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ak bk 并取区间中点 xk 作为根的近似值，则有 2 1 1 x * xk (bk ak ) k＋1 (b a) 2 2
1 －3 令 k＋1 (b a) 10 k 10 2 2
1
6.4
一、基本思想与步骤 基本思想
简单迭代法
给定一个根的初始近似值，然后用同一个迭代 格式反复校正这个初值，直到得到满足精度要求的 根的近似值为止。 方法与步骤
用二分法求此方程的根，要求精确到小数点后面3位。
解： f (0) 1 0; f (1) e 8 0; f ( x)在[0,1]上连续；
f ( x) e x 10 0
f ( x) 0在(0,1)内有唯一实根 x *.
用二分法求此方程的根 ，设至少需要将 [0,1]区间对分k次，
第六讲 非线性方程求根问题
• 非线性是实际问题中经常出现的，而且地位越 来越突出。 • 我们熟悉的很多线性问题或模型，通常都是非 线性问题在一定条件下的一种近似。 • 非线性方程可以是单个的方程，更多的情况则 是多个方程联立的方程组。
例如：
x 2 x 6 x 13x 8 x 12 0
x *是函数 ( x)
，可见 由于 x *满足 x* ( x*) 的不动点。
因此简单迭代法又称为不动点迭代法。
例4：用简单迭代法求f ( x) x 2 x 3 0 在[2,4]内的根。
2
解：方法一
x 2 x 3 xk 1 2 xk 3 , k 0,1,2, 给定初值x0 4, 带入迭代格式，计算可得： x1 3.317, x2 3.104, x3 3.034, x4 3.011, lim xk 3
xk xk 1 或
xk xk 1 xk 1
r
来控制。
（2）当 ( x) 1 时，迭代发散 （3）该定理说明对在整个区间[a, b] 上任意选取的初值 迭代均收敛，故该定理称为迭代法的全局收敛性 定理。
收敛性图示
y=x
y ( x)
A0 P0
x0
A1 A 0 x* x2 x1
xk
为此，将原方程改写为 x ln(2 x), x [1,2] ( x) ln(2 x), ( x) [ln 3, ln 4] [1,2] 1 1 且 ( x) 1 , ( x [1,2]) 2 x 3 构造迭代格式 xk 1 ln(2 xk ) k 0,1,2, 该迭代格式是收敛的。
局部收敛性 （1）局部收敛概念
若迭代过程 xk 1 ( xk ) 对 x0 x x x * 均收敛，则称迭代格式在根 （2）局部收敛判定定理
x *附近具有局部收敛性。
设
( x) 在根的附近连续， x * 是方程 x ( x) 的根，
且 ( x*) 1 ,则迭代过程 xk 1 ( xk ) 在根的附近具有 局部收敛性。
k
迭代收敛!
方法二
1 2 1 2 x ( x 3) xk 1 ( xk 3), k 0,1,2, 2 2 给定初值x0 4, 带入迭代格式，计算可得： x1 6.5, x2 19.625, x3 191.070,
迭代发散! 问题：如何构造收敛的格式？如何估计误差？ 如何提高收敛速度？
注意：
在实际应用中，只要迭代初值在根的附近，就可以用
( x0 ) 代替 ( x*) 加以判定是否局部收敛。
例6 已知方程
xe
x
考察用格式 在0.5附近有一个根，
xk 1 e
xk
求此根的局部收敛性。
解：这里 x0 0.5 因此有 ( x0 ) e0.5 0.61 1 所以该迭代格式具有局部收敛性。
2 2
( s x)
2 5
0 (3)
该方程的根为函数C(x)的驻点，将驻点和区间端点 x=a，x=s的函数值比较，就可以得到C(x)的最小 值点和最大值点。
6.2
基本概念
（1） 若 f ( x*) 0 则称 x *为方程 f ( x) 0 的根 或称为函数 f 的零点。 （2） 若 f ( x) 可以表示为
( p 1)
( x*) 0, ( p ) ( x*) 0
二、根的精确化——二分法 bisection method
应用前提
f ( x) C[a, b] ，且满足 f (a) f (b) 0，则方程
f ( x) 0在 [a, b]中至少有一个实根。
基本思想 通过隔根区间中点处函数值的符号，将隔根 区间逐次对分，使隔根区间的宽度逐步缩小，利 用宽度充分小的隔根区间内任何一点（通常用中 点）近似方程的根。
例7：设 ( x) x c( x 2 3) 应如何选取常数c， 才能使迭代格式 xk 1 ( xk ) 在方程 x ( x) 的根的附近具有局部收敛性？ 解： 显然方程 x ( x) 的根为 x 3 ( x 3 ) 令 解得
( 3 ) 1 2c 3 1
lim
ek 1 ek
p
k
c0
成立，则称序列 xk 是p阶收敛的。
注： （1）当p＝1且0<c<1时，称为线性收敛； （2）当p＝2时，称为平方收敛； （3）当p=1，c=0时，称为超线性收敛； （4）p越大收敛越快。
2、收敛阶的判定
Th：给定方程 x ( x) ，x * 为方程的根，若满足 （1） ( x ) 在根的附近具有直到p阶的连续导数； （2） ( x*) ( x*)
二、迭代过程的收敛性与误差估计
Th1（全局收敛定理）
设函数 ( x )在[a, b]上满足： （1）x [a , b], ( x) [a , b] （2） 0 L 1, s.t.x [a, b], ( x) L 则方程 x ( x) 在[a , b] 上有唯一实根 均收敛到方程的根。
f ( x) ( x x*)m g ( x)
，则称 x *为方程 其中m为正整数，并且 g ( x*) 0
f ( x ) 0 的m重根或函数 f 的m重零点。
例如： f ( x) ( x 1)2 ( x 3)4 0
（3）方程的分类
若 f ( x) 是关于变量x的n次代数多项式，则称方程
图6.2
x 2 2 x 4 ln x 0
图6.3
2、数学分析法：零点定理+函数的单调性 例 2： 求方程 f ( x) x 3 3x 2 4 x 3 0 的一个隔根区间。 解：
f (0) 3 0 ,
2
f (2) 1 0 ,
2
f ( x) 3x 6 x 4 3( x 2) 1 0 f ( x)在[0， 2]内有且仅有一个根， [0， 2]就是方程的一个隔根区间
xk 1 xk ε1
f ( x) ε2
xk 1 xk xk
ε1
二分法的优点：计算简单，方法可靠； 缺点：不适合求偶数重根，也无法求复根，收敛速度 慢。通常用于为迭代法求方程的根提供一个较好的初 值。
例3：证明方程 f ( x) e x 10 x 2 0 存在唯一实根 x* (0,1)
P P2 sin 2 1 sin 1 I1 k , I2 k 2 2 r1 r2
(1)Biblioteka 其中k是量纲单位决定的比例系数，不妨记k=1.
同时还有
r h x
2 1
2 1
2
r2 h2 (s x)
2
2
2
h2 h2 h1 h1 sin 2 sin 1 2 2 2 2 r r1 2 h ( s x ) h1 x 2
P1 x0
y ( x)
A
y=x
A0
P0 P1
A1
A2
x2
P2 x1 x0 x*
例5：对方程 f ( x) e x x 2 0 用迭代格式
xk 1 e xk 2, k 0,1,2, 求根，是否收敛？
若不收敛，试构造一个收敛的迭代格式求此方程的根。
解： f (1) e 3 0, f (2) e 2 4 0; f ( x)在[1,2]上连续，从而 f ( x)在(1,2)内有零点。 ( x) e x－2， ( x) e x 1, ( x [1,2]) 迭代格式xk 1 e 2发散。
从而点Q的照度C应该为
C ( x ) I1 I 2
h
P 1h1
2
1
x
2 3
h
P2 h2
2
2
( s x)
2 3
(2)
于是，求路面上最暗点和最亮点的问题化为求函数 C(x)的最小值点和最大值点。为此，令
C ( x) 3
h
P 1h1 x
2
1
x
2 5
3
h
P2 h2 ( s x)
模型：建立如图6.1所示的坐标系，路面的宽度为s，两 只路灯的功率分别是P1和P2，高度分别是h1和h2.
P2 Y P1 h1 r1 r2 h2
O
1 Q 2
x 图6.1 路灯照明
s
X
设两路灯连线的路面上某点Q的坐标为（x，0），其中
0 x s 假设两个光源都可以看成点光源，它们在
点Q的照度分别为I1和I2。则
y
y f ( x)
x*
a
x1
图6.4
x0
二分法原理示意图
b
