函数与导数专题
1. 在解题中常用的有关结论（需要熟记） ：
(1) 曲线 y f ( x) 在 x x 0 处的切线的斜率等于 f ( x 0 ) ，切线方程为 y f ( x 0 )( x x 0 ) f ( x 0 )
(2) 若可导函数 y f ( x) 在 x x 0 处取得极值，则 f ( x 0 ) 0 。反之，不成立。
(3) 对于可导函数 f ( x) ，不等式 f ( x) 0（ 0）的解集决定函数 f ( x) 的递增（减）区间。
(4) 函数 f ( x) 在区间 I 上递增（减）的充要条件是：
x I f ( x) 0 ( 0) 恒成立
(5) 函数 f ( x) 在区间 I 上不单调等价于 f ( x) 在区间 I 上有极值，则可等价转化为方程
f ( x) 0 在区间 I 上有实根且为非二重根。（若 f ( x) 为二次函数且 I=R ，则有 0 ）。
(6)
f (x) 在区间 I 上无极值等价于 f ( x) 在区间在上是单调函数，进而得到 f (x)
0 或
f (x)
0 在 I 上恒成立
(7) 若 x I ， f (x) 0 恒成立，则 f ( x) min 0 ; 若 x I ， f (x) 0 恒成立，则 f ( x) max
(8) 若 0
I ，使得 f (x 0 ) 0 ，则 f ( x) max 0 ；若 x 0 I ，使得 f ( x 0 ) 0 ，则 f (x)min 0 .
x
(9) 设 f ( x) 与 g(x) 的定义域的交集为 D 若 x D f ( x) g( x) 恒成立则有 f (x)
g(x) min 0
(10) 若对
x 1 I 1 、 x 2
I 2
， f ( x 1 ) g( x 2 ) 恒成立，则 f ( x) min g (x)max .
若对
x 1 I 1 ， x 2
I 2 ，使得 f (x 1 ) g(x 2 ) ,则 f ( x) min g( x)min .
若对 x 1 I 1 ， x 2 I 2 ，使得 f (x 1 ) g (x 2 ) ，则 f ( x)max g( x) max . （11 ）已知 f (x) 在区间 I 1 上的值域为 ， g ( x) 在区间 I 2 上值域为 ，
A,
B 若对
x 1 I 1 , x 2
1 2
) 成立，则 A B 。
I 2 ，使得 f (x ) = g(x
(12) 若三次函数 f(x) 有三个零点， 则方程 f (x) 0 有两个不等实根 x 1 、x 2 ，且极大值大
于 0，极小值小于 0.
(13) 证题中常用的不等式 :
① ln x x 1 ( x 0) ② ln （x+1） x (x
1)
③ e x 1 x
x
ln x
1
1
④ e
1 x
⑤
ln x x 1 ( x
1)
⑥
2 ( x 0)
x 2
2 2 x
x 1
2
考点一：导数几何意义：
角度一求切线方程
1．
(2014
·洛阳统考已知函数
f(x)
＝＋＋
sin
，＝′
π
，f′(x)是 f(x) )3x cos 2x2x a f4
的导函数，则过曲线 y＝x3上一点 P(a，b)的切线方程为 ()
A．3x－y－2＝0
B．4x－3y＋1＝0
C．3x－y－2＝0 或 3x－4y＋1＝0
D．3x－y－2＝0 或 4x－3y＋1＝0
解析：选 A由 f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x 得 f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，则 a＝
f′πππ
得 y′＝3x2，过曲线 y＝x3上一点 P(a，b)的切线4
＝3－2sin＋2cos ＝1.由 y＝x3
22
的斜率 k＝3a2＝3×12＝ 3.又 b＝a3，则 b＝1，所以切点 P 的坐标为 (1,1)，故过曲线 y
＝x3上的点 P 的切线方程为 y－1＝3(x－1)，即 3x－y－2＝0.
角度二求切点坐标
2．(2013 ·辽宁五校第二次联考 )曲线 y＝3ln x＋x＋2 在点 P0处的切线方程为 4x －y－1＝0，则点 P0的坐标是 ()
A．(0,1)B．(1，－ 1)
C．(1,3)D．(1,0)
3
解析：选 C由题意知 y′＝x＋1＝4，解得 x＝1，此时 4×1－y－1＝0，解得 y ＝3，∴点 P0的坐标是
(1,3)．角度三求参数的值
3．已知
1 27
f(x)＝ln x，g(x)＝2x ＋mx＋2(m<0)，直线l 与函数f(x)，g(x)的图像都相
切，且与 f(x)图像的切点为A．－ 1
C．－ 4(1，f(1))，则 m 等于 (
B．－ 3
D．－ 2
)
解析：选D
1∵f′(x)＝x，
∴直线 l 的斜率为 k＝f′(1)＝1，
又 f(1)＝0，
∴切线 l 的方程为 y ＝x －1.
g ′(x)＝x ＋ m ，设直线 l 与 g(x)的图像的切点为 (x 0，y 0)，
则有 x 0 1 2
＋mx 0
7 ＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝ x 0
＋ ， m<0，
2 2
于是解得 m ＝－ 2，故选 D.
考点二：判断函数单调性，求函数的单调区间。
[典例 1]已知函数 f(x)＝x 2－e x
试判断 f(x)的单调性并给予证明．
解： f(x)＝ x 2－ e x ，f(x)在 R 上单调递减，
f ′(x)＝2x －e x
，只要证明 f ′(x)≤0 恒成立即可．
设 g(x)＝f ′(x)＝2x －e x ，则 g ′(x)＝2－e x ，当 x ＝ln 2 时， g ′(x)＝0，
当 x ∈(－∞，ln 2)时， g ′(x)>0，当 x ∈(ln 2，＋ ∞)时， g ′(x)<0.
∴ f ′(x)max ＝ g(x)max ＝g(ln 2)＝2ln 2－2<0， ∴ f ′(x)<0 恒成立，
∴ f (x)在 R 上单调递减．
[典例 2]
(2012 北·京高考改编 )已知函数 f(x)＝ax 2＋1(a ＞0)，g(x)＝x 3＋bx.
(1)若曲线 y ＝f(x)与曲线 y ＝g(x)在它们的交点 (1，c)处具有公共切线，求
a ，
b 的
值；
2
(2)当 a ＝4b 时，求函数 f(x)＋g(x)的单调区间．
f 1 ＝a ＋1＝c ，
由已知可得 g 1 ＝1＋b ＝c ，
解得 a ＝b ＝3.
2a ＝3＋b ，
a 2
a 2
(2)令 F(x)＝f(x)＋g(x)＝x 3
＋ax 2
＋ 4 x ＋1，F ′(x)＝3x 2
＋2ax ＋ 4 ，令 F ′(x)＝0，
得 x ＝－a ，x ＝－ a
，
1
2 2
6
∵a>0，∴ x1 a a 由 F′(x)>0 得， x<－2或 x>－6； a a 由F′(x)<0 得，－2 a a a a ∴单调递增区间是－∞，－2，－6，＋∞ ；单调递减区间为－2，－6 . [针对训练 ] (2013·重庆高考设 f(x) ＝－ 5) 2＋6ln x，其中 a∈R，曲线 y＝f(x)在点 (1，f(1)) )a(x 处的切线与 y 轴相交于点 (0,6)． (1)确定 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间与极值． 解： (1)因为 f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，故 f′(x)＝2a(x－5)＋6 x. 令x＝1，得 f(1)＝16a， f′(1)＝6－8a，所以曲线 y＝f(x)在点 (1，f(1))处的切线方程为 y－16a＝(6－8a) ·(x－1)，由点 (0,6)在切线上可得 6－16a＝8a－6， 1 故 a＝2. (2)由(1)知， f(x)＝1 2(x－5)2＋6ln x(x>0)， 6 f′(x)＝x－5＋ x＝x－2 x－3 x . 令f′(x)＝0，解得 x1＝ 2，x2＝3. 当0 9 由此可知 f(x)在 x＝2 处取得极大值 f(2)＝2＋6ln 2，在 x＝3 处取得极小值 f(3)＝2＋6ln 3. 考点三：已知函数的单调性求参数的范围 [典例 ] (2014 山·西诊断已知函数 f(x) ＝－ 2 2＋ax(a∈R)． )ln x a x (1)当 a＝1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间 (1，＋∞ )上是减函数，求实数 a 的取值范围．[解] (1)当 a＝1 时， f(x)＝ln x－x2＋x，其定义域是 (0，＋∞)， 1 －2x＋1＝－2x2－x－1 ， f′(x)＝ x x 2x2－x－1 令 f′(x)＝0，即－＝0，解得x ∵x>0，∴ x＝1. 1 x＝－2或 x＝ 1. 当0 ∴函数 f(x)在区间 (0,1)上单调递增，在区间 (1，＋∞)上单调递减．(2)显然函数 f(x)＝ln x－a2x2＋ax 的定义域为 (0，＋∞)， ∴f′(x)＝1 －2a2x＋a＝ －2a2x2＋ax＋1 ＝ －2ax＋1 ax－1 . xxx 1 ①当 a＝0 时， f′(x)＝x>0， ∴f(x)在区间 (1，＋∞)上为增函数，不合题意． 1 ②当 a>0 时， f′(x)≤0(x>0)等价于 (2ax＋1)·(ax－1)≥0(x>0)，即 x≥a， 1 此时 f(x)的单调递减区间为a，＋∞. 1 ≤1， 由a得a≥1. 1 ③当 a<0 时， f′(x)≤0(x>0)等价于 (2ax＋1)·(ax－1)≥0(x>0)，即 x≥－2a，此 1 时 f(x)的单调递减区间为－2a，＋∞ . 1 由－2a≤1，得a≤－21. a<0， 1 综上，实数 a 的取值范围是－∞，－2∪[1，＋∞)． [针对训练 ] (2014 ·荆州质检 )设函数 f(x)＝1 3x3－ a 2x2＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点 (0，f(0))处 的切线方程为 y＝1. (1)求 b，c 的值； (2)若 a>0，求函数 f(x)的单调区间； (3)设函数 g(x)＝f(x)＋2x，且 g(x)在区间 (－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 解： (1)f′(x)＝x2－ax＋b， f 0 ＝1，c＝1， 由题意得即 f′ 0 ＝0，b＝0. (2)由(1)得， f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)， 当x∈(－∞，0)时， f′(x)>0， 当x∈(0，a)时， f′(x)<0， 当x∈(a，＋∞)时， f′(x)>0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为 (－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为 (0，a)． (3)g′(x)＝x2－ax＋2， 依题意，存在x∈(－2，－ 1)，使不等式 g′(x)＝x2－ax＋2<0 成立， 2 即 x∈(－2，－ 1)时， a< x＋x max＝－ 2 2， 2 当且仅当“x＝x”即 x＝－2时等号成立， 所以满足要求的 a 的取值范围是 (－∞，－ 2 2)． 考点四：用导数解决函数的极值问题 [典例 ](2013福·建高考节选)已知函数 a f(x)＝x－1＋e x(a∈R，e为自然对数的底 数)． (1)若曲线 y＝f(x)在点 (1，f(1))处的切线平行于x 轴，求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值． a a [解](1)由 f(x)＝x－1＋e x，得 f′(x)＝1－e x. 又曲线 y＝f(x)在点 (1，f(1))处的切线平行于x 轴， a 得 f′(1)＝0，即 1－e＝0，解得 a＝e. a (2)f′(x)＝1－e x， ①当 a≤0 时， f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数 f(x)无极值．② 当 a>0 时，令 f′(x)＝0，得 e x＝a，即 x＝ln a. x∈(－∞，ln a)，f′(x)<0；x∈(ln a，＋∞)，f′(x)>0， 所以 f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在 (ln a，＋∞)上单调递增， 故f(x)在 x＝ln a 处取得极小值， 且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大 值．综上，当a ≤0 时，函数f(x)无极 值； 当 a>0 时， f(x)在 x＝ln a 处取得极小值 ln a，无极大值． [针对训练 ] 设 f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1 的导数为 f′(x)，若函数 y＝f′(x)的图像关于直线x＝1 －2对称，且 f′(1)＝0. (1)求实数 a，b 的值； (2)求函数 f(x)的极值． 解： (1)因为 f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1， 故f′(x)＝6x2＋2ax＋b， 2 从而 f′(x)＝6 x＋a 62＋ b－ a 6， a 即 y＝f′(x)关于直线 x＝－6对称． a 1 从而由题设条件知－6＝－2，即 a＝3.又由于 f′(1)＝0，即 6＋2a＋b＝0，得b＝－ 12. (2)由(1)知 f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1， 所以 f ′(x)＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)， 令 f ′(x)＝0， 即 6(x －1)(x ＋2)＝0， 解得 x ＝－ 2 或 x ＝1， 当 x ∈(－∞，－ 2)时， f ′(x)>0， 即 f(x)在(－∞，－ 2)上单调递增； 当 x ∈(－2,1)时， f ′(x)<0， 即 f(x)在(－2,1)上单调递减； 当 x ∈(1，＋ ∞)时， f ′(x)>0， 即 f(x)在(1，＋ ∞)上单调递增． 从而函数 f(x)在 x ＝－ 2 处取得极大值 f(－2)＝21，在 x ＝1 处取得极小值 f(1)＝－ 6. 考点五 运用导数解决函数的最值问题 [典例 ] 已知函数 f(x)＝ ln x －ax(a ∈R)． (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a>0 时，求函数 f(x)在[1,2]上的最小值． 1 [解] (1)f ′(x)＝x －a(x>0)， 1 ①当 a ≤0 时， f ′(x)＝x －a>0， 即函数 f(x)的单调增区间为 (0，＋ ∞)． ②当 a>0 时，令 f ′(x)＝1－a ＝0，可得 x ＝1 ， x a 当 0 时， f ′(x)＝ 1－ax x >0； a 当 x>1 时， f ′(x)＝ 1－ax x <0， a 1 故函数 f(x)的单调递增区间为 0，a ， 1 单调递减区间为a，＋∞ . (2)①当a≤1，即 a≥1 时，函数 f(x)在区间 [1,2] 上是减函数，∴f(x)的最小值是 f(2)＝l n 2－2a. 1 ②当 a≥2，即 1 0 数 f(x)在区间 [1,2] 上是增函数，∴f(x)的最小值是f(1) ＝－ a. 1111 ③当 1 1 f(2)－ f(1)＝ln 2－a，∴当2 当ln 2≤a<1 时，最小值为 f(2)＝ln 2－2a. 综上可知， 当0 当a≥ln 2 时，函数 f(x)的最小值是 ln 2－2a. [针对训练 ] 设函数 f(x)＝aln x－bx2，若函数 f(x)在＝ 1 处与直线 y ＝－ 1 相切， (x>0)x2 (1)求实数 a，b 的值； 1 (2)求函数 f(x)在e，e 上的最大值． a 解： (1)f′(x)＝x－2bx， ∵函数 f(x)在 x＝1 处与直线 y＝－1 相切，2 f′ 1 ＝a－2b＝0，a＝1， ∴1解得1 f 1 ＝－ b＝－2，b＝2. 1211－x2 (2)f(x)＝ln x－2x ，f′(x)＝x－x＝x， 11 ∵当e≤x≤e 时，令 f′(x)>0 得e≤x<1； 令 f ′ (x)<0 ，得≤ ，∴在 1 ，1上单调递增，在 [1 ，上单调递减，∴ f(x)max 1 e e] ＝f(1)＝－2. 考点六：用导数解决函数极值、最值问题 [典例 ](2013 北·京丰台高三期末 )已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c x(a>0)的导函数 y＝ e f′(x)的两个零点为－ 3 和 0. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)的极小值为－ e3，求 f(x)在区间 [ －5，＋∞ )上的最大值． 2ax＋b e x－ ax2＋bx＋c e x [解] (1)f′(x)＝e x 2 －ax2＋ 2a－b x＋b－c ＝e x， 令g(x)＝－ ax2＋(2a－b)x＋b－c， 因为 e x>0，所以 y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ ax2＋(2a－b)x＋ b－c 的零点，且f′(x)与 g(x)符号相同． 又因为 a>0，所以－ 3 当x<－3 或 x>0 时，g(x)<0，即 f′(x)<0，所以 f(x)的单调增区间是 (－3,0)，单调减区间是 (－∞，－ 3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知， x＝－ 3 是 f(x)的极小值点，所以有 解得 a＝1，b＝5， c＝5， x2＋5x＋ 5 所以 f(x)＝e x. 因为 f(x)的单调增区间是 (－3,0)，单调减区间是 (－∞，－ 3)， (0，＋∞)， 所以 f(0)＝5 为函数 f(x)的极大值， 故 f(x)在区间 [－5，＋∞)上的最大值取 f(－5)和 f(0)中的最大者． 而f(－5)＝5 5＝ 5e 5>5＝f(0)，所以函数 f(x)在区间 [－5，＋∞)上的最大值是 5e5. e－ [针对训练 ] 已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点 x＝1 处的切线为 l：3x－y＋1 ＝0，若 x＝3时， y＝f(x)有极值． (1)求 a，b，c 的值； (2)求 y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值． 解： (1)由 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得 f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当 x＝1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2a＋b＝0，① 2 当 x＝3时， y＝f(x)有极值，则f′ 2 3 ＝0，可得4a＋3b＋4＝0，② 由①②，解得 a＝2，b＝－ 4.由于切点的横坐标为 1，所 以 f(1)＝4. 所以 1＋a＋b＋c＝4.所以 c＝ 5. (2)由(1)，可得 f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令 f′(x)＝0，解之，得 x1＝－ 2，x2＝2 . 3 当 x 变化时， f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示： x－3 (－3，－ 2) －21 f′(x)＋＋0－0＋＋f(x)8134 所以 y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为95 27 . 考点七：利用导数研究恒成立问题及参数求解 [典例 ] (2013 全·国卷Ⅰ )设函数 f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线 y＝f(x)和曲线 y＝g(x)都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线 y＝4x＋2. (1)求 a，b，c，d 的值； (2)若 x≥－ 2 时， f(x)≤kg(x)，求 k 的取值范围． [解] (1)由已知得 f(0)＝2，g(0)＝2， f′(0)＝4，g′(0)＝4. 而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故 b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4. 从而 a＝4，b＝2， c＝2，d＝2. (2)由(1)知， f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)． 设函数 F(x)＝kg(x)－f(x)＝2ke x(x＋1)－x2－4x－2， 则F′(x)＝2ke x(x＋2)－ 2x－4＝2(x＋2)(ke x－1)． 由题设可得 F(0)≥0，即 k≥1. 令F′(x)＝0 得 x1＝－ ln k， x2＝－ 2. (ⅰ)若 1≤k＜e2，则－ 2＜x1≤0.从而当 x∈(－2，x1)时， F′(x)＜0；当 x∈(x1，＋∞)时， F′(x)＞ 0，即 F(x)在(－2，x1)上单调递减，在 (x1，＋∞)上单调递增，故F(x)在[ －2，＋∞)上的最小值为 F(x1)．而 F(x1)＝2x1＋2－x12－4x1－2＝－ x1(x1＋2)≥0. 故当 x≥－2 时， F(x)≥0，即 f(x)≤kg(x)恒成立． (ⅱ)若 k＝e2，则 F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当 x＞－ 2 时， F′(x)＞0，即 F(x)在(－2，＋∞)上单调递增， 而F(－2)＝0，故当 x≥－2 时， F(x)≥0，即 f(x)≤kg(x)恒成立． (ⅲ)若 k＞e2，则 F(－2)＝－ 2ke－2＋2＝－ 2e－2·(k－e2)＜0.从而当 x≥－2 时， f(x)≤kg(x)不可能恒成立． 综上， k 的取值范围是 [1， e2]． [针对训练 ] 设函数 1 2x x f(x)＝2x ＋e － xe . (1)求 f(x)的单调区间； (2)若当 x∈[－2,2]时，不等式 f(x)>m 恒成立，求实数m 的取值范围．解： (1)函数 f(x)的定义域为 (－∞，＋∞)， ∵f′(x)＝ x＋e x－(e x＋xe x)＝x(1－e x)， 若 x＝0，则 f′(x)＝0； 若 x<0，则 1－e x>0，所以 f′(x)<0； 若 x>0，则 1－e x<0，所以 f′(x)<0. ∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，即 f(x)的单调减区间为 (－∞，＋∞)． (2)由(1)知， f(x)在 [－2,2]上单调递减． 故[f(x)]min＝f(2)＝2－e2， ∴m<2－e2时，不等式 f(x)>m 恒成 立．故m 的取值范围为(－∞，2－e2)． 考点八、利用导数证明不等式问题 [典例 ](2013 河·南省三市调研 )已知函数 f(x)＝ax－e x(a>0)．1 (1)若 a＝2，求函数 f(x)的单调区间； (2)当 1≤a≤1＋e 时，求证： f(x)≤x. [解](1)当 a＝1 2时， f(x)＝ 1 2x－ e x. f′(x)＝1 2－e x，令 f′(x)＝0，得 x＝－ ln 2. 当x<－ln 2 时， f′(x)>0； 当x>－ln 2 时， f′(x)<0， ∴函数 f(x)的单调递增区间为 (－∞，－ ln 2)，单调递减区间为 (－ln 2，＋∞)．(2)证明：法一：令 F(x)＝x－f(x)＝e x－(a－1)x， (ⅰ)当 a＝1 时， F(x)＝e x>0， ∴f(x)≤x 成立． x x ln(a－ 1) (ⅱ)当 1 当x>ln(a－1)时， F′(x)>0， ∴F(x)在(－∞，ln (a－1))上单调递减，在 (ln(a－1)，＋∞)上单调递增． ∴F(x)≥F(ln( a－1))＝ e ln(a－1)－ (a－1) ·ln(a－1)＝(a－1)[1－ln(a－1)]， ∵1 ∴a－1>0,1－ln( a－1)≥1－ln[(1＋e)－1]＝0， ∴F(x)≥0，即 f(x)≤x 成立． 综上，当 1≤a≤1＋e 时，有 f(x)≤x. 法二：令 g(a)＝ x－f(x)＝－ xa＋x＋e x， 只要证明 g(a)≥0 在 1≤a≤1＋e 时恒成立即可． g(1)＝－ x＋x＋e x＝e x>0，① g(1＋e)＝－ x·(1＋e)＋x＋e x＝e x－ex， 设h(x)＝e x－ ex，则 h′(x)＝e x－e， 当x<1 时， h′(x)<0；当 x>1 时， h′(x)>0， ∴h(x)在(－∞，1)上单调递减，在 (1，＋∞)上单调递增， ∴h(x)≥h(1)＝e1－e·1＝0， 即g(1＋ e)≥0.② 由①②知， g(a)≥0 在 1≤a≤1＋e 时恒成立． ∴当 1≤a≤1＋e 时，有 f(x)≤x. [针对训练 ] 1 2 1 3x (2014 ·东北三校联考 )已知函数 f(x)＝2x－3ax (a>0)，函数 g(x)＝f(x)＋e (x－1)，函数 g(x)的导函数为 g′(x)． (1)求函数 f(x)的极值； (2)若 a＝e， (ⅰ)求函数 g(x)的单调区间； (ⅱ)求证： x>0 时，不等式 g′(x)≥1＋ln x 恒成立． 解： (1)f′(x)＝x－ax2＝－ ax x－1 a， 1 ∴当 f′(x)＝0 时， x＝0 或 x＝a，又 a>0， 1∴当 x∈(－∞，0)时， f′(x)<0；当 x∈ 0，a时， 1 f′(x)>0；当 x∈a，＋∞时， f′(x)<0， ∴f(x)的极小值为 f(0)＝0， 1 1 f(x)的极大值为 f a＝6a2. 1 2 1 3x (2)∵a＝e，∴ g(x)＝2x －3ex＋e (x－1)， g′(x)＝x(e x－ex＋1)． (ⅰ)记 h(x)＝e x －ex ＋1，则 h ′(x)＝e x －e ， 当 x ∈(－∞，1)时， h ′(x)<0，h(x)是减函数； x ∈(1，＋ ∞)时， h ′(x)>0，h(x)是增函数， ∴ h (x)≥h(1)＝1>0， 则在 (0，＋ ∞)上， g ′(x)>0； 在 (－∞，0)上， g ′(x)<0， ∴函数 g(x)的单调递增区间是 (0，＋ ∞)，单调递减区间是 (－∞，0)． (ⅱ)证明： x>0 时， g ′(x)＝x(e x －ex ＋1)≥1＋ln x? e x － ex ＋1≥1 ＋ln x ， x 由 (ⅰ)知， h(x)＝e x －ex ＋1≥1， 1－x 记 φ(x)＝1＋ln x －x(x>0)，则 φ′(x)＝ x ， 在区间 (0,1)上， φ′(x)>0，φ(x)是增函数； 在区间 (1，＋ ∞)上， φ′(x)<0，φ(x)是减函数， 1＋ln x ∴φ(x)≤φ(1)＝0，即 1＋ln x －x ≤0， ≤1， x ∴ e x －ex ＋1≥1≥1 ＋ln x ，即 g ′(x)≥1＋ln x 恒成 立． x 〖专题5〗导数的应用—含参函数的单调性讨论 “含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视． 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 二、典例讲解 [典例1]讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间． 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(' a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并． [变式练习1]讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间． 导数应用：含参函数的单调性讨论(二) 对函数(可求导函数)的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论，若有多个讨论点时，要注意讨论层次与顺序，一般先根据参数对导函数类型进行分类，从简单到复杂。 一、典型例题 例1、已知函数3 2 ()331,f x ax x x a R =+++∈,讨论函数)(x f 的单调性. 分析：讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增，在何区间单调递减。而确定函数的增区间就是确定0)('>x f 的解区间；确定函数的减区间就是确定0)(' 由参数引起的案—— 含参导数问题 一、已知两个函数k x x x f -+=168)(2 ，x x x x g 452)(2 3 ++=，按以下条件求k 的范围。 （1）对于任意的]3,3[-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立。 （构造新函数，恒成立问题） （2）若存在成立。，使得)()(]3,3[000x g x f x ≤-∈ （与恒成立问题区别看待） （3）若对于任意的).()(]3,3[2121x g x f x x ≤-∈，都有、 （注意21,x x 可以不是同一个x ） （4）对于任意的)()(],3,3[]3,3[1001x f x g x x =-∈-∈使得，总存在。 （注意：哪个函数的值域含于哪个函数的值域取决于：谁的x 是任意取的，谁的x 是总存在的。） （5）若对于任意0x []3,3∈-,总存在相应的[]12,3,3x x ∈-,使得102()()()g x f x g x ≤≤成立； （与（4）相同） 二、已知函数()2 1ln (1)2 f x a x x a x =+-+， a R ∈ (1)函数f (x )在区间(2,﹢∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 , (2)函数f (x )在区间(2,3)上单调，则实数a 的取值范围是 . 三、设函数3()3f x x ax =- (a R ∈)，若对于任意的[]1,1-∈x 都有()1f x ≤成立，求实数a 的取值范围. 四、含参数导数问题的三个基本讨论点 一、 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。 二、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根 是否落在定义域内，从而引起讨论。 三、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落 在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 例1、设函数3221 ()23()3 f x x ax a x a a R =-+-+∈.求函数)(x f 的单调区间和极值； （可因式分解，比较两根大小，注意别丢两根相等情况) 解： 2 2 ()4-3()(3)f x x ax a x a x a '=-+=--- ……………………………5分 0a =时，()0f x '≤，(,)-∞∞是函数的单调减区间；无极值；……………6分 0a >时，在区间(,),(3,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(,3)a a 上，()0f x '>， 因此(,),(3,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(,3)a a 是函数的单调增区间， 函数的极大值是(3)f a a =；函数的极小值是3 4()3 f a a a =- ；………………8分 0a <时，在区间(,3),(,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(3,)a a 上，()0f x '>， 因此(,3),(,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(3,)a a 是函数的单调增区间 函数的极大值是3 4()3 f a a a =- ，函数的极小值是(3)f a a = ………………10分 例1变式．若2 '()(1)f x x a x a =-++，若(0,)x ∈+∞,讨论()f x 的单调性。（比较根大小，考虑定义域） 含参问题归纳总结 一、与函数零点（或者方程的根）有关的参数范围问题 函数的零点，即的根，亦即函数的图象与轴交点横坐标，与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与轴的位置关系（或者转化为两个熟悉函数交点问题），进而确定参数的取值范围． 题型1.有关()x f 型 1．已知函数f(x)= e x x ?a ，g(x)= 3(e x ?ax) e x ，若方程f(x)=g(x)有4个不同的 实数解，则实数a 的取值范围是 A ． (?∞,e ) B ． (e,3)∪(3,+∞) C ． (?∞,0)∪(e,+∞) D ． (e,+∞) 2．若函数f(x)={e x ,?x ≥0?x 2+2x +1,?x <0 （其中e 是自然对数的底数），且函数y = |f(x)|?mx 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ． (0,1) B ． (0,e) C ． (?∞,0)∪(1,+∞) D ． (?∞,0)∪(e,+∞) 3．设函数f (x )是定义在R 上周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒f (x )? f (?x )=0，当x ∈[?1,0]时，f (x )=x 2．若 g (x )=f (x )?log a x 在x ∈(0,+∞)上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为（ ） A ． [3,5] B ． [4,6] C ． (3,5) D ． (4,6) ()f x ()0f x =()f x x x 4．已知函数f(x)={xlnx?2x,x>0 x2+3 2 x,x≤0，若方程f(x)?mx+1=0恰有四个不 同的实数根，则实数m的取值范围是（ （ A．(?1,?1 3)B．(?1,?1 2 )C．(?3 4 ,?1 2 )D．(?2,?1 2 ) 5．设f(x)=lnx+1 x ，若函数y=|f(x)|?ax2恰有3个零点，则实数a的取值范围为（） A．(0,e2 3)B．(e2 3 ,e)C．(1 e ,1)D．(0,1 e )∪{e2 3 } 6．已知函数f(x)={x+1 x?1 ,x>1 2?e x,x≤1 ，若函数g(x)=f(x)?m(x?1)有两个零点，则实数m的取值范围是 7．若函数f(x)={ 2x+2?a,x≤0 x3?ax+2,x>0 有三个不同的零点，则实数a的取值范围 是_____. 运用导数解决含参问题 运用导数解决含参函数问题的策略 以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向。运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题，主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围。 解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想，通过不断地转化，把不熟悉、不规范、 复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。 解决的主要途径：是将含参数不等式的存在性或恒成立问题根据其不等式的结构特 征，恰当地构造函数，等价转化为：含参函数的最值讨论。 一、含参函数中的存在性问题 利用题设条件能沟通所求参数之间的联系，建立方程或不等式（组）求解。这是求存在性范围问题最显然的一个方法。 例题讲解 例1：已知函数x x x f ln 2 1)(2+= ，若存在],1[0e x ∈使不等式 m x f ≤)(0，求实数m 的取值范围 二、含参函数中的恒成立问题 可先利用题设条件建立变量的关系式，将所求变量和另一已知变量分离，得到函数关系，从而使这种具有函数背景的范围问题迎 刃而解，再由已知变量的范围求出函数的值域，即为所求变量的范围。类型有：(1)双参数 中知道其中一个参数的范围；(2)双参数中的范围均未知。 一、选择题 1 ．（2013年课标Ⅱ）已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是（ ） A ．0x ?∈R,0()0 f x = B.函数()y f x =的图像是中心对称图形 C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减 D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0 f x = 2 ．（2013年大纲）已知曲线()4 2 1-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（） A ．9 B ．6 C ．-9 D ．-6 3 ．（2013年湖北）已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．1 (0,)2 C ．(0,1) D ．(0,)+∞ 4.若函数3 2 ()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是: （ ） 利用导数解决函数零点问题(第二轮大题) 这是一类利用导数解决函数零点的问题,解决这类问题的一般步骤是:转化为所构造函数的零点问题(1)求导分解定义域(2)导数为零列表去,(先在草稿纸进行)(3)含参可能要分类 (4)一对草图定大局(零点判定定理水上水下，找端点与极值点函数值符号) 目标:确保1分,争取2分,突破3分. (一)课前测试 1.(2015年全国Ⅰ卷,21)设函数x a e x f x ln )(2-=. (1)讨论)(x f 的导函数)(x f '零点的个数; (二)典型例题 2.(2017年全国Ⅰ卷,21)已知函数 e a ae x f x x -+=)2()(2(2)若0>a 且)(x f 有两个零点,求a 的取值范围. 注： ①求导分解定义域，这1分必拿， )0)(2(1 )(2>-= 'x a xe x x f x ②草稿纸上令0)(='x f ，构造函数)0(2)(>-=x a xe x g x ，重复上面步骤， 042)(22>+='x x xe e x g ， )(x g 在),0(+∞递增 ③草图 a g -=)0(， +∞→+∞→)(x g x 时。 一定要用零点判定定理确定零点个数 ④综上所述送1分. )(x f ' )(x f (三)强化巩固 3.(2017年全国Ⅱ卷,21)(2)证明:x x x x x f ln )(2 --=存在唯一 的极大值点0x ,且202 2)(--< 高二理数期中专题复习卷----导数专题(二) 【知识点5:含参数的单调性问题】 1.若3 2 ()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值围是（ ） A ．12a -<< B ．2a >或1a <- C ．2a ≥或1a ≤- D ．12a a ><-或 2.已知函数3 2 ()1f x x ax x =-+--在(),-∞+∞上单调递减,则实数a 的取值围是( ) A.( ),33,?-∞-+∞ ? U B.3,3?- ? C.(),33,-∞-+∞ U D.(3,3 3.若函数2 ()2ln f x x x =-在定义域的一个子区间(1,1)k k -+上不是单调函数,则实数k 的取值围是 . 4.已知函数2 ()ln (2)f x x ax a x =-+-,讨论()f x 的单调性. 5.设函数1 ()(2)ln 2.f x a x ax x =-+ + (1)当0a =时,求()f x 的极值; (2)设1 ()()g x f x x =-在[)1,+∞上单调递增,求a 的取值围; (3)当0a ≠时,求()f x 的单调区间. 【知识点6:含参数的零点个数问题】 1.设a 为实数, 函数3 ()3f x x x a =-++ (1)求()f x 的极值; (2)若方程()0f x =有3个实数根,求a 的取值围; (3)若()0f x =恰有两个实数根,求a 的值. 2.已知函数32 11(),,32 a f x x x ax a x R -= +--∈其中0a >. (1)求函数()f x 的单调区间; (2)若函数()f x 在区间(2,0)-恰有两个零点,求a 的取值围. 3.已知函数()1x a f x x e =-+ (,a R e ∈为自然对数的底数). (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴, 求a 的值. (2)求函数()f x 的极值; (3)当1a =时,,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值. 导数应用：含参函数的单调性讨论(一) 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈?Y Y Y Y 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 二、典例讲解 例1 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性 小结： 导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。即先求出)('x f 的零点，再其分区间然后定)('x f 在相应区间的符号。一般先讨论0)('=x f 无解情况，再讨论解 0)('=x f 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 围扩 大而出现有根，但根实际上不在定义域的），即根据)('x f 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。 变式练习2. 讨论x ax x f ln 2 1)(2 += 的单调性 小结： 一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果。 对于二次型函数（如1)(2 +=ax x g ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。 例3． 求1)(232--+=x ax x a x f 的单调区间 用导数求函数的单调区间——含参问题 一、问题的提出 应用导数研究函数的性质：单调性、极值、最值等，最关键的是求函数的单调区间，这是每年高考的重点，这也是学生学习和复习的一个难点。其中，学生用导数求单调区间最困难的是对参数分类讨论。尽管学生有分类讨论的意识，但是找不到分类讨论的标准，不能全面、准确分类 二、课堂简介 请学生求解一下问题，写出每一题求单调区间的分类讨论的特点。 例1、 求函数R a a x x x f ∈-= ),()(的单调区间。 解：定义域为),0[+∞ ,23)('x a x x f -=令,0)('=x f 得,3 a x = (1) 0≤a ,0)('≥x f 恒成立，)(x f 在),0[+∞上单调递增； (2) 0>a ,令0)('>x f 得∴> 3a x )(x f 在)3,0[a 上单调递减，在),3 [+∞a 上单调递增。 所以，当0≤a 时，)(x f 在),0[+∞上单调递增；当0>a 时，)(x f 在)3 ,0[a 上单调递减，在),3 [+∞a 上单调递增。 分类讨论特点：一次型，根3 a 和区间端点0比较 例2、 求函数R a x a ax x x f ∈+-+-=,1)1(2131)(23的单调区间。 解：定义域R ),1)](1([1)('2---=-+-=x a x a ax x x f 令,0)('=x f 得1,121=-=x a x (1) 211>>-a a 即，令0)('>x f 得∴<->11x a x 或)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调递增。 (2) 21 1==-a a 即，0)('≥x f 恒成立，所以)(x f 在R 上单调递增。 (3) 211<<-a a 即，令0)('>x f 得∴>-<11x a x 或)(x f 在)1,(--∞a 上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞上单调递增。 所以，当2>a 时，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调 1．设函数． （1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值； （2）若函数在定义域不单调，求的取值围； （3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由． 2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（1）讨论的单调性； （2）当时，证明：； （3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由． 3．已知函数（其中，）. （1）当时，若在其定义域为单调函数，求的取值围； （2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性； （2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有. 5．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数. （1）求的值； （2）若在及所在的取值围上恒成立，求的取值围； 6．已知函数()()ln ,x f x ax x F x e ax =-=+，其中0,0x a ><. （1）若()f x 和()F x 在区间()0,ln3上具有相同的单调性，数a 的取值围； （2）若21,a e ??∈-∞- ??? ，且函数()()12ax g x xe ax f x -=-+的最小值为M ，求M 的最小值. 7．已知函数()ln x m f x e x +=-. （1）如1x =是函数()f x 的极值点，数m 的值并讨论的单调性()f x ； （2）若0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，数m 的取值围（注：已知常数a 满足ln 1a a =）. 8．已知函数()()2 ln 12 x f x mx mx =++-，其中01m <≤． （1）当1m =时，求证：10x -<≤时，()3 3 x f x ≤； （2）试讨论函数()y f x =的零点个数． 9．已知e 是自然对数的底数,()()()12ln ,13x F x e x x f x a x -=++=-+. （1）设()()()T x F x f x =-,当112a e -=+时, 求证：()T x 在()0,+∞上单调递增； （2）若()()1,x F x f x ?≥≥,数a 的取值围. 10．已知函数()2x f x e ax =+- （1）若1a =-，求函数()f x 在区间[1,1]-的最小值； （2）若,a R ∈讨论函数()f x 在(0,)+∞的单调性； （3）若对于任意的1212,(0,),,x x x x ∈+∞<且 [][]2112()()x f x a x f x a +<+都有成立，求a 的取值围。 例说导数含参问题的处理策略详解 (完美终结篇) 张成 壹叁捌叁捌伍叁捌贰肆贰 一、 和单调性有关的含参问题 1. 求单调区间：本质是解含参不等式 例1：求2 ()()x a f x x -= 的单调区间 【解】2 ()() ()x a a x f x x -+'= 12x a x a ==- 当0a =时，()10f x '=>，故只有增区间：(,0),(0,)-∞+∞不能并哦 当0a >时，由2 ()() ()0x a x x f a x -+'= >即()(x a)0x a -+>得,x a x a <->， 由()(x a)0x a -+<得a x a -<< 当0a <时，由()0f x '>得,x a x a <>- 由()0f x '<得a x a <<- 综上所述：当0a =时函数增区间为(,0),(0,)-∞+∞ 当0a >时函数增区间为：(,),(,)a a -∞-+∞减区间为：(,)a a - 当0a <时函数增区间为：(,),(,)a a -∞-+∞减区间为：(,)a a - 例2：求函数f (x )＝x 2e ax 的单调区间． 【解】 函数f (x )的导数f ′(x )＝2x e ax ＋ax 2e ax ＝(2x ＋ax 2)e ax . 1220x x a ==- (1)当a ＝0时，由f ′(x )＜0得 x ＜0；由f ′(x )＞0，得x ＞0 所以当a ＝0时，函数f (x )在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数． 当a ≠0时，1220 x x a ==- (2)当a ＞0时，由2x ＋ax 2＞0，得x ＜－2a 或x ＞0；由2x ＋ax 2＜0，得－2 a ＜x ＜0. 所以当a ＞0时，函数f (x )在(－∞，－2a )和(0，＋∞)上为增函数，在区间(－2 a ，0)上为减函数． (3)当a ＜0时，由2x ＋ax 2＞0，得0＜x ＜－2a ；由2x ＋ax 2＜0，得x ＜0或x ＞－2 a ， 所以当a ＜0时，函数f (x )在区间(－∞，0)和(－2a ，＋∞)上为减函数，在区间(0，－2 a )上为增函数 总结：两个根大小不定时要讨论 2. 逆向问题：已知函数在某区间上单调性，求参数取值范围 （1） 解析式含参时：本质是恒成立问题: ()0f x '≥（()0f x '≤）恒成立 思路1：转化为求非含参一段函数的最值（范围） 思路2：数形结合 注意事项：端点能否取等号要注意 精品 1．设函数． （1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值； （2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围； （3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由． 2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（1）讨论的单调性； （2）当时，证明：； （3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由． 3．已知函数（其中，）. （1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围； （2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性； （2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有. 5．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数. （1）求的值； （2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围； 感谢下载载 word 格式整理版 范文范例 学习指导 （3）讨论关于的方程的根的个数. 6．已知函数()()ln ,x f x ax x F x e ax =-=+，其中0,0x a ><. （1）若()f x 和()F x 在区间()0,ln3上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围； （2）若21,a e ??∈-∞- ??? ，且函数()()12ax g x xe ax f x -=-+的最小值为M ，求M 的最小值. 7．已知函数()ln x m f x e x +=-. （1）如1x =是函数()f x 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性()f x ； （2）若0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数a 满足ln 1a a =）. 8．已知函数()()2 ln 12 x f x mx mx =++-，其中01m <≤． （1）当1m =时，求证：10x -<≤时，()3 3 x f x ≤； （2）试讨论函数()y f x =的零点个数． 9．已知e 是自然对数的底数,()()()12ln ,13x F x e x x f x a x -=++=-+. （1）设()()()T x F x f x =-,当112a e -=+时, 求证：()T x 在()0,+∞上单调递增； （2）若()()1,x F x f x ?≥≥,求实数a 的取值范围. 10．已知函数()2x f x e ax =+- （1）若1a =-，求函数()f x 在区间[1,1]-的最小值； （2）若,a R ∈讨论函数()f x 在(0,)+∞的单调性； （3）若对于任意的1212,(0,),,x x x x ∈+∞<且 [][]2112()()x f x a x f x a +<+都有成立，求a 的取值范围。 A 3,?+∞?( 3,+∞ 2 )2ln x x =-1)上不是单调函数 【知识点7:含参数的恒成立问题】 1.若函数32 1()(1)132 a f x x x a x = -+-+在区间(1,4)上是减函数,在区间(6,)+∞上是增函数,则实数a 的取值范围为 . 2.已知函数()3 2 3()1,2 f x ax x x R =-+∈其中0a >. (1)若1a =,求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程; (2)若在区间11,22?? -???? 上,()0f x >恒成立,求a 的取值范围. 3.已知2 ()2ln .f x x x =- (1)求()f x 的最小值; (2)若21 ()2f x tx x ≥-在(]0,1x ∈内恒成立,求t 的取值范围. 4.已知函数3 ()3f x x ax b =-+(,)a b R ∈在2x =处的切线方程914y x =-. (1)求()f x 的单调区间; (2)令2 ()2g x x x k =-++,若对任意[]10,2x ∈,均存在[]20,2x ∈,使得()()12f x g x <,求实数k 的取值范围. 5.已知函数()1ln ()f x ax x a R =--∈. (1)讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数. (2)若函数()f x 在1x =处取得极值,对(0,)x ?∈+∞,()2f x bx ≥-恒成立,求实数b 的取值范围. (3)当1x y e >>-时,证明ln(1) ln(1) x y x e y -+> +. 高二理数期中专题复习卷----导数专题(二) (答案) 【知识点5】 1. B 2.B 3. 3 1, 2?? ???? 4. . 5. 导数应用：含参函数的单调性讨论(一) 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 二、典例讲解 例1 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(' a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+ =x x a x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立， 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数， 导数中的参数问题 【方法综述】 导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式成立/存在性/方程的根/零点等条件,求解参数的取值或取值范围”.这类型题目在近几年的高考全国卷还是地方卷中，每一年或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型.学生要想解决这类型的题目，关键的突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分类讨论法和分离参数法. 【解答策略】 一．分离参数法 分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的，如下面的第2种情形），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离. 1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定) 该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题. 例1．直线 与曲线 有两个公共点，则实数的取值范围是_____． 【举一反三】若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数） 该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了. 例2．定义在 上的函数 满足 ，且 ，不等式 有解，则正实数的取值范围是（ ） A．B．C．D． 【举一反三】已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( ) A．(3，4) B．(4，5) C．(5，6) D．(6．7) 二．分类讨论法 分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论. 1.二次型根的分布或不等式解集讨论 该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程，可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决. 例3．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______． 【指点迷津】 1.本题考查导数在研究函数中的应用，体现了导数的工具性，解题的关键是得到 的表达式．解答恒成立问题的常用方法是转化为求函数的最值的问题解决，当函数的最值不存在时可利用函数值域的端点值来代替. 2. 由是函数的两个不同的极值点可得，进而得到 ，然后构造函数，求出函数的值域后可得所求范围． 【举一反三】若函数有个零点，则实数取值的集合是________． 专题02导数中的参数问题 【题型综述】 导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式成立/存在性/方程的根/零点等条件,求解参数的取值或取值范围”。这类型题目在近几年的高考全国卷还是地方卷中，每一年或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型。学生要想解决这类型的题目，关键的突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分类讨论法和分离参数法。一．分离参数法 分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的，如下面的第2种情形），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离。1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定) 该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题。 例1．已知函数()ln sin f x x a x =-在区间,64ππ?? ? ???上是单调增函数，则实数a 的取值范围为() A .43, π?-∞ ?? B .42,π?-∞ ?? C .4243,ππ?? ?? D .42 ,π??+∞?? ??? 【思路引导】已知函数()f x 在固定区间上的单调性，先转化为()11 cos 0cos f x a x a x x x '= -≥?≤在固定区间上恒成立，cos 0x >在固定区间上是成立的，故而把自变量x 与参数a 进行完全分离，转化为求不含参函数()1 cos h x x x = 的最值问题，再利用求导求单调性就可以求的函数()h x 的最值。 导数切线及含参问题讨论 线y=f (X )在点P (X 0 , f (X 0 ))处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f (X )在点p (X 0 , f (X 0 ))处的切线的斜率是 f ' (X 0 )。相应地，切线方程为 y — y 0 =f/ (X 0 ) (X - x 0 )。 切线问题分类及解法： 题型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数 f (X)，并代入点斜式方程即可. 题型二：已知斜率， 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决. 题型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，待定切点法。 求过曲线y X 3 2x 上的点(1.-1)的切线方程。 题型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解. 1 y — 求过点(20)且与曲线 X 相切的直线方程. 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，函数 y=f (X )在点X 0 处的导数的几何意义是曲 3 C 2 曲线y X 3X 1 在点(1 1)处的切线方程为( A. y 3X 4 B y 3x 2 C y 4X 3 D. y 4X 5 求曲线的切线方程 与直线 2X y 4 的平行的抛物线y 2 X 的切线方程是( A 2X y 3 0 B. 2x y 3 0 C 2x y D 2x y 1 变式1、已知函数y f( x)的图象在点M (1 ， f(1 ))处的切线方程是 f(i) f (1) 变式2、a数的图像如图所示丿下列数值排序正确的是＜) 导数含参问题讨论 题型一：求导后，考虑函数为零是否有实根，进行分类讨论。 ..1 < I 议A e R.丽竝./ < A') = € 1 —.厂(？)二/(A-) 一A A,A e 尺- -V A- 1. A- 2 1 1. 数F (X)的单调性 2 2.设a>0,讨论函数f(x) In X a(1 a)x 2(1 a)x的单调性2X 2,则 B. C. D_o 〖专题5〗 导数的应用—含参函数的单调性讨论 “含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视． 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 二、典例讲解 [典例1] 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间． 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(' a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并． [变式练习1] 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间．专题5 导数的应用-含参函数的单调性讨论(答案)
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