高考数学培优专题库教师版 第53讲创新型问题

第五十三讲创新型问题 A组 一、选择题

1. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下： 当ab时，aba； 当ab时，abb2。 则函数fxxxxx()()()1222·，的最大值等于（ ） （“·”和“－”仍为通常的乘法和减法） A. 1 B. 1 C. 6 D. 12 解析： A中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B中12＝0.5不是整数，即

整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中222不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C。 2.对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( ) A．f(x)＝x B．f(x)＝x2 C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1) 解析：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a-x），则称f（x）为准偶函数，∴函数的对称轴是x=a，a≠0， 选项A函数没有对称轴；选项B、函数的对称轴是x=0，选项C，函数没有对称轴． 函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项D正确． 故选： D

3、给出函数)(xf的一条性质：“存在常数M，使得|||)(|xMxf对于定义域中的一切实数x均成立。”则下列函数中具有这条性质的函数是 （ ）

A．xy1 B．2xy C．1xy D．xxysin

解析：看函数()fxx丨丨是否有最大值，只有D正确 4、设)(xf，)(xg都是定义在实数集上的函数，定义函数))((xgf：Rx，

))(())((xgfxgf．若.0 ,,0 , )(2xxxxxf，.0 ,ln,0 , )(xxxexgx，则

A．)())((xfxffB．)())((xfxgf C．)())((xgxfgD．)())((xgxgg 解析：对于A，因为.0 ,,0 , )(2xxxxxf，所以当x＞0时，f（f（x））=f（x）=x；当x≤0时，f（x）=x2≥0，特别的，x=0时x=x2，此时f（x2）=x2，

所以()()ffx.0 ,,0 , )(2xxxxxf，故A正确；

对于B，由已知得（f•g）（x）=f（g（x））=2 , 0,(ln), 0<1ln,x1xexxxx，0故B错误；

对于C，由已知得（g•f）（x）=g（f（x））=2ln , 0,1, 0ln,x0xxxx，显然不等于g（x），故C错误； 对于D，由已知得（g•g）（x）= , 1,ln(ln), 1.xxxx，显然不等于g（x），故D错误． 故选A． 5、x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为( ) A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数 解析：本题主要考查函数的图像和性质．当x∈[0,1)时，画出函数图像(图略)，再左右扩展知f(x)为周期函数．故选D. 二、填空题

6、现定义一种运算“”： 对任意实数ba,， 1,1,baababba。设)3()2()(2xxxxf，若函数kxfxg)()(的图象与x轴恰有三个公共点，则实数

k的取值范围是_________．

【解析】)3()2()(2xxxxf=23,142,14xxxxxx或， ∵函数f(x)的图象与轴恰有三个交点，)3()2()(2xxxxf的图像与y=-k的图像有三个交点，)3()2()(2xxxxf∴的图像如图所示， 根据图像得：，∴.实数k的取值范围是12， 7、若直线l与曲线C满足下列两个条件： (i)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(ii)曲线C在点P附近位于直线l的两侧．则称直线l在点P处“切过”曲线C. 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3； ②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2； ③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sin x； ④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tan x； ⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝ln x.

解析：对于①，由3yx，得23yx则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，∴命题①正确；

对于②，由2(1)yx，得2(1)yx，则y′|x=-1=0，而直线l：x=-1的斜率不存在，在点P（-1，0）处不与曲线C相切，∴命题②错误； 对于③，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，

又(,0)2x时x＜sinx，(0,)2x时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，∴命题③正确； 对于④，由y=tanx，得y′＝1cos2x，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切

线，又(,0)2x时tanx＜x，(0,)2x时tanx＞x，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，∴命题④正确；

对于⑤，由y=lnx，得1yx，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x-1， 由g（x）=x-1-lnx，得1()1gxx，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0， 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0． ∴g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．∴y=x-1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，命题⑤错误．∴正确的命题是①③④．

8. 对于三次函数32()fxaxbxcxd给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次

函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数32115()33212fxxxx，请你根据上面探究结果，计算1232012()f()f()....()2013201320132013ff

试题分析：由题意，2()3fxxx，所以2()3fxxx，()21fxx 令()0fx，解得12x，又1()12f所以函数的对称中心为1(,1)2， 所以1232012()f()f()....()20122013201320132013ff 三、解答题 9、先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：

已知Raa21,，121aa，求证212221aa， 证明：构造函数2221)()()(axaxxf 22212222121222)(22)(aaxxaaxaaxxf 因为对一切xR，恒有)(xf≥0，所以)(842221aa≤0,

从而得212221aa， （1）若Raaan,,,21，121naaa，请写出上述结论的推广式； （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。

解：（1）若Raaan,,,21，121naaa， 求证：nnaaa122221 (4) （2）证明：构造函数22221)()()()(naxaxaxxf (6) 22221212)(2nnaaaxaaanx (9) 2222122naaaxnx

(11) 因为对一切xR，都有)(xf≥0，所以△=)(4422221naaan≤0, 从而证得：nnaaa122221. (14)

10、设函数1,0()1(1),11xxaafxxaxa a 为 常数且a∈(0,1). (1) 当a=12时,求f(f(13)); (2) 若x0满足f(f(x0))= x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点,证明函数()fx有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2; (3)对于(2)中x1,x2,设A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为s(a),

求s(a)在区间[13,12]上的最大值和最小值. 【答案】解:(1)当12a=时,121222(),(())()2(1)333333ffff＝

(2222221,01(),(1)2)(())1(),1(1)1(1),11(1)xxaaaxaxaaaffxxaaxaaaxaaxaa 当20xa时,由21xxa解得x=0,由于f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点; 当2axa时由1()(1)axxaa解得21axaa2(,),aa 因222211()1111aaafaaaaaaaaa 故21axaa是f(x)的二阶周期点;