概率论与统计4_2 中心极限定理

解: 设Xk为第k次炮击炮弹命中的颗数(k=1,2,…,100),
在100次炮击中炮弹命中的总颗数
100
X = ∑ Xk k =1
相互独立地服从同一分布，
E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,…,100)
随机变量
∑ 1
100 × 1.5
100 k =1
(
X
k
−
2)
=
1 15
(
X
−
200)
2. 伯努利定理 事件发生的频率依概率收敛于事件的概率
3. 辛钦定理 （随机变量序列独立同分布且数学期望存在）
n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算术 平均值的数学期望。
给出了“频率稳定性”的严格数学解释. 提供了通过试验来确定事件概率的方法. 是数理统计中参数估计的重要理论依据之一.
§5.2 中心极限定理
望 E( Xk ) = µ (k = 1,2,"),则对于任意ε > 0,有
∑ lim
n→∞
P {|
1 n
n k =1
Xk
−
µ
|<
ε
}
=
1
说明
伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情
况。n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算
术平均值的数学期望。
三 小结
1、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况 算术平均值依概率收敛于数学期望
= 1 − P { V − 100 ≤ 0.387 } (10 12 ) 20
∫ 0.387
≈ 1−
1
e − t 2 dt
−∞ 2π
= 1 −Φ (0.387) = 0.348
所以 P{V > 105} ≈ 0.348

其中 p + q = 1
意义: 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理说明当 n 充分大时,
二项分布B( n, p ) 可用正态分布 N ( np, npq ) 近似代替.
应用1: 二项分布的概率计算
若ξ ~ B ( n, p ) , 则当 n 较大时, 有
b − np a − np P {a ≤ ξ ≤ b} ≈ Φ −Φ npq npq
【例1】某厂有 400 台同类机器, 每台机器发生故障的概率 都是 0.02 , 假设各台机器工作是相互独立的, 试分别用二项分 布, 近似的 Poisson 分布和近似的正态分布计算最多有 2 台机器 发生故障的概率. 【解】 】设发生故障的机器台数为 ξ , 则 ξ ~ B ( n, p ) , 所求 概率为 P {0 ≤ ξ ≤ 2} . (1)用精确的二项分布公式计算: n = 400, p = 0.02, q = 0.98 P {0 ≤ ξ ≤ 2} = P {ξ = 0} + P {ξ = 1} + P {ξ = 2}
7 35 1 2 3 4 5 6 Eξ i = , Dξ i = 2 12 1 1 1 1 1 1 P i =1, 2, … , 10 6 6 6 6 6 6 由林德贝格－勒维中心极限定理可得:
30 − 10 × 7 40 − 10 × 7 10 2 − Φ 2 P 30 ≤ ∑ ξ i ≤ 40 ≈ Φ i =1 35 35 10 × 10 × 12 12 6 = 2Φ 7 − 1 ≈ 2Φ (0.93) − 1 = 0.6476
0 1 2 = C 400 × 0.02 0 × 0.98 400 + C 400 × 0.021 × 0.98 399 + C 400 × 0.02 2 × 0.98 398

n
的分布函数 Fn ( x ) 对于任意 x 满足
n
lim Fn ( x ) lim P {Yn x } lim P{ k 1
n x n
Xk n
n
n
x}


1 2π
t2 e 2 dt
( x ).
定理4.6表明:
当 n , 随机变量序列 Yn 的分布函数收敛于 标准正态分布的分布函 数.
x
x
1 e 2π
t2 2
dt ( x ).
注 1º 定理4.7表明: 正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大 时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.
即 若n ~ B( n, p ) ( n 1,2,; 0 p 1)，则
n的标准化随机变量： n E (n ) n np Yn D(n ) np(1 p )
例4 对于一个学生而言, 来参加家长会的家长 人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名 家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05、 0.8、0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加 会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求 参加会议的家长数X超过450的概率; (2) 求有1名 家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 解 (1) 以 X k ( k 1, 2,, 400) 记
且都在区间 ( 0,10) 上服从均匀分布 , 记 V Vk ,
k 1 20
求 P {V 105} 的近似值 .
解
100 E (Vk ) 5, D(Vk ) ( k 1,2,,20). 12 V E (V ) V 20 5 Z 100 D(V ) 20 12

概率与统计中的正态分布和中心极限定理正态分布（Normal distribution），又称高斯分布（Gaussian distribution），在概率与统计学中是一种经常出现的分布。

它具有钟形曲线的特征，广泛应用于各个领域，如自然科学、社会科学、经济学等。

正态分布的形状是由均值（μ）和标准差（σ）所决定的。

本文将介绍正态分布的特点以及它在概率与统计中的重要作用，进而探讨与之相关的中心极限定理。

一、正态分布的特点正态分布具有以下几个重要的特点：1. 对称性：正态分布是关于均值对称的，即以均值为中心，两边的尾部概率相等。

这意味着在正态分布中，均值、中位数和众数均相等。

2. 峰值：正态分布的曲线呈现出一个明显的峰值，同时两边的尾部逐渐减少。

这意味着大部分的数据会集中在均值附近，而远离均值的数据发生的概率较小。

3. 参数决定：正态分布的形态由均值和标准差所决定。

均值决定了曲线的位置，而标准差决定了曲线的宽度。

标准差越大，曲线越宽。

二、正态分布的应用正态分布在各个领域都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用示例：1. 自然科学：在物理学、生物学等自然科学研究中，许多实验数据都服从正态分布。

例如，物体的测量误差、实验数据的偏差等都可以用正态分布进行描述和分析。

2. 社会科学：在社会调查、民意测验等社会科学研究中，许多指标的分布也符合正态分布。

例如，身高、体重、智力水平、收入水平等都可以用正态分布来描述。

3. 经济学：在经济学中，许多经济指标的分布也近似于正态分布。

例如，收入分布、失业率等经济指标都可以采用正态分布进行统计分析。

三、中心极限定理中心极限定理是概率论与统计学中的一条重要定理，它描述了当样本容量足够大时，样本的均值近似服从正态分布的规律。

中心极限定理有以下几个关键概念：1. 独立性：样本观测值之间相互独立，意味着一个观测值的取值不受其他观测值的影响。

2. 同分布性：样本观测值来自同一个总体，并且具有相同的概率分布。