2019版高考数学(理)培优增分一轮全国经典版第2章 函数、导数及其应用 2-9

第2讲函数的表示法知能训练1.若f(x+2)=2x+3,则f(x) = ( )A. 2x+1B. 2x—1C. 2x—3D. 2%+712.已知代方=-^(无工±1),贝9()A. fg・ f( — x)=lB. f( — x)+f(x)=OC. f\x) • f\ — x) = —1D. f( —/)+f(x)=l3.(2017年安徽黄山质检)已知是一次函数，且代代力]=/+2,则f(x)=( )A. x~\~ 1B. 2x—1C. ~x+1D. x+1 或一x—14.下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是( )A. f\x) = |B. f{x)=x-\x\C. f^=x+\.D. f3=_x5.如图X2-2-l(l),在直角梯形力跑中，动点P从点B出发，由B-CfXA沿边运动,设点P运动的路程为x, AMP的面积为f(x).若函数y=f3的图象如图X2-2-K2), 则△九力的面积为()A. 10B. 32C. 18D. 166.若函数fg , gd)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f\x) 一财=£,则有() A.f(2)<f(3)<g(0) B. g(0)53)52)C. f(2)<g(0心(3)D. g(0)〈f(2)</*(3)27.己知函数f(x) =2*+] + sin 才，则f( —2) + f( —1) + f(0) + f(l) + f(2) = ___________ .8.(2016 年浙江)设函数f(x) =x +3#+l.已知日HO,且f{x)— /(a) = (x—b) (x—a)2fx丘R, 贝实数臼= ________ , b=_________ .窜质丹华9.根据条件求下列各函数的解析式：(1)已知fCr)是二次函数，若f(0)=0, f{x+1) = f(x) +x+1,求代v)的解析式;(2)已知求心的解析式；(3)己知f\x)满足2f(x) +4£)=3X,求f\x)的解析式.10.定义：如果函数y=f{x)在定义域内给定区间［曰,b］上存在xo(a<xo<H),满足fg) r A— f o= ------ ,则称函数y=f^)是［幼方］上的“平均值函数”，心是它的一个“均值点”.如尸=/是［—1,1］上的平均值函数，0就是它的均值点.(1)判断函数f(x) = -x2+^x在区间［0,9］上是否为平均值函数.若是，求岀它的均值点；若不是，请说明理由；(2)若函数#+/加+1是区I'可［―1, 1］上的平均值函数，试确定实数加的取值范围.第2讲函数的表示法 1. B 2. A3. A 解析：设 f(必=kx~\~b,则由 ] =x+2,可得 k(kx+b) +Z?=x+2,即&■ +kb+b=x+2. AA 2=1, kb+b=2.解得 k=\,力=1,则 f(x)=x+l.故选 A.4. C 解析：将f(2力表示出来，看与2f\x)是否相等.对于A, f(2x) = |2” =2|” = 2A%);对于 B, f<2x} =2x- 12^| =2 (x~ | ) =2f(x)；对于 C, f(2x) =2/+lH2f(Q ；对 于D, f(20=—2x=2f(0.故只有C 不满足f(2方=2fCr).故选C.5. D 解析：由y=f(x)的图象，得当x=4和x=9时，胪的面积相等，:・BC=4, BC+CD=g,即 CD=5.易知初=14一9 = 5.如图 D90,过点〃作 DEVAB 于点 £ •: Z 3=90° , :・DE=BC=4.在 Rt △必〃中，AE=pA#_DF=3. :.AB=AB'+E'B=3 + 5=S.1 1・・・ S^=-ABX BC=~X 8 X 4 = 16.6. D 解析：仁 _xf — x —g — x =e ,所以 f(2)=匸1，f(3)=—「，g(O)= — l ・ 显然 g(0)<f(2)〈f(3).故选 D.AO) =b ••• f(一2) + f(—1) + AO) +A1)+ A2) = 5.8. —2 1 解析：f{x) — =x+^x +1 —』一3/—1 = /+3,—3/, (x_D {x-2a-b=Z.— a) 2=x~ (2a+Z?) •(a 2+2atl) x — a b,所 a +2aA=0,2 i3 o 2 { — a b=_a ~5a.d — —2, b=1.9.解：⑴ 设 /(%) = ax + bx+ ,由 AO) =0,得 f{x) =ax +bx. 又由 f(x+l) =f(x)+x+l,得日(x+1)'+〃(/+1) =ax+bx+ x+1, 即 /+(2日+b)卄日+〃=/+(方+l)x+l.2臼+ b= b+1,* 日HO,・：曰=Z?=a+ b={.因此 f{x) =*#+*¥.7. 5解析:2*/ f(x) +/( — %) =2 ]+ sin ^4 2 2^+1sin 尸侖+2x+1 1+2”解得尸0(舍去)解得g =三二，如二咎.1 —x 1 — /*(2)t=-~,由此，得^=7—(t^-1).1 + x 1 + t从而fd)的解析式为/'(%)=・丄飞(好-1) • 1十X(3)・・・2fd)+£ = 3x,①・••把①中的x换成丄，得X2绘+f(心•②3① X2—②,得3/(A)=6X—•x・"3=2「卄0).10. ----------------------------------------------------------------------------- 解:(l)rtl定义知，关于的方程一#+心=——占------------------------------------------- 在(0, 9)±有实数根时, 函数fd) = —/+4尢是［0, 9］上的平均值函数.• I f — f而一x+4x=心不可解得山=5, &= — 1.又山=5丘(0, 9)［曲=—1年(0, 9),故舍去］,・・・f3 =—芒+心是［0, 9］上的平均值函数，5是它的均值点.(2) V f^=~x+mx+ \是［一1, 1］上的平均值函数，・・・关于x的方程一#+〃圧+1= —在(一1,1)内有实数根.由一x + mx-\-1 = : , 得”一mx-\-m—1=0.1 ——解得 =A2=l.又呈=1毎(一1, 1),:,x\ = m— 1 必为均值点，即-l<iw-l<l.・••所求实数m的取值范围是0〈冰2.。

2．10导数的概念及运算［知识梳理]1．变化率与导数（1）平均变化率(2）导数2．导数的运算[诊断自测] 1．概念思辨(1)f ′(x 0）与（f （x 0））′表示的意义相同．( )（2)f ′(x 0)是函数y ＝f （x ）在x ＝x 0附近的平均变化率．（ ) （3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（ ) （4）曲线y ＝f （x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P （x 0,y 0)的切线相同．（ ）答案 （1）× （2)× (3）× （4）×2．教材衍化(1）（选修A2－2P 6例1)若函数f (x ）＝2x 2－1的图象上一点（1，1)及邻近一点（1＋Δx,1＋Δy ），则Δy Δx 等于（ ）A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2（Δx ）2答案 C解析 Δy ＝(1＋Δy )－1＝f (1＋Δx ）－f (1）＝2(1＋Δx )2－1－1＝2（Δx )2＋4Δx ，∴错误!＝2Δx ＋4，故选C.（2）（选修A2－2P 18T 7）f （x ）＝cos x 在错误!处的切线的倾斜角为________． 答案错误!解析 f ′（x )＝（cos x )′＝－sin x ，f ′错误!＝－1， tan α＝－1，所以α＝3π4. 3．小题热身（1)（2014·全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln (x＋1）在点（0,0）处的切线方程为y＝2x,则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．3答案D解析y′＝a－错误!,当x＝0时，y′＝a－1＝2，∴a＝3，故选D.(2）（2017·太原模拟）函数f(x）＝x e x的图象在点(1，f（1))处的切线方程是________．答案y＝2e x－e解析∵f(x)＝x e x,∴f(1)＝e,f′（x)＝e x＋x e x，∴f′（1)＝2e，∴f(x）的图象在点(1，f（1))处的切线方程为y －e＝2e(x－1),即y＝2e x－e.题型1导数的定义及应用错误!已知函数f(x)＝错误!＋1，则错误!错误!的值为（）A．－错误! B.错误! C.错误!D．0用定义法．答案A解析由导数定义，错误!错误!＝－错误!错误!＝－f′(1),而f′（1)＝错误!，故选A。

板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．若f (x )＝e 2x ln 2x ，则f ′(x )＝( )A ．e 2x ln 2x ＋e 2x 2xB ．e 2x ln 2x ＋e 2x xC ．2e 2x ln 2x ＋e 2x xD ．2e 2x·1x 答案 C解析 f ′(x )＝(e 2x )′·ln 2x ＋e 2x ·(ln 2x )′＝2e 2x ln 2x ＋e 2x x .故选C.2．[2018·海南文昌中学模拟]曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x －1C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1答案 A解析 依题意得y ′＝(x ＋1)e x ＋2，则曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e 0＋2＝3，故曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1.故选A.3．[2018·大同模拟]已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4答案 A解析 ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1， ∴sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.4．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln (x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2答案 B解析 设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln (x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln (x 0＋a )．又曲线的导函数y ′＝1x ＋a ，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln (x 0＋a )，所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2.5．[2018·金版创新]已知f (x )＝－12x 2＋2xf ′(2017)＋2017ln x ，则f ′(1)＝( )A ．2016B ．6045C ．2017D ．6048答案 D解析 因为f ′(x )＝－x ＋2f ′(2017)＋2017x ，所以f ′(2017)＝－2017＋2f ′(2017)＋20172017，即f ′(2017)＝2017－1＝2016.故f ′(x )＝－x ＋2×2016＋2017x ，f ′(1)＝－1＋2×2016＋2017＝6048.故选D.6．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．1B ．2C ．5D ．－1答案 A解析 由题意可得3＝k ＋1,3＝1＋a ＋b ，则k ＝2.又曲线的导函数y ′＝3x 2＋a ，所以3＋a ＝2，解得a ＝－1，b ＝3，所以2a ＋b ＝1.故选A.7．[2018·上饶模拟]若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为( )A ．1 B. 2 C.22 D. 3答案 B解析 因为定义域为(0，＋∞)，所以y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1，则在P (1,1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2.8．[2015·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.答案 1解析 因为f (x )＝ax 3＋x ＋1，所以f ′(x )＝3ax 2＋1，所以f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2，所以切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，因为点(2,7)在切线上，所以7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.9．直线x －2y ＋m ＝0与曲线y ＝x 相切，则切点的坐标为________．答案 (1,1)解析 ∵y ＝x ＝x 12 ，∴y ′＝12x － 12 ，令y ′＝12x － 12 ＝12，则x ＝1，则y ＝1＝1，即切点坐标为(1,1)．10．[2018·江苏模拟]在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．答案 －3解析 由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)，得4a ＋b 2＝－5.①又y ′＝2ax －b x 2，所以当x ＝2时，4a －b 4＝－72，②由①②得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.[B 级 知能提升]1．[2018·南昌模拟]已知f (x )＝2e x sin x ，则曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为( )A ．y ＝0B ．y ＝2xC ．y ＝xD ．y ＝－2x答案 B解析 ∵f (x )＝2e x sin x ，∴f (0)＝0，f ′(x )＝2e x (sin x ＋cos x )，∴f ′(0)＝2，∴曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .2．曲线f (x )＝x 2＋a x ＋1在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为3π4，则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7答案 C解析 f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2， ∵f ′(1)＝tan 3π4＝－1，即3－a 4＝－1，∴a ＝7.3．[2018·陕西模拟]设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．答案 (1,1)解析 y ′＝e x ，则y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k ＝1，又曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线与y ＝e x 在点(0,1)处的切线垂直，所以y ＝1x(x ＞0)在点P 处的切线的斜率为－1，设P (a ，b )，则曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝a ＝－a －2＝－1，可得a ＝1，又P (a ，b )在y ＝1x 上，所以b ＝1，故P (1,1)．4．已知函数f (x )＝x －1＋a e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，求l 的直线方程．解 (1)f ′(x )＝1－a e x ，因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝1－a e ＝0，解得a ＝e.(2)当a ＝1时，f (x )＝x －1＋1e x ，f ′(x )＝1－1e x .设切点为(x 0，y 0)，∵f (x 0)＝x 0－1＋1e x 0＝kx 0－1，①f ′(x 0)＝1－1e x 0＝k ，②①＋②得x 0＝kx 0－1＋k ，即(k －1)(x 0＋1)＝0.若k ＝1，则②式无解，∴x 0＝－1，k ＝1－e.∴l 的直线方程为y ＝(1－e)x －1.5．[2018·苏州十校联考]设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得，y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.。

板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．函数y ＝x 4－4x ＋3在区间[－2,3]上的最小值为( ) A ．72 B ．36 C ．12 D ．0 答案 D解析 因为y ′＝4x 3－4，令y ′＝0即4x 3－4＝0，解得x ＝1.当x <1时，y ′<0，当x >1时，y ′>0，在区间[－2,3]上只有一个极值点，所以函数的极小值为y |x ＝1＝0，所以y min ＝0.2．[2018·南阳模拟]已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(1，＋∞) B ．(0,1)和(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1,2)答案 C解析 函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x ＝(x －2)(2x －1)x＞0，解得0＜x ＜12或x ＞2，故函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，12，(2，＋∞)． 3．[2018·无锡模拟]设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 答案 D解析 f ′(x )＝(x ＋1)e x ，当x ＜－1时，f ′(x )＜0，当x ＞－1时，f ′(x )＞0，所以x ＝－1为f (x )的极小值点．故选D.4．若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上恰好有( ) A ．0个零点B ．1个零点C ．2个零点D ．3个零点答案 B解析 ∵f ′(x )＝x 2－2ax ，且a >2， ∴当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0， 即f (x )在(0,2)上是单调减函数． 又∵f (0)＝1>0，f (2)＝113－4a <0， ∴f (x )在(0,2)上恰好有1个零点．故选B.5．[2018·珠海模拟]设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )＞g ′(x )，则当a ＜x ＜b 时，有( )A ．f (x )＞g (x )B ．f (x )＜g (x )C ．f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b ) 答案 C解析 ∵f ′(x )＞g ′(x )，∴[f (x )－g (x )]′＞0. ∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数． ∴f (a )－g (a )＜f (x )－g (x )． 即f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )．6．已知函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k >0)．(1)若f (x )的单调递减区间是(0,4)，则实数k 的值为________； (2)若f (x )在(0,4)上为减函数，则实数k 的取值范围是________． 答案 (1)13 (2)⎝⎛⎦⎥⎤0，13 解析 (1)f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ，由题意知f ′(4)＝0，解得k ＝13.(2)由f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ≤0并结合导函数的图象可知，必有－2(k －1)k ≥4，解得k ≤13.又k >0，故0<k ≤13.7．若函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2)＝2，f ′(x )>1，则不等式f (x )－x >0的解集为________．答案 (2，＋∞) 解析 令g (x )＝f (x )－x ， ∴g ′(x )＝f ′(x )－1.由题意知g ′(x )＞0，∴g (x )为增函数． ∵g (2)＝f (2)－2＝0，∴g (x )＞0的解集为(2，＋∞)．8．[2018·西宁模拟]若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－19，＋∞解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.9．[2018·广西模拟]已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值． 解 (1)由题意知f ′(x )＝(x －k ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1. f (x )与f ′(x )随x 的变化情况如下：1，＋∞)．(2)当k －1≤0，即k ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k－1<1，即1<k<2时，f(x)在[0，k－1]上单调递减，在[k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当1<k<2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.10．[2018·金华模拟]函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝1处取得极值．(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．解(1)f′(x)＝a＋ln x＋1，f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，当a＝－1时，f(x)＝－x＋x ln x，即f′(x) ＝ln x，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1.∴f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为f(x)＝m＋1在(0，＋∞)内有两个不同的根，也可转化为y＝f(x)与y＝m ＋1的图象有两个不同的交点，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min ＝f(1)＝－1，由题意得，m＋1>－1即m>－2，①当0<x<1时，f(x)＝x(－1＋ln x)<0；当x>0且x→0时，f(x)→0；当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞(或者举例：当x＝e2时，f(e2)＝e2＞0)．如图，由图象可知，m＋1＜0，即m＜－1，②由①②可得－2＜m＜－1.故m的取值范围为(－2，－1)．[B级知能提升]1．[2016·四川高考]已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A．－4 B．－2 C．4 D．2答案 D解析由题意可得f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，则f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：∴函数f(x)在x＝2处取得极小值，则a＝2.故选D.2．[2018·山东师大附中检测]已知函数f(x)＝x e x，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若∃x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，＋∞ B ．[－1，＋∞)C ．[－e ，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1e ，＋∞ 答案 D解析 f ′(x )＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，当x >－1时，f ′(x )>0，函数单调递增；当x <－1时，f ′(x )<0，函数单调递减．所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值即最小值，f (－1)＝－1e .函数g (x )的最大值为a .若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则有g (x )的最大值大于或等于f (x )的最小值，即a ≥－1e .故选D.3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )＝5＋cos x ，x ∈(－1,1)，且f (0)＝0，如果f (1－x )＋f (1－x 2)<0，则实数x 的取值范围为________．答案 (1，2)解析 ∵导函数f ′(x )是偶函数，且f (0)＝0，∴原函数f (x )是奇函数，∴所求不等式变形为f (1－x )＜f (x 2－1)，∵导函数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，又f (x )的定义域为(－1,1)，∴－1<1－x <x 2－1<1，解得1<x <2，∴实数x 的取值范围是(1，2)．4．[2018·沈阳模拟]已知函数f (x )＝(2x －4)e x ＋a (x ＋2)2.(a ∈R ，e 为自然对数的底数)(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程； (2)当x ≥0时，不等式f (x )≥4a －4恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝(2x －4)e x ＋(x ＋2)2， 则f ′(x )＝(2x －2)e x ＋2x ＋4，f ′(0)＝－2＋4＝2. 又因为f (0)＝－4＋4＝0，所以曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x .(2)因为f ′(x )＝(2x －2)e x ＋2a (x ＋2)，令g (x )＝f ′(x )＝(2x －2)e x＋2a (x ＋2)，有g ′(x )＝2x ·e x ＋2a 且函数y ＝g ′(x )在[0，＋∞)上单调递增， 当2a ≥0时，有g ′(x )≥0，此时函数y ＝f ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，则f ′(x )≥f ′(0)＝4a －2.①若4a －2≥0即a ≥12时，函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 则f (x )min ＝f (0)＝4a －4，不等式恒成立；②若4a －2<0即0≤a <12时，则在[0，＋∞)上存在f ′(x 0)＝0， 此时函数y ＝f (x )在x ∈(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增且f (0)＝4a －4，所以不等式不可能恒成立，故不符合题意．当2a ＜0时，有g ′(0)＝2a ＜0，则在[0，＋∞)上存在g ′(x 1)＝0，此时g (x )在(0，x 1)上单调递减，在(x 1，＋∞)上单调递增，所以函数y ＝f ′(x )在x ∈[0，＋∞)上先减后增．又f ′(0)＝－2＋4a ＜0，则函数y ＝f (x )在x ∈[0，＋∞)上先减后增．又f (0)＝4a －4，所以不等式不可能恒成立，故不符合题意．综上所述，实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ≥12.5．已知函数f (x )＝12ax 2＋ln x ，其中a ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值是－1，求a 的值． 解 (1)f ′(x )＝ax 2＋1x ，x ∈(0，＋∞)．当a ≥0时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1a 或x ＝－－1a (舍去)．此时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：∴f (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调减区间是⎝⎛－1a ，＋∞ ).(2)①当a ≥0时，由(1)得函数f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a2. 令a2＝－1，得a ＝－2，这与a ≥0矛盾，不合题意． ②当－1≤a <0时， －1a ≥1，由(1)得函数f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a2.令a2＝－1，得a ＝－2，这与－1≤a <0矛盾，不合题意． ③当a <－1时，0<－1a <1，由(1)得函数f (x )在(0,1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎪⎫－1a . 令f ⎝⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1，解得a ＝－e ，符合a <－1. 综上，当f (x )在(0,1]上的最大值是－1时，a ＝－e.。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．为了得到函数y ＝3×x 的图象，可以把函数y ＝x 的图象(13)(13)( )A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度答案　D解析　y ＝3×x ＝－1·x＝x －1，故它的图象是把函数y ＝(13)(13)(13)(13)x的图象向右平移1个单位长度得到的．故选D.(13)2．(2017·山西太原二模)函数f (x )＝的图象大致为( )ln |x －1||1－x|答案　D解析　函数f (x )＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且ln |x －1||1－x |图象关于x ＝1对称，排除B 、C ；取特殊值，当x ＝时，f (x )＝2ln 12<0，故选D.123．函数f (x )＝ln (x 2＋1)的图象大致是( )答案　A解析　依题意，得f (－x )＝ln (x 2＋1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，故排除C ；因为函数f (x )过定点(0,0)，排除B ，D ，故选A.4．(2017·乐山模拟)函数f (x )＝的部分Asin (ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)图象如图所示，则f (π)＝( )A ．4B ．2C ．2 D.33答案　A解析　由函数的图象可得A ＝2，根据半个周期＝·＝＋T2122πω5π12，解得ω＝2.π12由图象可得当x ＝－时，函数无意义，即函数的分母等于零，π12即sin ＝0.[2(－π12)＋φ]再由|φ|<，可得φ＝，π2π6故函数f (x )＝，∴f (π)＝4，故选A.2sin (2x ＋π6)5．(2017·北京模拟)已知函数若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1]答案　D解析　作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示：由图可知k ∈(0,1]，故选D.6．(2018·山东日照一模)现有四个函数①y ＝x sin x ，②y ＝x cos x ，③y ＝x |cos x |，④y ＝x 2x 的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①答案　A解析　①y ＝x sin x 在定义域上是偶函数，其图象关于y 轴对称；②y ＝x cos x 在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称；③y ＝x |cos x |在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称，且当x >0时，其函数值y ≥0；④y ＝x 2x 在定义域上为非奇非偶函数，且当x >0时，其函数值y >0，且当x <0时，其函数值y <0.故选A.7．(2015·浙江高考)函数f (x )＝cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的(x －1x )图象可能为( )答案　D解析　解法一：(性质＋特值排除法)该函数的定义域为[－π，0)∪(0，π]，显然定义域关于原点对称．函数y ＝x －是奇函数，y ＝cos x 为偶函数，所以f (x )1x ＝cos x 为奇函数，所以排除A 、B ；取x ＝π，则f (π)(x －1x )＝cosπ＝－<0，故排除C.故选D.(π－1π)(π－1π)解法二：(特值排除法)f (π)＝cosπ＝－<0，故可排除(π－1π)(π－1π)A 、C ；而f (－π)＝·cos(－π)＝>0，故排除B.故选D.(－π－1－π)(π－1π)8．(2017·达州期末)已知函数f (x )＝x cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，同一坐标系中，f (x )和f ′(x )的大致图象是( )答案　C解析　由于f (x )＝x cos x ，∴f ′(x )＝cos x －x sin x ，当x ＝0时，f (0)＝0，f ′(0)＝1，排除B 、D ；当f ′(x )>0时，f (x )是增函数，曲线是上升的，f ′(x )<0时，f (x )是减函数，曲线是下降的，判断出C 是正确的，排除A.故选C.9．(2018·郑州模拟)函数y ＝的图象与函数y ＝2sinπx (－11－x 2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案　D解析　图象法求解．在同一坐标系中，分别作出函数y ＝与y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象，y ＝的对称中心是(1,0)，11－x －1x －1也是y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的中心，当－2≤x ≤4它们的图象在x ＝1的左侧有4个交点，则x ＝1右侧必有4个交点．不妨把它们的横坐标由小到大设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，则x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝2，所以选D.10．(2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝Error!有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C. D ．(0，＋∞)(0，12)答案　B解析　依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln (－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )，又y ＝ln x 的导数为y ′＝，1x 则km －1＝ln m ，k ＝，解得m ＝1，k ＝1，1m 可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.二、填空题11．(2018·咸阳模拟)已知f (x )＝Error!则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．答案　5解析　由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝或f (x )＝1，12作出函数y ＝f (x )的图象．由图象知y ＝与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图12象有3个交点．因此函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点有5个．12．设函数f (x )，g (x )的定义域分别为F ，G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝x (x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，(12)且g (x )是偶函数，则函数g (x )的解析式为________．答案　g (x )＝2|x |解析　画出函数f (x )＝x (x ≤0)的图象关于y 轴对称的这部分图(12)象，即可得到偶函数g (x )的图象，由图可知：函数g (x )的解析式为g (x )＝2|x |.13．(2018·南昌大联考)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上|x 2－2x ＋12|有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．答案　(0，12)解析　先画出y ＝x 2－2x ＋在区间[0,3)上的图象，再将x 轴下12方的图象对称到x 轴上方，利用周期为3，将图象平移至区间[－3,4]内，即得f (x )在区间[－3,4]上的图象如图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图象可得a ∈.(0，12)14．(2017·湖北百所重点学校联考)设函数f (x )对任意实数x 满足f (x )＝－f (x ＋1)，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，若关于x 的方程f (x )＝kx 有3个不同的实数根，则k 的取值范围是________．答案　(5－2，1)∪{－3＋2}62解析　因f (x )＝－f (x ＋1)，故f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是周期为2的周期函数，画出函数y ＝f (x )，x ∈[0,1]的图象，再借助函数满足的条件f (x )＝－f (x ＋1)及周期性，画出函数y ＝f (x )的图象如图，易知仅当直线y ＝kx 位于l 1与l 2之间(不包括l 1，l 2)或与l 3重合时满足题意，对y ＝x (1－x )求导得y ′＝1－2x ，y ′|x ＝0＝1，∴l 2的斜率为1.以下求l 3的斜率：当1≤x ≤2时，易得f (x )＝－f (x －1)＝－(x －1)[1－(x －1)]＝x 2－3x ＋2，令x 2－3x ＋2－kx ＝0，得x 2－(3＋k )x ＋2＝0，令Δ＝(3＋k )2－8＝0，解得k ＝－3±2，由此易知l 3的斜2率为－3＋2.同理，由2≤x ≤3时，f (x )＝－x 2＋5x －6，可得l 1的2斜率为5－2.综上，5－2<k <1或k ＝－3＋2，故应填662(5－2，1)∪{－3＋2}．62三、解答题15．已知函数f(x)＝Error!(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；(2)写出f(x)的单调递增区间；(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值．解　(1)函数f(x)的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，0]，[2,5]．(3)由图象知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.16．已知f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．解　(1)当x2－4x＋3≥0时，x≤1或x≥3，∴f(x)＝Error!∴f(x)的图象如图所示．(2)由函数的图象可知f(x)的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是减区间；(1,2]，[3，＋∞)是增区间．(3)由f(x)的图象知，当0<m<1时，f(x)＝m有四个不相等的实根，所以M＝{m|0<m<1}．。

[基础送分提速狂刷练] 一、选择题
1．曲线y＝lg x在x＝1处的切线的斜率是()
A.
1
ln 10B．ln 10 C．ln e D.
1
ln e
答案 A
解析因为y′＝
1
x·ln 10
，所以y′|x＝1＝
1
ln 10
，即切线的斜率为
1
ln 10.故选A.
2．(2017·潼南县校级模拟)如图，是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是()
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在(1,3)上f(x)是减函数
C．在(4,5)上f(x)是增函数
D．当x＝4时，f(x)取极大值
答案 C
解析由于f′(x)≥0?函数f(x)单调递增；f′(x)≤0?函数f(x)单调递减，观察f′(x)的图象可知，
当x∈(－2,1)时，函数先递减，后递增，故A错误；
当x∈(1,3)时，函数先增后减，故B错误；
当x∈(4,5)时函数递增，故C正确；
由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D错误．故选C.
3．(2018·上城区模拟)函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的函数图象可能是()。

2．7函数的图象[知识梳理]1．利用描点法作函数图象的流程2．变换法作图(1)平移变换提醒：对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减．(2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|；②y ＝f (x )――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(4)伸缩变换3．有关对称性的常用结论 (1)函数图象自身的轴对称①f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )；③若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(2)函数图象自身的中心对称①f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称；②函数y ＝f (x )的图象关于(a,0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )；③函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x )；④若函数y ＝f (x )定义域为R ，且满足条件f (a ＋x )＋f (b －x )＝c (a ，b ，c 为常数)，则函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 2对称． (3)两个函数图象之间的对称关系①函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称；函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称；②函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (x )的图象关于直线y ＝b 对称； ③函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )对称． [诊断自测] 1．概念思辨(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( ) (2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( ) (3)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( )(4)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．教材衍化(1)(必修A1P75T10)函数y＝lg |x－1|的图象大致为()答案 B解析y＝lg |x－1|关于直线x＝1对称，排除A，D；因函数值可以为负值，故选B.(2)(必修A1P113B组T2)如图，不规则图形ABCD中：AB和CD 是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为()答案 D解析当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选D.3．小题热身(1)若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1答案 D解析与曲线y＝e x关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x 的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x ＋1)＝e－x－1.故选D.(2)(2017·茂名模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()答案 C解析由函数的图象可知，－1<b<0，a>1，则g(x)＝a x＋b为增函数，当x＝0时，y＝1＋b>0，且过定点(0,1＋b)．故选C.题型1函数图象的画法作出下列函数的图象：典例1(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.用图象变换作图．解 (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图a 实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图b.(3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x 图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图c.(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图d.典例2(2017·建邺区校级期中)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 4x |，0<x ≤4，－12x ＋3，x >4.(1)画出函数f (x )的图象；(2)若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，求abc 的取值范围．用数形结合法．解 (1)作函数f (x )的图象如下：(2)根据a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，令a <b <c ，由f (x )的解析式可知|log 4a |＝|log 4b |，可得log 4a ＋log 4b ＝0，即为ab ＝1，所以abc ＝c ，由图象可得c 的范围是(4,6)．故abc 的范围是(4,6)． 方法技巧作函数图象的一般方法1．直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．见冲关针对训练(1)．2．图象变换法．变换包括：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换．见典例1.3．描点法．当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出．冲关针对训练 作出下列函数的图象： (1)y ＝10|lg x |； (2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．解 (1)当x ≥1时，lg x ≥0，y ＝10|lg x |＝10lg x ＝x ；当0<x <1时，lg x <0，y ＝10|lg x |＝10－lg x ＝10lg 1x ＝1x .故y ＝⎩⎨⎧x ，x ≥1，1x ，0<x <1.这是分段函数，每段函数的图象可根据正比例函数或反比例函数图象作出(如图)．(2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94；当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图). 题型2 识图与辨图角度1 已知图象确定函数解析式典例(2018·贵州联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln |x |xB ．f (x )＝e xx C ．f (x )＝1x 2－1 D ．f (x )＝x －1x根据图象奇偶性及变化趋势用排除法．答案 A解析 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C ；若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D.故选A.角度2 已知解析式确定函数的图象典例 (2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]上的图象大致为( )用特殊值法，排除法，导数法．答案 D解析 令f (x )＝y ＝2x 2－e |x |，则f (2)＝8－e 2>0，A 错误；f (2)＝8－e 2<1，B 错误；当x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上递减，C 错误．故选D. 角度3 由实际问题中的变化过程探究函数图象典例(2014·全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )用特殊值法，排除法．答案 C解析 如图所示，过点M 作OP 的垂线，垂足为D .当x ＝π2时，MD ＝0，排除A ，D ；当x ＝π4或x ＝3π4时，MD 取得最大值为12，排除B.故选C.方法技巧辨识函数图象的常见类型及求解策略1．由图象确定解析式或解析式中参数满足的数量关系．求解关键是将从图象中得到的以下信息点转化为其参数满足的数量关系．①图象与x 轴、y 轴的交点位臵；②某一区间内函数值的正负；③定义域；④函数的单调性；⑤函数的极值、最值；⑥函数图象的变化趋势．见角度1典例．2．由解析式确定函数图象的判断技巧：(1)由函数的定义域，判断图象左右的位臵，从函数的值域，判断图象的上下位臵；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)由函数的周期性，判断图象的循环往复．3．由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．冲关针对训练1．(2014·江西高考)在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a 2与y＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图象不可能的是( )答案 B解析 当a ＝0时，y ＝－x 与y ＝x 图象为D.当a >0时，y ＝ax 2－x ＋a 2为开口向上抛物线，而对y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，求导得y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1，令y ′＝0，得x ＝13a 或x ＝1a ，即y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 有2个极值点且为正，A ，C 都有可能．当a <0时，抛物线开口向下，第二个函数的极值点为负，对称轴x ＝12a 在两极值点中间，B 不符合，故选B.2．(2017·安徽黄山一模)如图所示的图象可能是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝2x －x 2－1B ．y ＝2x sin x 4x ＋1C ．y ＝(x 2－2x )e xD ．y ＝x ln x答案 C解析A中，∵y＝2x－x2－1＝2x－(x2＋1)，当x趋向于－∞时，2x的值趋向于0，x2＋1的值趋向于＋∞，∴当x趋向于－∞时，函数y＝2x－x2－1的值趋向于－∞，∴A中的函数不符合；B中，当x>0时，y＝2x sin x4x＋1有无数个零点，与图象不符合；D中，y＝xln x的定义域是(0,1)∪(1，＋∞)，∴D中函数不符合．故选C.题型3函数图象的应用角度1利用函数图象求解不等式(多维探究)典例(2015·北京高考)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1<x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1<x≤1}D．{x|－1<x≤2}用数形结合法．答案 C解析 作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图所示：其中函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图象的交点为D (1,1)，结合图象可知f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}，故选C.[条件探究] 若本例中条件变为：关于x 的不等式f (x )≥log 2(x ＋a )在x ∈(－1,2]时恒成立，试求实数a 的取值范围．解 在同一坐标系中分别作出f (x )和y ＝log 2(x ＋a )的图象，若要使f (x )≥log 2(x ＋a )在(－1,2]上恒成立，只需y ＝f (x )的图象在x ∈(－1,2]时恒在y ＝log 2(x ＋a )的图象上方即可．则需－a ≥1，即a ≤－1.所以实数a 的取值范围为(－∞，－1]．角度2 利用函数图象研究方程根的个数典例(2017·安阳月考)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8根据函数周期性用数形结合．答案 B解析 ∵f (x )是最小正周期为2π的偶函数，∴f (x ＋2π)＝f (x )＝f (－x )，∴y ＝f (x )的图象关于y 轴和直线x ＝π对称，又∵0<x <π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，∴0<x <π2时，f ′(x )<0.同理，π2<x <π时，f ′(x )>0.又∵0≤x ≤π时，0<f (x )<1，∴y ＝f (x )的大致图象如图所示．又函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数⇔函数y ＝f (x )与y ＝sin x 图象的交点个数，由图可知共有四个交点，故选B.方法技巧函数图象应用的常见题型及求解策略1．利用函数图象研究参数的取值范围时，将构造的函数图象在同一坐标系内作出，利用数形结合思想，动态地思考问题，求解参数的取值范围．2．利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．见角度1典例．3．利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．见冲关针对训练1.冲关针对训练1．(2018·长春检测)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0答案 B解析 在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2>g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2，故选B.2．已知直线y ＝kx (k ∈R )与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x (x ≤0)，12x 2＋2(x >0)的图象恰有三个不同的公共点，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(2，＋∞) 答案 D解析 由图可知，当y ＝kx 在第一象限与f (x )相切时，有两个交点，即当x >0时，y ＝kx 与y ＝12x 2＋2有一个交点，联立方程⎩⎨⎧ y ＝kx ，y ＝12x 2＋2⇒12x 2－kx ＋2＝0，x >0时，Δ＝0，∴k ＝2.要使y ＝kx 与函数f (x )的图象有三个交点，所以k 的取值范围为(2，＋∞)，故选D.1.(2017·浙江高考)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析 观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A ，C.如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确．故选D.2．(2017·湖北百所重点学校联考)函数y ＝x 2ln |x ||x |的图象大致是( )答案 D解析 从题设提供的解析式中可以看出x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增．故选D.3．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析 当点P 与C 、D 重合时，易求得P A ＋PB ＝1＋5；当点P为DC 的中点时，有OP ⊥AB ，则x ＝π2，易求得P A ＋PB ＝2P A ＝2 2.显然1＋5>22，故当x ＝π2时，f (x )没有取到最大值，则C ，D 两项错误；又当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，不是一次函数，排除A ，故选B.4．(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ， 其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．答案 (3，＋∞)解析 f (x )的大致图象如图所示，要满足存在b ∈R ，使得方程f (x )＝b 有三个不同的根，只需4m －m 2<m ，又m >0，所以m >3.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．为了得到函数y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象，可以把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象( )A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度答案 D解析 y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，故它的图象是把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象向右平移1个单位长度得到的．故选D.2．(2017·山西太原二模)函数f (x )＝ln |x －1||1－x |的图象大致为( )答案 D解析 函数f (x )＝ln |x －1||1－x |的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图象关于x ＝1对称，排除B 、C ；取特殊值，当x ＝12时，f (x )＝2ln 12<0，故选D.3．函数f (x )＝ln (x 2＋1)的图象大致是( )答案 A解析 依题意，得f (－x )＝ln (x 2＋1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，故排除C ；因为函数f (x )过定点(0,0)，排除B ，D ，故选A.4．(2017·乐山模拟)函数f (x )＝Asin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (π)＝( )A ．4B ．2 3C ．2 D. 3 答案 A解析 由函数的图象可得A ＝2，根据半个周期T 2＝12·2πω＝5π12＋π12，解得ω＝2.由图象可得当x ＝－π12时，函数无意义，即函数的分母等于零，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝0.再由|φ|<π2，可得φ＝π6， 故函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (π)＝4，故选A.5．(2017·北京模拟)已知函数若关于x的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1]答案 D解析 作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示：由图可知k ∈(0,1]，故选D.6．(2018·山东日照一模)现有四个函数①y ＝x sin x ，②y ＝x cos x ，③y ＝x |cos x |，④y ＝x 2x 的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②① 答案 A解析 ①y ＝x sin x 在定义域上是偶函数，其图象关于y 轴对称；②y ＝x cos x 在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称；③y ＝x |cos x |在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称，且当x >0时，其函数值y ≥0；④y ＝x 2x 在定义域上为非奇非偶函数，且当x >0时，其函数值y >0，且当x <0时，其函数值y <0.故选A.7．(2015·浙江高考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )答案 D解析 解法一：(性质＋特值排除法)该函数的定义域为[－π，0)∪(0，π]，显然定义域关于原点对称．函数y ＝x －1x 是奇函数，y ＝cos x 为偶函数，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x 为奇函数，所以排除A 、B ；取x ＝π，则f (π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcosπ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π<0，故排除C.故选D.解法二：(特值排除法)f (π)＝⎝⎛⎭⎪⎫π－1πcosπ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π<0，故可排除A 、C ；而f (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－1－π·cos(－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π>0，故排除B.故选D. 8．(2017·达州期末)已知函数f (x )＝x cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，同一坐标系中，f (x )和f ′(x )的大致图象是( )答案 C解析由于f(x)＝x cos x，∴f′(x)＝cos x－x sin x，当x＝0时，f(0)＝0，f′(0)＝1，排除B、D；当f′(x)>0时，f(x)是增函数，曲线是上升的，f′(x)<0时，f(x)是减函数，曲线是下降的，判断出C是正确的，排除A.故选C.9．(2018·郑州模拟)函数y＝11－x的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A．2 B．4 C．6 D．8答案 D解析图象法求解．在同一坐标系中，分别作出函数y＝11－x与y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象，y＝－1x－1的对称中心是(1,0)，也是y＝2sinπx(－2≤x≤4)的中心，当－2≤x≤4它们的图象在x＝1的左侧有4个交点，则x＝1右侧必有4个交点．不妨把它们的横坐标由小到大设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则x1＋x8＝x2＋x7＝x3＋x6＝x4＋x5＝2，所以选D.10．(2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln (－x )，x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0，＋∞)答案 B解析 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln (－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )， 又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，则km －1＝ln m ，k ＝1m ，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.二、填空题11．(2018·咸阳模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．答案 5解析 由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，作出函数y ＝f (x )的图象．由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点．因此函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点有5个．12．设函数f (x )，g (x )的定义域分别为F ，G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，且g (x )是偶函数，则函数g (x )的解析式为________．答案 g (x )＝2|x |解析 画出函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≤0)的图象关于y 轴对称的这部分图象，即可得到偶函数g (x )的图象，由图可知：函数g (x )的解析式为g (x )＝2|x |.13．(2018·南昌大联考)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析 先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0,3)上的图象，再将x 轴下方的图象对称到x 轴上方，利用周期为3，将图象平移至区间[－3,4]内，即得f (x )在区间[－3,4]上的图象如图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图象可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.14．(2017·湖北百所重点学校联考)设函数f (x )对任意实数x 满足f (x )＝－f (x ＋1)，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，若关于x 的方程f (x )＝kx 有3个不同的实数根，则k 的取值范围是________．答案 (5－26，1)∪{－3＋22}解析 因f (x )＝－f (x ＋1)，故f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是周期为2的周期函数，画出函数y ＝f (x )，x ∈[0,1]的图象，再借助函数满足的条件f (x )＝－f (x ＋1)及周期性，画出函数y ＝f (x )的图象如图，易知仅当直线y ＝kx 位于l 1与l 2之间(不包括l 1，l 2)或与l 3重合时满足题意，对y ＝x (1－x )求导得y ′＝1－2x ，y ′|x ＝0＝1，∴l 2的斜率为1.以下求l 3的斜率：当1≤x ≤2时，易得f (x )＝－f (x －1)＝－(x －1)[1－(x －1)]＝x 2－3x ＋2，令x 2－3x ＋2－kx ＝0，得x 2－(3＋k )x ＋2＝0，令Δ＝(3＋k )2－8＝0，解得k ＝－3±22，由此易知l 3的斜率为－3＋2 2.同理，由2≤x ≤3时，f (x )＝－x 2＋5x －6，可得l 1的斜率为5－2 6.综上，5－26<k <1或k ＝－3＋22，故应填(5－26，1)∪{－3＋22}．三、解答题15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． 解 (1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]，[2,5]．(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.16．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． 解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3， ∴f (x )的图象如图所示．(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是减区间；(1,2]，[3，＋∞)是增区间．(3)由f (x )的图象知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}．。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·凉山州模拟)d x ＝( )e∫1(x ＋1x )A ．e 2 B. C. D.e2＋12e2－12e2＋32答案　B解析　d x ＝|＝－＝，故e∫1(x ＋1x )(12x 2＋ln x )e 1(12e2＋1)(12＋0)e2＋12选B.答案　C3．(2017·抚州期中)曲线y ＝与直线y ＝x －1及直线x ＝1所围2x 成的封闭图形的面积为( )A. B. C ．4－2ln 2 D ．2ln 2－345212答案　D解析　画图得三个交点分别为(1,0)，(1,2)，(2,1)，故曲线y ＝与直线y ＝x －1及直线x ＝1所围成的封闭图形的面2x 积为S ＝＝|＝2ln 2－2＋2＋－1＝2ln 2－2∫1(2x －x ＋1)(2ln x －12x 2＋x )2112，故选D.124．(2018·南昌一模)若d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )a∫1(2x ＋1x )A ．2B ．3C ．4D ．6答案　A解析　由题意可知d x ＝(x 2＋ln x )|＝a 2＋ln a －1＝3＋lna∫1(2x ＋1x )a 12，解得a ＝2.故选A.5．(2017·郑州质检)已知等比数列{a n }，且a 6＋a 8＝d x ，则a 8(a 4＋2a 6＋a 8)的值为( )4∫016－x 2A ．π2 B ．4π2 C ．8π2 D ．16π2答案　D解析　因为a 6＋a 8＝d x ＝×π×42＝4π，所以4∫016－x 214a 8(a 4＋2a 6＋a 8)＝a 8a 4＋2a 6a 8＋a ＝a ＋2a 6a 8＋a ＝(a 6＋a 8)2826282＝16π2，故选D.6．(2017·河南模拟)已知＋＝2，若φ∈，则1sin φ1cos φ2(0，π2)(x 2－2x )d x ＝( )tan φ∫－1 A. B ．－ C. D ．－13132323答案　C7．设a ＝sin x d x ，则6的展开式中常数项是( )π∫0(a x －1x )A ．－160B ．160C ．－20D ．20答案　A解析　依题意得，a ＝－cos x|＝－(cosπ－cos0)π0＝2，6＝6的展开式的通项T r ＋1＝C ·(2)6－r ·(a x －1x )(2x －1x )r 6x r ＝C ·26－r ·(－1)r ·x 3－r .令3－r ＝0，得r ＝3.因此6的(－1x )r 6(a x －1x )展开式中的常数项为C ·23·(－1)3＝－160，故选A.368．如图，设抛物线y ＝－x 2＋1的顶点为A ，与x 轴正半轴的交点为B ，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M ，随机往M 内投一点P ，则点P 落在△AOB 内的概率是( )A. B. C. D.56453423答案　C解析　因为第一象限内抛物线与坐标轴所围区域的面积为(－x 2＋1)d x ＝(－x 3＋x )|＝，△AOB 的面积为S ＝×1×1＝，1∫01310231212所以P 点落在△AOB 内的概率为＝.故选C.1223349．(2018·枣庄模拟)一辆汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝2＋sin t (t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，那么它在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程s (单位：km)是( )A ．3－cos1B ．3＋cos1C ．1＋cos1D ．1－cos1答案　A解析　由v (t )＝2＋sin t >0，故这辆车行驶的路程s ＝v (t )1∫0d t ＝(2＋sin t )d t ＝(2t －cos t )＝(2－cos1)－(－cos0)＝3－cos1，故选1∫010A.10．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝所围成的平面π2图形(如图中的阴影部分所示)的面积是( )A ．1B.π4C.223D ．2－22答案　D二、填空题答案　212．(2017·南开区二模)由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的x面积为________．答案　1 313．(2017·金版原创)若m >1，则f (m )＝d x 的最小值为m∫1(1－4x 2)________．答案　－1解析　f (m )＝d x ＝|＝m ＋－5≥4－5＝－1，当m∫1(1－4x 2)(x ＋4x )m 14m 且仅当m ＝2时等号成立．14．(2017·山西大学附中模拟)曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________．答案　2－32π3三、解答题15．(2017·阳东县校级月考)如图，过点A (6,4)作曲线f (x )＝的切线l.4x －8(1)求切线l 的方程；(2)求切线l ，x 轴及曲线f (x )＝所围成的封闭图形的面积4x －8S .解　(1)f ′(x )＝＝，424x －81x －2∴切线l 的斜率k ＝f ′(6)＝，12∴切线l 的方程为y －4＝(x －6)，即x －2y ＋2＝0.12(2)令f (x )＝0得x ＝2，把y ＝0代入x －2y ＋2＝0得x ＝－2，∴封闭图形的面积16.(2017·信阳调研)在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解　面积S 1等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－x 2d x ＝t 3.t∫023S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t .即S 2＝x 2d x －t 2(1－t )＝t 3－t 2＋.1∫t 2313所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝t 3－t 2＋(0≤t ≤1)．4313令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t＝0时，(t －12)得t ＝0或t ＝.12t ＝0时，S ＝；t ＝时，S ＝；t ＝1时，S ＝.13121423所以当t ＝时，S 最小，且最小值为.1214。

板块四模拟演练·提能增分[级基础达标]．[·广东湛江模拟]函数()＝)的定义域是( )．(，]．(，)．(，＋∞)．[，＋∞)答案解析要使函数()＝)有意义，则(\\(－≥，>，))解得<≤，则函数()的定义域为(，]．故选.．设＝，＝，＝，则( )．<<．<<．<<．<<答案解析因为<，><<，所以<<.故选.．[·承德模拟]已知>，＝，＝＝，则下列等式一定成立的是( )．＝．＝．＝＋．＝答案解析由已知得＝＝，∴＝，∵＝，∴＝，则＝，∴＝.故选.．[·西安模拟]已知函数()＝(＋－)(>，≠)的图象如图所示，则，满足的关系是()<－<<．<<－<．<－<<．<－<－<答案解析由函数图象可知，()在上单调递增，故>.函数图象与轴的交点坐标为(，)，由函数图象可知－<<，解得<<.综上有<<<.．已知函数()＝(\\(\(\)(\\(()))，≥，(＋(，<，))则函数()的值为( )．．答案．[·天津模拟]函数()＝ (－－)的单调递增区间是( )．(－∞，)．(－∞，－)．(，＋∞)．(，＋∞)答案解析令＝－－，则关于的函数＝在定义域(，＋∞)上是一个单调递增函数，故要求()＝(－－)的单调递增区间，只需使()＝－－>且()在该区间单调递增．解－－＝(－)(＋)>，得<－或>；()＝－－的图象开口向上，对称轴为＝，所以>时()单调递增，所以()＝(－－)的单调递增区间为(，＋∞)．故选.．[·安徽江淮联考]已知>，>，且≠，则“>”是“(－)(－)>”的( )．必要不充分条件．充分不必要条件．既不充分也不必要条件．充要条件答案解析>，>且≠，若>，则>，>或<<<<，∴(－)(－)>；若(－)(－)>，。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题 1．给出下列结论： ①当a <0时，(a 2)32＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12 －(3x －7)0的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2且x ≠73； ④若5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab >0. 其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 答案 B 解析 当a <0时，(a 2)32>0，a 3<0，故①错误，∵a <0，b >0，∴ab <0，④错误．故选B.2．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案 B解析 如图所示，设f (x )＝x 3，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，f (0)<g (0)，f (1)<g (1)，f (2)>g (2)，f (3)>g (3)，…. ∴x 0∈(1,2)．故选B.3．(2017·北京模拟)已知函数f (x )＝a x ，其中a >0且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2 答案 A解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A. 4．(2018·沈阳模拟)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－8)∪[0，＋∞)B ．(－8，－4)C ．[－8，－4]D ．(－∞，－8]答案 D解析 ∵a ＋4＝－32x ＋43x ，令3x＝t (t >0)，则－32x ＋43x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ≥4，所以－32x＋43x ≤－4，∴a ＋4≤－4，所以a 的范围为(－∞，－8]．故选D.5．(2018·南昌质检)定义在R 上的偶函数f (x －2)，当x >－2时，f (x )＝e x ＋1－2(e 为自然对数的底数)，若存在k ∈Z ，使方程f (x )＝0的实数根x0∈(k－1，k)，则k的取值集合是()A．{0} B．{－3} C．{－4,0} D．{－3,0}答案 D解析∵偶函数f(x－2)的图象关于y轴对称，∴函数y＝f(x)的图象关于x＝－2对称．∵当x>－2时，f(x)＝e x＋1－2，∵f(x)＝e x＋1－2在(－2，＋∞)上单调递增，且f(－1)<0，f(0)＝e －2>0.由零点存在定理可知，函数f(x)＝e x＋1－2在(－1,0)上存在零点．由函数图象的对称性可知，当x<－2时，存在唯一零点x∈(－4，－3)．由题意，方程f(x)＝0的实数根x0∈(k－1，k)，则k－1＝－4或k －1＝－1，k＝－3或k＝0.故选D.6．(2017·安徽三模)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(b x)和f(c x)的大小关系是()A．f(b x)≤f(c x)B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x)D．大小关系随x的不同而不同答案 A解析∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)．若x<0，则3x<2x<1，∴f(3x)>f(2x)．∴f (3x )≥f (2x )．故选A.7．(2018·长春模拟)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)答案 D解析 不等式2x(x －a )<1可变形为x －a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1.故选D.8．(2017·江西南昌二模)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( )A ．9B ．10C ．11D ．18 答案 B解析 依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )与y ＝|lg x |的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是10，故选B.9．(2018·宜宾模拟)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )答案 A解析 ∵x ∈(0,4)，∴x ＋1>1， ∴f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29x ＋1·(x ＋1)－5＝1， 当且仅当x ＝2时取等号，此时函数有最小值1. ∴a ＝2，b ＝1，此时g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x <－1，此函数可以看成函数y ＝⎩⎨⎧2x，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x <0的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.10．(2018·蒙城模拟)设x 1，x 2∈R ，函数f (x )满足e x＝1＋f (x )1－f (x )，若f (x 1)＋f (x 2)＝1，则f (x 1＋x 2)最小值是( )A ．4B ．2 C.45 D.14 答案 C 解析二、填空题11．(2018·浦东检测)关于x 的方程πx＝a ＋12－a只有正实数解，则a的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2解析 ∵方程πx＝a ＋12－a只有正实数解，∴a ＋12－a >1，即a ＋12－a －1>0，整理得2a －12－a >0. 解得12<a <2.∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫12，2.12．(2018·东湖调研)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，且a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小关系为________．答案 f (a )a <f (b )b <f (c )c解析 由题意f (x )x 可以转化为f (x )上的点与原点连线的斜率，根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，C (c ，f (c ))， 观察图象知 k OA <k OB <k OC ， ∴f (a )a <f (b )b <f (c )c .13．(2018·深圳一模)下列四个函数中：①y ＝－x ；②y ＝log 2(x＋1)；③y ＝－1x ＋1；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，在(0，＋∞)上为减函数的是________．(填上所有正确选项的序号)答案 ①④解析 当x ∈(0，＋∞)时：①x 增大时，x 增大，－x 减小，即y 减小， ∴函数y ＝－x 在(0，＋∞)上为减函数；②x 增大时，x ＋1增大，log 2(x ＋1)增大，即y 增大， ∴函数y ＝log 2(x ＋1)在(0，＋∞)上为增函数；③x 增大时，x ＋1增大，1x ＋1减小，－1x ＋1增大，即y 增大，∴函数y ＝－1x ＋1在(0，＋∞)上为增函数；④x 增大时，x －1增大，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1减小，即y 减小，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1在(0，＋∞)上为减函数．∴在(0，＋∞)上为减函数的是①④.14．(2018·济南模拟)已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]，存在x 2∈[－2,2]，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值范围是________．答案 [－1,1]解析 由题意可得g (x )，x ∈[－2,2]的值域⊆f (x )，x ∈[－2,2]的值域．由函数图象可得f (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a ＝0时，g (x )＝1，符合题意；当a >0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－2a ＋1，2a ＋1]，所以[－2a ＋1，2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1≥－4，2a ＋1≤3，则0<a ≤1；当a <0时，g (x )，x ∈[－2，2]的值域是[2a ＋1，－2a ＋1]，所以[2a ＋1，－2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥－4，－2a ＋1≤3，则－1≤a <0，综上可得－1≤a ≤1. 三、解答题15．(2018·济南质检)已知函数f (x )＝4x ＋m2x 是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，即方程4x －12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a ·2x ＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x >0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 解法一：由于a ＝t ＋1t ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)． 解法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0，∴只需⎩⎨⎧Δ≥0，a2>0，解得a ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．16．(2017·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)当x ＜0时，f (x )＝0，此时f (x )＝32无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x－12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x＝2或2x＝－12，∵2x ＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈ [1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1＞0， ∴m ≥－(22t ＋1)．∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5] ， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。

2．4二次函数与幂函数[知识梳理］1．二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）．②顶点式:f(x）＝a(x－m）2＋n(a≠0）．③两根式:f(x)＝a（x－x1）(x－x2)(a≠0)．(2）二次函数的图象和性质2．幂函数(1）幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数,其中x是自变量，α为常数．（2）常见的5种幂函数的图象（3）常见的5种幂函数的性质[诊断自测］1．概念思辨（1）当α<0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．（)(2）关于x的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的充要条件是错误!（)（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c,x∈［a,b］的最值一定是4ac－b24a.(）（4)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0）中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．（）答案(1)×(2)×(3）×（4）√2．教材衍化(1）(必修A1P44T9）函数y＝(x2－3x＋10)－1的递增区间是(）A．(－∞，－2) B．(5,＋∞）C.错误!D。

错误!答案C解析由于x2－3x＋10〉0恒成立，即函数的定义域为（－∞,＋∞)．设t＝x2－3x－10，则y＝t－1是(0，＋∞）上的减函数,根据复合函数单调性的性质，要求函数y＝(x2－3x＋10）－1的递增区间，即求t＝x2－3x＋10的单调递减区间，∵t＝x2－3x＋10的单调递减区间是错误!，∴所求函数的递增区间为错误!.故选C。

(2)（必修A1P78探究）若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图，则a，b,c，d的大小关系是（)A．d〉c>b〉a B．a〉b>c>dC．d>c>a〉b D．a〉b〉d>c答案B解析幂函数a＝2,b＝错误!，c＝－错误!，d＝－1的图象，正好和题目所给的形式相符合,在第一象限内,x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d。

第2讲　函数的单调性与最值板块一　知识梳理·自主学习[必备知识]考点1　函数的单调性1．单调函数的定义2．单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．考点2　函数的最值考点3　利用定义判断函数单调性的步骤1．任取……；2.作差……；3.化简；4.判断；5.结论．[必会结论]1．对勾函数y ＝x ＋(a >0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)；ax a a 减区间为[－，0)和(0，]，且对勾函数为奇函数．a a 2．设∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，则①x 1－x 2>0(<0)，f (x 1)－f (x 2)>0(<0)⇔f (x )在D 上单调递增；x 1－x 2>0(<0)，f (x 1)－f (x 2)<0(>0)⇔f (x )在D 上单调递减；②>0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0)⇔f (x )在D 上单调递增；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2③<0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0)⇔f (x )在D 上单调递f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2减．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )1x (2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( )答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．[课本改编]函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )A ．递减函数 B ．递增函数C ．先减后增 D ．先增后减答案　C解析　对称轴为x ＝3，函数在(2,3]上为减函数，在[3,4)上为增函数．3．[2018·陕西模拟]下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝xD ．f (x )＝3x(12)答案　D解析　根据各选项知，选项C ，D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．又f (x )＝3x 是增函数，所以D 正确．4．[课本改编]给定函数①y ＝x ，②y ＝log (x ＋1)，12③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．答案　②③解析　①y ＝x 在(0,1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且 0<<1，故y ＝log (x ＋1)在(0,1)上递减；③结合图象(图略)可知12 12y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2>1，故y ＝2x ＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.5．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．答案　(－3，－1)∪(3，＋∞)解析　由已知可得Error!解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．板块二　典例探究·考向突破考向　确定函数的单调区间例　1　求下列函数的单调区间：(1)y ＝－x 2＋2|x |＋1；(2)y ＝log (x 2－3x ＋2)． 12解　(1)由于y ＝Error!即y ＝Error!画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log u 与 12u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2.∴函数y ＝log (x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．12又∵u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝，且开口向上，32∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y ＝log u 在(0，＋∞)上是单调减函数，12∴y ＝log (x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区 12间为(－∞，1)．触类旁通确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法或导数法．(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”．(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．【变式训练1】　求出下列函数的单调区间：(1)f (x )＝|x 2－4x ＋3|；(2)f (x )＝.13－2x －x 2解　(1)先作出函数y ＝x 2－4x ＋3的图象，由于绝对值的作用，把x 轴下方的部分翻折到上方，可得函数y ＝|x 2－4x ＋3|的图象．如图所示．由图可知f (x )在(－∞，1]和[2,3]上为减函数，在[1,2]和[3，＋∞)上为增函数，故f (x )的增区间为[1,2]，[3，＋∞)，减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)∵3－2x －x 2>0，∴－3<x <1.由二次函数图象(图略)可知f (x )的递减区间是(－3，－1]，递增区间为[－1,1)．考向　函数单调性的应用命题角度1　利用函数的单调性比较大小例　2　已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则(－12)a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c答案　D解析　∵f (x )的图象关于x ＝1对称，∴f ＝f ，又由已知可得f (x )在(1，＋∞)上单调递减，(－12)(52)∴f (2)>f >f (e)，即f (2)>f >f (e)．选D.(52)(－12)命题角度2　利用函数的单调性解不等式例　3　f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)答案　B解析　2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有Error!解得8<x ≤9.命题角度3　利用函数的单调性求参数例　4　[2018·日照模拟]若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝在区间ax ＋1[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案　D解析　∵f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数，∴a ≤1，又∵g (x )＝在[1,2]上是减函数，∴a >0，∴0<a ≤1.ax ＋1触类旁通函数单调性应用问题的解题策略(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．提醒　若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．考向　函数的最值问题例　5　(1)函数f (x )＝x ＋2的最大值为________．1－x 答案　2解析　＝t (t ≥0)，∴x ＝1－t 2.1－x ∴y ＝x ＋2＝1－t 2＋2t 1－x ＝－t 2＋2t ＋1＝－(t －1)2＋2.∴当t ＝1即x ＝0时，y max ＝2.(2)函数f (x )＝3x ＋，x ∈[1,2]的值域为________．2x 答案　[5,7]解析　解法一：f (x )＝3x ＋，23x易证f (x )在上是增函数．[23，＋∞)∴f (x )在[1,2]上为增函数，从而得值域为[5,7]．解法二：f ′(x )＝3－，当1≤x ≤2时，f ′(x )>0，2x 2∴f (x )在[1,2]上为增函数，又f (1)＝5，f (2)＝7.∴f (x )＝3x ＋，x ∈[1,2]的值域为[5,7]．2x 触类旁通求函数最值(值域)的五种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．【变式训练2】　(1)函数y ＝x －的最大值为________．1－2x 答案　12解析　∵定义域为，(－∞，12]而y ＝x －在上为单调增函数．1－2x (－∞，12]∴当x ＝时，y max ＝.1212(2)已知函数y ＝＋的最大值为M ，最小值为m ，则1－x x ＋3的值为________．mM 答案　22解析　由题意，得Error!所以函数的定义域为{x |－3≤x ≤1}．两边平方，得y 2＝4＋2·1－x x ＋3＝4＋2.(1－x )(x ＋3)所以当x ＝－1时，y 取得最大值M ＝2；2当x ＝－3或1时，y 取得最小值m ＝2，∴＝.mM 22核心规律1.函数的单调区间是定义域的子集，研究函数单调性的方法有：定义法、图象法、导数法等．要注意掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调性．2.复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解．3.求函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值中的应用．满分策略1.讨论函数单调性必须在其定义域内进行，函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域．2.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示.板块三　启智培优·破译高考易错警示系列1——利用分段函数的单调性求参数的范围出错 [2018·山东泰安模拟]已知函数f (x )＝Error!是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)错因分析　解答本题时，易忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小而致误．解析　由f (x )在R 上单调递增，则有Error!解得4≤a <8.答案　B答题启示　解决分段函数的单调性问题时，要高度关注以下几点：(1)抓住对变量所在区间的讨论；(2)保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；(3)弄清最终结果取并还是交.跟踪训练已知f (x )＝Error!是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.(0，13)C.D.[17，13)[17，1)答案　C解析　f (x )在R 上单调递减，则有Error!解得≤a <.1713板块四　模拟演练·提能增分[A 级　基础达标]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝ln (x ＋2) B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝x D ．y ＝x ＋(12)1x答案　A 解析　函数y ＝ln (x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．[2018·山西模拟]若定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则( )A ．f (－1)<f (3)B ．f (0)>f (3)C ．f (－1)＝f (3)D ．f (0)＝f (3)答案　A解析　依题意得f (3)＝f (1)，且－1<1<2，于是由函数f (x )在(－∞，2)上是增函数，得f (－1)<f (1)＝f (3)．选A.3．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( )A ．a ＝－2B ．a ＝2C ．a ≤－2D ．a ≥2答案　C解析　二次函数的对称轴方程为x ＝－，由题意知a －13－≥1，即a ≤－2.a －134．[2018·信阳模拟]已知函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b>0，则有( )A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b)D．f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b)答案　A解析　∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a.∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)．∴选A.5．若函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(m2＋1)>f(－m＋1)，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)C．(－1,0) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)答案　D解析　由题意得m2＋1>－m＋1，故m2＋m>0，故m<－1或m>0.6．[2018·海南模拟]函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )A．[1,2] B．[－1,0]C．[0,2] D．[2，＋∞)答案　A解析　f(x)＝|x－2|x＝Error!结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．7．[2018·深圳模拟]函数y ＝2x 2－3x ＋1的单调递增区间为( )(13)A ．(1，＋∞) B.(－∞，34]C. D.(12，＋∞)[34，＋∞)答案　B解析　令u ＝2x 2－3x ＋1＝22－.因为u ＝22－在(x －34)18(x －34)18上单调递减，函数y ＝u在R 上单调递减．所以(－∞，34](13)y ＝2x 2－3x ＋1在上单调递增，即该函数的单调递增区间(13)(－∞，34]为.(－∞，34]8．[2018·苏州模拟]若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.答案　－6解析　由f (x )＝Error!可得函数f (x )的单调递增区间为，[－a2，＋∞)故3＝－，解得a ＝－6.a29．函数f (x )＝在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是，1x －113则a ＋b ＝________.答案　6解析　易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴Error!即Error!∴Error!∴a ＋b ＝6.10．[2018·湖南模拟]函数y ＝－x (x ≥0)的最大值为x________．答案　14解析　令t ＝，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－2＋，所以，x (t －12)14当t ＝，即x ＝时，y max ＝.121414[B 级　知能提升]1．[2018·安徽合肥模拟]若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( )A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥0答案　B解析　设函数f (x )＝2x －5－x ，易知f (x )为增函数，又f (－y )＝2－y －5y ，由已知得f (x )≤f (－y )，∴x ≤－y ，∴x ＋y ≤0.2．[2018·郑州质检]函数f (x )＝的单调增区间是( )x 2＋x －6A ．(－∞，－3) B ．[2，＋∞)C ．[0,2) D ．[－3,2]答案　B解析　∵x 2＋x －6≥0，∴x ≥2或x ≤－3，又∵y ＝是x 2＋x －6由y ＝，t ∈[0，＋∞)和t ＝x 2＋x －6，x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)t 两个函数复合而成，而函数t ＝x 2＋x －6在[2，＋∞)上是增函数，y ＝在[0，＋∞)上是增函数，又因为y ＝的定义域为t x 2＋x －6(－∞，－3]∪[2，＋∞)，所以y ＝的单调增区间是x 2＋x －6[2，＋∞)．故选B.3．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(0，＋∞)上有最小值，则函数g (x )＝在区间(0，＋∞)上一定( )f (x )x A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案　A解析　∵f (x )＝x 2－2ax ＋a 在(0，＋∞)上有最小值，∴a >0.∴g (x )＝＝x ＋－2a 在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上f (x )x ax a a 单调递增，h (x )>h (1)＝3.∴g (x )在(0，＋∞)上一定有最小值．4．[2018·四川模拟]已知函数f (x )＝a －.1|x |(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解　(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －，1x 设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝－＝－(a －1x 2)(a －1x 1)1x 11x 2＝>0，x 2－x 1x 1x 2∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意，a －<2x 在(1，＋∞)上恒成立，1x 设h (x )＝2x ＋，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．1x 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2，h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2).(2－1x 1x 2)∵1<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1，∴2－>0，∴h (x 1)<h (x 2)，1x 1x 2∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增，h (x )>h (1)＝3，a ≤h (x )在(1，＋∞)上恒成立，故a ≤h (1)，即a ≤3，∴a 的取值范围是(－∞，3]．5．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ＝f (x 1)－f (x 2)，(x 1x 2)且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．解　(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 2)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则>1，由于当x >1时，f (x )<0，x 1x 2所以f <0，即f (x 1)－f (x 2)<0，(x 1x 2)因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ＝f (x 1)－f (x 2)，得f ＝f (9)－f (3)，(x 1x 2)(93)而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知A ＝{x |x ＝n 2，n ∈N }，给出下列关系式：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 4；⑤f (x )＝x 2＋1，其中能够表示函数f ：A →A 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案　C解析　对于⑤，当x ＝1时，x 2＋1∉A ，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确．故选C.2．(2018·吉安四校联考)已知函数f (x )＝Error!则f 的值为( )[1f (2)]A. B. C ．－ D ．181516892716答案　A解析　f (2)＝4，f ＝f ＝1－2＝.故选A.[1f (2)](14)(14)15163．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( )A ．lg 2B ．lg 32C ．lg D.lg 213215答案　D解析　令x 5＝t ，则x ＝t (t >0)，15 ∴f (t )＝lg t ＝lg t ．∴f (2)＝lg 2.故选D.15154．(2017·山西名校联考)设函数f (x )＝lg (1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( )A ．(－9，＋∞)B ．(－9,1)C ．[－9，＋∞)D ．[－9,1)答案　B解析　f [f (x )]＝f [lg (1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]，则Error!⇒－9<x <1.故选B.5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,1]，则函数F (x )＝f (x ＋a )＋f (2x ＋a )(0<a <1)的定义域是( )A.B.[－a 2，1－a 2][－a2，1－a ]C ．[－a,1－a ] D.[－a ，1－a 2]答案　A解析　Error!⇒－≤x ≤.故选A.a21－a26．函数y ＝的值域为( )(12)A. B.(－∞，12][12，1]C.D.[12，1)[12，＋∞)答案　C解析　由于x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<≤1，结合函1x 2＋1数y ＝x 在(0,1]上的图象可知函数y ＝的值域为.故选C.(12)(12) [12，1)7．(2018·黄冈联考)已知f (x )＝Error!且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f [f (－3)]＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3答案　B解析　由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1；f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝.12故f (－3)＝－3＋1＝9，(12)从而f [f (－3)]＝f (9)＝log 39＝2.故选B.8．(2018·银川模拟)已知具有性质：f ＝－f (x )的函数，我们称(1x )为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －；②y ＝x ＋；③y ＝Error!1x 1x 其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①答案　B解析　对于①，f (x )＝x －，f ＝－x ＝－f (x )满足；对于②，f 1x (1x )1x ＝＋x ＝f (x )，不满足；对于③，(1x )1x f ＝Error!即f ＝Error!(1x )(1x )故f ＝－f (x )，满足．(1x )综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选B.9．(2018·铜陵一模)若函数f (x )图象上任意一点P (x ，y )皆满足y 2≥x 2，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x －B ．f (x )＝e x －11x C ．f (x )＝x ＋D ．f (x )＝tan x4x答案　C解析　A 项，当x ＝1时，f (x )＝1－1＝0,02≥12不成立；B 项，当x ＝－1时，f (x )＝－1∈(－1,0)，2≥(－1)2不成立；D 项，1e (1e －1)当x ＝时，f (x )＝1，12≥2不成立；对于C ，f 2(x )5π4(5π4)＝x 2＋＋8>x 2，符合题意．故选C.16x 210．(2017·山东模拟)设函数f (x )＝Error!则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.B ．[0,1][23，1]C. D ．[1，＋∞)[23，＋∞)答案　C解析　①当a <时，f (a )＝3a －1<1，f [f (a )]＝3(3a －1)23－1＝9a －4,2f (a )＝23a －1，显然f [f (a )]≠2f (a )．②当≤a <1时，f (a )＝3a －1≥1，f [f (a )]＝23a －1,2f (a )＝23a －1，故23f [f (a )]＝2f (a )．③当a ≥1时，f (a )＝2a >1，f [f (a )]＝22a，2f (a )＝22a，故f [f (a )]＝2f (a )．综合①②③知a ≥.故选C.23二、填空题11．已知x ∈N *，f (x )＝Error!其值域设为D .给出下列数值：－26，－1,9,14,27,65，则其中属于集合D 的元素是________．(写出所有可能的数值)答案　－26,14,65解析　注意函数的定义域是N *，由分段函数解析式可知，所有自变量的函数值最终都是转化为大于等于3的对应自变量函数值计算的f (3)＝9－35＝－26，f (4)＝16－35＝－19，f (5)＝25－35＝－10，f (6)＝36－35＝1，f (7)＝49－35＝14，f (8)＝64－35＝29，f (9)＝81－35＝46，f (10)＝100－35＝65.故正确答案应填－26,14,65.12．(2018·厦门一模)已知函数f (x )＝Error!的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案　[0，12)解析　当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝Error!的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则Error!解得0≤a ＜.1213．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．答案　1解析　[a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1.14．(2018·绵阳二诊)现定义一种运算“⊕”：对任意实数a ，b ，a ⊕b ＝Error!设f (x )＝(x 2－2x )⊕(x ＋3)，若函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是________．答案　(－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}解析　因为(x 2－2x )－(x ＋3)－1＝(x －4)(x ＋1)，所以f (x )＝(x 2－2x )⊕(x ＋3)＝Error!作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有两个公共点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－k 有两个公共点，结合图象可得－k ＝－1 或2<－k <3或7≤－k <8，所以实数k 的取值范围是k ∈(－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}．三、解答题15．(2018·福建六校联考)已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x )(a >0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在区间[0,3]上的最小值为－2，求实数a 的值．解　(1)依题意得Error!解得－2<x <4，∴f (x )的定义域为(－2,4)．(2)f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x )＝log a [(x ＋2)(4－x )]，x ∈[0,3]．令t ＝(x ＋2)(4－x )，则可变形得t ＝－(x －1)2＋9，∵0≤x ≤3，∴5≤t ≤9，若a >1，则log a 5≤log a t ≤log a 9，∴f (x )min ＝log a 5＝－2，则a 2＝<1(舍去)，15若0<a <1，则log a 9≤log a t ≤log a 5，∴f (x )min ＝log a 9＝－2，则a 2＝，又0<a <1，∴a ＝.1913综上，得a ＝.1316．如果对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2.(1)求f (2)，f (3)，f (4)的值；(2)求＋＋＋…＋＋＋的值．f (2)f (1)f (4)f (3)f (6)f (5)f (2014)f (2013)f (2016)f (2015)f (2018)f (2017)解　(1)∵∀x ，y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2，∴f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝22＝4，f (3)＝f (1＋2)＝f (1)·f (2)＝23＝8，f (4)＝f (1＋3)＝f (1)·f (3)＝24＝16.(2)解法一：由(1)知＝2，＝2，＝2，…，＝2，f (2)f (1)f (4)f (3)f (6)f (5)f (2018)f (2017)故原式＝2×1009＝2018.解法二：对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝2，令x ＝n ，y ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即＝f (1)＝2，故f (n ＋1)f (n )＝＝…＝＝2，故原式＝2×1009＝2018.f (2)f (1)f (4)f (3)f (2018)f (2017)。