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《一元函数微积分》习题解答第二章

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1 习题2-1 1、 用导数的定义求下列各函数在指定点的导数:

(1) 32)(xxf, 求)2('f,)0('f; 解: 22lim)322(]3)2(2[lim)2()2(limlim)2(0000'xxxxxfxfxyfxxxx

22lim3]3)0(2[lim)0()0(limlim)0(0000'xxxxxfxfxyfxxxx.

(2) cbxaxxf2)(, 其中cba,,为常数, 求)0('f,21'f,abf2'. 解:

xxbxaxccxbxaxfxfxyfxxxx202000'lim)(lim)0()0(limlim)0(

bbxax)(lim0,

xcbacxbxaxfxfxyfxxx)24(])21()21([lim)21()21(limlim212000'

babaxaxxbaxaxx)(lim)(lim020.

xcababcxabbxabaxabfxabfxyabfxxx)24(])2()2([lim)2()2(limlim2222

000'

0)(limlim020xax

xa

xx.

2、解：因为23ts，所以瞬时速度273323tsv。 注：只要题目没有要求用定义求导，就最好不用定义。 3、解: 因为xy2, 所以切线的斜率632|3xyk.

切线方程: )3(69xy 即: 96xy 4、解：因为切线平行，斜率相等，故032320020201xxxkxk或。 （部分同学把00x去掉了，这是不对的，因为y=0是32xyxy和的切线）

5、解:由题目知总成本的变化率为)(xC, xkxC2)(1. 2

所以生产0x个单位时总成本的变化率为0102)(xkxC. 6、解：因为31213lim1)1()(lim)1(11xxxfxffxx， 2121lim1)1()(lim)1(211xxxfxffxx

，所以)1()1(ff，故)(xf在1x处不可导。

错误的解法是：1,310,2)(xxxxf，所以)1(32)1(ff；这样做的错误有两个：一是从给出的导函数的表达式上有3)1(f，这与不可导当然是矛盾的；二是这样解题用了)01()1()01()1(ffff和即“函数在1x处的左（右）导数等于导函数在1x处的左（右）极限”这一结论，但一般条件下这一结论不成立，教材也没有给出成立的条件，故不能乱用。

7、解：(1) 31323232)(xxyxy; (2) 5444)(1xxyxy; (3) 353232xyxy; (4) 3ln1log3xyxy; (5) )13(ln3)3ln()3()3(xxxxeeeyey;

(6) )3ln2(ln3232ln3232xxxyy. 8.、解：02,213cos)(sin)(ffxxfxxf. 9、证明: xycos,则2sin)2sin(2cos)cos(xxxxxxy, xxxxxxxxxxyxxxxsin22sinlim)2sin(lim2sin)2sin(2lim)(cos000.

0|)sin(|)(cos00xxxx. 习题2-2

1、解：2'(1);:2.yaxbxcyaxb解 3

2'232'22'2

'

'2(2)(2);15:2(2)()4.22(3)()(1)(1);()2(1)(1)(1)(1)(31).(4)cos;:2cossin.(5)()sin;sin:()cos.22(6)3;2:3ln.(7)xx

yxxyxxxxxxfvvvfvvvvvvyxxyxxxxyaxyaaxy解

解：解

解

解2'22

1;

112:.(1)1sin(8);1sinxxxyxxtst

解

22')sin1(cos2)sin1(cos)sin1()sin1(costtttttts



（9）因为ttytty2seccos2tansin2。 2、解： 1''110'1211'1'112''2'(1)(),(0),(1);()(1),(0),(1)(1).(2)sin(2),(2);:2sin(2)cos(2),(2)4.nnnnnnnnnnfxaxaxaxafffxanxanxafafananayxxyyxxxxy



求解：

求解 4

22'223

222

2223222

'

22223

2

3.,,11;:.()(2);22:.()(3)1ln;xtabyaxxyaxxyxaxxxaxxxaxayxaxayx求下列函数的导数（其中是自变量，是大于零的常数）：（）

解

解 '22

22'

3'23lnln.1ln1ln(4)tan;21secsec222.2tan4tan22(5)1;.3(1)xxx

xxx

yxxxxyxxyxxyeeye解：

解：解： 211'222'232'22(6)cos(,2);2(cos)sin.1(7)12;11.12(1)(8)sincot;3221sincoscotsincsc.3332232nnyxnZnxyxxnyxxxyxxxxyxxxxxy

解：

解：解： 5

222

2'2'22

32

3'22

223

2'22(9)sin(21);4sin(21)cos(21)2sin(42).(10)sin1;cos1.1(11)cot1;2csc1.3(1)(12)sin;(21)cos.xxxxxxyxyxxxyxxyxxyxxyxxyeyxee

解：

解：

解：解： 22'222

2

'

22'

ln'ln2(13)cos(cos);2cos(cos)sin(cos)2cossinsin(2cos)sin2.1(14)sin;112sincos.1(15)1tan();11(1)sec().121tan()(16)2;ln12()ln2.lnxxxx

yxyxxxxxxyxxyxxxyxxxxxyxxyxyx解：

解：解：解： 6

33

3'222'22sin'sin23222'222(17)3;33ln3.(18)ln(12);1112.122(19);3sincos.(20)ln();26ln()3ln().tt

xx

ytytyxxxxxxyxxxxxyeyexxyxxxyxxx解：

解：解：解：

''422

2

'

(21)ln[ln(ln)];1.lnln(ln)1(22)arccos;11.11(23)arccos13;3.2133ytytttyxyxxxxyxyxx解：

解：解： '2

2

2222'

2

(24)arctan;arctan.12(25)arccos1;arccosarccos.11arcsin(26);11arcsin1.1yxxxxyxxyxxxxxxxxxxyxxxxyx'解：

解：y

解：

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微积分复习题集带参考答案(二)

微积分复习题集带参考答案(二)

微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

第二章习题详解

第二章习题详解

第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若l i m n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!n =0. 证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n nn++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ . （2）因为22222240!1231n n n n n<=<- ，而且4lim 0n n →∞=， 所以，由夹逼定理得2lim 0!nn n →∞= 4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。

微积分及其应用第二章习题解答

微积分及其应用第二章习题解答

则由介值定理可知至少存在 使得
（4）已知函数 连续，求参数a,b.
解(1)要使 在 处连续，则
又由于
从而
(2)由于 是个分段函数，要使 连续，只需证明 在 处连续，即
又由于
故
(3)由于 是个分段函数，要使 连续，只需证明 在 处连续，即
又由于
故
(4)由于 是个分段函数，要使 连续，只需证明 在 处连续，即
又由于
故
2寻找下列函数的可去间断点，并修改或补充间断点处函数值使其连续.
证明，令 易见 在区间 上连续，且
则由根值存在定理可知存在 使得 即证方程 有非零根
5证明方程 至少有一个正根.
证明令 易见 在区间 上连续，且
则由根值存在定理可知存在 使得 即证方程 至少有一个正根.
复习题二
1已知 ，证明 .
证明：由于 ，即对任给的 当 时，有
则对上面给定的 当 时，有
即证 .
2设 ，在极限过程 下，当a,b为何值时 为无穷小？a,b为何值时 为无穷大？
(3)由于 ，函数仅在 处没有定义，且
故只需令 即可使函数在 处连续.
(4)由于 ，函数仅在 处没有定义，且
故只需令 即可使函数在 处连续.
3计算下列极限：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
（7） ；
解(1)
(2)令 则 则
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
4证明方程 有非零根.
（3）
解：（1）易见 故 或 时，函数为无穷小.
故 时，函数为无穷大.
（2）易见 故 ， 时函数为无穷小.
（3） 故 时函数为无穷小.
微积分曹定华课后题答案第二章习题详解

微积分曹定华课后题答案第二章习题详解

第二章习题2-11、 试利用本节定义5后面的注(3)证明:若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ,有lim n →∞x n +k =a 、证:由lim n n x a →∞=,知0ε∀>,1N ∃,当1n N >时,有n x a ε-<取1N N k =-,有0ε∀>,N ∃,设n N >时(此时1n k N +>)有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=、2、 试利用不等式A B A B -≤-说明:若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|、考察数列x n =(-1)n ,说明上述结论反之不成立、证:lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<Q而 n n x a x a -≤- 于就是0ε∀>,,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-,知lim n n x →∞不存在,而1n x =,lim 1n n x →∞=,所以前面所证结论反之不成立。

3、 利用夹逼定理证明:(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭L =0; (2) lim n →∞2!n n =0、 证:(1)因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+L 而且 21lim0n n →∞=,2lim 0n n→∞=, 所以由夹逼定理,得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭L 、 (2)因为22222240!1231n n n n n<=<-g g g L g g ,而且4lim 0n n →∞=, 所以,由夹逼定理得2lim 0!nn n →∞= 4、 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在、 (1) x n =11ne +,n =1,2,…;(2) x 1,x n +1n =1,2,…、 证:(1)略。