浙教版初中数学九年级上册3.3《垂径定理(1)》导学案

《垂径定理》教案教学目标：1、知识目标：通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理，理解其探索和证明过程；能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.2、能力目标：在研究过程中，进一步体验“实验—归纳—猜想—证明”的方法；在解题过程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同的角度去分析解决.3、情感目标：通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.教学重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论.教学难点：对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理.教学用具：圆规，三角尺，PPT课件教学过程：一、复习引入1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？（中心对称）2、实验：探究圆的轴对称性.如图（1），若将⊙O沿直径AB对折，观察两部分是否重合？让学生用自己准备好的圆形纸片亲自实验，教师引导学生努力发现：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴.3、引入新知：如图（2），左图中AB是⊙O的弦，直径CD与弦AB相交，那么沿直径CD所在的直线折叠之后，图形可以重合吗？右图中，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB,垂足为E.此时再沿直径CD所在直线折叠，图形可以重合吗？（重合，说明此图也是轴对称图形，称这种处于特殊位置的直径称为垂直于弦的直径），引出本节课研究的内容.二、新课（一）猜想，证明，形成垂径定理1、提问：继续观察图（2）的右图，根据圆的对称性，把圆沿直径CD所在的直线折叠之后，圆中的线段和弧会出现怎样的位置关系？同时出现怎样的数量关系？2、猜想：可能出现的位置关系是：线段AE和线段BE重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合.可能出现的数量关系是：3、证明：利用等腰三角形三线合一的性质或者三角形全等的知识来证明线段AE与线段BD相等，利用圆的对称性证明对应弧相等.板书：4、引导学生归纳总结垂径定理的文字表述，板书：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.（二）分析垂径定理的条件和结论1、再次明确垂径定理的条件和结论加深学生的印象.2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理本质的了解.练习：在下列图形中，能使用垂径定理的图形有哪些？3、引申定理：定理中垂直于弦的直径可以是直径、半径，也可以是过圆心的直线或线段.（三）例题例1 已知：如图（3），在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm.求：⊙O的半径.变式（1）：如图（3），在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，⊙O的半径为5cm.求：弦AB的长为多少？总结：在圆有关的问题时，常常构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理相结合的方法来解决.例2 已知：如图（4），在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证:AC=BD.三、小结1、这节课我们学习了哪些主要内容？2、应用垂径定理要注意那些问题？。

浙教版数学九年级上册《3.3 垂径定理》教学设计2一. 教材分析《3.3 垂径定理》是浙教版数学九年级上册的一个重要内容。

本节课主要讲述了垂径定理及其应用。

垂径定理是指：圆中，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

这一定理是圆的基本性质之一，对于解决与圆有关的问题具有重要意义。

在本节课中，学生将通过探究垂径定理，培养观察、思考、归纳的能力，同时提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对圆的概念和性质有所了解。

但是，对于垂径定理的证明和应用，他们可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，逐步理解和掌握垂径定理。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决简单的问题。

2.过程与方法：培养学生观察、思考、归纳的能力，提高解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：理解和掌握垂径定理。

2.难点：垂径定理的证明和应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置情境，引导学生观察、思考，发现垂径定理。

2.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论、交流，共同解决问题。

3.实践操作法：让学生动手操作，加深对垂径定理的理解。

六. 教学准备1.教具：圆规、直尺、彩笔、多媒体设备等。

2.学具：每人一份圆、直线、折纸等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些与圆有关的生活实例，引导学生思考圆的性质，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师引导学生观察一些圆的图形，让学生发现其中的规律。

学生通过观察、思考，发现垂径定理。

3.操练（10分钟）教师给出一些与垂径定理有关的问题，让学生运用所学的垂径定理进行解答。

学生通过解决问题，巩固对垂径定理的理解。

4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，让学生通过合作交流，进一步理解和掌握垂径定理。

《垂径定理（选学）》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 使学生通过《垂径定理（选学）》的课程学习，能够理解和掌握垂径定理的内容。

2. 让学生运用垂径定理解决基本的数学问题，提升数学思维能力及解决问题的能力。

3. 培养学生自主学习的习惯和团队合作的精神。

二、作业内容1. 预习资料- 垂径定理的基本概念及几何意义。

- 垂径定理的证明过程及相关的证明技巧。

2. 实践作业- 学生需要自己绘制包含直径和垂径的简单圆图，并用直尺测量并计算半径与直径的比值。

- 利用直尺和量角器绘制两条经过圆心的弦与半径形成的角度，然后验证是否为直角，即判断弦是否垂直于对应的直径或半圆上的一段直径，并通过实例深化对垂径定理的理解。

3. 书面作业- 完成一组关于垂径定理的应用题，包括但不限于计算弦长、判断线段是否垂直于直径等。

- 撰写一份关于垂径定理学习心得的短文，记录学习过程中的困惑与收获。

三、作业要求1. 学生需在规定时间内独立完成作业，并保证作业的准确性和完整性。

2. 实践作业中，学生需使用正确的测量工具进行测量和计算，保持图形清晰可见。

3. 书面作业要求解题步骤完整，计算准确，并在每一道题后简要注明解题思路。

4. 书写短文时，需体现个人的理解和对学习的思考，如有相关困惑应加以明确指出。

四、作业评价1. 准确性：根据学生完成的书面作业及学习心得的内容来判断学生对垂径定理的掌握程度和准确性。

2. 完整性：学生作业完成是否全面，包括预习资料的理解程度和解题步骤的完整性。

3. 创新性：鼓励学生在解题过程中提出新的思路和方法，以培养其创新思维和解决问题的能力。

五、作业反馈1. 教师将对学生的作业进行批改和点评，及时反馈学生的错误和不足，并给出相应的指导建议。

2. 对于表现出色的学生，教师应给予肯定和鼓励，并分享其优秀的学习方法和经验。

3. 教师将收集学生在学习过程中的疑问和建议，以便于在后续的课堂教学中做出相应的调整和改进。

《垂径定理（选学）》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课程的主要目标是使学生理解并掌握垂径定理的数学概念及其在几何证明中的应用。

通过实践练习，提高学生解决几何问题的能力，加深对垂径定理的理解和记忆。

二、作业内容本课作业围绕垂径定理及其应用展开，内容设计如下：1. 基础概念理解：要求学生回顾并理解垂径定理的定义，包括垂径线、垂径圆心角等基本概念，并能够准确描述其性质。

2. 定理证明：通过例题的形式，让学生尝试证明垂径定理，并理解其在几何证明中的重要性。

3. 实际应用：设计一系列与日常生活相关的几何问题，如测量、画图等，让学生在解决问题的过程中应用垂径定理。

4. 作业题集：提供一份包括选择题、填空题、简答题和综合题在内的习题集，难度逐步提升，让学生从多个角度巩固和拓展对垂径定理的理解。

三、作业要求本节作业要求学生独立完成，要求如下：1. 准确理解垂径定理的每一个概念和性质，并能够准确运用在解题过程中。

2. 认真完成每一道题目，尤其是综合题，要尽量运用所学知识进行全面解答。

3. 题目解答过程中，要求步骤清晰、逻辑严密，注重解题思路的阐述。

4. 作业完成后需进行自我检查和修正，确保答案的准确性。

四、作业评价教师将根据以下标准对学生的作业进行评价：1. 学生对垂径定理的理解程度及运用能力。

2. 解题步骤的逻辑性和条理性。

3. 答案的准确性和完整性。

4. 学生的自我检查和修正情况。

五、作业反馈教师将对每一份作业进行批改和点评，并通过以下方式进行反馈：1. 对每一道题目进行详细讲解和评分，对出现错误的地方进行详细解释和纠正。

2. 对于解题思路和方法进行归纳总结，强调解题技巧和思路。

3. 对于学生的优点和不足进行及时反馈，鼓励学生继续努力。

4. 对于普遍存在的问题进行课堂讲解和讨论，帮助学生加深理解和记忆。

通过上述的作业设计旨在全面、系统地提升学生的垂径定理理解和应用能力。

同时，它还鼓励学生进行独立思考和自主学习，培养学生的问题解决能力和创新思维。

3.2圆的轴对称(2)学案
学习准备：
1.如图1，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中错误．．
的是（ ） A.COE DOE ∠=∠
B.CE DE =
C.BC BD =
D.OE BE =
2. 如图2，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，BC BD
=，若CD =4，则CM = .
3.如图3，AB 是⊙O 的弦，，1cm OC =，则⊙O 的半径长为 cm .
一、探索研讨
【活动1】你能说出垂径定理的逆命题吗？
【活动2
】
填空：在⊙O 中
(1)若MN ⊥AB ，MN 为直径；则 .
(2)若AC ＝BC ，MN 为直径；AB 不是直径，则 .
(3)若MN ⊥AB ，AC ＝BC 则
_________________________________________________ .
判断：（1）垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.
（ ）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
(4)弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心. （ ）
(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
【活动3】
例3 我国隋代建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的
图1 图2 图3
长)为37.0米，拱高(弧的中点到弧的距离，也叫弓形高)为7.2米，求赵州桥的桥拱的半径.(精确到0.1米)。

垂径定理学习目标 经历垂径定理的探索过程掌握垂径定理3. 垂径定理的简单应用重点难点 重点：垂径定理难点：垂径定理的应用【课前自学 课堂交流】一．课前自习试一试：在纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径，然后沿着直径所在的直线把纸折叠.你能发现什么结论？我们发现: 画一画：任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD ，再作一条与直径垂直的弦(不过圆心). 理一理：作一条和直径CD 的垂直的弦AB ，AB 与CD 相交于点E ．提出问题：把圆沿着直径CD 所在的直线对折，你发现哪些点 线段、圆弧重合？结论：①EA = ②弧 与弧 重合；弧 与弧 重合 我们可以把结论归纳成命题的形式：垂径定理：_________________________________________________ 垂径定理的几何语言 ∵CD 为直径，CD ⊥AB （OC ⊥AB ）∴ ，二．课中交流1.已知AB ，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点)请说出作图的理由。

思考：如何画弧AB 的四等分点变式题：过已知⊙O 内的一点A 作弦,使A 是该弦的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点2.已知⊙O 的半径是13cm,一条弦的弦心距为5cm,求这条弦的长。

3已知如图所示，在⊙O 中，弦AB ∥CD,求证： 弧AC=弧BD4一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB =10，水面宽AB =16， 求截面圆心O 到水面的距离OC ．(分析：要求OC 的长，因为OC ⊥ AB 所以可以用勾股定理来求，而OB=10已知，故求出BC 即可，根据垂径定理可知，AB=2BC).ODC B A O A C BDC BA归纳：垂径定理的运算实际上就是一个直角三角形中勾股定理的运算，两条直角边是什么？斜边是什么？课后作业反思。

附件1：律
师事务所反盗版维权声明 附件2：
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学校名录参
见：
:// zx xk /wxt/l i s t.aspx ClassID=3060
二．课中交流
1.AB ，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(分一条
弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点) 请说出作图的理由。

思考：如何画弧AB 的四等分点
变式题：过⊙O 内的一点A 作弦,使A 是该弦的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点 2.⊙O 的半径是13cm,一条弦的弦心距为5cm,求这条弦的长。

3如下列图，在⊙O 中，弦AB ∥CD,求证： 弧AC=弧BD
4一条排水管的截面如下列图．排水管的半径OB =10，水面宽AB =16，
求截面圆心O 到水面的距离OC ．(分析：要求OC 的长，因为OC ⊥ AB 所以可以用勾股定理来求，而OB=10，故求出BC 即可，根据垂径定理可知，AB=2BC).
归纳：垂径定理的运算实际上就是一个直角三角形中勾股定理
的运算，两条直角边是什么斜边是什么 课后作业 反思
O
D C
B
A O A
C
B。

3.3垂径定理 教学目标 １．使学生理解圆的轴对称性．２．掌握垂径定理．３．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题． 教学重点垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用．教学难点 垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点．教学关键理解圆的轴对称性．教学环节的设计这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标，它们是：复习提问，创设情境；引入新课，揭示课题；讲解新课，探求新知；应用新知，体验成功； 目标训练，及时反馈；总结回顾，反思内化；布置作业，巩固新知．一、复习提问，创设情境1．教师演示：将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，同时复习轴对称图形的概念；２．提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？（教师用教具演示，学生自己操作） 二、引入新课，揭示课题1．在第一个环节的基础上，引导学生归纳得出结论：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．强调：（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴； （2）圆的对称轴有无数条．判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）设计意图：让学生更好的理解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备．三、讲解新课，探求新知先按课本进行合作学习1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD ；2．作一条和直径CD 的垂线的弦，AB 与CD 相交于点E ．提出问题：把圆沿着直径CD 所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？ 在学生探索的基础上，得出结论：（先介绍弧相等的概念） ①EA=EB ；② AC=BC ，AD=BD ．理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt ∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA 与EB 重合， ∴点A 与点B 重合，弧AC 和弧BC 重合，弧AD 和弧BD 重合．∴ EA=EB ， AC=BC，AD=BD ． 思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OA 平分CD 吗？（课内练习1） 注：老教材这个内容放在圆心角、圆周角之后，垂径定理完全可以不用圆的轴对称性来证，可用等腰三角形的性质来证明，现在只能证前面一个（略）． AB C D O E ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A⌒ ⌒ ⌒ ⌒然后把此结论归纳成命题的形式：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理的几何语言∵CD 为直径，CD ⊥AB （OC ⊥AB ） ∴ EA=EB ， AC=BC ，AD=BD ． 四、应用新知，体验成功 例1 已知AB ，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点概念)作法：⒈连结AB.⒉作AB 的垂直平分线 CD ， 交弧AB 于点E.点E 就是所求弧AB 的中点．变式一： 求弧AB 的四等分点．思路：先将弧AB 平分，再用同样方法将弧AE 、弧BE 平分．（图略）有一位同学这样画，错在哪里？1．作AB 的垂直平分线CD2．作AT 、BT 的垂直平分线EF 、GH （图略）教师强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．变式二：你能确定弧AB 的圆心吗？ 方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心．例2 一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O 到水面的距离OC ．思路：先作出圆心O 到水面的距离OC ，即画 OC ⊥AB ，∴AC=BC=8，在Rt △OCB中，68102222=-=-=BC OB OC ∴圆心O 到水面的距离OC 为6．例3 已知：如图，线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．思路：作OM ⊥AB ，垂足为M ， ∴CM=DM∵OA=OB ， ∴AM=BM ， ∴AC=BD ．概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．小结：1．画弦心距是圆中常见的辅助线；2．半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长222d r AB -=．注：弦长、半径、弦心距三个量中已知两个，就可以求出第三个．五、目标训练,及时反馈1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB 的弦心距为5，则这条弦的弦长等于 ．⌒ ⌒ ⌒ ⌒O A B C ⌒ ⌒ ⌒答案：242．如图，AB 是⊙0的中直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）A ．∠COE=∠DOEB ．CE=DEC ．OE=BED ．BD=BC答案：C3．过⊙O 内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 长为（ ）A ．3B ．6cmC ． cmD ．9cm答案：A注：圆内过定点M 的弦中，最长的弦是过定点M 的直径，最短的弦是过定点M 与OM 垂直的弦，此结论最好让学生记住，课本作业题也有类似的题目．4．如图，⊙O 的直径为10，弦AB 长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）A ．3≤OM ≤5B ．4≤OM ≤5C ．3<OM<5D ．4<OM<5答案：A5． 已知⊙O 的半径为10，弦AB ∥CD ，AB=12，CD=16，则AB 和CD 的距离为 ． 答案：2或24 注：要分两种情况讨论：（1）弦AB 、CD 在圆心O 的两侧；（2）弦AB 、CD 在圆心O 的同侧．6．如图，已知AB 、AC 为弦，OM ⊥AB 于点M ， ON ⊥AC 于点N ，BC=4，求MN 的长． 思路：由垂径定理可得M 、N 分别是AB 、AC 的中点，所以MN=21BC=2． 六、总结回顾，反思内化师生共同总结：１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．3．解题的主要方法：（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；（2）半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长222d r AB -=．七、布置作业， 巩固新知P75作业题1~6，第7题选做．⌒ ⌒。

教学设计课程基本信息学科数学年级九年级学期秋季课题 3.3垂径定理（第一课时）教科书书名：《义务教育教科书数学（九年级上册）》出版社：浙江教育出版社教学目标1. 经历探索垂径定理的过程.2. 探索并掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.3. 会运用垂径定理解决一些简单的几何问题.教学内容教学重点：垂径定理教学难点：垂径定理的推导过程以及垂径定理的灵活运用教学过程一：创设情境引入新课问题1：如图，剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？我们发现在折叠的过程中，直径两侧的部分会完全重合，因此我们得到结论：圆是轴对称图形任何一条直径所在直线都是它的对称轴．问题2：如图，在⊙O中任意作一条弦AB，观察下面的图形，它还是轴对称图形吗，若是，你能作出它的对称轴吗？二：师生互动共创新知已知：如图，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，求证：AE=BE，AĈ=BĈ，AD̂=BD̂.分析：利用半径来构造等腰三角形来证明AE=BE；弧等可以利用同圆或等圆中两弧的端点重合来证明.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.几何语言：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，AĈ=BĈ，AD̂=BD̂. 三：应用新知层层深入B OACD下列图形是否适合用垂径定理呢？例1 已知AB̂，用直尺和圆规作这条弧的中点 分析：要平分弧，找到这条弧的中点，让我们联想到了垂径定理的 基本图形，所以第一步我们先连结AB ，然后再画出垂直弦AB 的过圆心的一条直线即可，所以第二步，作AB 的垂直平分线CD ， 交弧AB 于点E.例2 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O 到水面的距离.分析:为求O 到AB 的距离，我们先过点O 作OC ⊥AB ，即求OC的长度，观察图形发现OC 在直角三角形OBC 中，其中半径 OB=10，由于OC ⊥AB ，由垂径定理可得BC 等于AB 的一半等于8， 那么根据勾股定理即可得到OC 的长度.变式：一条排水管的截面如图所示。

浙教版数学九年级上册3.3.2课时教学设计想一想垂径定理的逆命题是什么？已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.求证：CD⊥AB，⌒AC=⌒BC师生共同归纳定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的弧.探索:平分弧的直径垂直于弧所对的弦。

已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，⌒AC=⌒BC求证：CD⊥AB归纳出：定理2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。

如图, 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说. 如果在下列五个条件中:① CD是直径,② CD⊥AB,③ AM=BM,④⌒AC =⌒BC⑤⌒AD =⌒BD只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论. 你可以写出相应的命题吗?辨一辨（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧 ( )（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心 ( )（3）不与直径垂直的弦必不被这条直径平分( )（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ( )（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）例3、1300多年前, 我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形, 它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.02 m,拱高(弧的中点到弦的距离, 也叫弓形高)为7.23m, 求桥拱的半径(精确到0.1m).解：弧AB表示桥拱，设弧AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交弧AB 于点D.∵C是弧AB的中点,∴OC就是拱高.∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51,OD=OC-DC=（R-7.23）.在Rt△OAD中，OA 2=OD2+AD2∴R 2=18.512+(R-7.23)2,解得R≈27.31.答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m. 探究活动某一条公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面2m，半径为1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗？如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到地面的距离，半圆拱的半径至少为多少米？总结：解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。

《垂径定理（选学）》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《垂径定理》的学习，使学生能够理解并掌握垂径定理的基本内容及其在几何问题中的应用，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力，为后续的几何学习打下坚实的基础。

二、作业内容本课时的作业内容主要围绕垂径定理展开，具体包括以下几个方面：1. 基础练习：让学生通过大量基础题目练习，加深对垂径定理的理解和记忆。

包括判断垂线、计算垂线段等基础题型的练习。

2. 理论应用：通过实际问题，让学生应用垂径定理解决几何问题。

如利用垂径定理求圆上两点的距离等。

3. 探究拓展：鼓励学生进行自主探究，通过小组讨论或个人思考，寻找垂径定理在其他几何问题中的应用，如与直角三角形、圆的其他性质等相结合的问题。

三、作业要求1. 完成基础练习部分，要求准确无误地完成每一道题目，理解并掌握垂径定理的基本内容。

2. 在理论应用部分，要求学生能够运用所学知识解决实际问题，并能够清晰地表达解题思路和步骤。

3. 在探究拓展部分，鼓励学生积极思考、主动探索，尝试将垂径定理与其他几何知识相结合，寻找新的应用场景。

4. 作业要求清晰、层次分明，既有基础知识巩固又有能力提升拓展。

作业量适中，不宜过多或过少，以保证学生能够认真完成。

四、作业评价教师将根据学生的作业完成情况进行评价，主要包括以下几个方面：1. 基础练习部分的正确率，以检验学生对垂径定理的理解和记忆情况。

2. 理论应用部分的解题思路和步骤，以评价学生的问题解决能力和表达能力。

3. 探究拓展部分的创新性和深度，以激发学生的探索精神和创新能力。

五、作业反馈教师将根据学生的作业完成情况给予及时的反馈和指导，具体包括：1. 对基础练习部分的错误进行纠正和指导，帮助学生巩固基础知识。

2. 对理论应用部分的解题思路和步骤进行点评和指导，帮助学生提高问题解决能力。

3. 对探究拓展部分的创新性和深度进行肯定和鼓励，激发学生的探索精神。

同时，教师还将根据学生的整体完成情况和作业质量，进行针对性的教学调整和优化，以更好地满足学生的学习需求。

3.3 垂径定理（1）
我预学
1. 在七年级下册中，我们曾经学过轴对称图形和轴对称变换，在回忆轴对称
图形的定义和轴对称变换的性质后，判断下列图形是否是轴对称图形，若
是，请画出它相应的对称轴
.
2. 如图，点P是圆上一点，先作出圆的一条对称轴l，再作出点P关于直线
l的对称点（不写作法，但须保留作图痕迹）.
3. 对本节教材中，圆的性质“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧”，
你是如何理解的？你能说明它的合理性吗？
我求助
预习后，你或许有些疑问，请写在下面的空白处：
我反思
通过本节课的学习，你一定有很多感想和收获，请写在下面的空白处：
我达标
1.如图，已知⊙O 的直径AB ⊥弦CD
于点E ，下列结论
中一定正确的是（ ）
A. AE =OE
B. ∠AOC =60°
C. CE =DE
D. OE =CE
2.AB 是⊙O 的弦，半径OA =2，∠AOB =120°，则弦AB 的长是 .
3.在半径为5的⊙O 中，若弦AB =8，则△AOB 的面积为 .
4.若⊙O 的半径为5，弦AB =8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长度范围是 .。

24.1.2 垂直于弦的直径（垂径定理第一课时）【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理.2.利用垂径定理解决一些实际问题．【导学过程】一．自主学习（一）回顾复习：（独立完成下列各题）1.如图：AB是⊙O______；CD是⊙O______；⊙O中优弧有__________；劣弧有__________。

2.在___圆或____圆中，能够____________叫等弧。

（二）自主探究（一）自主探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么？结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。

（二）自主探究二：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：______________相等的弧： _____=______；_____=______。

二、合作交流（一）你还能用其他的方法给出证明吗？垂径定理：文字叙述是：垂直于弦的直径_______，并且__________________。

符号语言：∵CD是⊙O_____，AB是⊙O______，且CD__AB于M∴____=_____，_____=______，_____=______。

(二)合作探究二：用垂径定理解决问题已知：⊙O的直径为10cm，圆心O到AB的距离为3cm，求：弦AB的长。

归纳：圆中常用辅助线——作弦心距（圆心到弦的距离），构造Rt△.弦（a）半径（r）弦心距（d），三个量关系为。

简“半径半弦弦心距”。

（三）巩固练习1．已知：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，则BC =____，AC =____ ；CE=______2.已知：AB为⊙O的弦，AB=24cm, 圆心O到AB的距离为5cm, 求⊙O的直径3.已知：⊙O的直径AB=20cm，∠B=30°,求：弦BC的长三、展示提升：（1）如图，两圆都以点O为圆心，求证:AC=BD（2）圆中有两条互相平行的弦长分别为6cm、8cm,圆的半径为5cm, 求平行两弦之间的距离四、盘点收获OBCA。

3.3 垂径定理-浙教版九年级数学上册教案一、教学目标1.掌握垂径定理的含义和应用方法；2.能够应用垂径定理解决实际问题；3.发展学生数学思维和创新精神。

二、教学重点1.熟练掌握垂径定理的含义；2.学习垂径定理的应用方法。

三、教学难点1.理解垂径定理的应用方法；2.学生需要具备较好的几何图形分析能力。

四、教学方法1.课堂教学和小组研讨相结合；2.呈现真实的应用情境，激发学生学习兴趣；3.引导学生主动思考，参与互动，探究问题。

五、教学内容和流程安排5.1 教学内容1.垂直角定理的复习；2.垂径定理的引入；3.垂径定理的应用方法。

5.2 教学流程5.2.1 复习垂直角定理通过回顾垂直角定理，巩固学生对垂直概念的理解。

并且，导入垂径定理。

5.2.2 引入垂径定理1.课件上呈现一张图，P为一个圆外一点，AC为切线，PA，PB分别与圆相交于点A、B，垂足分别为D、E。

2.教师提问：怎么证明PA垂直于AC？（学生自主思考）3.学生发言，讨论，教师引导学生得出PA是从P点引垂线，垂线的垂足是D，所以PA垂直于AC。

4.引入垂径定理的定义（注：教师可利用垂径定理的示意图来辅助讲解）5.2.3 垂径定理的应用方法引导学生理解和掌握垂径定理的应用方法，并带领学生进行实践操作和练习。

5.3 教学总结1.简要回顾垂径定理的定义和应用方法；2.总结垂径定理与其他定理的联系，以及它的意义和重要性。

六、课后作业1.习题集中的有关垂径定理的题目；2.小组讨论并完成自己感兴趣的应用题目；3.阅读相关数学知识阅读材料，并做笔记。

3.3垂径定理(1)【自主卡】一、预学内容：九年级上册3.3垂径定理P76-78二、预学目标：1、经历探索垂径定理的过程；2、掌握垂径定理；3、会用垂径定理解决一些简单几何问题。

三、预学活动1、将图1沿着直径CD所在的直线对着，你发现哪些点、线段、圆弧互相重合？弦AB与直径CD有何位置关系？点：线段：圆弧：垂径定理：垂直于弦的直径______这条弦，并且______弦所对的弧。

图1定理证明：如图1，已知CD是⊙O的直径，AB⊥CD，求证AE=BE,AC=BC,AD=BD。

几何语言: CD是⊙O的直径，AB⊥CD∴____________________________________________________________，叫做这条弧的中点。

2、阅读书本例一，用直尺和圆规作出⊙O的圆心O，并说说作法。

作法：3、一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD=2cm（如图）。

求截面圆中弦AB的长。

思考：①半径OD与弦AB有怎样的位置关系？②什么叫做弦心距？③弦心距、半径与弦AB的半径满足怎样的数量关系？【合作交流】点A在⊙O内，过点A作一条弦BC，使BC是所有过点A的弦中最短的弦。

【测评卡】1．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜52．如图，在半径为的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（）A．1 B．C．2 D．23．如图，AB是⊙O的弦，已知∠OAB=30°，AB=4，则⊙O的半径为（）A．4 B．2 C．D．4．小明家凉台呈圆弧形，凉台的宽度AB为8m，凉台的最外端C点离AB的距离CD为2m，则凉台所在圆的半径为（）A．4m B．5m C．6m D．7m5、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．6、如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，求证：AC=BD．7、如图，⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC=3：5．求AB的长度．8、如图，在直径为50 cm的圆中，有两条弦AB和CD，AB∥CD，且AB为40 cm，弦CD为48 cm，求AB与CD之间距离．9、如图，一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接矩形，已知矩形的高AC=2米，宽CD=米．（1）求此圆形门洞的半径；（2）求要打掉墙体的面积．。

课题 3.3 垂径定理1 导学案时间：课型：新授【学习目标】1、经历探索圆的轴对称性及有关性质的过程.2、掌握垂径定理.3、会运用垂径定理解决有关问题.【重点难点】重点：垂径定理及应用.难点：垂径定理的应用.【导学流程】一、知识铺垫：1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做_________，这条直线叫做______.2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有旋转不变性.二、引导知新：认真研读教材74--75页内容，完成：1、“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？操作：①在圆形纸片上任画一条直径；②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？结论：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴.2、如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P，将圆形纸片沿AB对折，你发现了什么？3、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.4、注意：①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧.三、深入学习：例1、如图，已知CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为P，求证：CP=DP，推论：a、垂直于弦 b、直径 c、平分弦 d、平分弦所对的优弧 e、平分弦所对的劣弧这5个，任意2个作为条件，可以推出其余3个结论. 课海拾贝我的困惑：我们的困惑：AC =AD BC = BD例2、如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ，AC 与BD 相等吗？为什么？四、迁移运用： 1、如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，则AD=_____. 2、过⊙O 内一点P 作一条弦AB ，使P 为AB 的中点.T1 T2 T3 T4 3、⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点P ，AB=10cm,CD=8cm ，则OP 的长为 CM.4、如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半为 ．5、⊙O 的弦AB 为5cm ，所对的圆心角为120°，则圆心O 到这条弦AB 的距离为___.6、圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm 和5cm ，则圆心到这条弦的距离为 CM.7、在半径为5的圆中,弦AB ∥CD,AB=6,CD=8,则AB 和CD 的之间的距离为 .8、储油罐的截面如图所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度．课后 反思DCOABO PP AO CDBOAB。

浙教版数学九年级上册《3.3 垂径定理》说课稿2一. 教材分析《垂径定理》是浙教版数学九年级上册第三章第三节的内容。

这一节主要介绍了圆中的一个重要定理——垂径定理。

垂径定理是指：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

这个定理在解决与圆相关的问题时非常有用，是圆的基本性质之一。

在教材中，垂径定理是通过探究活动来引导学生发现的。

首先，学生通过观察和动手操作，发现垂直于弦的直径能够平分弦。

然后，学生通过推理和证明，得出垂径定理的一般性结论。

这样的设计既有利于学生直观地理解垂径定理，又能培养学生的观察能力、动手能力和推理能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中数学的大部分内容，对数学的基本概念、基本性质和基本定理有一定的了解。

他们在学习垂径定理之前，已经学习了圆的基本概念、圆的性质和圆的运算。

这些知识为基础，学生应该能够顺利地学习垂径定理。

然而，九年级的学生在学习过程中可能会遇到一些问题。

首先，垂径定理的概念比较抽象，学生可能难以理解和接受。

其次，证明过程需要一定的逻辑推理能力，学生可能在这方面遇到困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，帮助学生理解和掌握垂径定理。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决与圆相关的问题。

2.过程与方法目标：学生通过观察、动手操作、推理和证明等过程，培养观察能力、动手能力和推理能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，克服学习中的困难，增强对数学学科的兴趣和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握垂径定理的内容。

2.教学难点：学生能够运用垂径定理解决与圆相关的问题，并能够进行推理和证明。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用以下方法和手段：1.探究法：引导学生通过观察、动手操作、推理和证明等方法，自主发现和理解垂径定理。

2.讲解法：在学生自主探究的基础上，进行讲解和解释，帮助学生理解和掌握垂径定理。