欧氏空间与双线性函数
基本概念
1. 欧几里得空间
设V 是实数R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质：
（1） （βα，）=（αβ，）； （2） （βα,k ）= k(βα，);
（3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，);
（4） （αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。
这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。 2. 酉空间
设V 是复数C 上的线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质：
（1）（βα，）=（αβ，）；这里（αβ，）是（αβ，）的共轭复数； （2）（βα,k ）= k(βα，);
（3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，);
（4）（αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。
这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间称为酉空间。 3. 向量的长度
非负实数），（αα称为向量α的长度，记为α。 4. 向量的夹角 非零向量βα，的夹角
βα，规定为
βα，=arccos
β
αβα）
，（, 0≤ βα，≤π
5. 向量正交
如果向量βα，的内积为零，即（βα，）=0，那么βα，正交，记为βα⊥。 6. 基的度量矩阵
，
，21εε.n ε，⋅⋅⋅是n 维欧氏空间的V 一组基,令()j i,εεα=ij ，n j i ，，⋅⋅⋅=2,1,,称()nn ij A α=为基n εεε，，，⋅⋅⋅21的度量矩阵。
7. 正交向量组
欧氏空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。 8. 正交基、标准正交基
在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。 9. 正交矩阵、酉矩阵
n 级实矩阵称A 为正交矩阵,如果E A A T
=。
n 级复矩阵称A 为酉矩阵,如果E
A A T
=。
10. 欧氏空间同构
实数域R 上欧式空间V 与V'称为同构的,如果由V 到V'有一个双射σ,满足
（1）σ(）βα+=）；（）（βσασ+ （2））；（）（ασασk k =
（3 ）；，（））（），（（βαβσασ=
这里βα，∈V ，k ∈R ，这样的映射σ称为V 到V'的同构映射。 11. 正交变换、酉变换
欧氏空间V 的线性变换σ如果满足
），（））（），（（βαβσασ=
则称σ为V 的一个正交变换。 酉空间V 的线性变换σ如果满足
），（））（），（（βαβσασ=
则称σ为酉空间的一个酉变换。
12. 子空间正交、向量与子空间正交
设2,1V V 是 欧氏空间V 的两个子空间，如果对于任意的,2,1V V ∈∈βα 恒有 （βα,）= 0
则称2,1V V 为正交的，记为21V V ⊥。一个向量α，如果对于任意的1V ∈β，恒有 （βα,）= 0 则称α与子空间1V 正交，记为1V ∈α。 13. 子空间的正交补
子空间2V 称为子空间1V 的一个正交补，如果21V V ⊥，并且V V V =+21。 14. 欧氏空间V 的线性变σ换如果满足
))(())((βσαβασ，，= 则称σ为V 的一个对称变换。 15. 向量之间的距离
长度βα-称为向量α和β的距离。
16. 最小二乘解 实系数线性方程
022112222212111212111=-+⋅⋅⋅++=-+⋅⋅⋅++=-+⋅⋅⋅++n s ns n n s s s s b x x x b x x x b x x x ααααααααα
可能无解，即任何一组实数
s x x x ⋅⋅⋅,,21都可能使
)(2
2
1
1
2
1
i
s
is
i i n
i b x x x -⋅+⋅⋅++∑=ααα （1）
不等于零。使等式（1）成立的最小实数组x x x s 0
20
1,,,⋅⋅⋅ 称为方程组的最小二乘解。 17. 对称矩阵，Hermite 矩阵 如果A A T
=，则称矩阵A 为对称矩阵。如果A A
T
=
，则称矩阵A 为
Hermite
矩阵。
18. Hermite 二次型 设
A
为Hermite
矩阵，二次齐次函数
X x x a f A
x x x x T
n
i n
j j i ij n =
=⋅⋅⋅∑∑==11
21),,,( 称为Hermite 二次型。
19. 线性函数 设
v 是数域p
上的一个线性空间，
f
是
v 到p
的一个映射，如果
f
满足
（1）
;)()()
(βαβαf f f ++=
（2）
。
)()(ααkf k f = 其中 βα，是
v
中任意元素，k 是
p
中任意元素，则称是
v 上的一个线性函数。
20. 对偶空间、对偶基 设
v
是数域
p
上的一个n 维线性空间，
v
上全体线性函数组成的集合记作
)v (,p L 。用自然的方法在)v (,p L 上定义加法和数量乘法，)v (,p L 成为
数域
p
上的线性空间，称为
v
的对偶空间。
