主必须向上一届的所有参赛国发出
邀请，而新参加的国家则应当向东道主表明参加的意愿，再由东道主发出 邀请。 1988年第29届，根据香港的建议，IMO首次设立了荣誉奖，奖给那些 虽然未得金、银、铜牌，但至少有一道题得满分的选手。这一措施，大大 调动了各参赛国及参赛选手的积极性。
三、国际数学奥林匹克（IMO）
（2）每个参赛团组织一个参赛队，成员不超过8人，其中队员不超

2013年全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖【名单】2013年全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖【编者按：今年的名单公示，是全部名单（包含非应届）】∙全部(1310)∙北京(52)∙河北(45)∙山西(42)∙辽宁(49)∙吉林(51)∙黑龙江(50)∙上海(54)∙江苏(54)∙浙江(54)∙安徽(44)∙福建(44)∙河南(50)∙湖北(53)∙湖南(54)∙广东(52)∙重庆(48)∙四川(50)∙天津(51)∙内蒙古(23)∙江西(46)∙山东(51)∙广西(31)∙海南(29)∙贵州(25)∙云南(22)∙西藏(20)∙陕西(47)∙甘肃(44)∙青海(24)∙宁夏(26)∙新疆(25)姓名毕业学校省市名称奖项名称安曼人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖钏龙祥人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖董子超北京十一学校北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖房正阳人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖何振豪北师大二附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖贾泽宇人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李伯瀚北京四中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李蒙人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李润哲北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李澍鹏北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李兴远北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李彦达北京十一学校北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李阳北京十一学校北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李禹辰北京四中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘迪一北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘陆川北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘沛江北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘瑜北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘子不北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖陆照景山学校北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖罗明宇北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖马思源北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孟涛北京四中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖欧阳铭晖人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖彭俊尧人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖邱厚德人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖石经天人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙家进北京四中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙谦人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙元逊人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖唐敦人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王浩昀人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王华首师大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王润楠人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王雪莹人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王正人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖伍岳人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖夏宁静人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖熊博远人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖胥晓宇人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖许云贝人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨宇琛北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖于淼北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张婧宁北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖赵伯钧人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖赵嘉霖北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖赵思衡北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖赵芯培清华附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郑浩天人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖左世良北京四中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姓名毕业学校省市名称奖项名称白瑞祺邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖蔡思伟石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖陈磊衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖崔昊衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖丁一峰衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖傅翼宽石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖韩金瑞石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖韩兆坤邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖何胜毅衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖焦子南邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖晋唯真邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖亢铮衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李成蹊衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李星辉石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李逸飞石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖梁慧玲衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖梁润秋邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘海峰石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘路正石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘沛婧石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘若柏石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘若一衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吕泽群石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖马强衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孟泽宇衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖乔倩衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖屈子博石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖桑宇邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖宋世伟石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙轶泽邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王碧瑶石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王睿达石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王喆衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王政衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王子邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖辛天屹石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖闫斌衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨帆石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨鹏飞衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖于立佳石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张明居邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张宜杰衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张钊森衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张子童石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖周航石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖畅书尧太原五中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖褚丹彤山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖崔雪宁山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杜佳宸太原五中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杜雪兴山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖冯瑜林运城市康杰中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郭晏博山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖韩妍山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郝育昆长治学院附属太行中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖侯嘉伟山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖霍煜琨山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖贾鹏伟山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李铎山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李佳昊山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李佳明山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李铭辉山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李然山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李园园长治二中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李玥儒山西省实验中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘耕太原五中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘通山西省实验中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘熙航山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘育烜山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖路橙山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吕子龙山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖倪瑞祺山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖秦皇长治二中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖任昊山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖宋应如山西省实验中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖田梦山西省实验中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王国庆山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王昊昕运城市康杰中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王泽荣山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王著山西省实验中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王子轩山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吴一凡太原五中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖薛有泽太原五中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖于鹏山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖翟佳和山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张浩鑫山西省实验中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张嘉恒山西省实验中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖章宇宁山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姓名毕业学校省市名称奖项名称白惠天辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖崔帆大连育明高中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杜聿博辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖付博闻本溪市高级中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖高崟喆大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖高正祺辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖宫昊辰辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李博大连育明高中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李一航大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李泽群辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖梁宇辰东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖林海涛东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖林航宇辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘佳奇辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘先宇大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖栾雨大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖马一鸣辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖潘国梁东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖庞博鞍山一中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖庞子奇东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖祁季桐东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖乔文韬鞍山一中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖史长昊大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖宋维书大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙安临大连育明高中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙海威东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王克杰大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王诺舟辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王睿俊辽宁师范大学附属中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王思宇大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王啸宸东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王许涛大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王臻大连育明高中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王志然大连育明高中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吴麒奎大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吴彦锦辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吴子源东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖鲜文瀚东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖徐光宇辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖徐家昂大连育明高中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖于鑫洋东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖余佳弘大连育明高中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张可欣本溪市高级中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张桐辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张鑫垚东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张钊棋本溪市高级中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郑树人辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖周睿达辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖朱哲皞鞍山一中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姓名毕业学校省市名称奖项名称曹焕琦延边二中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖承书尧东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖董童吉化一中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖高英华白城市第一中学吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖管英迪东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郭乃瑶东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖韩佳琪白山二中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郝天泽吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖胡宝生东辽一高中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖金品旭辽源五中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖鞠灏吉林市第一中学吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李邦卓吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李继世梅河口五中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李欣竹通化一中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李泽晨四平一中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘核旭吉林市第一中学吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘京松东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘铁锌松原实验高中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘通吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖乔冠儒吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖任泽林长春市十一高中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖沙金锐吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙佳帅辽源五中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙一夫东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王琮元吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王浩宣四平一中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王南吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王新博吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王旭红梅河口五中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王雪旭东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王俞涵吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王振宇延边一中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吴晨玮东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吴金峰东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖武传鹏吉林市第一中学吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖辛桐东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖薛廉广吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖严若达吉林油田高中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨宗睿吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姚人天东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姚禹歌东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖于翔宇吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖臧士豪东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张成硕东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张广滨吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张楠东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张馨月东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张煜奇东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张湛唯东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郑钥方东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖祝亮公主岭市第一中学吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姓名毕业学校省市名称奖项名称艾超哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖蔡丰宇哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖曹龙祥鹤岗一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖常静之哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖邸昊然哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖董森哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖付敬儒牡丹江市第一高级中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖付一阳哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郭瑾颐大庆实验中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖贺军崴黑龙江省实验中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姜松岩哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖金英帅哈尔滨122中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖康健哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李百双哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李佳明哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李无为大庆一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李雨阳哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李宗儒哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘博哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘俊岐佳木斯一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘璐齐齐哈尔实验中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘梦哲哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖罗天佑哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖裴洪斌佳木斯一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖沈哲锋牡丹江市第一高级中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖宋天浩大庆铁人中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙铄哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖唐文威哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王博宇哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王健宇哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王闰生哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王思涵哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王梓萱哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吴长胜农垦北安管理局第一高级中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖武正奇哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖夏雨妍大庆实验中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖项泽铭大庆外国语学校黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖谢旭哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖许健宇哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨川东佳木斯一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨一诺哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨宇初大庆外国语学校黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨煜大庆一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姚刚伊春一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖于禄泽哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张皓添佳木斯一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张津源哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张楠大庆实验中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖赵拓一哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖赵玺玖大庆铁人中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姓名毕业学校省市名称奖项名称柏旻皓上海中学上海2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖蔡绍旸复旦大学附属中学上海2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖蔡泽昆上海中学上海2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖曹馨元上海中学上海2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖陈孟起上海中学上海2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖陈民健华东师范大学第二附属中学上海2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖戴健圣复旦大学附属中学上海2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖。

2013年全国高中数学联合竞赛第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 设集合{}2,0,1,3A =，集合{}2|B x x A x A =-∈∉，2-．则集合B 中所有元素的和为__________．解：易知{}2,0,1,3B ⊆---．当2,3x =--时，222,7x -=--，有22x A -∉；而当0,1x =-时，222,1x -=，有22x A -∈．因此，根据B 定义可知{}2,3B =--．所以，集合B 中所有元素的和为5-．2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线4y x =上，满足4OA OB ⋅=-，F 是抛物线的焦点，则OFAOFBSS⋅=__________．3. 在△ABC 中，已知sin 10sin sin A B C =，cos 10cos cos A B C =，则tan A 的值为___________．解：()()sin cos 10sin sin cos cos 10cos 10cos A A B C B C B C A -=-=-+=， 所以sin 11cos A A =，故tan 11A =．4. 已知正三棱锥P ABC -底面边长为1___________．5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b =+满足：对任意[0,1]x ∈，有()1f x ≤．则ab 的最大值为___________．解：易知()()()10,0a f f b f =-=，则()()()()()()()()()()222111101001112444ab f f f f f f f ⎫⎛=⋅-=--+≤≤⎪ ⎝⎭．当()()12012f f ==±时，14ab =．故ab 的最大值为14．6. 从1,2,,20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为___________．7. 若实数,x y满足x -，则x 的取值范围是___________．8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ==，且对每个{}1,2,i ∈,8，均有112,1,2t t a a +⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则这样的数列的个数为____________．二、解答题（3小题，共56分）9. （本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12,2,3n n S S n -≥=，这里1n n S x x =++．证明：存在常数0C >，使得2,1,2,n n x C n ≥⋅=．10. （本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12,A A 分别为椭圆的左、右顶点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面中两个点Q 、R 满足11QA PA ⊥，22QA PA ⊥， 11RF PF ⊥，22RF PF ⊥，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明．11.（本题满分20分）求所有的正实数对(),a b，使得函数()2=+满足：对任f x ax b意实数,x y，有()()()++≥．f xy f x y f x f y()加试一、（本题满分40分）如图，AB 是圆ω的一条弦，P 为弧AB 内一点，E 、F 为线段AB 上两点，满足AE EF FB ==，连线PE 、PF 并延长，与圆ω分别交于点C 、D ，求证 EF CD AC BD ⋅=⋅PBDCAEF二、（本题满分40分）给定正整数,u v ．数列{}n a 定义如下：1a u v =+,对整数1m ≥， 221m m m m a a ua a v +=+⎧⎨=+⎩ 记()121,2,m m S a a a m =+++=．证明：数列{}m S 中有无穷多项是完全平方数．三、（本题满分50分）一次考试共有m 道试题，n 个学生参加，其中,2m n ≥为给定的整数，每道题的得分规则是：若该题恰有x 个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x 分，未答对的学生得零分．每个学生的总分为其m 道题的得分总和，将所有学生总分从高到低排列为12n p p p ≥≥≥，求1n p p +的最大可能值．四、（本题满分50分）设,n k为大于1的整数，2kn ．证明：存在2k个不被n整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被n整除．。

次操作，变为状态
1， 0，0，0， … ，0 ，且第一步操作是将最右边的一枚硬币翻面。此时再经一次操作变
个
为 0， 1，1，1， … ，1 ，这种状态可以看作2m枚硬币的状态。根据归纳假设，再经
个
次操作，可以调整为状态 0，0，0， … ，0 ，即所有硬币都正面朝下。这种情况共
个
计经过
+1+
=
次操作。命题成立。
二、设整数n ≥ 2，且实数x 、x 、x 、 … 、x ∈ 0，1 ，求证：∑ ＜ kx x ≤ · ∑ kx 。 证明：我们用数学归纳法。 当n = 2时，命题即为x x ≤ (x + 2x ) ⇔ 3x x ≤ x + 2x 。而注意到x 、x ∈ 0，1 ，所以3x x = x x + 2x x ≤ x + 2x ，不等式成立。 假设当n = t时，命题成立，即∑ ＜ kx x ≤ · ∑ kx 。下面我们证明，当 n = t + 1时，命题也成立，即∑ ＜ kx x ≤ · ∑ kx 。 根据归纳假设，并注意到x 、x 、x 、 … … 、x ∈ 0，1 ，所以 ∑ ＜ kx x = ∑ ＜ kx x + (∑ kx )x ≤ · ∑ kx + (∑ kx )x = · ∑ kx + (∑ kx )x + (∑ kx )x ≤ · ∑ kx + (∑ kx ) + (∑ k)x = · ∑ kx + ( ) · x = · ∑ kx 当n = t + 1时，不等式也成立。根据数学归纳法知，不等式恒成立。 三、如图，⊙P、⊙Q、⊙R 为△ABC 的三个旁切圆，⊙P 切 BC 于点 D，E、F 分别为 AC、 AB 中点，点 Q 关于点 E 的对称点为点 M，点 R 关于点 F 的对称点为点 N，求证：AD⊥MN。 （2013 年中国西部数学奥林匹克试题）

戴子轩
女
八年级
铜奖
广大附中
黄若岚
女
八年级
铜奖
广大附中
郑泽昊
男
八年级
铜奖
广大附中
苏泽盛
男
八年级
铜奖
广大附中
林汉钊
男
八年级
铜奖
广大附中
曹彧睿
女
九年级
铜奖
培正中学
优秀奖（65人）
郭晋宏
男
三年级
优秀奖
西关培正小学
余卓蔚
男
三年级
优秀奖
华工附小
张越
男
三年级
优秀奖
华阳小学
苏劲夫
男
三年级
优秀奖
华美英语学校
张东翔
男
三年级
二中
钟启晓
男
八年级
优秀奖
汇景47中
谢峰
男
八年级
优秀奖
广大附中
林罗萱
女
八年级
优秀奖
广大附中
谭智聪
男
八年级
优秀奖
华师附中新世界学校
张阅帆
男
八年级
优秀奖
二中
欧隽铨
男
八年级
优秀奖
广大附中
胡光雄
男
八年级
优秀奖
广大附中
黄锴
男
八年级
优秀奖
二中
刘烨
男
八年级
优秀奖
二中
周璟罡
女
八年级
优秀奖
七中
吴君烨
男
三年级
铜奖
华美英语实验学校
杨伟杰
男
三年级
铜奖
外语外贸大学附属小学

目录2001年西部数学奥林匹克 (2)2002年西部数学奥林匹克 (4)2003年西部数学奥林匹克 (6)2004年西部数学奥林匹克 (7)2005年西部数学奥林匹克 (8)2006年西部数学奥林匹克 (10)2007年西部数学奥林匹克 (12)2008年西部数学奥林匹克 (14)2009年西部数学奥林匹克 (16)2010年西部数学奥林匹克 (18)2011年西部数学奥林匹克 (21)2012年西部数学奥林匹克 (23)2001年西部数学奥林匹克1.设数列{x n}满足x1=12，x n+1=x n+x n2n2.证明：x2001<1001.（李伟固供题）2.设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△P AB的内切圆与边AB的切点.乘积PP⋅PP的值随着长方形ABCD及点P 的变化而变化，当PP⋅PP取最小值时，（1）证明：PP≥2PB；（2）求PQ⋅PQ的值.（罗增儒供题）3.设n、m是具有不同奇偶性的正整数，且n>m.求所有的整数x，使得x2n−1x m−1是一个完全平方数.（潘曾彪供题）4.设x、y、z为正实数，且x+y+z≥xyz.求x2+y2+z2xyz的最小值.（冯志刚供题）5.求所有的实数x，使得[x3]=4x+3.这里[y]表示不超过实数y的最大整数.（杨文鹏供题）6.P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B.设Q为PO与AB的交点，过Q作⊙O的任意一条弦CD.证明：△PAB与△PCD有相同的内心. （刘康宁供题）7.求所有的实数x∈�0,π2�，使得(2−sss2x)sss�x+π4�=1，并证明你的结论.（李胜宏供题）8.我们称P1,P2,⋯,P n为集合A的一个n分划，如果（1）P1∪P2∪⋯∪P n=P；（2）P i∩P j≠Φ,1≤s<j≤s.求最小正整数m，使得对P={1,2,⋯,m}的任意一个14分划P1,P2,⋯,P14，一定存在某个集合P i(1≤s≤14)，在P i中有两个元素a、b满足b<a≤43b. （冷岗松供题）2002年西部数学奥林匹克1.求所有的正整数n，使得s4−4s3+22s2−36s+18是一个完全平方数.2.设O为锐角△ABC的外心，P为△AOB内部一点，P在△ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：以FE、FD为邻边的平行四边形位于△ABC内.3.考虑复平面上的正方形，它的4个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x4+px3+qx2+rx+s=0的4个根.求这种正方形面积的最小值.4.设n为正整数，集合P1,P2,⋯,P n+1是集合{1,2,⋯,s}的n+1个非空子集.证明：存在{1,2,⋯,s+1}的两个不交的非空子集{s1,s2,⋯,s k}和{j1,j2,⋯,j m}，使得P i1∪P i2∪⋯∪P i k=P j1∪P j2∪⋯∪P j m.5.在给定的梯形ABCD中，AD∥BC，E是边AB上的动点，O1、O2分别是△AED、△BEC的外心.求证：O1O2的长为一定值.6.设s(s≥2)是给定的正整数，求所有整数组(a1,a2,⋯,a n)满足条件：（1）a1+a2+⋯+a n≥s2；（2）a12+a22++a n2≤s3+1.7.设α、β为方程x2−x−1=0的两个根，令a n=αn−βnα−β,s=1,2,⋯.（1）证明：对任意正整数n，有a n+2=a n+1+a n；（2）求所有正整数a、b，a<b，满足对任意正整数n，有b整除a n−2sa n.8.设S=(a1,a2,⋯,a n)是一个由0，1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续5项不同，即对任意1≤s<j≤s−4，a i,a i+1,a i+2,a i+3,a i+4与a j,a j+1,a j+2,a j+3,a j+4不相同.证明：数列S 最前面的4项与最后面的4项相同.1. 将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10.求每一个面上四个数之和的最小值.2. 设2n 个实数a 1,a 2,⋯,a 2n 满足条件∑(a i+1−a i )2=12n−1i=1.求(a n+1+a n+2+⋯+a 2n )−(a 1+a 2+⋯+a n )的最大值.3. 设n 为给定的正整数.求最小的正整数u n ，满足：对每一个正整数d ，任意u n 个连续的正奇数中能被d 整除的数的个数不少于奇数1,3,5,⋯,2s −1中能被d 整除的数的个数.4. 证明：若凸四边形ABCD 内任意一点P 到边AB 、BC 、CD 、DA 的距离之和为定值，则ABCD 是平行四边形.5. 已知数列{a n }满足：a 0=0，a n+1=ka n +�(k 2−1)a n 2+1,s =0,1,2,⋯,其中k 为给定的正整数.证明：数列{a n }的每一项都是整数，且2k |a 2n ,s =0,1,2,⋯. 6. 凸四边形ABCD 有内切圆，该内切圆切边AB 、BC 、CD 、DA 的切点分别为A 1、B 1、C 1、D 1，连结A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1，点E 、F 、G 、H 分别为A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1的中点.证明：四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是A 、B 、C 、D 四点共圆.7. 设非负实数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5满足∑11+x i =15i=1.求证：∑x i4+x i 25i=1≤1. 8. 1650个学生排成22行、75列.已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对.证明：男生的人数不超过928.1.求所有的整数n，使得s4+6s3+11s2+3s+31是完全平方数.2.四边形ABCD为一凸四边形，I1、I2分别为△ABC、△DBC的内心，过点I1、I2的直线分别交AB、DC于点E、F，分别延长AB、DC，它们相交于点P，且PE=PF.求证：A、B、C、D四点共圆.3.求所有的实数k，使得不等式a3+b3+c3+d3+1≥k(a+b+c+d)对任意a、b、c、d∈[−1,+∞)都成立.4.设s∈N+，用d(s)表示n的所有正约数的个数，ϕ(s)表示1,2,⋯,s 中与n互质的数的个数.求所有的非负整数c，使得存在正整数n，满足d(s)+ϕ(s)=s+c，且对这样的每一个c，求出所有满足上式的正整数n.5.设数列{a n}满足a1=a2=1，且a n+2=1a n+1+a n,s=1,2,⋯.求a2004.6.将m×s棋盘（由m行n列方格构成，m≥3,s≥3）的所有小方格都染上红蓝两色之一.如果2个相邻（有公共变）的小方格异色，则称这2个小方格为1个“标准对”.设期盼中“标准对”的个数为S.试问：S是奇数还是偶数有哪些方格的颜色确定？什么情况下S为奇数？什么情况下S为偶数？说明理由.7.已知锐角△ABC的三边长不全相等，周长为l，P是其内部一动点，点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：2（PB+PD+ BB）=l的充分必要条件是：点P在△ABC的内心与外心的连线上.8.求证：对任意正实数a、b、c，都有1<a√a2+b2+b√b2+c2+c√c2+a2≤3√22.1. 已知α2005+β2005可表示成以α+β、αβ为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.2. 如图1，过圆外一点P 作圆的两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，再过点P 作圆的一条割线分别与圆交于C 、D 两点，过切点B 作P A 的平行线分别交直线AC 、AD 于E 、F .求证：PB =PB .图13. 设S ={1,2,⋯,2005}.若S 中任意n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求n 的最小值.4. 已知实数x 1,x 2,⋯,x n (s >2)满足|∑x i n i=1|>1，|x i |≤1(s =1,2,⋯,s ).求证：存在正整数k ，使得�∑x i k i=1−∑x i n i=k+1�≤1 5. 如图2，⊙O 1、⊙O 2交于A 、B 两点.过点O 1的直线DC 交⊙O 1于点D 且切⊙O 2于点C ，CA 且⊙O 1于点A ，⊙O 1的弦AE 与直线DC 垂直.过点A 作AF 垂直于DE ，F 为垂足.求证：BD 平分线段AF .图2P6.在等腰Rt△ABC中，BP=BP=1，P是△ABC边界上任意一点.求PP⋅PP⋅PB的最大值.7.设正实数a、b、c满足a+b+c=1.证明：10(a3+b3+c3)−9(a5+b5+c5)≥1.8.设n个新生汇总，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不任何.试求n的最大值.2006年西部数学奥林匹克1. 设s (s ≥2)是给定的正整数，a 1,a 2,⋯,a n ∈(0,1).求∑�a i (1−a i+1)6n i=1的最大值，这里a n+1=a 1. 2. 求满足下述条件的最小正实数k ：对任意不小于k 的4个互不相同的实数a 、b 、c 、d ，都存在a 、b 、c 、d 的一个排列p 、q 、r 、s ，使得方程(x 2+px +q )(x 2+rx +s )=0有4个互不相同的实数根. 3. 如图1，在△ABC 中，∠PPB =60°，过点P 作△PBC 的外接圆⊙O 的切线，与CA 的延长线交于点A .点D 、E 分别在线段PA 和⊙O 上，使得∠DPB =90°，PD =PE .连结BE 与PC 相交于点F .已知AF 、BP 、CD 三线共点.（1） 求证：BF 是∠PPB 的角平分线；（2） 求tas ∠PBP 的值.图14. 设正整数a 不是完全平方数.求证：对每一个正整数n ，S n =�√a�+�√a�2+⋯+�√a�n的值都是无理数.这里{x }=x −[x ]，其中，[x ]表示不超过x 的最大整数.5. 设S =�s�s −1,s ,s +1都可以表示为两个正整数的平方和�.证明：若s ∈S ，则s 2∈S .C6. 如图2，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，过点C 作⊙O 的割线，与⊙O 交于点D 、E ，OF 是△BOD 的外接圆⊙O 1的直径，连结CF 并延长交⊙O 1于点G .求证：O 、A 、E 、G 四点共圆.图27. 设k 是一个不小于3的正整数，θ是一个实数.证明：如果cms (k −1)θ和cms kθ都是有理数，那么，存在正整数s (s >k )，使得cms (s −1)θ和cms sθ都是有理数. 8. 给定正整数s (s ≥2)，求|X |的最小值，使得对集合X 的任意n 个二元子集P 1,P 2,⋯,P n ，都存在集合X 的一个子集Y ，满足：(1)|Y |=s ;(2) 对s =1,2,⋯,s ，都有|Y ∩P i |≤1.这里，|P |表示有限集合A 的元素个数.A2007年西部数学奥林匹克1. 已知T ={1,2,⋯,8}.对于P ⊆T ,P ≠Φ，定义S (P )为A 中所有元素之和.问：T 有多少个非空子集A ，使得S (P )是3的倍数，但不是5的倍数？2. 如图1，⊙O 1、⊙O 2交于点C 、D ，过D 的一条直线分别与⊙O 1、⊙O 2交于点A 、B ，点P 在⊙O 1的AD 弧上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙O 2的BD 弧上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ，O 是△ABC 的外心.求证：OD ⊥MN 的充要条件为P 、Q 、M 、N 四点共圆.图13. 设实数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：15a −4a+11+15b −4b+11+15c −4c+11≤14. 4. 设O 是△ABC 内部一点.证明：存在正整数p 、q 、r ，使得|pOP +qOP +rOB |<12007.5. 是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？O6.求所有的正整数n，使得存在非零整数x1,x2,⋯,x n,y,满足�x1+x2+⋯+x n=0,x12+x22+⋯+x n2=sy2.7.设P是锐角△ABC内一点，AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB 交于点D、E、F，已知△DBB∼△PPB.求证：P是△ABC的重心. 8.将n枚白子与n枚黑子任意地放在一个圆周上.从某枚白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,⋯,s.在从某枚黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,⋯,s.证明：存在连续n枚棋子（不计黑白），它们的标号组成的集合为{1,2,⋯,s}.2008年西部数学奥林匹克1.实数数列{a n}满足a0≠0,1,a1=1−a0，a n+1=1−a n(1−a n)(s=1,2,⋯).证明：对任意的正整数n，都有a0a1⋯a n�1a0+1a1+⋯+1a n�=1.2.如图1，在△ABC中，AB=AC，其内切圆⊙I分别切边BC、CA、AB于点D、E、F，P为弧EF（不含点D的弧）上一点.设线段BP交⊙I于另一点Q，直线EP、EQ分别交BC于点M、N.证明：(1)P、F、B、M四点共圆；(2)EE EE=BB BB.图13.设整数m(m≥2)，a1,a2,⋯,a m都是正整数.证明：存在无穷多个正整数n，使得数a1×1n+a2×2n+⋯+a m×m n都是合数.4.设整数m(m≥2)，a为正实数，b为非零实数，数列{x n}定义如下：x1=b,x n+1=ax n m+b(s=1,2,⋯).证明：(1)当b<0且m为偶数时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≥−2；(2)当b<0且m为奇数，或b>0时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≤(m−1)m−1m m.5.在一直线上相邻的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008.6.设x、y、z∈(0,1)，满足�1−x yz+�1−y zx+�1−z xy=2.求xyz的最大值.7.设n为给定的正整数.求最大的正整数k，使得存在三个由非负整数组成的k元集P={x1,x2,⋯,x k}，P={y1,y2,⋯,y k}，B= {z1,z2,⋯,z k}满足对任意的j(1≤j≤k)，都有x j+y j+z j=s.8.设P为正n边形P1P2⋯P n内的任意一点，直线P i P(s=1,2,⋯s)交正n边形P1P2⋯P n的边界于另一点P i.证明：∑PP i n i=1≥∑PP i n i=1.2009年西部数学奥林匹克1.设M是一个由实数集R去掉有限个元素后得到的集合.证明：对任意正整数n，都存在n次多项式f(x)，使得f(x)的所有系数及n个实根都属于M.2.给定整数s≥3.求最小的正整数k，使得存在一个k元集合A和n 个两两不同的实数x1,x2,⋯,x n，满足x1+x2,x2+x3,⋯,x n−1+x n,x n+x1均属于A.3.设H为锐角△ABC的垂心，D为边BC的中点.过点H的直线分别交边AB、AC于点F、E，使得AE=AF，射线DH与△ABC的外接圆交于点P.求证：P、A、E、F四点共圆.4.求证：对任意给定的正整数k，总存在无穷多个正整数n，使得2n+3n−1,2n+3n−2,⋯,2n+3n−k均为合数.5.设数列{x n}满足x1∈{5,7}及当k≥1时，有x k+1∈{5x k,7x k}.试确定x2009的末两位数字的所有可能值.6.如图1，设D是锐角△ABC的边BC上一点，以线段BD为直径的圆分别交直线AB、AD于点X、P（异于点B、D），以线段CD为直径的元分别交直线AC、AD于点Y、Q（异于点C、D）.过点A作直线PX、QY的垂线，垂足分别为M、N.求证△PMN∼△PPB的充分必要条件是直线AD过△ABC的外心.图17. 有s (s >12)个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成，每答对一题得1分，不答或答错得0分.分析每一种可能的得分情况发现：只要其中任意12个人得分之和不少于36分，则这n 个人中至少有3个人答对了至少三道同样的题.求n 的最小可能值.8. 实数a 1,a 2,⋯,a n (s ≥3)满足a 1+a 2+⋯+a n =0，且2a k ≤a k−1+a k+1(k =2,3,⋯,s −1).求最小的λ(s )，使得对所有的k ∈{1,2,⋯s }，都有|a k |≤λ(s )⋅max {|a 1|,|a n |}.B2010年西部数学奥林匹克1. 设m 、k 为给定的非负整数，p =22m +1为质数.求证： (1) 22m+1p k ≡1(mmd p k+1);(2) 满足同余方程2n ≡1(mmdp k+1) 的最小正整数n 为2m+1p k . （靳 平 供题）2. 如图1，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆周上异于点A 、B 且在AB 同侧的两点，分别过点C 、D 作圆的切线，它们交于点E ，线段AD 与BC 的交点为F ，直线EF 与AB 交于点M .求证：E 、C 、M 、D 四点共圆.图1（刘诗雄 供题）3. 求所有的正整数n ，使得集合{1,2,⋯,s }有n 个两两不同的三元子集P 1,P 2,⋯,P n ，满足对任意的k (1≤s <j ≤s )，都有�P i ∩P j �≠1.（冯志刚 供题）4. 设非负实数a 1,a 2,⋯,a n 与b 1,b 2,⋯,b n 满足以下条件： （1） ∑a i +b i n i=1=1; （2） ∑s (a i −b i )n i=1=0; （3） ∑s 2(a i +b i )n i=1=10.求证：对任意的k(1≤k≤s)，都有max{a k,b k}≤1010+k2. （李胜宏供题）5.设k为大于1的整数，数列{a n}定义如下：a0=0,a1=1,a n+1=ka n+a n−1(s=1,2,⋯).求所以满足如下条件的k：存在非负整数l、m(l≠m)，及正整数p、q，使得a l+ka p=a m+ka q. （熊斌供题）6.如图2，在△ABC中，∠PBP=90°，以B为圆心、BC为半径作圆，点D在边AC上，直线DE切⊙B于点E，过点C垂直于AB的直线于直线BE交于点F，AF与DE交于点G，作AH∥BG于DE交于点H.求证GE=GH.图2（边红平供题）7.有s(s≥3)名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场且没有平局.若选手A的手下败将不都是B的手下败将，则称A不亚于B.试求所有可能的n，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都不亚于其他任何一名选手.（李秋生供题）8.求所有的整数k，使得存在正整数a和b，满足b+1a+a+1b=k.（陈永高供题）2011年西部数学奥林匹克1. 已知0<x 、y <1.求xy (1−x−y )(x+y )(1−x )(1−y )的最大值.2. 设集合满足：M ⊆{1,2,⋯,2011}在M 的任意三个元素中都可以找到两个元素a 、b ，使得a |b 或b |a .求|M |的最大值（|M |表示集合M 的元素个数）.3. 给定整数s ≥2.(1) 证明：可以将集合{1,2,⋯,s }的左右子集适当地排列为P 1,P 2,⋯,P 2n ，使得P i 与P i+1(s =1,2,,2n ,且P 2n +1=P 1)的元素个数恰相差1.(2) 对于满足(1)中条件的子集P 1,P 2,⋯,P 2n ，求∑(−1)i S (P i )2n i=1的所以可能值，其中，S (P i )=∑x x∈A i ,S (∅)=0. 4. 如图1，AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与CD 交于点E ，⊙I 内切⊙O 于点F ，且分别与弦AB 、CD 切于点G 、H .过点O 的直线l 分别于AB 、CD 交于点P 、Q ，使得EP =EQ ，直线EF 于直线l 交于点M .证明：过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线.图15. 是否存在奇数s (s ≥3)及n 个互不相同的质数p 1,p 2,⋯,p n ，使得p i +p i+1(s =1,2,⋯,s ,p n+1=p 1)都是完全平方数？请证明你的结论.6.设a、b、c>0.证明：(a−b)2(c+a)(c+b)+(b−c)2(a+b)(a+c)+(c−a)2(b+c)(b+a)≥(a−b)2a+b+c.7.在△ABC中，PP>PB内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，M是边BC的中点，PH⊥PB于点H，∠PPB的平分线AI分别与直线DE、DF交于点K、L.证明：M、L、H、K四点共圆. 8.求所有的整数对(a,b)，使得对任意的正整数n都有s|(a n+b n+1).2012年西部数学奥林匹克1.求最小的正整数m，使得对任意大于3的质数p，都有：105|9p2−29p+m.2.证明：在正2s−1边形(s≥3)的顶点中，任意取出s个点，其中必有3个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形。

关于绵阳市参加2013年全国⾼中数学联赛的通知（绵阳）时间：2013-04-16 11:18:18各县市区教研室、市直属学校：全国⾼中数学联赛是经教育部批准，由中国科协、中国数学会组织的全国性学科竞赛活动。

它对于开发学⽣智⼒，培养学⽣创新意识和能⼒，发现和培养数学⼈才，促进数学教学改⾰等都有着积极的作⽤。

根据《四川省参加2013年全国⾼中数学联赛的通知》精神，现将2013年绵阳市参加全国⾼中数学竞赛的有关事项通知如下：⼀、组织形式全国⾼中数学联合竞赛由初赛和决赛组成。

初赛由四川省数学竞赛委员会组织命题，决赛由中国数学会统⼀命题，两次竞赛的试卷均由省数学竞赛委员会组织提供。

1．初赛：全国⾼中数学联赛四川赛区的初赛即四川省⾼中数学联赛。

试题以⾼中数学新课程标准为准，相当于⾼考数学试题的中、难度⽔平，主要考察学⽣对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运⽤的能⼒，有利于⼴⼤学⽣拓宽视野，促进素质教育。

试题总分140分，试题的类型分为选择题六道，每题5分，计30分；填空题六道，每题5分，计30分；四道⼤题，每题20分。

答卷时间2⼩时。

初赛试卷由市教科所组织⼈员集中评阅，并按各学校参加初赛的总⼈数的10%选出优秀试卷报四川省数学竞赛委员会，经省竞赛委员会组织专⼈复查后，由省竞赛委员从各市州报出的初赛试卷中评选出四川省级⼀、⼆、三等奖，并确定决赛选⼿名单。

2．决赛：（分“⼀试”和“⼆试”）即全国⾼中数学联赛，决赛名次由联赛和⼆试总成绩确定。

2013年“全国⾼中数学联赛（⼀试）”命题范围不超出教育部新课程标准中所规定的教学要求和内容，但在⽅法的要求上有所提⾼。

主要考查学⽣对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运⽤的能⼒。

全卷包括8道填空题（每题8分）和3道解答题（分别为16分、20分、20分），满分120分。

答卷时间为80分钟。

“全国⾼中数学竞赛加试（⼆试）”命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识⽅⾯有所扩展；适当增加⼀些竞赛教学⼤纲的内容。

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ ）．（A ）7 （B ）（C ）（D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得212184x ==，21122y --+==， 所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7． 另解：由已知得：2222222()()30()30x x y y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-=　2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点（第3题）E可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）．（A）2 （B ）1 （C ）2（D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==． 另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 作⊙B ，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上，由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=5．将1，2，3，4，5三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种 【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，（第4题）（第8题）与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1． 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，， 解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ② 由①，②可得 x s 4=，所以4=xs． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ． 【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ． 又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，（第9题答案）D 所以 12FN MN AB ==． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长MF AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所以11AE AC ==. 又//FN CE ，所以四边形CENF 是等腰梯形， 即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 ．【答】163． 解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ， BC 边上的高为a h ，则11()22a ABC ah S abc r ==++△， 所以a r ah a b c=++． 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DEh BC-=， 所以 (1)(1)a a a h r r aDE a a a h h a b c-=⋅=-=-++()a b c a b c +=++， 故 879168793DE ⨯+==++（）．另解： ABC S rp∆===（这里2a bcp ++=）所以12r == 2ABC a S ha ===△由△ADE ∽△ABC，得23a a h r DE BC h -===，即21633DE BC === 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯， 其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)210421632x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤ 又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++=　则 因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6；当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。

2013年全国初中数学竞赛试题班级 姓名 成绩 供稿人：李锦扬一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)1．设非零实数a ,b ,c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A)12-(B ）0 （C ）12(D ）12．已知a ，b ,c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ,2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ,221x 为两个实根的是（ ）． (A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B)2222(2)0c x b ac x a --+= (C)2222(2)0c x b ac x a +--=(D)2222(2)0c x b ac x a ---=3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点,CD ⊥AB ，垂足为D ,DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ,DB ，CD 的长度都是有理数,则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中,不一定．．．是有理数的为( )． （A ）OD （B)OE (C ）DE（D ）AC4．如图，已知△ABC 的面积为24,点D 在线段AC 上，点F在线段BC 的延长线上，且4BC CF =,DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ )．（A)3 （B ）4 (C)6(D)85．对于任意实数x ,y ，z ,定义运算“＊”为：（第3题）（第4题）()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-,且()x y z x y z **=**,则2013201232****的值为（ ）． (A ）607967(B)1821967 (C)5463967（D)16389967二、填空题6．设33a =,b 是2a 的小数部分,则3(2)b +的值为 ．7．如图，点D ,E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点,直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5,则四边形AEFD 的面积是 ．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．9．实数a ，b ,c ，d 满足:一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ,b ,一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ,d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元,圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．（第7题）三、解答题11．如图,抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ,且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ． 求∠DBC ∠CBE ．12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ,求BAC ∠所有可能的度数．（第11题）13．设a ，b ，c 是素数，记x b c a y c a b z a b c =+-=+-=+-，，,当2,2z y ==时，a ,b ,c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论．14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧,得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值,使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ,在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．2013全国数学联赛试题参考答案一、选择题1．设非零实数a ,b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-(B ）0 (C ）12（D)1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++,所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ,2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）．（A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠,且 221212222221212()2112x x x x b ac x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=, 于是根据方程根与系数的关系,以211x ,221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ,DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ,DB ,CD 的长度都是有理数,则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ )． （A ）OD （B ）OE (C)DE（D)AC【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以,OA ＝OB ＝OC＝2AD BD+是有理数．于是,OD ＝OA －AD 是有理数． 由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC=都是有理数，而AC ＝·AD AB 不一定是有理数． 4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上,点F 在线段BC 的延长线上,且4BC CF =，DCFE 是平行四边形,则图中阴影部分的（第3题答题）（第3题）面积为（ ）．(A ）3 （B ）4 （C)6（D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形,所以DE //CF ,且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ,即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ,即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6． 5．对于任意实数x ,y ，z ,定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为( )．（A)607967(B)1821967（C ）5463967(D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题 6．设33a =，b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ．【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故32292b a =-=-,因此333(2)(9)9b +==． 7．如图,点D ,E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点,直线BD 与CE 交于点F ,已知△CDF ,△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5,则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图,连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===,354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEFS ∆=，9613AFD S ∆=．（第4题答题）（第7题）所以，四边形AEFD 的面积是20413． 8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解; 若2a =，则()2840b -=,无正整数解；若3a =,则()289b -=,于是可解得11=b ，5b =． (i)若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii)若5b =,则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．实数a ,b ,c ，d 满足:一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=．若0b d =≠,则1==d a b ,1==bc d，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-,有()(00)，，，，，，=-a b c d t t (t 为任意实数)． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t (t 为任意实数）满足条件．10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支,当天虽然笔没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207,此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ,该抛物线与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ． 求∠DBC ∠CBE ．【解答】将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1）,C （0,3-),所以B (3，0)，A （1-，0)．直线y =113x -+过点B ． 将点C （0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1,4-）．于是由勾股定理得BC ＝32，CE ＝2,BE ＝25．因为BC 2＋CE 2＝BE 2,所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．…………10分 因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．…………15分所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆,对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形． 因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，， 所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠,60A ∠=︒．于是…………5分（第11题答题）（第11题）(ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，， 所以由180BHC BOC ∠+∠=︒,可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。

2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题1.设、是两个非空的有限集，全集U=A ∪B ，且|U |=m .若|(C U A )∪(C U B )|=n ，则|A ∩B |=______.2.在ΔABC 中，已知三个内角∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足asinA⋅sinB +bcos 2A =√2a .则ba =______.3.在直角坐标系xOy 中，已知三点A (a,1)，B (2,b )，C (3,4).若OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 在OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的射影相同，则3a −4b =______.4.在正三棱锥P −ABC 中，已知侧棱与底面所成的角为45°.则相邻两侧面所成角的余弦值为______.5.已知三个互不相等的整数x 、y 、z 之和介于40与44之间.若x 、y 、z 依次构成公差为d 的等差数列，x +y 、y +z 、z +x 依次构成公比为q 的等比数列，则dq =______.6.设点P 、Q 分别在直线3x −y +5=0和3x −y −13=0上运动，线段PQ 的中点为M (x 0,y 0)，且x 0+y 0≥4.则y0x 0的取值范围是______.7.在一个圆上随机取三点，则以此三点为顶点的三角形是锐角三角形的概率为______. 8.设M=14+24+⋅⋅⋅+20134.则M 的个位数字为______.9.若对任意的x ∈(−12,1)，有x1+x−2x 2=∑a k x k ∞k=0，①则a 3+a 4=______.10.若0≤x i ≤1(i =1,2,⋅⋅⋅,5)，则M =x 1−x 23+x 2−x 33+x 3−x 43+x 4−x 53+x 5−x 13的最大值是______.二、解答题11.已知函数f (x )=4(sin 2x −cos 2x +√3)−√32sin 2(x −π4)(x ∈R ).求：(1)函数f (x )的最小正周期；(2)函数f(x)的单调递增区间.12.设不经过坐标原点O的直线l与圆x2+y2=1交于不同的两点P、Q.若直线PQ的斜率是直线OP和OQ斜率的等比中项，求ΔPOQ面积S的取值范围.13.如图，AB是半圆⊙O的直径，C是半圆弧的中点，P是AB延长线上一点，PD与半圆⊙O切于点D，∠APD的角平分线分别与AC、C交于点E、F证明：线段AE、BF、EF 可以组成一个直角三角形.14.已知曲线C1：f(x)=12(e x+e−x)，曲线C2：g(x)=12(e x−e−x).直线x=a 与曲线C1、C2分别交于点A、B，曲线C.在点A处的切线为l1，曲线C2在点B处的切线为l2.(1)证明：直线l1与l2必相交，且交点到直线AB的距离为定值；(2)设a<0，直线l1与l2的交点为P，若ΔPAB为钝角三角形，求a的取值范围. 15.设P0,P1,⋅⋅⋅,P n(n∈N+)是平面上的n+1个点，且任意两点间的距离均不小于1.证明：∑1(P0P k+1)4<72nk=1参考答案1.m −n【解析】1.注意到，(C U A )∪(C U B )=C U (A ∩B ).由韦恩图知|A ∩B |=m −n . 2.√2【解析】2.由题设及正弦定理得√2a =asinA ⋅sinB +b (1−sin 2A ) =b +sinA (asinB −bsinA )=b .故b a =√2. 3.2【解析】3.解法1 向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 、OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 在OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的射影分别为OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |、OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|. 依题意得OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，即3a +4=6+4b .故3a −4b =2.解法2因为向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 在OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的射影相同，所以，AB ⊥OC ，即AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0. 故3(2−a )+4(b −1)=0，即3a −4b =2.4.15【解析】4. 如图，设正三棱锥P−ABC 的底面边长为a ，E 为AB 的中点.则∠PCE 为侧棱PC 号底面ABC 所成的角，即∠PCE =45°.过点A 作AF⊥PC 于点F .由对称性知BF ⊥PC .故∠AFB 为侧面PAC 与PBC 所成的角.在等腰RtΔEFC中，EF=√22CE=√64a.故AF=BF=2+EF2=√104a.在ΔAFB中，cos∠AFB=AF 2+BF2−AB22AF⋅BF=15.5.42【解析】5.由x=y−d，z=y+d⇒x+y=2y−d，y+z=2y+d ⇒z+x=2y.又(x+y)(z+x)=(y+z)2⇒2y(2y−d)=(2y+d)2⇒d(d+6y)=0.因为d≠0，所以，d=−6y.又40<x+y+z=3y<44⇒403<y<443⇒y=14⇒d=−6y=−84⇒q=y+zx+y =2y+d2y−d=−12⇒dp=42.6.[1，3）【解析】6.试题设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵点P,Q分别在直线3x−y+5=0和3x−y−13=0上运动，则3x1−y1+5=0……①3x1−y1−13=0……②两式相加得3（x1+x2）−（y1+y2）−8=0．设线段PQ的中点M(x0,y0)，则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0．∴3x0−y0−4=0．即y0=3x0−4，又由题意x0+y0≥4，∴线段PQ的中点M满足{x+y≥4y=3x−4，如图所示．联立{x+y=4y=3x−4，解得M(2,2)，故点M 位于以(2,2)为端点向上的射线上，当M(2,2)时，k OM =1，∴直线OM 斜率y 0x 0的取值范围是[1，3）． 7.14【解析】7.设△ABC 是半径为1的圆的任一内接三角形，且∠A 、∠B 所对的弧长分别为x 、y .则∠C 所对的弧长为2π−x −y .对于△ABC ，有{0<x <2π,0<y <2π,0<2π−(x +y )<2π.该不等式组所表示的区域面积为S 1=2π2.若△ABC 为锐角三角形，则{0<x <π,0<y <π,0<2π−(x +y )<π.该不等式组所表示的区域面积为S 2=π22. 从而，所求的概率为S 2S 1=14. 8.1【解析】8.设a 、b 为正整数.于是，(10a +b )4≡b 4(mod10).则 14+24+⋅⋅⋅+104≡1+6+1+6+5+6+1+6+1+0 ≡3(mod10).故M ≡14+24+34+201×3 ≡1(mod10).9.-2【解析】9.在式①中，令x=0，得a0=0.则11+x−2x2=∑a k x k−1∞k=1.将x=0代入上式得a1=1.则−1+2x1+x−2x2=∑a k x k−2∞k=2.将x=0代入上式得a2=−1.同理，a3=3，a4=−5.故a3+a4=−2.10.4【解析】10.若存在正整数j，使得x j=x j+1(j=1,2,⋅⋅⋅,5,x6=x1)，则M≤4.当x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0时，上式等号成立.若对任意的正整数i，均有x i≠x i+1(i=1,2,⋅⋅⋅,5)，则要么x i−1<x i且x i>x i+1，要么x i−1>x i且x i<x i+1.对以上两种情形均有|x i−1−x i|3+|x i−x i+1|3<|x i−1−x i+1|3≤1.从而，M<1+3=4.综上，M的最大值为4.11.（1）T=π（2）[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)【解析】11.（1）注意到，f(x)=14(√3−cos2x)−√34[1−cos(2x−π2)]=√34sin2x−14cos2x=12sin(2x−π6).故T=2π2=π.（2）由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，知函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z). 12.(0,12)【解析】12.设l PQ：y=kx+b(k≠0,b≠0)，代入x2+y2=1，得(k2+1)x2+2kbx+b2−1=0.由Δ=4k2b2−4(k2+1)(b2−1)>0⇒b2<k2+1.设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)(x 1x 2≠0).则x 1+x 2=−2kbk 2+1，x 1x 2=b 2−1k 2+1.故k OP k OQ =y 1x 1⋅y 2x 2=(kx 1+b )(kx 2+b )x 1x 2=k 2+kb (x 1+x 2)+b 2x 1x 2.因为k OP k OQ =k 2，所以，kb (x 1+x 2)+b 2=0 ⇒x 1+x 2=−bk=−2kb k +1.解得k=±1.又圆心O 到直线PQ 的距离为d=√k 2=2，所以，|PQ |=2√1−d2=2√1−b 22.故S =12d |PQ |=√2√1−b 22=√b 22(1−b 22) ≤b 22+(1−b 22)2=12.又x 1x 2=b 2−1k 2+1，故b ≠1.因此，式①等号不成立.故ΔPOQ 面积S 的取值范围是(0,12).13.见解析【解析】13.如图，联结AD 、BD 分别与PE 交于点K 、L ，联结DE 、DF .则∠PDB =∠BAD ，∠KDL =90°.由∠DKL=∠PAK +∠APK =∠PDB +12∠APD∠PDL +∠DPL =∠DLK ，故∠DKL =∠DLK =45°=∠ABC ⇒∠PFB +∠DBC =∠BAD +∠DAC ⇒∠PDB =∠PFB .所以，P 、D 、F 、B 四点共圆. 以下同证法1.14.（1）见解析（2）(−∞,12ln (√5−2))【解析】14.（1）注意到，f ′(x )=12(e x −e −x )=g (x )，g ′(x )=12(e x +e −x )=f (x )， 则k l 1=12(e a −e −a )，k l 2=12(e a +e −a ). 由e −a>0，知k l 1≠k l 2，所以，直线l 1与l 2必相交.又l 1：y=f (a )=g (a )(x −a )，l 2：y −g (a )=f (a )(x −a )，联立求得交点坐标为P (a +1,e a ).故点P 到直线l AB ：x=a 的距离为d =1（定值）.（2）由（1）知A (a,12(e a +e −a ))B (a,12(e a −e −a ))，P (a +1,e a ).则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−e −a )， AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,12(e a −e −a ))，BP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,12(e a +e −a )). 故AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(e −2a −1)，BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(e −2a +1)， PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =1+14(e 2a −e −2a ). 因为a<0，所以，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ >0，BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ >0. 于是，∠A 、∠B 均为锐角. 从而，∠P 为钝角. 由1+14(e 2a −e −2a )<0，得e 2a <√5−2.则a<12ln(√5−2).故a 的取值范围为(−∞,12ln (√5−2)). 15.见解析【解析】15.S k ={P m |k <|P 0P m |≤k +1 }(k =1,2,⋅⋅⋅)设max 1≤m≤n{|P 0P m |}=M .则当k ≥[M ]时，|S k |=0，其中，[M ]表示不超过实数M 的最大整数.若P m∈S k ，则以点P m 为圆心的圆盘{Q ||P m Q |<12} 互不相交，且均包含在以点P 0为圆心的圆环{Q |k −12<|P 0Q |<k +32 } 内.因此，|S k |⋅π(12)2<π[(k +32)2−(k −12)2]， 即|S k |<8(2k +1).所以，当n≥2时，有∑1(|P 0P k |+1)4nk=1≤∑|S k |(k+1)[M ]k=1 <8∑2k+1(k+1)[M ]k=1=8[316+∑2k+1(k+1)4[M ]k=2] <8[316+∑2k+1k 2(k+1)2[M ]k=2] =8{316+∑[1k2−[M ]k=21(k+1)2]}=8{316+[12−1([M ]+1)]} <8(316+14)=72.当n=1时，1(|P 0P 1|+1)4≤1(1+1)4=116<72，不等式也成立. 综上，对任意的n∈N +，均有∑1(|P 0P k |+1)4[M ]k=1<72.。

n n
当 n = 3 时 ，利用 n = 2 时 的结 论 ， 有 x1x2 + x1x3 + 2x2x3 ≤ 1 ［ ）+（x1 + 2x3 ）+ 2 ） ］= 2 （x1 + （x1 + 2x2 （x2 + 2x3 3 3 ） ，正是待证式. 2x2 + 3x3 由此可见，将 n = 2 情形的结果一般化然后反复利 用，应是可取的. 证明： 当 xk， xl ∈ 时， xkxl ≤ 1 （xk + 2x） ［0， 1］ l 3
n
合并①式右边含 x（ ） 的项， k k = 1，2，…，n 即 ［1 · 2 + 2 · 2 + 3 · 2 + … +（k - 1 ） ·2 + k （n xk = （n - 1 ） kxk . xk =［k ）+ k （n - k ） ］ （k - 1 k ） ］ 3 3 3 于是
1≤k<l≤ n
2014 年
第9期
53
竞 赛 之 窗
JINGSAIZHICHUANG 当 n = 2 时，即证 1 （b1 + b2 （a1 + b1 （a2 + b2 1 ） ） ） ） . + + （a1 + a2 2sin α1cos α2 2sin α1cos α1 2 （a b - a b） ≥ 0，这显然成立，于是 整理后，即
n n n
Σkx .
k k=1
于是 1 2
=
i
1 Σ 2sin α cos α
i=1 i
n
+
i
分析：当 n = 2 时，即证 x1x2 ≤ 1 （x1 + 2x2 ） . 由均 3 ） ≥ 姨x1x2 值 不 等 式， 有 1 （x1 + x2 + x2 2 ， 于是 只 需 证 3

甘肃 兰州第一天 8月17日 上午8:00-12:00每题15分1．是否存在整数,,a b c ，使得2222,2,2a bc ab c abc +++都是完全平方数？2．设整数2n ≥，且实数[]12,,,0,1n x x x ∈，求证：1113nk l k k l n k n kx x kx ≤<≤=-≤∑∑． 3．在ABC ∆中，点2B 是AC 边上旁切圆圆心1B 关于AC 中点的对称点，点2C 是AB 边上旁切圆圆心1C 关于AB 中点的对称点，BC 边上旁切圆切BC 边于点D ．求证：22AD B C ⊥．（AC 边上旁切圆指与BA BC 、的延长线及线段AC 均相切的圆．） 4．把(2)n n ≥枚硬币排成一行．如果存在正面朝上的硬币，那么可以从中选取一枚，将以这枚硬币开头的从左到右连续奇数枚硬币（可以是一枚）同时翻面，（翻面是指将正面朝上的硬币翻成正面朝下，将正面朝下的硬币翻成正面朝上），这称为一次操作，当所有硬币正面朝下时，停止操作．若开始时全部硬币正面朝上，试问：是否存在一种方案，使得可以进行12[]3n +次操作？（其中[]x 表示不大于x 的最大整数．）甘肃 兰州第二天 8月17日 上午8:00-12:00每题15分5．若非空集合{}1,2,3,,A n ⊆满足min x AA x ∈≤，则称A 为n 级好集合．记n a 为n 级好集合的个数（其中A 表示集合A 的元素个数，min x A x ∈表示集合A 的最小元素）．求证：对一切正整数n ，都有211n n n a a a ++=++．6．如图，,PA PB 为圆O 的切线，点C 在劣弧AB 上（不含点,A B ）．过点C 作PC 的垂线l ，与AOC ∠的平分线交于点D ，与BOC ∠的平分线交于点E ．求证：CD CE =．7．将一个正n 边形的n 条边按顺时针方向依次标上1,2,,n ．求所有的整数4n ≥，使得可以用3n -条在内部不交的对角线将这个n 边形分成2n -个三角形区域，并且在这3n -条对角线上各标上一个整数，满足每个三角形的三边所标之数的和都相等．8．求所有的正整数a ，使得对任意正整数5n ≥，都有2(2)|()n n a n a n --．。

陕西省教育厅关于公布2013年全国大学生数学建模竞
赛陕西赛区获奖名单的通知
文章属性
•【制定机关】陕西省教育厅
•【公布日期】2013.12.06
•【字号】陕教高[2013]36号
•【施行日期】2013.12.06
•【效力等级】地方规范性文件
•【时效性】现行有效
•【主题分类】体育
正文
陕西省教育厅关于公布2013年全国大学生数学建模竞赛陕西
赛区获奖名单的通知
（陕教高〔2013〕36号）
各有关高等学校：
2013年全国大学生数学建模竞赛已圆满结束。

全省有73所高等学校的1232个队参加了本次竞赛。

经陕西赛区组委会和全国组委会评审，共评出本科组全国一等奖17队，全国二等奖56队，陕西一等奖188队，陕西二等奖367队；专科组全国一等奖2队，全国二等奖20队，陕西一等奖50队，陕西二等奖102队。

现将我省高校2013年全国大学生数学建模竞赛和陕西赛区获奖名单予以公布（见附件）。

希望各高校进一步总结经验，再接再厉，不断提高竞赛成绩和水平，同时为进一步深化相关专业教育教学改革，创新人才培养模式，提高人才培养工作质量和水平而努力。

陕西省教育厅
2013年12月6日
附件。

2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题参考答案及评分标准第一试1.设A、B是两个非空的有限集，全集错误!未找到引用源。

，且U中含有m个元素.若(错误!未找到引用源。

)错误!未找到引用源。

(错误!未找到引用源。

)中含有n个元素，则错误!未找到引用源。

中所含元素的个数为______.解：错误!未找到引用源。

.注意到，(错误!未找到引用源。

)错误!未找到引用源。

(错误!未找到引用源。

)=错误!未找到引用源。

(错误!未找到引用源。

)，由韦恩图知，错误!未找到引用源。

中含有错误!未找到引用源。

个元素.2.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足错误!未找到引用源。

.则错误!未找到引用源。

的值是______.解：错误!未找到引用源。

.由题设及正弦定理，得错误!未找到引用源。

故错误!未找到引用源。

= 错误!未找到引用源。

.3.在直角坐标系错误!未找到引用源。

中，已知三点错误!未找到引用源。

.若向量错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

在向量错误!未找到引用源。

方向上的投影相同，则错误!未找到引用源。

的值是______.解：2.[方法1]向量错误!未找到引用源。

、错误!未找到引用源。

在向量错误!未找到引用源。

方向上的投影分别为错误!未找到引用源。

.依题意得错误!未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

= 错误!未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

，即错误!未找到引用源。

.故错误!未找到引用源。

.[方法2]因为向量错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

在向量错误!未找到引用源。

方向上的投影相同，所以AB⊥OC，即错误!未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

= 0.所以错误!未找到引用源。

，即3a – 4b = 2.4.已知正三棱锥P-ABC的侧棱与底面所成的角为45°，则相邻两侧面所成角的余弦值为______.解：错误!未找到引用源。

.如图1，设正三棱锥P-ABC的底面边长为a，E为AB的中点，则∠PCE为侧棱PC与底面ABC所成的角，即错误!未找到引用源。

青岛市 潍坊市 烟台市 日照市 济南市 济南市 济南市 莱芜市 胜利油田 德州市 泰安市 青岛市 济南市 济宁市 青岛市 济南市 潍坊市 临沂市 滨州市 淄博市 济南市 日照市 胜利油田 潍坊市 淄博市 烟台市 东营市 德州市 泰安市 泰安市 济南市 潍坊市 潍坊市 德州市 济宁市 莱芜市 德州市 济南市 潍坊市 济南市 济南市 滨州市 泰安市 胜利油田 潍坊市
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二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 二等奖 华东理工大学 北京航空航天大学 西北工业大学 南京航空航天大学 浙江大学 清华大学 中国科学技术大学 清华大学 北京邮电大学 山东大学 山东大学
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2013年全国初中数学联赛试题及答案2013年全国初中数学联赛（四川决赛）解答一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、若反比例函数xky =的图像与直线14-=x y 的一个交点P 的横坐标为1，则=k （）A 、3-B 、1-C 、1D 、3解：由条件知)3,1(P ，于是13k=，即3=k ．故答案选D ． 2、方程22012||20130x x -+=的所有实数解之和是（）A 、2012-B 、0C 、2012D 、2013 解：若0x 是方程22012||20130x x -+=的实数解，则0x -也是该方程的实数解．所以，该方程的所有实数解之和是0．故答案选B3、已知正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，且满足CF BE =．则AEF ?面积的最小值是（）A 、8 B C 、14 D 、38解：设x BE =，则x DF CE -==1，x CF =，)1(21)1(21211x x x x S AEF -----=?=83]43)21[(212≥+-x ，当21=x 时等号成立。

所以，AEF ?面积的最小值是83．故答案选D ．4、已知实数,a b 满足2|1||1|a b a -+=，则ba 的值为（）A 、14 B 、12C 、1D 、2 解：若2b =，则|1|5a a -+=，没有符合条件的实数a ；若2b ≠，则2(2)0b ->，则20a -≥，于是2|1||1|a b -+101a a ≥-++=，等号成立220,11a b -=+=，即2,0a b ==．所以1b a =．故答案选C ．5、在四边形ABCD 中，1AB BC ==，100ABC ∠=，130CDA ∠=，则BD 的长为（）A B 、1 C D解：如图，延长AB 至E ，使得BE BC =，则1502AEC BCE ABC ∠=∠=∠= ，于是180AEC ADC ∠+∠=，故,,,A E C D 四点共圆，且圆心为B ．所以，1BD BA ==．故答案选B ．6、对于平面直角坐标系中的任意两点),(111y x P ，),(222y x P ，我们称||||2121y y x x -+-叫做21,P P 两点的直角距离，记作),(21P P d ．若),(000y x P 是一定点，),(y x Q 是直线b kx y +=上的动点，我们把),(0Q P d 的最小值叫做点0P 到直线bkx y +=的直角距离．则)1,1(M 到直线52+=x y 的直角距离是（）A 、3B 、72 C 、4 D 、92解：由条件知，设)1,1(M 到直线52+=x y 的直角距离是d ，则d 为|1||251|S x x =-++-的最小值．又|(2)||1||(2)|S x x x =--+-+-- 3|(2)|303x ≥+--≥+=，等号当且仅当2x =-处取得．所以S 的最小值为3. 即3d =．故答案选A ．二、填空题（本大题满分28分,每小题7分）1、若x 是整数，且满足不等式组10214x x ->??-，则x = ．解：解不等式组10214x x ->??-12x <<．因此符合条件的整数2x =．故答案填2．2、在等边ABC ?中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足AD CE =，BE 与CD 相交于点F ，则BFC ∠的大小是．解：由条件知ADC ?≌CEB ?(SAS ),故ACD CBE ∠=∠, 于是60EFC FBC FCB ECF FCB ∠=∠+∠=∠+∠=所以120BFC = .故答案填120．3、实数,,x y z 满足22227x y z xy yz zx ++---=，则||y z -的最大值是．解：法一：视原方程为关于x 的一元二次方程222()270x y z x y z yz -+++--=，其判别式222()4(27)0y z y z yz ?=+-+--≥，即2()36y z -≤，故||6y z -≤．当||6y z -=，且2y zx +=时等号成立．所以||y z -的最大值是6．故答案填6．法二：因为22222327[()]()24y z x y z xy yz zx x y z +=++---=-+-23()4y z ≥-，从而||6y z -≤．当||6y z -=，且2y zx +=时等号成立．所以||y z -的最大值是6．故答案填6．4、已知1231415,,,,,x x x x x 取值为1或者为1-．记1223341415151S x x x x x x x x x x =+++++ ，则S 能取到的最小正整数是．解：令1(1,2,,15)i i i y x x i +== ，约定161x x =．则1i y =或者1-．在1215,,,y y y 中，设有a 个取1，b 个取1-．则15a b +=．又因为2121512151(1)()1aby y y x x x ?-=== ，所以b 为偶数．又由S 为正整数，则1523S a b b =-=-≥，此时6b =．另一方面，在1215,,,x x x 中，2581x x x ===-，其余全取1有3S =．所以，S 能取到的最小正整数是3．故答案填3．三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1、抛物线22y x x m =++与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x 两点，其中12x x >，且221210x x +=．（1）求实数m 的值；（2）设0(2,)M y 抛物线22y x x m =++上的一点，在该抛物线的对称轴上找一点P ，使得PA PM +的值最小，并求出P 的坐标．解：（1）由条件知122x x +=-，12x x m =．于是22212121210()242x x x x x x m =+=+-=-，解得3m =-．经验证3m =-满足条件．所以所求实数m 的值是3-．……5分（2）由（1）知抛物线的方程为223y x x =+-，则对称轴l 的方程为1x =-，(1,0),(3,0)A B -．……10分显然A 关于对称轴l 的对称点为B ，所以当PA PM +的值最小时，P 为直线MB 与对称轴l 的交点．又2022235y =+?-=，即(2,5)M ．设直线MB 的方程为y kx b =+，由条件知5203k b k b =+??=-+?，解得13k b =??=?，即直线MB 的方程为3y x =+．……15分令1x =-，得2y =，即(1,2)P -．所以，使得PA PM +的值最小的点P 的坐标为(1,2)-．……20分2、如图，已知E 是正方形ABCD 的边AB 上一点，点A 关于DE 的对称点为F ，90BFC ∠= ，求AB的值．解：延长EF 交BC 于M ，连DM 交CF 于G ，则Rt DFM ?≌Rt DCM ?(HL)．……5分于是FDM MDC ∠=∠,FM CM =，从而M 为BC 的中点．……10分又114522EDM EDF FDM ADF FDC ∠=∠+∠=∠+∠= ……15分将MDC ?以D 为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，得到HDA ?，则MDE ?≌HDA ?,于是EM HE AE MC ==+.设正方形边长为1，AE x =，则由222EB BM EM +=知22211(1)()()22x x -+=+ ……20分解得13x =．所以3AB AE=．……25分3、在一个圆周上按顺时针方向放有n 个不同的正整数12,,,n a aa ，如果对于1,2,3,,10 这10个正整数中的任意一个数b ，都能找到一个正整数i ，使得i a b =，或者1i i a a b ++=．约定11n a a +=．求正整数n 的最小值．解：由条件知，1212231,,,,,,,n n a a a a a a a a a +++ 这2n 个数应该包含1,2,3,,10 这10个正整数．所以210n ≥，即5n ≥． (5)分当5n =时，则1212231,,,,,,,n n a a a a a a a a a +++ 这10个数互不相等，取值于1~10．不妨设11a =．显然2345,,,a a a a 中也包含2．下面按照从1~10这10个数从小到大的方式来表示：（1）当2345,,,a a a a 中不包含3，则不妨设22a =．若54a =，则436,7a a ==；或者346,7a a ==，矛盾．若44a =，则535,6a a ==；或者355,6a a ==，矛盾．若34a =，则45a =，57a =，矛盾．（2）当2345,,,a a a a 中包含3，则不妨设32a =．若23a =，则546,8a a ==；或者456,7a a ==，矛盾．若43a =，则24a =或者54a =，矛盾．若53a =，则245,8a a ==；或者435,6a a ==，矛盾．所以当5n =时，不存在符合条件的5个正整数125,,,a a a ．……15分当6n =时，构造：1234561,10,2,6,3,4a a a a a a ======，易验证这6个数符合条件．……20分综上所述，正整数n 的最小值为6．……25分。