导数讨论含参单调性习题(含详解答案)
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试卷第1页，总2页
1．设函数．
（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；
（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；
（3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．
2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：；
（3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由．
3．已知函数（其中，）.
（1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；
（2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）.
4．已知函数，其中为常数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.
5．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数.
（1）求的值；
（2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；
（3）讨论关于的方程的根的个数. 试卷第2页，总2页 6．已知函数ln,xfxaxxFxeax，其中0,0xa.
（1）若fx和Fx在区间0,ln3上具有相同的单调性，求实数a的取值范围；
（2）若21,ae，且函数12axgxxeaxfx的最小值为M，求M的最小值.
7．已知函数()lnxmfxex.
（1）如1x是函数()fx的极值点，求实数m的值并讨论的单调性()fx；
（2）若0xx是函数()fx的极值点，且()0fx恒成立，求实数m的取值范围（注：已知常数a满足ln1aa）.
8．已知函数2ln12xfxmxmx，其中01m．
（1）当1m时，求证：10x时，33xfx；
（2）试讨论函数yfx的零点个数．
9．已知e是自然对数的底数,12ln,13xFxexxfxax.
（1）设TxFxfx,当112ae时, 求证：Tx在0,上单调递增；
（2）若1,xFxfx,求实数a的取值范围.
10．已知函数2xfxeax
（1）若1a，求函数fx在区间[1,1]的最小值；
（2）若,aR讨论函数fx在(0,)的单调性；
（3）若对于任意的1212,(0,),,xxxx且
2112()()xfxaxfxa都有成立，求a的取值范围。 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
答案第1页，总18页 参考答案 1．（1）;（2）；（3）． 【解析】 试题分析：(1)本小题主要利用导数的几何意义，求出切线斜率；当时，，可知在处的切线斜率，同理可求得，然后再根据函数与在处的切线互相垂直，得，即可求出结果．
(2)易知函数的定义域为，可得，由题意，在内有至少一个实根且曲线与x不相切，即的最小值为负，由此可得，进而得到，由此即可求出结果. (3)令，可得，令，则，所以在区间内单调递减，且在区间内必存在实根，不妨设，可得，(*)，则在区间内单调递增，在区间内单调递减， ∴，，将(*)式代入上式，得．使得对任意正实数恒成立，即要求恒成立，然后再根据基本不等式的性质，即可求出结果．
试题解析： 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第2页，总18页 (1)当时，， ∴在处的切线斜率， 由，得，∴，∴．
(2)易知函数的定义域为，
又，
由题意，得的最小值为负， ∴．(注：结合函数图象同样可以得到)， ∴
∴，∴；
(3)令，其中，
则， 则， 则，
∴在区间内单调递减，且在区间内必存在实根，不妨设， 即，可得，(*)
则在区间内单调递增，在区间内单调递减， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第3页，总18页 ∴，，
将(*)式代入上式，得．
根据题意恒成立，
又∵，当且仅当时，取等号，
∴， ∴，代入(*)式，得， 即，又，
∴，∴存在满足条件的实数，且．
点睛:对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数，利用恒成立；恒成立，即可求出参数范围. 2．（1）①当时， 在上为减函数；②当时， 的减区间为，增区间为；（2） 证明见解析；（3）一个零点，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）讨论函数单调性，先求导，当时，，故在上为减函数；当时，解可得，故的减区间为，增区间为；（2）根据，构造函数，设，，当时，，所以是增函数，，得证；（3）判断函数的零点个数，需要研究函本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第4页，总18页 数的增减性及极值端点，由（1）可知，当时，是先减再增的函数，其最小值为，而此时，且，故恰有两个零点， 从而得到的增减性，当时，；当时，；当时，，从而在两点分别取到极大值和极小值，再证明极大值，所以函数不可能有两个零点，只能有一个零点．
试题解析： （1）对函数求导得，
， ①当时，，故在上为减函数；
②当时，解可得，故的减区间为，增区间为； （2） ，设，则，
易知当时，，
；
（3）由（1）可知，当时，是先减再增的函数，
其最小值为， 而此时，且，故恰有两个零点， ∵当时，；当时，；当时，
， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第5页，总18页 ∴在两点分别取到极大值和极小值，且， 由知， ∴，
∵，∴，但当时，，则，不合题意，所以，故函数的图象与轴不可能有两个交点．
∴函数只有一个零点． 3．（1）；（2）存在，且.
【解析】
试题分析：（1）当时，首先求出函数的导数，函数的定义域是，得到 ，分 和两种情况讨论讨论二次函数恒成立的问题，得到的取值范围；（2） ，分和两种情况讨论函数的单调性，若能满足当时，当满足函数的最小值大于0，即得到 的取值范围. 试题解析：（1）由题 ①当时，知，则是单调递减函数； ②当时，只有对于，不等式恒成立，才能使为单调函数，只需，解之得或，此时. 综上所述，的取值范围是
（2），其中. 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
答案第6页，总18页 （）当时，，于是在上为减函数，则在上也为减函数. 知恒成立，不合题意，舍去. （）当时，由得，列表得
0
最大值
①若，即，则在上单调递减.
知，而，
于是恒成立，不合题意，舍去.
②若，即.
则在上为增函数，在上为减函数，
要使在恒有恒成立，则必有
则，所以
由于，则，所以. 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第7页，总18页 综上所述，存在实数，使得恒成立.
【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若 恒成立 ；
（3）若 恒成立，可转化为 .
4．（1）当时，在区间上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增;
（2）见解析.
【解析】试题分析: （1）先求导数，研究导函数在定义域上零点情况，本题实质研究在上零点情况：当方程无根时，函数单调递增；当方程有两个相等实根时，函数单调递增；当方程有两个不等实根时，比较两根与定义区间之间关系，再确定单调区间，（2）先由（1）知，且两个极值点满足.再代入化简得,利用导数研究单调性，最后根据单调性证明不等式. 试题解析:（1）函数的定义域为. ，记，判别式. ①当即时，恒成立，，所以在区间上单调递增. ②当或时，方程有两个不同的实数根，记，，显然 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第8页，总18页 （ⅰ）若，图象的对称轴，. 两根在区间上，可知当时函数单调递增，，所以，所以在区间上递增. （ⅱ）若，则图象的对称轴，.，所以，当时，，所以，所以在上单调递减.当或时，，所以，所以在上单调递增.
综上，当时，在区间上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知当时，没有极值点，当时，有两个极值点，且.
， ∴又， .记，，则，所以在时单调递增，，所以，所以. 5．（1）；（2）；（3）详见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据奇函数定义可得，再根据恒等式定理可得.（2）由函数是区间上的减函数，得其导函数恒非正，即最小值，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第9页，总18页 而在恒成立等价于，从而有对恒成立，再根据一次函数单调性可得只需端点处函数值非负即可，解不等式组可得的取值范围（3）研究方程根的个数，只需转化为两个函数，交点个数，先根据导数研究函数图像，再根据二次函数上下平移可得根的个数变化规律 试题解析：（1）是奇函数，则恒成立， ∴，即， ∴，∴.
（2）由（1）知，∴，
∴，
又∵在上单调递减，
∴， 且对恒成立， 即对恒成立， ∴， ∵在上恒成立， ∴，
即对恒成立，
令，则，
∴，而恒成立， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
答案第10页，总18页 ∴.
（3）由（1）知，∴方程为， 令，， ∵，
当时，，∴在上为增函数；
当时，，∴在上为减函数； 当时，，而，
∴函数、在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当，即时，方程无解；
②当，即时，方程有一个根；
③当，即时，方程有两个根.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
6．（1）M的最小值为0.（2）,3.
【解析】
