训练8 数列的综合应用 (参考时间：80分钟)一、填空题1．在数列{a n }中，a 1＝4，a 2＝10，若{log 3(a n －1)}为等差数列，则T n ＝1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n等于________． 2．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝2a 1，则4m ＋1n 的最小值为________．3．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________． 4．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2na n ＋1，n∈N *.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________.5．已知等差数列{a n }满足2a 2－a 27＋2a 12＝0，且{b n }是等比数列，若b 7＝a 7，则b 5b 9＝________.6．(2012·天一、淮阴、海门中学联考)在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2 012＝9，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 2 012)＋2，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为________．7．(2012·宿迁联考)设y ＝f (x )是一次函数，f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝________.8．(2012·宿迁联考)第30届奥运会在伦敦举行．设数列a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使a 1·a 2·a 3…a k 为整数的实数k 为奥运吉祥数，则在区间[1,2 012]内的所有奥运吉祥数之和为________．9．(2012·盐城模拟)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m15对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________． 二、解答题10．数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，a 3＝27.(1)求a 1，a 2的值；(2)是否存在一个实数t ，使得b n ＝12n (a n ＋t )(n ∈N *)，且数列{b n }为等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由； (3)求数列{a n }的前n 项和S n .11．设函数f (x )＝2x ＋33x (x ＞0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1(n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋(－1)n －1·a n a n ＋1，若T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围．12．(2012·苏州期中)已知数列{a n }满足对任意的n ∈N *，都有a 31＋a 32＋…＋a 3n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2且a n ＞0. (1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋2的前n 项和为S n ，不等式S n ＞13log a (1－a )对任意的正整数n恒成立，求实数a 的取值范围．13．(2012·南京、盐城一模)已知数列{a n }满足a 1＝a (a ＞0，a ∈N *)，a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0(p ≠0，p ≠－1，n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若对每一个正整数k ，若将a k ＋1，a k ＋2，a k ＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d k .①求p 的值及对应的数列{d k }． ②记S k 为数列{d k }的前k 项和，问是否存在a ，使得S k ＜30对任意正整数k 恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．参考答案训练8 数列的综合应用1．解析 由{log 3(a n －1)}是等差数列得d ＝log 3(a 2－1)－log 3(a 1－1)＝log 3(10－1)－log 3(4－1)＝1，所以log 3(a n －1)＝log 3(a 1－1)＋(n －1)×1＝n 所以a n ＝3n ＋1，则T n ＝1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝132＋1－31－1＋133＋1－32－1＋…＋13n ＋1＋1－3n －1＝13×2＋132×2＋…＋13n×2＝12×13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫13n1－13＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－13n.答案14⎝⎛⎭⎪⎫1－13n2．解析由a7＝a6＋2a5得q2＝q＋2，又a n＞0，所以q＝2，a m a n＝2m＋n－2a1＝2a1，所以m＋n＝3，故4m＋1n＝⎝⎛⎭⎪⎫4m＋1n⎝⎛⎭⎪⎫m3＋n3＝53＋4n3m＋m3n≥53＋249＝3.(当且仅当m＝2，n＝1等号成立)．答案 33．解析a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋33＝33＋n2－n，所以a nn＝33n＋n－1，设f(n)＝33n＋n－1，令f′(n)＝－33n2＋1＞0，则f(n)在(33，＋∞)上是单调递增，在(0，33)上是递减的，因为n∈N*，所以当n＝5或6时f(n)有最小值．又因为a55＝535，a66＝636＝212，所以，a nn的最小值为a66＝212.答案21 24．解析T n＝17a1[1－(2)n]1－2－a1[1－(2)2n]1－2a1(2)n＝11－2·(2)2n－17(2)n＋16(2)n＝11－2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2)n＋16(2)n－17，因为(2)n＋16(2)n≥8，当且仅当(2)n＝4，即n＝4时取等号，所以当n0＝4时T n有最大值．答案 45．解析因为{a n}是等差数列，所以a2＋a12＝2a7，又2(a2＋a12)＝a27，所以4a7＝a27，b7＝a7≠0，所以a7＝4，所以b5b9＝b27＝42＝16.答案166．解析f′(0)即为f(x)展开式中x的系数，所以f′(0)＝a1a2…a2 012＝(a1a2 012)1 006＝91 006＝32 012，又f(0)＝2，故在点(0，f(0))处的切线方程为y－2＝32 012x，即为y＝32 012x＋2.答案y＝32 012x＋27．解析设f(x)＝k x＋b(k≠0)，又f(0)＝1，所以b＝1，即f(x)＝k x＋1(k≠0)，由f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，得f2(4)＝f(1)f(13)，即(4k＋1)2＝(k＋1)(13k ＋1)，因为k≠0，所以解得k＝2，即f(x)＝2x＋1，所以f(2)＋f(4)＋…f(2n)＝5＋9＋…＋(4n＋1)＝n(5＋4n＋1)2＝n(2n＋3)．答案n(2n＋3)8．解析因为a1·a2·a3…a k＝log23×log34×…×log k＋1(k＋2)＝log2(k＋2)，当log2(k＋2)＝m (m ∈Z )时，k ＝2m －2∈[1,2 012](m ∈Z )，m ＝2,3,4，…，10，所以在区间[1,2 012]内的所有奥运吉祥数之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2) ＝(22＋23＋…＋210)－18＝211－22＝2 026. 答案 2 0269．解析 由题意可知a n ＝4n －3，且(S 2n ＋3－S n ＋1)－(S 2n ＋1－S n )＝1a 2n ＋3＋1a 2n ＋2－1a n ＋1＝18n ＋9＋18n ＋5－14n ＋1＜0，所以{S 2n ＋1－S n }是递减数列，故(S 2n ＋1－S n )max＝S 3－S 1＝1a 2＋1a 3＝1445≤m 15，解得m ≥143，故正整数m 的最小值为5.答案 510．解 (1)由a 3＝27，得27＝2a 2＋23＋1，∴a 2＝9，∵9＝2a 1＋22＋1，∴a 1＝2.(2)假设存在实数t ，使得{b n }为等差数列，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1，(n ≥2且n ∈N *)∴2×12n (a n ＋t )＝12n －1(a n －1＋t )＋12n ＋1(a n ＋1＋t )，∴4a n ＝4a n －1＋a n ＋1＋t ，∴4a n ＝4×a n －2n －12＋2a n ＋2n ＋1＋1＋t ，∴t ＝1. 即存在实数t ＝1，使得{b n }为等差数列．(3)由(1)，(2)得b 1＝32，b 2＝52，∴b n ＝n ＋12，∴a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n ＋12·2n －1＝(2n ＋1)2n －1－1， S n ＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n ＋1)×2n －1－1] ＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n ＋1)×2n －1－n ，①∴2S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n －2n ，②由①－②得－S n ＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －1－(2n ＋1)×2n ＋n ＝1＋2×1－2n1－2－(2n ＋1)×2n ＋n ＝(1－2n )×2n ＋n －1，∴S n ＝(2n －1)×2n －n ＋1.11．解 (1)因为a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1＝2×1a n －1＋33×1a n －1＝a n －1＋23(n ∈N *，且n ≥2)， 所以a n －a n －1＝23.因为a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，公差为23的等差数列．所以a n ＝2n ＋13.(2)①当n ＝2m ，m ∈N *时，T n ＝T 2m ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋(－1)2m －1a 2m a 2m ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2m (a 2m －1－a 2m ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2m )＝－43×a 2＋a 2m 2×m ＝－19(8m 2＋12m )＝－19(2n 2＋6n )． ②当n ＝2m －1，m ∈N *时，T n ＝T 2m －1＝T 2m －(－1)2m －1a 2m a 2m ＋1＝－19(8m 2＋12m )＋19(16m 2＋16m ＋3) ＝19(8m 2＋4m ＋3)＝19(2n 2＋6n ＋7)．所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－19(2n 2＋6n )，n 为正偶数，19(2n 2＋6n ＋7)，n 为正奇数，要使T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，只要使－19(2n 2＋6n )≥tn 2，(n 为正偶数)恒成立．只要使－19⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋6n ≥t ，对n ∈N *恒成立，故实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－59. 12．解 (1)当n ＝1时，有a 31＝a 21， 由于a n ＞0，所以a 1＝1.当n ＝2时，有a 31＋a 32＝(a 1＋a 2)2，将a 1＝1代入上式，由于a n ＞0，所以a 2＝2.(2)由于a 31＋a 32＋…＋a 3n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2，①则有a 31＋a 32＋…＋a 3n ＋a 3n ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1)2.②②－①，得a 3n ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1)2－(a 1＋a 2＋…＋a n )2， 由于a n ＞0，所以a 2n ＋1＝2(a 1＋a 2＋…＋a n )＋a n －1.③同样有a 2n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋a n (n ≥2)，④③－④，得a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋1＋a n ， 所以a n ＋1－a n ＝1，由于a 2－a 1＝1，即当n ≥1时都有a n ＋1－a n ＝1， 所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． 故a n ＝n .(3)由(2)知a n ＝n .则1a n a n ＋2＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， 所以S n ＝1a 1a 3＋1a 2a 4＋…＋1a n －1a n ＋1＋1a n a n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. ∵S n －1－S n ＝1(n ＋1)(n ＋3)＞0，∴数列{S n }单调递增．所以(S n )min ＝S 1＝13.要使不等式S n ＞13log a (1－a )对任意正整数n 恒成立，只要13＞13log a (1－a )．∵1－a ＞0，∴0＜a ＜1.∴1－a ＞a ，即0＜a ＜12.所以，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.13．解 (1)因为a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0，所以n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1－pa n ＝0，两式相减，得a n ＋1a n＝p ＋1p (n ≥2)，故数列{a n }从第二项起是公比为p ＋1p的等比数列，又当n ＝1时，a 1－pa 2＝0，解得a 2＝ap ， 从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (n ＝1)，a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p n －2 (n ≥2).(2)①由(1)得a k ＋1＝a p ⎝⎛⎭⎪⎫p ＋1p k －1， a k ＋2＝a p ⎝⎛⎭⎪⎫p ＋1p k ，a k ＋3＝a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p k ＋1， 若a k ＋1为等差中项，则2a k ＋1＝a k ＋2＋a k ＋3， 即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－2，解得p ＝－13； 此时a k ＋1＝－3a (－2)k －1，a k ＋2＝－3a (－2)k ， 所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋2|＝9a ·2k －1，若a k ＋2为等差中项，则2a k ＋2＝a k ＋1＋a k ＋3， 即p ＋1p ＝1，此时无解；若a k ＋3为等差中项，则2a k ＋3＝a k ＋1＋a k ＋2， 即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－12，解得p ＝－23，此时a k ＋1＝－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k －1，a k ＋3＝－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ＋1，所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋3|＝9a 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1， 综上所述，p ＝－13，d k ＝9a ·2k －1或p ＝－23，d k ＝9a 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1②当p ＝－13时，S k ＝9a (2k －1)．则由S k ＜30，得a ＜103(2k －1)，当k ≥3时，103(2k －1)＜1，所以必定有a ＜1，所以不存在这样的最大正整数当p ＝－23时，S k ＝9a 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ，则由S k ＜30，得a ＜403⎣⎢⎡1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k]，因为403⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＞403，所以a ＝13满足S k ＜30恒成立；但当a ＝14时，存在k ＝5，使得a ＞403⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 即S k ＜30，所以此时满足题意的最大正整数a ＝13.。
必考问题13 立体几何【真题体验】1．2022·江苏，7如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为________cm3解析关键是求出四棱锥ABB1D1D的高，连接AC交BD于O，在长方体中，∵AB＝AD＝3，∴BD＝3错误!且AC⊥BD又∵BB1⊥底面ABCD，∴BB1⊥AC又DB∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AO为四棱锥ABB1D1D的高且AO＝错误!BD＝错误!∵S矩形BB1D1D＝BD×BB1＝3错误!×2＝6错误!，∴VABB1D1D＝错误!S矩形BB1D1D·AO＝错误!×6错误!×错误!＝6cm3．答案 62．2022·江苏，16如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点点D不同于点C，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：1平面ADE⊥平面BCC1B1；2直线A1F∥平面ADE证明1因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD 又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1，又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B12因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1由1知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE【高考定位】高考对本内容的考查主要有：1主要考查空间概念，空间想象能力，点线面位置关系判断，表面积与体积计算等 A 级要求2主要考查线线、线面、面面平行与垂直的证明．B级要求【应对策略】证明或探究空间中线线、线面、面面平行与垂直的位置关系，一要熟练掌握所有判定定理与性质定理，梳理好几种位置关系的常见证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面平行．而证明线线平行常用的是三角形中位线性质，或构造平行四边形；二要用分析与综合相结合的方法来寻找证明的思路；三要注意表述规范，推理严谨，避免使用一些虽然正确但不能作为推理依据的结论．必备知识1．平行关系1判定两直线平行，可供选用的定理有：①公理4：若a∥b，b∥c，则a∥c②线面平行的性质定理：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b③线面垂直的性质定理：若a⊥α，b⊥α，则a∥b④面面平行的性质定理：若α∥β，r∩α＝a，r∩β＝b，则a∥b2线面平行的判定，可供选用的定理有：①若a∥b，a⊄α，b⊂α，则a∥α②若α∥β，a⊂α，则a∥β3判定两平面平行，可供选用的定理有：若a，b⊂α，a，b相交，且a∥β，b∥β，则α∥β2．垂直关系1判定两直线垂直，可供选用的定理有：①若a∥b，b⊥c，则a⊥c②若a⊥α，b⊂α，则a⊥b2线面垂直的判定，可选用的定理有：①若a⊥b，a⊥c，b，c⊂α，且b与c相交，则a⊥α②若a∥b，b⊥α，则a⊥α③若α⊥β，α∩β＝b，a⊂α，a⊥b，则a⊥β3判定两平面垂直，可供选用的定理有：若a⊥α，a⊂β，则α⊥β必备方法1．线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下列形式转化．2．弄清各类问题的关键点，把握问题的层次，重视容易忽视的问题，如证平行时，由于过分强调线线、线面、面面平行的转化，而忽视由垂直关系证平行关系；证垂直时，同样忽视由平行关系来证明或利用勾股定理计算证明．3．图形的展开、折叠、切割在考查空间想象能力方面有着不可比拟的优势，解决此类问题的关键是弄清图形变化前后的点、线、面的对应关系，并分析清楚变化前后点、线、面的位置变化．命题角度一空间几何体的认识及表面积与体积的计算[命题要点] 求简单组合体的侧面积和体积．【例1】►2022·南师附中模拟已知四棱椎 1 cm3 cm3解析侧面积＝错误!×底面周长×斜高＝错误!×6×斜高＝3所以，斜高＝1cm；底面的边心距＝错误!cm；在斜高、高、底面边心距组成的直角三角形中，可求高＝错误!cm；底面面积＝错误!×6＝错误!cm2；体积＝错误!×错误!×错误!＝错误!cm3．答案错误!命题角度二空间中点线面位置关系的判断[命题要点] 命题真假判断或填空．【例2】►2022·泰州学情调研设α，β，γ是三个不重合的平面，是直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，⊥β，则∥α；②若⊥α，∥β，则α⊥β；③若上有两点到α的距离相等，则∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β其中正确命题的序号是________．[审题视点][听课记录][审题视点] 根据空间中线面、面面之间的位置关系的判定或性质进行判断．解析由线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理逐个判断，真命题为②④答案②④这类题为高考常考题型，其实质为多项选择．主要考查空间中线面之间的位置关系，要求熟悉有关公理、定理及推论，并具备较好的空间想象能力，做到不漏选、多选、错选．【突破训练2】2022·通州期末设α，β为两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；②若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直；③若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n⊥β；④若m∥n，n⊥α，α∥β，则m⊥β其中真命题的序号是________．解析根据线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理，可得真命题为④答案④命题角度三线线、线面、面面平行与垂直的证明[命题要点] 线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质．【例3】►2022·南京模拟如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°1求证：EF⊥平面BCE；2设线段CD、AE的中点分别为，求证：，取BE的中点N，连接CN，MN，不在平面BCE 内，即可证明N，则MN＝错误!AB＝N∥AB∥NC为平行四边形，所以⊄平面BCE，∴错误!是ACD的体积．1证明∵AB∥DC，且AB⊄平面是到面ADC的距离是ACD＝错误!S△ACD·错误!PA＝错误!×错误!×错误!＝错误!13．深刻理解定理，正确使用定理一、深刻理解，正确记忆定义、定理【例1】►判断下列命题的真假：1 不相交的两条直线叫做平行直线2 如果一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行3 如果一个平面内有两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行解1应为“同一平面内不相交的两条直线叫做平行直线”2应为“如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”3应为“如果一个平面内有两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行”所以上述三个命题都是假命题．老师叮咛：要对定义、定理深刻理解，正确记忆，不出现错误判断例如“如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”中的“平面外”就不可缺少二、正确使用判定定理、性质定理证题【例2】►如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，CE＝EF＝错误!AC，求证：AF∥平面BDE；证明设AC于BD交于点G，连接EG因为EF∥AC，且CE＝EF＝错误!AC，AG＝错误!AC，所以EF∥AG，EF＝AG所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG，因为EG⊂面BDE，AF⊄面BDE，所以AF∥平面BDE老师叮咛：证明线面平行时要强调直线在平面外；不可由线线平行直接证面面平行，而要由线线平行先证线面平行，再由线面平行证面面平行。
专题一70分填空题大突破与解题技法【专题定位】江苏高考对填空题知识点的考查相对稳定，共有14道，分值70分，填空题的得分多少，决定了整个试卷的成败，本专题通过对高考填空题的题型进行分类，同时穿插方法的指导，提高解题的速度和正确率．填空题没有备选项．因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些，只要求写出结果，不要求写出解答过程，不设中间分，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误．【应对策略】解填空题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求．数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫．要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究解题策略，尽量避开常规解法．解题的基本方法一般有：①直接求解法；②数形结合法；③特殊化法(特殊值法、特殊函数法、特殊角法、特殊数列法、图形特殊位置法、特殊点法、特殊方程法、特殊模型法)；④整体代换法；⑤类比、归纳法；⑥图表法等．考查以集合为背景的试题【例1】►(2012·南通模拟)已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，则∁U(A∪B)＝________.解析易得A∪B＝A＝{1,3,9}，则∁U(A∪B)＝{5}．答案{5}【例2】►已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．解析A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，故满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数即为集合{3,4}的子集个数22＝4(个)．答案 4解题方法技巧：直接求解法直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的一种解题方法．它是解填空题常用的基本方法，使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法．【突破训练1】 若A ＝{x ∈R ||x |＜3}，B ＝{x ∈R |2x ＞1}，则A ∩B ＝________. 解析 因为A ＝{x |－3＜x ＜3}，B ＝{x |x ＞0}，所以A ∩B ＝{x |0＜x ＜3}． 答案 {x |0＜x ＜3}【例3】► 设集合A ＝{(x ，y )⎪⎪x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，则A ∩B 的子集的个数是________．解析 画出椭圆x 24＋y 216＝1和指数函数y ＝3x 图象，可知其有两个不同交点，记为A 1，A 2，则A ∩B 的子集应为∅，{A 1}，{A 2}，{A 1，A 2}共四种．答案 4【例4】► A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }．若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析 由|x －a |＜1得－1＜x －a ＜1，即a －1＜x ＜a ＋1.如图，要使A ∩B ＝∅成立，由图可知a ＋1≤1或a －1≥5，所以a ≤0或a ≥6.答案 a ≤0或a ≥6 解题方法技巧：数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果．数形结合，能使抽象的数学问题转化成直观的图形，使抽象思维和形象思维结合起来．这种思想是近年来高考的热点之一，也是解答数学填空题的一种重要策略．【突破训练2】 已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为________．解析 集合A 表示由圆x 2＋y 2＝1上所有点组成的集合，集合B 表示直线x ＋y ＝1上所有点的集合，∵直线过圆内点⎝⎛⎭⎫12，12，∴直线与圆有两个交点，即A ∩B 的元素个数为2.答案 2【突破训练3】 设集合A ＝{(x ，y )|x ＋a 2y ＋6＝0}，B ＝{(x ，y )|(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的值为________．解析 由A ，B 集合的几何意义可知，A ，B 集合表示的是两条直线，A ∩B ＝∅，则两直线平行，故a －21＝3a a 2≠2a6，解得a ＝－1，又经检验a ＝0时也满足题意．答案 0或－1 考查复数的运算【示例】► (2012·南京、盐城模拟)已知复数z 满足(2－i)z ＝5i(其中i 为虚数单位)，则复数z 的模是________．解析 |(2－i)z |＝|5i|，即5|z |＝5，解得|z |＝ 5. 答案5解题方法技巧：直接求解法(1)给出的复数是一个算式时，都是要把复数化简为a ＋b i 形式，再求参数.(2)已知复数的特征求参数时，要列出特征的充要条件，直接求解参数.【突破训练】 如果复数2－b i1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于________．解析 2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(2－2b )－(b ＋4)i 5，由题意得2－2b ＝b ＋4，解得b ＝－23.答案 b ＝－23考查抽样方法与总体分布的估计【示例】► 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，抽取了总成绩介于350分到650分之间的10 000名学生成绩，并根据这10 000名学生的总成绩画了样本的频率分布直方图(如图)，则总成绩在[400,500)内共有________人．解析 由频率分布直方图可求得a ＝0.005，故[400,500)对应的频率为(0.005＋0.004)×50＝0.45，相应的人数为4 500(人)．答案 4 500解题方法技巧：图表法先识别图表类型，然后借助图表提供的信息进行解题的一种方法，本例中的图表应注意以下几点：(1)样本的频率分布直方图中，小长方形的面积之和为1.(2)要注意纵轴数据是：频率/组距．(3)小矩形的面积就是表示相应各组的频率．【突破训练】某个容量为N的样本频率分布直方图如右图所示，已知在区间[4,5)上频数为60，则N＝________.解析组距为1，在区间[4,5)上频率为1－0.4－0.15－0.10－0.05＝0.3，在区间[4,5)上频数为60，则60N＝0.3⇒N＝200.答案200考查古典概型与几何概型【例1】►(2012·南京、盐城模拟)若将一颗质地均匀的骰子(各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷两次，向上的点数依次为m，n，则方程x2＋2mx＋n＝0无实数根的概率是________．解析共有36种等可能基本事件，其中要求方程x2＋2mx＋n＝0无实根，即m2＜n的事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共7个基本事件，因此所求概率为736.答案7 36命题趋势：古典概型和几何概型是填空题考查的重点，在知识网络交汇处设计试题是高考命题的新特点和大方向，如将概率问题与函数、方程、数列、不等式及几何等问题交叉渗透，考查学生处理信息的能力和综合运用数学知识分析、解决问题的能力.【突破训练1】(2012·南通模拟)豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D ，决定矮的基因记为d ，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd ，若第二子代的D ，d 的基因遗传是等可能的(只要有基因D 则其就是高茎，只有两个基因全是d 时，才显示矮茎)，则第二子代为高茎的概率为________．【突破训练1】 解析 第二子代的一对基因的所有等可能情形为DD ，Dd ，dD ，dd ，其中高茎的有DD ，Dd ，dD 共3种，则所求概率为34.答案 34【例2】► 已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________．解析 分别画出两个集合表示的区域如图可知S Ω＝12×6×6＝18，S A ＝12×4×2＝4，由几何概型概率计算可得P ＝S A S Ω＝418＝29.答案 29解题方法技巧：图形法,图形法解题是解决几何概型问题的一种常见方法，根据条件画出所求事件所满足的图形，然后利用几何概型中，事件的概率计算公式求解.通常是构成事件A 的区域长度(面积、体积)与试验的全部结果所构成的区域长度(面积、体积)的比.【突破训练2】 已知平面区域Ω＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}，M ＝{(x ，y )|x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1}，若在区域Ω上随机投一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为________．【突破训练2】 解析 满足约束条件x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0的区域为△ABO 内部(含边界)，与单位圆x 2＋y 2＝1的公共部分如图中阴影部分所示，则点P 落在区域M 内的概率为P ＝S MS 单位圆＝12π. 答案 12π考查流程图与伪代码【示例】►(2012·南京、盐城模拟)根据如图所示的流程图，若输入x的值为－7.5，则输出y的值为________．解析当x＝－7.5时，运行一次，x＝－5.5，继续循环，直到x＝0.5时跳出循环，此时y＝－1.答案－1命题趋势：算法是新课标的新增内容，已成为高考考查的热点，考查侧重于对变量赋值的理解，对循环结构的运用，阅读流程图，说明算理与算法.由于算法与其它知识之间有较强的联系，所以算法与知识的结合是高考的热点，同时也体现了算法的工具性.【突破训练】(2012·南通模拟)如图，N i表示第i个学生的学号，G i表示第i个学生的成绩，已知学号在1～10的学生的成绩依次为401,392,385,359,372,327,354,361,345,337，则打印出的第5组数据是________．解析 打印出的第5组数据是学号为8号，且成绩为361，故结果是8,361. 答案 8,361考查命题真假的判断【示例】► 对于△ABC ，有如下四个命题： ①若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形； ②若sin B ＝cos A ，则△ABC 是直角三角形； ③若sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，则△ABC 是钝角三角形； ④若a cos A 2＝b cos B 2＝c cos C 2，则△ABC 是等边三角形．其中正确的命题个数是________．解析 ①不对，可能2A ＋2B ＝π；②不对，如B ＝120°，A ＝30°；③不对，仅能说明C 为锐角；④对，由正弦定理可得sin A 2＝sin B 2＝sin C2，即A ＝B ＝C .答案 1解题方法技巧：特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数、或特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．【突破训练】 有四个关于三角函数的命题：p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12；p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：∀x ∈[0，π],1－cos 2x 2＝sin x ；p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2.其中假命题的是________． 解析 p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12是假命题；p 2是真命题，如x ＝y ＝0时成立；p 3是真命题，∵∀x ∈[0，π]，sin x ≥0，∴1－cos 2x2＝sin 2x ＝|sin x |＝sin x ；p 4是假命题，如x ＝π2，y ＝2π时，sin x ＝cos y ，但x ＋y ≠π2. 答案 p 1，p 4 考查充分必要条件【示例】► (2012·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，“直线y ＝x ＋b ，b ∈R 与曲线x ＝1－y 2相切”的充要条件是“________”．解析 易得|b |2＝1，且b ＜0，即b ＝－ 2. 答案 b ＝－ 2解题方法技巧：分析推理法要理解必要不充分条件、充分不必要、充分必要条件的意义，准确判断命题之间的相互关系．如果p ⇒q ，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；如果p ⇒q 且q ⇒/ p ，p 是q 的充分而不必要条件；如果p ⇒/ q 且q ⇒p ，p 是q 的必要而不充分条件，如果p ⇔q ，p 是q 的充分必要条件．【突破训练】 已知a ∈R ，则“a ＞2”是“a 2＞2a ”成立的______条件． 考查空间几何体的面积、体积的计算解析 a ＞2可以推出a 2＞2a ；a 2＞2a 可以推出a ＞2或a ＜0不一定推出a ＞2.所以“a ＞2”是“a 2＞2a ”的充分不必要条件．答案 充分不必要【例1】► (2012·南通模拟)设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为________． 解析 法一 设正四棱锥的底面边长为x ，则体积V ＝13x 21－x 22＝26x 4(2－x 2)，记y ＝t 2(2－t )，t ＞0，利用导数可求得当t ＝43时，y max ＝3227，此时V max ＝4327；法二 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为θ，则V ＝13×2cos 2θ×sin θ＝23(1－sin 2θ)×sin θ，0＜θ＜π2，记y ＝(1－t 2)t,0＜t ＜1，利用导数可求得当t ＝33时，y max ＝239，此时V max ＝4327.答案4327【例2】► 有一个各条棱长均为a 的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能剪裁，但可以折叠，则包装纸的最小边长是________．解析 如图，是某正四棱锥的平面展开图，等腰△ABC 的底边BC 即为所求正方形包装纸的边长的最小值，由余弦定理得BC ＝a 2＋a 2－2a 2cos 150°＝6＋22a . 答案6＋22a 解题方法技巧：图形分析、直接计算法,(1)通过分析图形元素之间的数量关系，建立数学模型，求出计算面积或体积所需要的相关要素.,(2)利用平面展开图求空间几何体的面积是常用方法.,(3)等体积法是处理体积问题的常用方法.【突破训练】 (2012·南通模拟)某圆锥的侧面展开图是半径为1 cm 的半圆，则该圆锥的体积是________cm 3.解析 设圆锥的底面圆的半径为r ，高为h ，则由2πr ＝π得r ＝12，h ＝12－⎝⎛⎭⎫122＝32，所以该圆锥体积V ＝13π×⎝⎛⎭⎫122×32＝3π24； 答案3π24考查三角求值问题【示例】► 若cos αcos(α＋β)＋sin αsin(α＋β)＝－35，β是第二象限的角，则tan 2β＝________.解析 ∵cos αcos(α＋β)＋sin αsin(α＋β)＝cos(α＋β－α)＝cos β＝－35，且β是第二象限的角，∴sin β＝45，tan β＝－43，所以tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝247.答案247命题趋势：两角和与差的正弦、余弦和正切在高考中要求为C 级，故这部分内容及与其相关的内容要予以高度重视，它们将是今后高考命题的热点.【突破训练】 若sin ⎝⎛⎭⎫π4－2α＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋2α＝________. 解析 ∵⎝⎛⎭⎫π4－2α＋⎝⎛⎭⎫5π4＋2α＝3π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋2α＝sin ⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫π4－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4－2a ＝±45. 答案 ±45考查三角函数的图象与性质【示例】► 如图所示为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，π2≤φ≤π)的部分图象，其中A ，B两点之间的距离为3，那么f (－1)＝________.解析 由函数图象求解析式，再求函数值．由A ，B 两点之间的距离为3得T2＝3⇒T ＝6＝2πω⇒ω＝π3，又f (0)＝2sin φ＝1，且π2≤φ≤π，所以φ＝56π，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋5π6， 故f (－1)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋5π6＝2sin π2＝2. 答案 2解题方法技巧：由图象挖掘性质三角函数的图象与性质具有密不可分的关系，如振幅A 、最大值、最小值、周期、单调性、奇偶性、对称性等重要性质都在图象上有所反映，要充分利用图象研究三角函数性质．【突破训练】 若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离是32，则实数ω的值是________．解析 由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的相邻两个对称中心间的距离是32，得函数周期为3，故2πω＝3，解得ω＝2π3.答案2π3考查解三角形问题【示例】► 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，或a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________.解析 由sin C ＝23sin B 及正弦定理得c ＝23b ，代入a 2－b 2＝3bc 得a 2－b 2＝3b ·23b ＝6b 2，即a 2＝7b 2，又c 2＝12b 2，由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝643＝32，又A ∈(0°，180°)，所以A ＝30°. 答案 30°命题趋势：解三角形时考题灵活多样，要熟练运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程进而求解，最后还要检验是否符合题意.【突破训练】 在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，则AB 的长为________．解析 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12，所以∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°；在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，所以AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10 sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.答案 5 6 考查函数零点问题【例1】► 函数f (x )＝11－2x－2sin 2πx ，x ∈[－1,2]所有的零点之和等于________．解析 作出两个函数的图象如图，由图象可知，函数y ＝11－2x与y ＝2sin 2πx ，x ∈[－1,2]的图象有8个交点，两两关于点A ⎝⎛⎭⎫12，0对称，所以每两个对称点的横坐标之和为1，故所有交点的横坐标之和为1×4＝4.答案 4解题方法技巧：数形结合在函数零点中的应用方程根的个数的判断、已知方程根的个数，确定参数的取值范围，或者利用二分法确定函数的零点所在的区间都可能成为考点，尤其是利用数形结合解决与方程根的个数有关的问题更加是重要考点，要正确应用数形结合将函数零点、方程的根、图象交点横坐标三者之间相互转化．【突破训练1】 若函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数F (x )＝f (x )－|log 4x |的零点个数为________．解析 根据条件作出函数f (x )，y ＝|log 4x |，x ＞0的图象，由两个函数图象的交点个数确定函数零点个数．因为f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数，f (x )的周期为2，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，在同一坐标系中作出函数f (x )，y ＝|log 4x |，x ＞0的图象如图，由图象可知，交点个数是4，即F (x )的零点个数为4.答案 4【例2】► 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0.若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．解析 画出函数图象，利用数形结合的方法求解．若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，即函数y ＝f (x )与y ＝x ＋a 的图象有两个不同的交点，由图象可知a ＜1.答案 (－∞，1)命题趋势：对分段函数的考查正逐步成为热点，讨论分段函数的零点也成为趋势，主要考查应用数形结合的方法确定方程根的个数、参数的取值范围等.在高考中的题型是填空题，难度可以中档题或难题要求对基本函数的图象熟练掌握.【突破训练2】 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞02x ＋1，x ≤0的零点个数是________．解析 根据条件分x ＞0和x ≤0分别求零点．当x ≤0时，函数f (x )有1个零点－12；作出函数y ＝ln x ，y ＝x 2－2x ，x ＞0的图象，可知两个函数图象有2个交点，即x ＞0时函数f (x )有2个零点，故函数f (x )有3个零点．答案 3 考查函数的性质【例1】► (2012·苏州调研)已知函数f (x )＝bx ＋cax 2＋1(a ，b ，c ∈R ，a ＞0)是奇函数，若f (x )的最小值为－12，且f (1)＞25，则b 的取值范围是________．解析 由函数f (x )＝bx ＋c ax 2＋1(a ，b ，c ∈R ，a ＞0)是奇函数得c ＝0，所以f (x )＝bxax 2＋1(a ＞0)，当x ＜0时，f (x )＝bax ＋1x ≥b －2a (a ＞0)，所以f (x )的最小值为b －2a ＝－12⇒a ＝b 2，所以f (1)＝b b 2＋1＞25⇒2b 2－5b ＋2＜0⇒12＜b ＜2.答案 12＜b ＜2命题趋势1：新颖的具体函数的性质,由基本初等函数构成的一些新颖函数的性质是函数性质的命题趋势之一，解题方法是根据函数的概念、性质等建立不等式或方程求解，很多时候画出函数图象可以帮助直观解题.【突破训练1】 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f (2)＝0，则不等式3f (－x )－2f (x )5x≤0的解集为________．解析 由奇函数的定义化简解析式，再利用分类讨论的方法解不等式．因为函数f (x )是奇函数，所以3f (－x )－2f (x )5x ＝－3f (x )－2f (x )5x ＝－f (x )x ≤0，⇔⎩⎨⎧x ＞0，f (x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，f (x )≤0，又奇函数f (x )在(0，＋∞)上递减，f (2)＝0，所以在(－∞，0)上递减，f (－2)＝0，作出函数f (x )的大致示意图可得原不等式的解集为[－2,0)∪(0,2]．答案 [－2,0)∪(0,2]【例2】► 定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是偶函数，给出下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f (x )关于直线x ＝1对称；③f (x )是[0,1]上的增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (2)＝f (0)．以上命题中正确的是________．(写出所有正确命题的编号)解析 由f (x ＋1)＝－f (x )＝f (x －1)，得函数f (x )是周期为2的周期函数，故①正确；因为f (2－x )＝f (1＋1－x )＝－f (1－x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )关于x ＝1对称，故②正确；因为f (x )是偶函数，且[－1,0]递增，周期是2，所以在[0,1]上递减，在[1,2]上递增，故③④均错误，⑤正确，故正确的是①②⑤.答案 ①②⑤命题趋势2：抽象函数性质的考查,没有提供解析式的函数通常称为抽象函数，这类函数的性质一般比较抽象，对能力要求较高，需要对函数性质有比较清楚的理解，可以借助函数图象直观解题.【突破训练2】 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1]上递增，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析 由条件可得f (x ＋1)＝－f (x )＝f (x －1)，所以函数f (x )周期为2，b ＝f (2)＝f (0)，c ＝f (3)＝f (1)，而函数f (x )在[0,1]上递增，所以f (0)＜f ⎝⎛⎭⎫12＜f (1)，即c ＞a ＞b .答案 c ＞a ＞b考查指数、对数函数问题【示例】► 已知函数f (x )＝lg (3－ax )a －1在区间(0,1]上是单调递减函数，则实数a 的取值范围是________．解析 a ＞1时a －1＞0,3－ax 递减，∴f (x )递减，由3－ax ＞0在(0,1]内恒成立得3a ＞1∴1＜a ＜3；0＜a ＜1时a －1＜0，3－ax 递减，∴f (x )递增，不合题意；a ＜0时，a －1＜0,3－ax 递增，∴f (x )递减，此时3－ax ＞0在(0,1]内恒成立；a ＝0或a ＝1时均不合题意，故a 的取值范围是a ＜0或1＜a ＜3.答案 (－∞，0)∪(1,3)命题趋势：指数、指数函数与对数、对数函数在高考中都是B 级要求，主要考查指数函数、对数函数的概念、性质，试题难度中等偏下.【突破训练】 已知定义在[1，＋∞)上的函数f (x )＝⎩⎨⎧4－8⎪⎪⎪⎪x －32，1≤x ≤2，12f ⎝⎛⎭⎫x 2，x ＞2，给出下列结论：①函数f (x )的值域为[0,4]；②关于x 的方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫12n(n ∈N *)有2n ＋4个不相等的实数根；③当x ∈[2n－1,2n ](n ∈N ＋)时，函数f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝2；④存在x 0∈[1,8]，使得不等式x 0f (x 0)＞6成立；其中正确结论的序号有________．解析 由题意画出函数f (x )的部分图象如图，由图象可知，函数f (x )的值域为[0,4]，故①正确；当n ＝1时，关于x 的方程f (x )＝12有7个不相等的实数根，故②错误；当x ∈[2n －1,2n ](n∈N ＋)时，函数f (x )的图象与x 轴围成的图形是三角形，高为23－n ，所以面积S ＝12×2n －1×23－n ＝2，故③正确；由图象可知不等式f (x )＞6x在[1,8]上无解，故④错误．答案 ①③考查导数的几何意义与运算【示例】► 设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·x 3…x 2 012的值为________．解析 先求出切线方程，令y ＝0，得x n ，再求乘积．因为y ′＝(n ＋1)x n ，所以在点(1,1)处的切线斜率为n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x n ＝n n ＋1，所以x 1·x 2·x 3…x 2012＝12×23×34×…×2 0122 013＝12 013. 答案12 013命题趋势：导数的几何意义与其它知识的综合,导数的运算与其它知识的综合是常见考题，可以将导数的几何意义与数列、方程、不等式恒成立、基本不等式等知识综合，考查等价转化、函数与方程、分离参数等数学思想方法.【突破训练】 已知M 是曲线y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x 上任意一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角是均不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是________．解析 设M (x ，y )(x ＞0)，因为在M 点处切线的倾斜角的范围是⎣⎡⎭⎫π4，π2，所以切线的斜率是[1，＋∞)，即y ′＝1x ＋x ＋1－a ≥1，x ∈(0，＋∞)恒成立，分离参数得a ≤1x ＋x ，x ∈(0，＋∞)恒成立，所以a ≤⎝⎛⎭⎫1x ＋x min ，x ∈(0，＋∞)时，由基本不等式得1x＋x ≥2，所以a ≤2. 答案 (－∞，2]考查利用导数解决函数的极值与最值【示例】► 设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．解析 利用导数将问题转化为导函数在(0，＋∞)有零点，再利用分离参数的方法求解．由条件可得y ′＝e x ＋a ＝0在(0，＋∞)有解，所以a ＝－e x ＜－1.答案 (－∞，－1)解题方法技巧：分离参数法,导数经常与函数有极值点、不等式恒成立等综合应用，函数有极值点等价转化为导函数等于0有解，而不等式恒成立又是通过分离参数转化为函数最值，体现了导数的工具作用.【突破训练】 设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意可知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6＝0有两个不等实根，所以Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)＞0，解得a ＜－3或a ＞6.答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞) 考查不等式的求解【示例】► 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，3x －2，x ＞0，若|f (x )|≥ax 在x ∈[－1,1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析 当x ∈[－1,0]时，|f (x )|＝2－x 2≥ax ，所以a ≥⎝⎛⎭⎫2x －x max ＝－1；当x ∈(0,1]时，|f (x )|＝|3x －2|≥ax 恒成立，作出图象即可得a ≤0，所以对x ∈[－1,1]上恒成立时，实数a 的取值范围是[－1,0]．答案 [－1,0]命题趋势：分段函数与不等式,分段函数是函数的热点问题，将分段函数与解不等式、不等式恒成立等综合又是最新命题点，需要利用分段函数的解析式将问题转化为一般不等式问题，注意何时取交集、并集.【突破训练】 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________．解析 当x ≤1时，解21－x ≤2得0≤x ≤1，当x ＞1时，解1－log 2x ≤2得x ≥12，得x ＞1，因此，满足f (x )≤2的x 的取值范围是x ≥0.答案 [0，＋∞) 考查基本不等式的应用【示例】► 已知函数y ＝a 2x －4＋1(a ＞0，a ≠1)的图象过定点A ，且点A 在直线x m ＋y n ＝1(m＞0，n ＞0)上，则m ＋n 的最小值为________．解析 因为函数y ＝a 2x －4＋1恒过点(2,2)，所以(2,2)在直线x m ＋yn＝1(m ＞0，n ＞0)上，所以2m ＋2n ＝1(m ＞0，n ＞0)，故(m ＋n )⎝⎛⎭⎫2m ＋2n ＝4＋2n m ＋2m n ≥8，当且仅当2n m ＝2mn ，即m ＝n ＝4时，m ＋n 取得最小值8.答案 8解题方法技巧：构造法,分析已知与所求之间的关系，利用“1”的代换构造基本不等式使用的条件，进而利用基本不等式求最值.【突破训练】 设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 考查简单的线性规划问题解析 由于1＝4x 2＋y 2＋xy ≥2×2xy ＋xy ＝5xy ，即xy ≤15，当且仅当2x ＝y ＝105时xy 取得最大值15，此时2x ＋y 也取得最大值105＋105＝2105.答案2105【例1】► (2012·扬州期末检测)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，x ＋y －4≤0，则2x －y 的最小值为________．解析 作出不等式组对应的平面区域如图，将斜率为2的直线平移，当经过点(0,0)时，目标函数取得最小值0.答案 0【例2】► 设实数x ，y 满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝x ＋yx的取值范围是________．解析 不等式组对应的可行域如图，u ＝1＋y x ，过图中点(3,1)时，u min ＝1＋13＝43，过图中点(1,2)时，u max＝1＋2＝3，故u的取值范围是⎣⎡⎦⎤43，3.答案⎣⎡⎦⎤43，3命题趋势：线性规划与其它知识的综合,将线性规划与函数、导数、不等式等知识的综合，为线性规划的考查注入了新的活力，成为又一知识交汇点，需要根据相关知识逐个突破.同时，在约束条件或者目标函数中含有参数，也是线性规划的一个热点.【突破训练】已知函数f(x)＝13x3＋12ax2＋bx＋c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈(－1,0)，x2∈(0,1)，则a＋2b＋4a＋2的取值范围是________．解析由条件可得f′(x)＝x2＋ax＋b＝0的一个实根在(－1,0)，一个实根在(0,1)上，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a＋b＞0，b＜0，1＋a＋b＞0，对应的可行域如图中三角形区域(不含边界)，目标函数即为a＋2＋2b＋2a＋2＝1＋2×b＋1a＋2，其中b＋1a＋2的几何意义是可行域上的点(a，b)与点(－2，－1)的连线的斜率，由图可知b＋1a＋2∈(0,1)，故a＋2b＋4a＋2∈(1,3)．答案(1,3)考查平面向量的运算与应用【例1】►如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，CM→＝MD→，ND→＝2BN→，则AM→·AN→＝________.解析利用向量的线性运算、数量积运算的定义求解．因为AM→＝AD→＋12AB→，AN→＝AD→＋23DB→＝AD→＋23(AB→－AD→)＝23AB→＋13AD→，所以AM→·AN→＝⎝⎛⎭⎫AD→＋12AB→·⎝⎛⎭⎫13AD→＋23AB→＝23＋56×12＝1312.答案1312【例2】► 已知AB →＝(－4,2)，C (2，a )，D (b,4)是平面上的两个点，O 为坐标原点，若OC →∥AB →，且OD →⊥AB →，则CD →＝________.解析 利用向量平行、垂直的条件建立方程解出a ，b ，再求CD →.因为OC →∥AB →⇔2×2－(－4a )＝0⇔a ＝－1，OD →⊥AB →⇔－4b ＋2×4＝0⇔b ＝2，所以C (2，－1)，D (2,4)，故CD →＝(0,5)．答案 (0,5)命题趋势：平面向量的数量积在高考中的要求为C 级.目前，小题大多考查平面向量的基础知识，如2011，2012年都是有关平面向量数量积的运算问题.【突破训练】 如图，在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝4，若P 为CD 的中点，则P A →·PB →的值为________．解析 建立坐标系，应用坐标运算求数量积．以点A 为坐标原点，AD 、AB 所在直线为x 、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0，4)，C (2,4)，D (4,0)，P (3,2)，所以P A →·PB →＝(－3，－2)·(－3,2)＝5.答案 5考查推理与证明【示例】► 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．解析 该题简单考查平面到空间的类比推理以及空间想象能力，由平面到空间类比面积如果为平方一般体积即为对应的立方，因此，应该填a 38.答案 a 38解题方法技巧：类比推理法合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式，这种推理在由部分得到整体时要符合问题的发展规律，得到的整体结论不但要涵盖已知的部分的结论，而且符合部分结论的自然推广；类比推理是由此及彼的推理模式，这种推理模式是由彼此类似的两类事物，其中一种事物具有某些性质，从而得到另一种事物也具有一些性质，这种推理得到的结论也应该合乎“情理”．解决合情推理问题要重视这个“合情性”的要求，并借助于演绎推理对得到的结论进行一般性的证明．【突破训练】 在平面中△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AECS △BEC＝ACBC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A -BCD 中，平面DEC 平分二面角A -CD -B 且与AB交于E ，则类比的结论为________．解析 此类问题由平面类比空间，应该面积类比体积，长度类比面积，由S △AEC S △BEC ＝ACBC ，类比得V A -CDEV B -CDE ＝S △ACD S △BDC.答案V A -CDEV B -CDE ＝S △ACD S △BDC考查等差数列与等比数列【例1】► (2012·苏北四市质量检测)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，。
