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非线性方程求根

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实验七 非线性方程求根
实验7.1（迭代法、初始值与收敛性）
实验目的：初步认识非线性问题的迭代法与线性问题迭代法的差别，探讨
迭代法及初始值与迭代收敛性的关系。
问题提出：迭代法是求解非线性方程的基本思想方法，与线性方程的情况
一样，其构造方法可以有多种多样，但关键是怎样才能使迭代收敛且有较快的收
敛速度。
实验内容：考虑一个简单的代数方程

012xx
针对上述方程，可以构造多种迭代法，如
)1.7(121nnxx

)2.7(111nnxx

)3.7(11nnxx
在实轴上取初始值x0，请分别用迭代（7.1）-（7.3）作实验，记录各算法
的迭代过程。
实验要求：
（1）取定某个初始值，分别计算（7.1）-（7.3）迭代结果，它们的收敛性
如何？重复选取不同的初始值，反复实验。请自选设计一种比较形象的记录方式
（如利用MATLAB的图形功能），分析三种迭代法的收敛性与初值选取的关系。
（2）对三个迭代法中的某个，取不同的初始值进行迭代，结果如何？试分
析迭代法对不同的初值是否有差异？
（3）线性方程组迭代法的收敛性是不依赖初始值选取的。比较线性与非线
性问题迭代的差异，有何结论和问题。

实验过程：
第一问：
针对迭代函数

11nnxx

程序
disp(' 请输入初始迭代值为')
x=[];
a=[];
b=[];
x(1)=input('');
for i=2:30
x(i)=x(i-1)^2-1;
end
for i=2:30
a(i-1)=x(i-1);
b(i)=x(i);
end
a
b
i=1:30;
plot(i,x)
title('x(n+1)=x(n)^2-1')
数值实验结果及分析：
选择初始值为1时，每次迭代的波动情况如下：

每次的迭代函数值为：
x1 1 x11 0 x21 -1
x2 0 x12 -1 x22 1
x3 -1 x13 1 x23 0
x4 1 x14 0 x24 -1
x5 0 x15 -1 x25 1
x6 -1 x16 1 x26 0
x7 1 x17 0 x27 -1
x8 0 x18 -1 x28 1
x9 -1 x19 1 x29 0
x10 1 x20 0 x30 -1
这里同时给出迭代初始值为2,3的函数图象：
针对迭代函数
111nnxx

disp('请输入迭代的初始值')
float x=[];
a=[];
b=[];
x(1)=input('');
for i=2:30
x(i)=1+1/x(i-1);
end
for i=2:30
a(i-1)=x(i-1);
b(i)=x(i);
end
a
b
i=1:30;
plot(i,x)
title('x(n+1)=x(n)^2-1')
数值实验结果及分析：
选择初始值为1时，每次迭代的波动情况如下：

每次的迭代函数值为：
x1 1.0000 x11 1.6180 x21 1.6180
x2 2.0000 x12 1.6181 x22 1.6180
x3 1.5000 x13 1.6180 x23 1.6180
x4 1.6667 x14 1.6180 x24 1.6180
x5 1.6000 x15 1.6180 x25 1.6180
x6 1.6250 x16 1.6180 x26 1.6180
x7 1.6154 x17 1.6180 x27 1.6180
x8 1.6190 x18 1.6180 x28 1.6180
x9 1.6176 x19 1.6180 x29 1.6180
x10 1.6182 x20 1.6180 x30 1.6180
这里同时给出迭代初始值为2,3的函数图象：

针对迭代函数
11nnxx

disp('请输入迭代的初始值')
double x=[];
a=[];
b=[];
x(1)=input('');
for i=2:30
x(i)=sqrt(x(i-1)+1);
end
for i=2:30
a(i-1)=x(i-1);
b(i)=x(i);
end
a
b
i=1:30;
plot(i,x)
title('x(n+1)=sqrt(x(n)+1)')
数值实验结果及分析：
选择初始值为1时，每次迭代的波动情况如下：
每次的迭代函数值为：
x1 0.0000 x11 1.6180 x21 1.6180
x2 1.4142 x12 1.6180 x22 1.6180
x3 1.5538 x13 1.6180 x23 1.6180
x4 1.5981 x14 1.6180 x24 1.6180
x5 1.6161 x15 1.6180 x25 1.6180
x6 1.6174 x16 1.6180 x26 1.6180
x7 1.6179 x17 1.6180 x27 1.6180
x8 1.6180 x18 1.6180 x28 1.6180
x9 1.6180 x19 1.6180 x29 1.6180
x10 1.6180 x20 1.6180 x30 1.6180
这里同时给出迭代初始值为2,3的函数图象：

讨论
由上面的比较结果可以看到，无论取什么初始值，迭代法211nnxx所得
到的解是发散的，并且随着初始值选取的不同，发散的程度将会呈现指数型的增
长，表明这种迭代法是没有意义的。

而后面两种迭代法111nnxx和11nnxx则可以收敛到方程的解，说明
利用这两种方法来解此方程是可行的。并且可以看到，二者趋近于解的过程并不
相同， 111nnxx的前期迭代过程中是很不稳定的，而迭代法11nnxx更平
缓地方式趋近于方程的解。为三种迭代方法中最优。
第二问：
程序
迭代法111nnxx取初始值1——5，步长为0.5，迭代30次的图像：
for j=1:9
disp('请输入初始值：')
x=[];
x(1)=input('');
for i=2:30
x(i)=1/x(i-1)+1;
end
subplot(3,3,j)
i=1:30;
plot(i,x)
hold on
end
数值实验结果及分析：
讨论
如上图所示，选取不同的初值，解随着迭代次数的增加会收敛到一个稳定值，
说明运用此迭代法求解非线性方程组是可行的。选取初始值的不同，只会导致收
敛速度的不同。这就提示我们在求解非线性方程的时候，需要选取合理的初始值，
可以加快其收敛速度。

第三问：
线性方程组迭代法的收敛性是不依赖初始值选取的。比较线性与非线性问
题迭代的差异，有何结论和问题
综合课本上所学过的知识可以知道，线性方程组的迭代法和非线性方程的迭
代法是有所差异的。线性方程组迭代法的收敛性是不依赖初始值选取的。用迭代
法求解线性方程组，收敛性取决于迭代系数矩阵的谱半径，若谱半径小于1，则
无论从什么初始条件出发，线性方程组都是收敛的；若谱半径大于1，则方程组
不收敛这些判断与初值的选取无关。
用迭代法求解线性方程的时候，迭代法的收敛性取决于迭代区间里面的迭代
函数的一阶导数值。若在整个迭代区间里面对该迭代函数的一阶导数值小于一，
这在这个区间里面任选一个初始迭代值，那么都可以最终收敛到函数的精确解。
但是若在该区间里面该迭代函数的导数值不满足衡小于一的条件，则可能不收
敛。但是这并不能保证从该区间的任何一个初始值开始迭代，都不能能到其收敛
解。

实验总结：
通过本次试验的操作，针对同一个函数，运用了三种不同的方法进行迭代求
解。通过具体的实践发现，针对方程的不同迭代格式，有的可以得到最终的收敛
解，有的不能得到最后的收敛解。使得求线性方程的理论和技巧有了进一步的理
解。求解非线性方程不仅与迭代格式有关，还与选取的初始值有关。实验提示我
选择合适的初始值，可以加快迭代的过程。

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计算方法 2.求根.

计算方法 2.求根.

第2章 非线性方程的求根方法2.1 二分法设()0f x =在区间[,]a b 中只有一个根*x ，且满足()()0f a f b <，则二分法求根过程为： 记0[,]I a b =，取0I 的中点00.5()x a b =+，若0()0f x =，则*0x x =； 若0()()0f x f a <，则*0[,]x a x ∈，取10[,]I a x =； 若0()()0f x f a >，则*0[,]x x b ∈，取10[,]I x b=. 记111[,]I a b =，取1I 的中点1110.5()x a b =+，若1()0f x =，则*1x x =；若11()()0f x f a <，则*11[,]x a x ∈，取211[,]I a x =；若11()()0f x f a >，则*11[,]x x b ∈，取211[,]I x b =. 记222[,]I a b =⋅⋅⋅这样获得近似根序列01,,,,,k x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅满足于是当k →∞时，由11()02k b a +-→得到*k x x →.二分法算法简单，收敛，但收敛速度较慢.2.2 简单迭代法将方程()0f x =等价变形为()x x ϕ=，获得 迭代计算公式1()k k x x ϕ+=取定一个初值0x ，由迭代公式算出数列()() ,,1201x x x x ϕϕ==，若*lim k k x x →∞=，则足够靠后的k x 可作为根的近似值.由上述得出{}k x 称为迭代数列，函数()x ϕ为迭代函数，如上求根方法称为简单迭代法.对根*x ，有**()x x ϕ=，点*x 称为()x ϕ的不动点,称方程()x x ϕ=为不动点方程.例1 求方程01)(3=--=x x x f 在5.10=x 附近的根.定理1 设迭代函数()[,]x C a b ϕ∈满足条件 1.当[,]x a b ∈时，有()[,]x a b ϕ∈；2.存在正常数1L <，使对任意 12,[,]x x a b ∈都有1212()()x x L x x ϕϕ∣-∣≤∣-∣则()x ϕ在[,]a b 中有唯一的不动点*x ，迭代公式1()k k x x ϕ+=对任取0[,]x a b ∈，产生的数列{}k x 都收敛于*x .证明 作辅助函数()()x x x ψϕ=-显然()[,]x C a b ψ∈.由条件1知()()0a b ψψ≤由中值定理，至少存在一个[,]a b ξ∈，使()0ψξ=，即()ξϕξ=，这说明()x ϕ在[,]a b 上有不动点ξ. 如果()x ϕ在[,]a b 上还有一个不动点η，有()ηϕη=，利用条件2，有()()L ξηϕξϕηξηξη∣-∣=∣-∣≤∣-∣<∣-∣矛盾，这就证明了满足定理条件的()x ϕ在[,]a b 中有唯一的不动点，记为*x .由*x 是不动点、迭代格式及条件2，有***112**20()()k k k k k x x x x L x x L x x L x x ϕϕ---∣-∣=∣-∣≤∣-∣≤∣-∣≤≤∣-∣注意到01L <<，在上式中令k→∞，可得0kL →，有 *lim 0kk x x →∞∣-∣=，因而有 *lim k k x x →∞=定理得证.定理2 设定理1的条件成立，则有如下误差估计式证明 只证1.由迭代公式和定理2.1的条件，有()1k k k k x x x x ϕ+∣-∣=-**()()()k k x x x x ϕϕϕ=∣-+-∣ ****()()()()k k k k x x x x x x x x ϕϕϕϕ=-+-≥---***L L)k k k x x x x x x ≥∣-∣-∣-∣=(1-∣-∣因为01L <<，所以有*111k k k x x x x L+-≤--另一方面111()()k k k k k k x x x x L x x ϕϕ+--∣-∣=∣-∣≤∣-∣代入上式得结论1.定理2.1的条件2对任意12,[,]x x a b ∈，存在正常数1L <满足1212()()x x L x x ϕϕ∣-∣≤∣-∣不易使用。

2.6非线性方程近似根

2.6非线性方程近似根


二分法
算法
设方程在区间 [a,b] 内连续，且 f(a)f(b)<0，给定精 度要求 ，若有 |f(x)|< ，则 x 就是f(x) 在区间 (a,b) 内的 近似根。
预定精度 , 二分上限MAX，i 0, a0 a, b0 b;
while( bi ai &&i MAX )
0 −
1 +
2 +
问题： 求连续的非线性方程 f x 0 的根的近似值。
根的搜索常用方法： 1. 2. 3. 4. 图解法； 近似方程法； 解析法； 定步长搜索法。
a1
x1
b1
a2
x2 b 2
a3
x3 b a4 x4 b 3 4
a5
x5
b5 a6
x6 b6
根的搜索
二分法
基本思想
为了进一步研究收敛速度问题，引入阶的概念： e k 1 lim 记 ek xk x * ，如果 k e p c 0 ( p N ) k ( p=1时还要求0<c<1) 则称迭代是p阶收敛的， p越大收敛越快。 定理4 如果迭代函数 ( x)在x ( x)的根x * 邻近具有p阶
例2 求x3 x 1 0在[1.0,1.5]内的一个实根， 准确到小数点后2位.
k ak 0 1.0 1 1.25 2 3 1.3125 4 5 6 1.3203 bk 1.5 1.375 1.3438 1.3281 xk 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242 f(xk)符号 − + − + + − −
等价变换
x = (x)
力学中的计算方法(方程求根)

力学中的计算方法(方程求根)


ˆK x
Fixed-Point Iteration ( x K 1 x K ) 2 xK x K 2 x K 1 x K 2
y=x
x0 , x1 g( x0 ), x2 g( x1 ), ˆ 0 , x3 g( x2 ), x ˆ 1 , x4 g( x3 ), x ... ...
0 f ( x*) f ( x0 ) f ( x0 )( x * x0 ) y
x* x0
f ( xk ) x k 1 x k f ( x 线性 /* linear */ k)
f ( x0 ) f ( x0 )
x*
x
x0
只要 f C1，每一步迭代都有 xk x * ， f ’( xk ) 0， 而且 lim k 则 x*就是 f 的根。


1 | x k 1 x k | | x * xk | 1 L

L | x1 x0 | | x * xk | 1 L

k
( k = 1, 2, … )
且存在极限
lim
k
x * x k 1 g x * x * xk

Fixed-Point Iteration
1 | x k 1 x k | ? ④ | x * xk | 1 L | x k 1 x k | | x * x k | | x * x k 1 | | x * x k | L | x * x k | | x k 1 x k | 来 Lk 可用 | x1 x0 | ? ⑤ | x * xk | 1 L 控制收敛精度
Bisection Method
When to stop?
数值分析非线性方程的数值解法

数值分析非线性方程的数值解法

数值分析非线性方程的数值解法数值分析是一种应用数学方法来分析和解决数学问题的领域。

非线性方程是数值分析中一类重要的问题，其解法包括了迭代法、牛顿法、割线法等。

本文将详细介绍这些数值解法及其原理和应用。

一、迭代法迭代法是解非线性方程的一种常用数值方法。

该方法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根，直到达到所需精度或满足停止准则为止。

迭代法的求根过程如下：1.选择适当的初始值x0。

2. 利用迭代公式xn+1 = g(xn)，计算下一个近似根。

3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。

常用的迭代法有简单迭代法、弦截法和牛顿法。

简单迭代法的迭代公式为xn+1 = f(xn)，其中f(x)为原方程的一个改写形式。

该方法的收敛性要求函数f(x)在解附近有收敛性且导数在一个区间内收敛。

弦截法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。

该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。

牛顿法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，其中f'(x)为f(x)的导数。

该方法通过用切线来逼近方程的根。

二、牛顿法牛顿法是解非线性方程的一种常用迭代法。

该方法通过使用方程的导数来逼近方程的根。

迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0。

2. 利用迭代公式xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，计算下一个近似根。

3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。

牛顿法的收敛速度较快，但要求方程的导数存在且不为0。

三、割线法割线法是解非线性方程的另一种常用迭代法。

该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。

迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0和x12. 计算下一个近似根xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。

3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。

割线法的收敛速度介于简单迭代法和牛顿法之间。