高考数学(理)一轮复习课时训练：8.6双曲线(含答案)

第六节 双曲线

时间：45分钟 分值：100分

基 础 必 做

一、选择题

1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线x2a2－y23＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )

A．2 B.62

C.52 D．1

解析 由已知得a2＋3a＝2，且a>0，解得a＝1，故选D.

答案 D

2．(2014·广东卷)若实数k满足0

A．焦距相等 B．实半轴长相等

C．虚半轴长相等 D．离心率相等

解析 因为0

答案 A

3．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于32，则C的方程是(

)

A.x24－y25＝1 B.x24－y25＝1

C.x22－y25＝1 D.x22－y25＝1

解析 由双曲线C的右焦点为F(3,0)，知c＝3.

由e＝ca＝32，则a＝2，故b2＝c2－a2＝9－4＝5， 所以双曲线C的方程为x24－y25＝1.

答案 B

4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )

A.3 B．3

C.3m D．3m

解析 由题意，可得双曲线C为x23m－y23＝1，则双曲线的半焦距c＝3m＋3.不妨取右焦点(3m＋3，0)，其渐近线方程为y＝±1mx，即x±my＝0.所以由点到直线的距离公式得d＝3m＋31＋m＝3.故选A.

答案 A

5．(2014·江西卷)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心，半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为(

)

A.x24－y212＝1 B.x27－y29＝1

C.x28－y28＝1 D.x212－y24＝1

解析

设双曲线的右顶点为B，则B(a,0)．

不妨取渐近线y＝bax，则A点的坐标为(a，b)，

从而可知|OA|＝c.

∵由已知可得|OF|＝|AF|＝c＝4， ∴△OAF为边长是c的等边三角形．

[备考方向要明了]

考 什 么怎 么 考1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．

2.了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．

3.理解数形结合的思想.1.双曲线的定义、几何性质和标准方程是高考常考内容，三种题型均有可能，高考对双曲

线的要求比椭圆要低，难度为中低档，如2012年大纲全国T8，新课标全国T8等．2.直线与双曲线也是高考的重点考查内

容之一，多以解答题形式考查，题目难度较大.

[归纳·知识整合]

1．双曲线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线

(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．

[探究]　1.与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？

提示：只有当2a|F1F2|，则轨迹不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

图形标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)性质范围x≥a或x≤－a，yRy≤－a或y≥a，xR对称性对称轴：坐标

轴

对称中心：原点对称轴：坐标轴

对称中心：原点顶点顶点坐标：

A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：

A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e(1，＋∞)a，b，c

的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；

线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；

a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长.

[探究]　2.双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？

提示：离心率越大，双曲线的“开口”越大．

3．等轴双曲线

实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x.

[自测·牛刀小试]

1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )

8.6 双曲线

[课 时 跟 踪 检 测]

[基 础 达 标]

1．(2017届合肥质检)若双曲线C1：x22－y28＝1与C2：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为45，则b＝( )

A．2 B．4

C．6 D．8

解析：由题意得ba＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝45⇒c＝a2＋b2＝25⇒b＝4，故选B.

答案：B

2．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )

A．y＝±2x B．y＝±2x

C．y＝±12x D．y＝±22x

解析：由条件e＝ca＝3，得c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝3，所以ba＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.故选B.

答案：B

3．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2，且C上点P满足PF1→·PF2→＝0，|PF1→|＝3，|PF2→|＝4，则双曲线C的离心率为( )

A.102 B．5

C.52 D．5

解析：依题意得，2a＝|PF2|－|PF1|＝1，|F1F2|＝|PF2|2＋|PF1|2＝5，因此该双曲线的离心率e＝|F1F2||PF2|－|PF1|＝5.

答案：D

4．(2017届长春质检)过双曲线x2－y215＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为( )

A．10 B．13

C．16 D．19

解析：由题可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13.

答案：B

5．(2018届河南六市第一次联考)已知点F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )

1 / 15 双曲线

[考试要求]

1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).

3.理解数形结合思想.

4.了解双曲线的简单应用．

1．双曲线的定义

(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．

(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，

其中a，c为常数且a>0，c>0.

①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；

②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；

③当2a>|F1F2|时，M点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程 x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0) y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)

图形

性 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 质 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线 y＝±bax y＝±abx

离心率 e＝ca，e∈(1，＋∞)

实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

a，b，c

的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)

3．等轴双曲线及性质

(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．

(2)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．

[常用结论]

1．双曲线中的几个常用结论

(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.